Çizilebilir sayı sayfasının kaynağını görüntüle

[[Dosya:Square root of 2 triangle.svg|küçükresim|upright=1.14|[[Karekök 2]], 1 uzunluğunda iki dik kenarı olan bir [[dik üçgen]]in [[hipotenüs]]ünün uzunluğuna eşittir ve bu nedenle bir '''çizilebilir sayıdır'''.]]

'''Çizilebilir sayı''' terimi,{{r|Sansan_2019}} [[geometri]] ve [[cebir]]de kullanılır ve bir [[reel sayı]] <math>r</math>'nin, belirli koşullar altında bir çizgi olarak çizilebilip çizilemeyeceğini ifade eder. Eğer birim uzunlukta herhangi çizgiyi kullanarak, sadece [[Pergel ve çizgilik çizimleri|pergel ve cetvel]] yardımıyla ve belirli sayıda adımda, r uzunluğunda bir başka çizgi çizebilirse, bu durumda r sayısı çizilebilir bir sayıdır. Başka bir deyişle, r sayısını, sadece tam sayıları ve temel matematik işlemleri (toplama, çıkarma, çarpma, bölme) ile karekök alma işlemini kullanarak açık bir şekilde ifade edebiliyorsa, r sayısı çizilebilir kabul edilir.

Çizilebilir sayılar kavramı, geometri ve cebirde önemli bir yere sahiptir ve bu kavramla yakından ilgili olan '''çizilebilir noktalar''', geometrik ve cebirsel yöntemlerle tanımlanabilir. Bir noktanın çizilebilir olarak kabul edilebilmesi için, önceden belirlenmiş birim uzunluktaki bir çizginin başlangıcından, pergel ve cetvel kullanarak ulaşılabilecek bir konumda olması gerekir. Bu, bir çizginin sonu, iki çizginin veya iki çemberin kesişme noktası gibi belirli bir noktaya işaret eder. Ayrıca, bir noktanın çizilebilir olması, bu noktanın Kartezyen koordinatlarının her ikisinin de çizilebilir sayılar olmasını gerektirir. Burada bir segmentin başlangıç ve bitiş noktaları, bir Kartezyen koordinat sisteminde sırasıyla (0, 0) ve (1, 0) olarak düşünülür.<ref>{{harvtxt|Kazarinoff|2003|pages=10 & 15}}; {{harvtxt|Martin|1998}}, Corollary 2.16, p. 41.</ref> Çizilebilir sayılar ve noktalar, diğer yöntemlerle elde edilen sayı ve noktalardan farklılaştırılmak amacıyla bazen '''cetvel ve pergel sayıları''' ve '''cetvel ve pergel noktaları''' olarak adlandırılır.{{sfnp|Martin|1998|sayfa=31–32}} Bu tanımlamalar, geometri ve cebirdeki çeşitli problemlerin çözümünde temel oluşturur.

Çizilebilir sayıların oluşturduğu küme, bir [[Cisim (cebir)|alan]]ı teşkil eder: Bu kümedeki elemanlara uygulanan dört temel [[aritmetik]] işlemin her biri, yine bir çizilebilir sayının elde edilmesini sağlar. Bu alan, [[rasyonel sayılar]] üzerine bir [[alan genişlemesi]] olarak işlev görür ve bu yapı, [[cebirsel sayılar]] alanının bir alt kümesi olarak kabul edilir.{{sfnp|Courant|Robbins|1996|yer=Section III.2.2, "All constructible numbers are algebraic", ss. 133–134}} Rasyonel sayıların Euklidyen kapanışı olarak tanımlanan bu alan, rasyonel sayılardan türeyen ve pozitif elemanlarının tümünün kareköklerini barındıran en minimal alan genişlemesidir.{{sfnp|Kazarinoff|2003|sayfa=46}}

Çizilebilir sayıların cebirsel ve geometrik tanımlamalarının eşdeğerliğini ispatlama süreci, antik Yunan matematiğine ait birkaç ünlü problemin de içinde bulunduğu, pergel ve cetvel kullanılarak oluşturulan geometrik soruların, [[soyut cebir|cebirsel]] bir çerçeveye dönüştürülmesine olanak tanır. Bu soruların cebirsel olarak ifade edilmesi, geometrik olarak formüle edilen ve yüzyıllarca çözüme direnç göstermiş aynı problemlerin, çizilebilir olmadıklarına dair ispatların ortaya konulmasını sağlamıştır.

== Geometrik tanımlamalar ==
=== Geometrik olarak çizilebilir noktalar ===
[[Düzlem|Öklidyen düzlemde]] yer alan <math>O</math> ve <math>A</math> isimli iki ayrı nokta verildiğinde, bu noktaları başlangıç kabul ederek pergel ve cetvel ile çizilebilen noktaların oluşturduğu küme <math>S</math> olarak tanımlanmaktadır. Bu bağlamda, <math>S</math> kümesine ait noktalar '''çizilebilir noktalar''' olarak isimlendirilir. <math>O</math> ve <math>A</math> noktaları, bu tanım çerçevesinde, <math>S</math> kümesinin doğal üyeleridir. <math>S</math> kümesindeki diğer elemanları daha detaylı bir şekilde tanımlamak amacıyla, aşağıdaki iki tanım kullanılmaktadır:{{sfnp|Kazarinoff|2003|sayfa=10}}

* Uç noktaları <math>S</math> kümesine dahil olan doğru parçasına, '''çizilebilir doğru parçası''' denir ve
* Merkezi <math>S</math> içerisinde yer alan ve bir <math>S</math> noktasından geçen (ya da alternatif bir ifadeyle, yarıçapı <math>S</math> kümesindeki iki ayrı nokta arasındaki mesafe olan) çembere, '''çizilebilir çember''' adı verilir.
Buna göre, <math>O</math> ve <math>A</math> haricindeki <math>S</math> noktaları aşağıdakileri içerir:{{sfnp|Kazarinoff|2003|sayfa=10}}{{sfnp|Martin|1998|yer=Tanım 2.1, ss. 30–31}}
* İki paralel olmayan çizilmiş doğru parçasının veya bu parçalar üzerinden çizilen doğruların [[Kesişme doğrusu|kesişme]] noktaları,
* Bir çizilebilir çember ile çizilmiş bir doğru parçasının veya bu parça üzerinden çizilen bir doğrunun kesişim noktaları,
* İki ayrı çizilebilir çemberin kesişim noktaları.

Örneğin, çizilmiş <math>OA</math> doğru parçasının orta noktası bir çizilebilir noktadır. Bunun için bir yöntem, <math>OA</math> yarıçapı ile iki çember çizmek ve bu iki çemberin kesişme noktalarından geçen bir çizgi çizmektir. O zaman <math>OA</math> segmentinin orta noktası, bu çizilmiş çizginin segmenti kestiği noktadır.<ref>Bu orta nokta inşası, [[Öklid'in Elementleri|Öklid'in ''Elementleri'']] kitabının I. Kitap, 10. Önerme'sinde verilmiştir.</ref>

=== Geometrik olarak çizilebilir sayılar ===
Geometrik formülasyona ilişkin başlangıç verisi, <math>O</math> noktasının orijin olarak <math>(0,0)</math> koordinatları ile ve <math>A</math> noktasının <math>(1, 0)</math> koordinatları ile ilişkilendirildiği bir [[Kartezyen koordinat sistemi]]nin tanımlanmasını sağlar. Artık, <math>S</math> noktaları, çizilebilir bir noktanın koordinatı olarak tanımlanan bir '''çizilebilir sayının''' geometri ile cebir arasında bir bağ kurulmasını mümkün kılar.{{sfnp|Kazarinoff|2003|sayfa=18}}

Çizilebilir bir sayının eşdeğer tanımları arasında, bir çizilebilir noktanın <math>x</math>-koordinatı olan <math>(x,0)</math>{{sfnp|Martin|1998|yer=Tanım 2.1, ss. 30–31}} veya çizilebilir bir doğru parçasının uzunluğu bulunmaktadır.<ref>{{harvtxt|Herstein|1986|sayfa=237}}. Uzunluk temelli tanımı uygulamak için, sıfır sayısının özel bir durum olarak çizilebilir sayılar arasına alınması zorunludur.</ref> Bu eşitliğin bir yönünde, eğer bir çizilebilir noktanın koordinatları <math>(x,y)</math> ise, <math>(x,0)</math> noktası, <math>x</math>-eksenine dik bir projeksiyon olarak çizilebilir ve orijinden bu noktaya kadar olan mesafe <math>x</math> uzunluğundadır. Tersi durumda, eğer <math>x</math> bir çizilebilir doğru parçasının uzunluğu ise, <math>x</math> yarıçapı ve <math>O</math> merkezi ile tanımlanan bir çemberin <math>x</math>-ekseni ile kesişimi <math>(x,0)</math> noktasını sağlar. Bu eşitlikten yola çıkarak, Kartezyen koordinatları geometrik olarak çizilebilir sayılar olan her noktanın, kendisinin de geometrik olarak çizilebilir bir nokta olduğu anlaşılmaktadır. Zira, <math>x</math> ve <math>y</math> geometrik olarak çizilebilir sayılar olduğunda, <math>(x,y)</math> noktası, koordinat eksenlerine dik <math>(x,0)</math> ve <math>(0,y)</math> noktalarından geçen doğruların kesişimi ile oluşturulabilir.<ref>{{harvtxt|Moise|1974}}, s. 227; {{harvtxt|Martin|1998}}, Teorem 2.4, s. 33.</ref>

== Cebirsel tanımlar ==
=== Cebirsel olarak çizilebilir reel sayılar ===
Cebirsel olarak çizilebilir reel sayılar, toplama, çıkarma, çarpma, çarpmaya göre ters işlem ve pozitif sayıların kareköklerinin kullanımıyla tam sayıların kombinasyonunu içeren formüller aracılığıyla ifade edilebilen [[reel sayılar]]ın bir alt kümesini temsil eder. Bu formüllerin yapısal karmaşıklığını artırarak daha da sadeleştirilebilir şekilde, söz konusu formüllerdeki tam sayılar yalnızca 0 ve 1 olarak kısıtlanabilir.{{sfnp|Martin|1998|sayfalar=36–37}} Mesela, [[Karekök 2|2'nin karekökü]] çizilebilir olarak kabul edilir, zira bu, <math>\sqrt2</math> veya <math>\sqrt{1+1}</math> gibi formüllerle ifade edilebilir.

Benzer bir biçimde, cebirsel olarak çizilebilir [[karmaşık sayılar]], pozitif sayılarla sınırlı olmayan ve rastgele karmaşık sayıları argüman olarak kabul edebilen, argümanının [[Karekök#Bir karmaşık sayının ana karekökü|ana karekökünü]] hesaplayan genelleştirilmiş bir karekök işlemi kullanılarak ifade edilebilen karmaşık sayıların bir alt kümesini oluşturur. Bu kapsamda, gerçek ve sanal kısımları her ikisi de çizilebilir reel sayılar olan karmaşık sayılar da, aynı karmaşık sayılar sisteminin bir parçası olarak tanımlanabilir.{{sfnp|Roman|1995|sayfa=207}} Mesela, <math>i</math> karmaşık sayısı için <math>\sqrt{-1}</math> veya <math>\sqrt{0-1}</math> gibi formüller geçerlidir ve bu sayının gerçek ve sanal kısımları sırasıyla çizilebilir sayılar olan 0 ve 1 değerlerindedir.

Bu iki çizilebilir karmaşık sayılar tanımı eşdeğerdir.<ref name=lz440>{{harvtxt|Lawrence|Zorzitto|2021}}, [https://books.google.com/books?id=-koyEAAAQBAJ&pg=PA440 s. 440].</ref> Bir bakış açısından, eğer <math>q=x+iy</math> formülüyle ifade edilen bir karmaşık sayının reel ve sanal bileşenleri <math>x</math> ve <math>y</math>, çizilebilir reel sayılar kategorisinde ise, bu bileşenlerin formülleri <math>x+y\sqrt{-1}</math> genel formülü içerisine yerleştirilerek <math>q</math> karmaşık sayısının bir formülü türetilebilir. Diğer yandan, cebirsel olarak çizilebilir bir karmaşık sayı için var olan herhangi bir formül, söz konusu formüldeki her işlemin reel ve sanal kısımlar üzerindeki işlemlere dönüştürülmesi ile, bu sayının reel ve sanal parçaları için formüllere çevrilebilir. Bu dönüşüm için aşağıdaki genişletmeler kullanılır:<ref>Toplama ve çarpma işlemleri için bkz. {{harvtxt|Kay|2021}}, Teorem 8.1.10, s. 187. Bölme işlemi için bkz. {{harvtxt|Kay|2021}}, Denklemler 8.8, s. 188 ve 9.2, s. 224. Karekök genişletmesi, trigonometrinin [[yarı açı formülü]] kullanılarak elde edilebilir; eşdeğer bir formül için bkz. {{harvtxt|Lawrence|Zorzitto|2021}}, [https://books.google.com/books?id=-koyEAAAQBAJ&pg=PA440 s. 440].</ref>
*<math>(a+ib)\pm (c+id)=(a \pm c)+i(b \pm d)</math>
*<math>(a+ib)(c+id)=(ac-bd) + i(ad+bc)</math>
*<math>\frac{1}{a+ib}=\frac{a}{a^2+b^2} + i \frac{-b}{a^2+b^2}</math>
*<math>\sqrt{a+ib} = \frac{(a+r)\sqrt{r}}{s} + i\frac{b\sqrt{r}}{s}</math>, burada <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math> ve <math>s=\sqrt{(a+r)^2+b^2}</math> olarak ifade edilir.

=== Cebirsel olarak çizilebilir noktalar ===
Cebirsel olarak çizilebilir noktalar, her iki reel Kartezyen koordinatı da cebirsel olarak çizilebilir reel sayılar olan noktalar olarak ifade edilebilir. Diğer bir deyişle, cebirsel olarak çizilebilir karmaşık sayılarla tanımlanan [[karmaşık düzlem]]deki noktalar şeklinde de tanımlanabilirler. Cebirsel olarak çizilebilir karmaşık sayılarla ilgili iki tanım arasındaki eşdeğerlik dikkate alındığında, cebirsel olarak çizilebilir noktaların her iki tanımının da birbirine eşdeğer olduğu sonucuna varılır.<ref name=lz440/>

==Cebirsel ve geometrik tanımların eşdeğerliği==
<math>a</math> ve <math>b</math> değerleri, geometrik yöntemlerle oluşturulan segmentlerin sıfırdan farklı uzunluklarına karşılık geliyorsa, temel pergel ve düz çizgi kullanımı ile <math>a+b</math>, <math>|a-b|</math>, <math>ab</math> ve <math>a/b</math> uzunluklarında yeni segmentlerin oluşturulması mümkündür. Bu işlemlerin son ikisi, [[kesişme teoremi]]ne dayalı bir yöntemle gerçekleştirilebilir. Bu araçlara dayanarak gerçekleştirilen biraz daha karmaşık bir inşa yöntemi, [[geometrik ortalama teoremi]]ni temel alır ve <math>a</math> uzunluğunda bir segment kullanılarak <math>\sqrt{a}</math> uzunluğunda bir segmentin oluşturulmasını sağlar. Bu teknikler, bir sayının formülünün ilgili sayının geometrik inşasına dönüştürülmesi suretiyle, her cebirsel olarak çizilebilir sayının geometrik olarak da çizilebileceği sonucunu doğurmaktadır.<ref>{{harvtxt|Herstein|1986|sayfa=236–237}}; {{harvtxt|Moise|1974|sayfa=224}}; {{harvtxt|Fraleigh|1994|sayfa=426–427}}; {{harvtxt|Courant|Robbins|1996|bölüm=III.1.1, "Alanların Yapılandırılması ve Karekök Çıkarımı", sayfalar=120–122}}.</ref>

{{çoklu resim|total_width=720|align=center|header=Bu görseller, çizilebilir sayıların oluşturulması için pergel ve cetvel kullanılarak gerçekleştirilen çizme işlemlerini göstermektedir.
|image1=Number construction multiplication.svg|caption1=<math>ab</math>, kesişme teoremi temelinde yapılmıştır.
|image2=Number construction division.svg|caption2=<math>\frac{a}{b}</math>, kesişme teoremi temelinde yapılmıştır.
|image3=Root_construction_geometric_mean5.svg|caption3=<math>\sqrt{p}</math>, geometrik ortalama teoremi temelinde yapılmıştır.}}

Diğer bir perspektiften, geometrik nesnelerin bir kümesi, cebirsel olarak çizilebilir reel sayılar kullanılarak belirlenebilir: noktalar için koordinatlar, doğrular için eğim ve <math>y</math>-kesişim, çemberler için ise merkez ve yarıçap. Bu değerlere dayanarak, sadece aritmetik ve karekökler kullanılarak, pergel ve düz çizgi ile yapılan bir çizimin tek bir adımında dahil edilebilecek herhangi bir ek nesne için formüllerin geliştirilmesi mümkündür (bu, oldukça meşakkatli bir süreçtir). Bu formüllerden hareketle, geometrik olarak çizilebilir her sayının, cebirsel olarak da çizilebileceği sonucuna varılmaktadır.<ref>{{harvtxt|Martin|1998|sayfalar=38–39}}; {{harvtxt|Courant|Robbins|1996|sayfalar=131–132}}.</ref>

== Cebirsel özellikler ==

Cebirsel olarak çizilebilir sayıların tanımı, ilgili sayıların toplamları, farkları, çarpımları ve çarpmaya bağlı tersleri gibi işlemleri kapsar; bu işlemler, [[soyut cebir]] içerisinde bir [[Cisim (cebir)|alan]]ın tanımlanmasında kullanılan temel işlemlerle özdeştir. Bu bağlamda, ele alınan herhangi bir yöntemle tanımlanan konstrüktif sayılar bir alan yapısını oluşturur. Özellikle, çizilebilir reel sayılar, pozitif elemanlarının her birinin bir karekökünü barındıran, sıralanabilir bir alan olan bir Öklid alanını meydana getirir.{{sfnp|Martin|1998|loc=Theorem 2.7, p. 35}} Bu alanın ve alt alanlarının incelenmesi, bir sayının çizilebilir olabilmesi için zorunlu koşulları belirlememize olanak tanır. Bu koşullar, klasik geometrik yapı problemlerinde karşımıza çıkan ve çizilebilir olmayan belirli sayıların tespit edilmesinde kullanılabilir.

Çizilebilir sayıların genel alanı yerine, herhangi bir çizilebilir sayı <math>\gamma</math> ile üretilen ve bu sayıya özgü <math>\mathbb{Q}(\gamma)</math> alt alanını incelemek ve <math>\gamma</math>'nın cebirsel yapısını kullanarak söz konusu alanı parçalara ayırmak daha faydalıdır. <math>\gamma</math>, çizilebilir bir reel sayı olduğunda, bu sayının çizilebilirliğini mümkün kılan formülasyondaki değerlerin kullanılması, her bir <math>i</math> için, <math>\mathbb{Q}(\alpha_1,\dots,a_i)</math>'nın, <math>\mathbb{Q}(\alpha_1,\dots,a_{i-1})</math>'ya kıyasla derecesi 2 olan bir genişlemesi olduğu bir <math>\alpha_1,\dots, a_n=\gamma</math> reel sayı dizisinin oluşturulmasına imkan tanır.{{sfnp|Fraleigh|1994|page=429}} Alternatif bir terminoloji ile ifade edildiğinde, bir reel sayının çizilebilir olması, yalnızca bu sayının, <math>\mathbb{Q}</math> rasyonel alanı ile başlayıp, <math>\gamma</math>'nın bulunduğu <math>K_n</math>'ye kadar uzanan ve her <math>0< j\le n</math> için <math>[K_j:K_{j-1}]=2</math> olan sonlu bir kuadratik genişleme alan kulesinin zirvesindeki bir alanda yer alması durumuna bağlıdır.{{sfnp|Roman|1995|page=59}} Bu ayrışma sürecinden, <math>[\mathbb{Q}(\gamma):\mathbb{Q}]</math> alan genişlemesinin derecesinin, kuadratik genişleme aşamalarının sayısını gösteren <math>r</math> ile <math>2^r</math> olduğu anlaşılır.{{sfnp|Neumann|1998}}

Reel sayıların durumuna paralel olarak, bir karmaşık sayının çizilebilirliği, yalnızca o sayının, sonlu sayıda karmaşık kuadratik genişlemelerden oluşan bir alan kulesinin en üstünde yer alan bir alanda bulunması ile mümkündür. Daha açık bir tanımla, <math>\gamma</math> sayısının çizilebilir olması;
<math display=block>\mathbb{Q} = F_0 \subseteq F_1 \subseteq \dots \subseteq F_n,</math>,
şeklinde bir alanlar dizisi var olduğunda, <math>\gamma</math> sayısının <math>F_n</math> içinde yer alması ve her <math>0<j\le n</math> için <math>[F_j:F_{j-1}]= 2</math> ilişkisinin geçerli olması durumunda gerçekleşir. Bu tanımlama ile reel çizilebilir sayılara ilişkin tanımlama arasındaki temel fark, bu kapsamdaki alanların yalnızca reel sayıları kapsamak zorunda olmayışıdır. Dolayısıyla, bir karmaşık sayı <math>\gamma</math> çizilebilirse, bu durumda <math>[\mathbb{Q}(\gamma):\mathbb{Q}]</math>, ikinin bir kuvveti şeklinde ifade edilir. Ancak, bu gerekli koşul, tek başına yeterli olmayıp; derecesi ikinin bir kuvveti olan fakat kuadratik genişlemeler dizisi ile ayrıştırılamayan alan genişlemelerinin var olduğu durumlar da bulunmaktadır.{{sfnp|Rotman|2006|page=361}}{{sfnp|Rotman|2006|page=362}}

<math>\mathbb{Q}</math> üzerinden kuadratik genişlemelerin kuleleri aracılığıyla oluşturulabilen alanlar, ''<math>\mathbb{Q}</math> için tekrarlanan kuadratik genişlemeler'' olarak adlandırılır. Reel ve karmaşık çizilebilir sayıların oluşturduğu alanlar, <math>\mathbb{Q}</math> üzerinden gerçekleştirilen tüm gerçek veya karmaşık tekrarlanan kuadratik genişlemelerin birleşimlerinden meydana gelir.{{sfnp|Martin|1998|loc=Theorem 2.10, p. 37}}

== Trigonometrik sayılar ==

Trigonometrik sayılar, <math>\pi</math>'nin rasyonel katlarının sinüs veya kosinüs değerleri olarak tanımlanır. Bu tür sayılar daima cebirsel niteliktedir; ancak, bu sayıların her birinin çizilebilir olması zorunlu değildir. Özellikle, <math>2\pi/n</math> açısının sinüsü veya kosinüsü, sadece belirli <math>n</math> sayıları için çizilebilir olma özelliği gösterir:
*[[İkinin kuvveti|İki sayısının kuvvetleri]]
*İki sayısının bir kuvvetine bir eklenmesiyle elde edilen asal sayılar olan [[Fermat sayıları|Fermat asalları]]
*İki sayısının kuvvetlerinin ve birbirinden farklı Fermat asallarının herhangi bir sayıda kombinasyonunun çarpımları.
Buna göre, <math>\cos(\pi/15)</math>, 15 sayısının 3 ve 5 olmak üzere iki Fermat asalının çarpımı olması sebebiyle çizilebilir bir değere sahiptir. Ancak, <math>\cos(\pi/9)</math> (farklı Fermat asallarının bir çarpımı olmadığı için) ve <math>\cos(\pi/7)</math> (bir Fermat asalı olmayan bir [[asal sayı]] olduğu için) çizilebilir sayılar arasında yer almaz.

==İmkansız çizimler==
{{çoklu resim|total_width=600
|image1=01-Würfelverdoppelung-Menaichmos-1.svg|caption1=Bir küp ve onun iki katı
|image2=01 Dreiteilung-Winkel Einleitungsbild.svg|caption2=Bir açı ve onun üçe bölünmesi
|image3=SquareCircle.svg|caption3=Eşit alanlara sahip daire ve kare}}
[[Antik Yunan]]lılar, çözümünü bulamadıkları bazı [[Pergel ve çizgilik çizimleri|pergel ve cetvel]] çizimi problemlerinin sadece zorlu değil, çözümsüz olduğunu varsaymıştır.{{sfnp|Stewart|1989|page=51}} Ancak, birtakım sayıların çizilemezliği, bu tür yapıların mantıken gerçekleştirilemeyeceğini ortaya koymaktadır.{{sfnp|Klein|1897|p=3}} Bununla birlikte, problem kendileri, sadece pergel ve cetvel kullanımıyla sınırlı kalmadan, bu sınırların ötesindeki yöntemlerle çözülebilir; Antik Yunanlılar bu tür çözümleri bilmekteydi. Bu yöntemlerden bir tanesinin, [[Arşimet]]'in [[Neusis çizimi]] yöntemiyle Açının Üçe Bölünmesi problemine getirdiği çözüm olduğu bilinmektedir.<ref>Bu alternatif çözümlerin açıklamaları, {{harvtxt|Knorr|1986}} içeriğinin büyük bir kısmını oluşturur.</ref>

Özellikle, çizilebilir sayılarla ilgili cebirsel ifadeleme, aşağıda belirtilen çizim problemlerinin gerçekleştirilemeyeceğinin ispatlanmasını sağlar:

;[[Delos problemi]]
:Birim karenin iki katına çıkarılması meselesi, ilk kare üzerine, kenarlarının uzunluğu <math>\sqrt2</math> ve yüzölçümü <math>2</math> olan yeni bir kare konumlandırılarak halledilir. Eş anlamda, küpün hacmini iki katına çıkarma sorusu, hacmi <math>2</math> olan bir küp için kenar uzunluğunun <math>\sqrt[3]{2}</math> değerinde tesis edilmesini talep eder. Ancak, bu uzunluk, söz konusu uzunluğun [[minimal polinom (alan teorisi)|minimal polinomu]] olan <math>x^3-2</math>'nin, <math>\Q</math> üstünde üçüncü dereceden olması sebebiyle çizilebilir değildir.<ref>{{harvtxt|Klein|1897|p=13}}; {{harvtxt|Fraleigh|1994|pp=429–430}}</ref> Yalnızca tek bir reel irrasyonel köke sahip olan bu kübik polinom, eğer bir kuadratik reel kök mevcut olsaydı, [[Eşlenik (kare kökler)|kuadratik eşlenik]] yoluyla ikinci bir reel kökün elde edilebileceği varsayımıyla, indirgenemez niteliktedir.{{sfnp|Courant|Robbins|1996|loc=Section III.3.1, "Doubling the cube", pp. 134–135}}
;[[Açının üçe bölünmesi]]
:Bu probleme göre, verilen bir <math>\theta</math> açısından, <math>\theta/3</math> açısının inşa edilmesi gerekmektedir. Cebirsel olarak, açılar [[trigonometrik fonksiyon]]ları, örneğin [[sinüs]]leri veya [[kosinüs]]leri ile temsil edilebilir, bu da verilen [[açı]] ile başlangıç segmenti arasında oluşturulan bir doğru segmentinin son noktasının Kartezyen koordinatlarını verir. Böylece, bir <math>\theta</math> açısı, <math>x=\cos\theta</math> bir çizilebilir sayı olduğunda çizilebilir hale gelir ve açının üçe bölünmesi problemi, <math>\cos(\tfrac{1}{3}\arccos x)</math> inşa edilmesi olarak formüle edilebilir. Örneğin, eşkenar üçgenin <math>\theta=\pi/3=60^\circ</math> açısı pergel ve cetvel ile çizilebilir, burada <math>x=\cos\theta=\tfrac12</math>. Ancak, üçe bölünmüş açısı <math>\theta/3=\pi/9=20^\circ</math> çizilemez, çünkü <math>\cos\pi/9</math> minimal polinomu <math>\Q</math> üzerinde 3 dereceli <math>8x^3-6x-1</math> olur. Bu belirli üçe bölme problemi örneğinin pergel ve cetvel ile çözülemediği için, genel problem de çözülemez.<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1994|sayfalar=429–430}}; {{harvtxt|Courant|Robbins|1996|bölüm=III.3.3, "Açının Üçe Bölünmesi", ss. 137–138}}</ref>
;[[Çemberin kareleştirilmesi|Daireyi kareleştirme]]
:Alanı bir [[birim çember]] ile aynı olan <math>\pi</math> alanına sahip bir karenin kenar uzunluğu <math>\sqrt\pi</math>, bir [[transandantal sayı]] olacaktır. Dolayısıyla, bu kare ve kenar uzunluğu çizilebilir değildir, çünkü <math>\Q</math> üzerinde cebirsel değildir.{{sfnp|Fraleigh|1994|sayfalar=429–430}}

;[[Çizilebilir çokgen]]
:Merkezi orijinde olan düzenli bir <math>n</math>-genin köşeleri arasındaki açılar <math>2\pi/n</math> olacaktır. Çokgen, bu açının kosinüsü bir trigonometrik sayı olduğunda çizilebilir. Bu bağlamda, örneğin, 15-geni çizebilirken, düzenli [[yedigen]] çizilemez, çünkü 7 asal sayıdır fakat bir Fermat asalı değildir.{{sfnp|Fraleigh|1994|sayfa=504}} Yedigenin çizilemezliğinin daha doğrudan bir kanıtı için, düzenli yedigenin köşelerini <math>x^7-1</math> polinomunun karmaşık kökleri olarak temsil edin. <math>x-1</math> faktörünü çıkarıp, <math>x^3</math> ile bölerek ve <math>y=x+1/x</math> ile yer değiştirerek daha basit <math>y^3+y^2-2y-1</math> polinomunu elde edersiniz; bu, üç reel kökü olan indirgenemez bir kübik polinomdur ve her bir kök, bir karmaşık sayı köşenin reel kısmının iki katıdır. Kökleri çizilebilir olmadığı için, yedigen de çizilebilir değildir.{{sfnp|Courant|Robbins|1996|bölüm=III.3.4, ss. 138–139}}

;[[Heysem problemi]]
:İki nokta ve bir dairesel ayna verildiğinde, verilen noktalardan biri diğerinin yansımasını çember üzerinde nerede görür? Geometrik olarak, her bir verilen noktadan yansıma noktasına giden çizgiler, çemberde eşit açılarla ve eşit uzunlukta kirişlerle kesişir. Ancak, bir yansıma noktasını pergel ve cetvel kullanarak çizmek imkansızdır. Özellikle, iki noktası <math>(\tfrac16,\tfrac16)</math> ve <math>(-\tfrac12,\tfrac12)</math> içinde olan bir birim çember için, çözümün koordinatları indirgenemez derece-dört polinomunun <math>x^4-2x^3+4x^2+2x-1</math> köklerini oluşturur. Derecesi iki sayısının kuvveti olmasına rağmen, bu polinomun [[ayrışma alanı]]nın derecesi üç ile bölünebilir, bu yüzden iteratif bir karesel genişletmeden gelmez ve Alhazen Problemi'nin pergel ve cetvelle bir çözümü yoktur.<ref>{{harvtxt|Neumann|1998}}. {{harvtxt|Elkin|1965}}, farklı noktalar ve farklı bir polinom kullanarak aynı sonuca varır.</ref>

== Tarihçe ==

Çizilebilir sayılar kavramının doğuşu, küpün iki katına çıkarılması, bir açının üçe bölünmesi ve dairenin kareye çevrilmesi gibi üç imkansız pergel ve cetvel inşası ile yakından ilişkilidir. Geometrik inşalarda yalnızca pergel ve cetvel kullanımı kısıtlaması sık sık [[Plato|Platon]]'a atfedilir, çünkü bu [[Plutarch|Plutarkhos]]'ta geçen bir bölümden kaynaklanır. Plutarkhos'a göre, Platon, küpün iki katına çıkarılması (Delos) problemini [[Knidoslu Ödoksus|Knidoslu Eudoksos]], [[Archytas]] ve [[Menaechmus]]'a vermiş ve onlar problemi mekanik yöntemler kullanarak çözmüşler, ancak Platon'dan [[sentetik geometri]] kullanarak problemi çözmedikleri için bir azar işitmişlerdir.<ref>Plutarch, ''Quaestiones convivales'' [https://web.archive.org/web/20080815001514/http://ebooks.adelaide.edu.au/p/plutarch/symposiacs/chapter8.html#section80 VIII.ii], 718ef.</ref> Ancak, bu atfın sorgulandığı bilinmektedir,{{sfnp|Kazarinoff|2003|sayfa=28}} kısmen, üçünün de çözüm bulduğu ancak bu çözümlerin pratik değerden yoksun olduğunu söyleyen başka bir hikâye versiyonunun varlığı nedeniyle (bu hikâye, [[Eratosthenes]] tarafından [[Askalonlu Eutokios]]'a atfedilir).{{sfnp|Knorr|1986|sayfa=4}} [[Proclus|Proklos]], [[Rodoslu Eudemos]]'u alıntılayarak, iki cetvel ve pergel inşasını [[Oenopides]]'e (M.Ö. 450 civarı) atfetmiş ve bu, bazı yazarların Oenopides'in kısıtlamayı ortaya koyduğu hipotezini geliştirmelerine yol açmıştır.{{sfnp|Knorr|1986|sf=15–17}} Pergel ve cetvelle yapılan kısıtlama, klasik inşaat problemlerinin çözülemezliği için esastır. Örneğin, açının üçe bölünmesi, antik Yunanlıların bildiği birçok yöntemle yapılabilir. [[Hippias of Elis|Elisli Hippias]]'ın [[Quadratrix of Hippias|Quadratrix'i]], Menaechmus'un [[konik kesitler]]i veya [[Archimedes]]'in işaretli cetveli ([[Neusis inşası|neusis]]) inşası gibi yöntemler kullanılmıştır, aynı zamanda daha modern bir yaklaşım olan [[kağıt katlama matematiği|kağıt katlama]] yöntemi de kullanılmıştır.{{sfnp|Friedman|2018|sf=1–3}}

Klasik üç çizim probleminden biri olmamakla birlikte, cetvel ve pergel ile düzenli çokgenlerin çizimi problemi sıklıkla onlarla birlikte ele alınır. Yunanlılar, <math>n=2^h</math> (herhangi bir <math>h\ge 2</math> tam sayısı için), 3, 5 veya bu sayıların herhangi iki veya üçünün çarpımı ile düzenli {{kayma|<math>n</math>-genler}} çizmeyi biliyordu, ancak diğer düzenli {{kayma|<math>n</math>-genler}} onlara meydan okuyordu. 1796 yılında, o zamanlar 18 yaşında bir öğrenci olan [[Carl Friedrich Gauss]], bir gazetede cetvel ve pergel ile düzenli bir [[Heptadecagon|17-geni]] inşa ettiğini duyurdu.{{sfnp|Kazarinoff|2003|sayfa=29}} Gauss'un yaklaşımı geometrikten ziyade cebirseldi; aslında, poligonu gerçekten inşa etmemiş, ancak merkezi bir açının kosinüsünün bir çizilebilir sayı olduğunu göstermişti. Argüman, 1801 yılında yayımlanan ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' kitabında genelleştirilmiş ve bir düzenli {{kayma|<math>n</math>-genin}} inşası için ''yeterli'' koşulu vermiştir. Gauss, bu koşulun aynı zamanda gerekli olduğunu iddia etti ancak kanıtlamadı ve özellikle [[Felix Klein]],{{sfnp|Klein|1897|sayfa=16}} bu kanıtın bir kısmını ona atfetti.{{sfnp|Kazarinoff|2003|sayfa=30}} [[Heysem problemi]] de klasik üç problemden biri değildir, ancak [[İbnü'l-Heysem]] (Alhazen) adıyla anılmasına rağmen, bir [[Orta Çağ İslam matematiği|ortaçağ İslam matematikçisi]] olmasına karşın, problem zaten ikinci yüzyıldan [[Batlamyus]]'un [[Optik (Batlamyus)|optik üzerine çalışmasında]] yer almaktadır.{{sfnp|Neumann|1998}}

{{harvs|first=Pierre|last=Wantzel|authorlink=Pierre Wantzel|year=1837|txt}} küpün iki katına çıkarılması ve bir açının üçe bölünmesi problemlerinin, yalnızca pergel ve cetvel kullanılarak çözülemeyeceğini cebirsel olarak kanıtladı. Aynı makalede, hangi düzenli çokgenlerin çizilebileceğini belirleyen problemin de çözümünü verdi: bir düzenli çokgenin çizilebilmesi [[ancak ve ancak]] kenar sayısının, bir [[ikinin kuvveti]] ile herhangi sayıda farklı [[Fermat sayıları|Fermat asalı]]nın çarpımı olması durumudur (yani Gauss tarafından verilen yeterli koşullar aynı zamanda gerekli koşullardır).{{sfnp|Martin|1998|s=46}}{{sfnp|Wantzel|1837}} Dairenin kareye çevrilmesinin imkansızlığı üzerine bir kanıt girişimi, [[James Gregory (astronom ve matematikçi)|James Gregory]] tarafından 1667 yılında ''Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura'' (Dairenin ve Hiperbolün Gerçek Kareye Çevrilmesi) adlı eserinde verilmiştir. Kanıtı hatalı olsa da, bu makale, {{pi}}'nin cebirsel özelliklerini kullanarak problemin çözümünü deneyen ilk çalışmadır. Dairenin kareye çevrilmesinin imkansızlığı, [[Ferdinand von Lindemann]] tarafından 1882 yılında, [[Charles Hermite]]'in çalışmalarını genişleterek ve {{pi}}'nin bir [[transandantal sayı]] olduğunu kanıtlayarak kesin olarak ispatlanana kadar kanıtlanmadı.{{sfnp|Martin|1998|s=44}}{{sfnp|Klein|1897|bölüm=IV: Sayı {{pi}}'nin transandantal oluşu, ss. 68–77.}} Heysem problemi'nin pergel ve cetvelle çözülemeyeceği, {{harvtxt|Elkin|1965}}'in çalışmalarına kadar kanıtlanmadı.<ref>{{harvtxt|Elkin|1965}}; ayrıca problemin daha fazla tarihçesi ile bağımsız bir çözüm için bkz. {{harvtxt|Neumann|1998}}.</ref>

Çizilebilir sayıların kendileri üzerine yapılan çalışma, [[René Descartes]] tarafından 1637 yılında yayımlanan kitabı ''[[Yöntem Üzerine Konuşma]]''nın bir ek bölümü olan [[La Géométrie]] ile başlatılmıştır. Descartes, geometrik doğru parçalarına sayılar atayarak, [[İskenderiyeli Pappus]] tarafından öne sürülen antik bir cetvel ve pergel inşaat problemi çözümüyle felsefi yönteminin gücünü sergilemiştir.{{sfnp|Boyer|2004|sayfalar=83–88}}

== Kaynakça ==
{{kaynakça|2|refs=

<ref name="Sansan_2019">{{cite thesis
|last= Sansan
|first= Burcu
|date= 2019
|title= Cisim Genişlemeleri ve Origami Çizimleri
|url= https://matmuh.itu.edu.tr/docs/librariesprovider58/lisansustu-tamamlanmis-tezler/2019/2019_burcu_sansan.pdf?sfvrsn=4d3e6140_2
|degree= Master's Thesis
|chapter= 1.2
|publisher= Istanbul Technical University
|erişim-tarihi= 3 Mart 2024
|arşivurl= https://web.archive.org/web/20240303203018/https://matmuh.itu.edu.tr/docs/librariesprovider58/lisansustu-tamamlanmis-tezler/2019/2019_burcu_sansan.pdf?sfvrsn=4d3e6140_2
|arşivtarihi= 3 Mart 2024
|ölüurl= hayır
}}</ref>

}}

== Bibliografya ==
{{kaynak başı|30em}}
* {{Kaynak|ad=Carl B.|soyadı=Boyer|yazarbağı=Carl Benjamin Boyer|başlık=History of Analytic Geometry|yıl=2004|özgünyıl=1956|yayıncı=Dover|isbn=978-0-486-43832-0|mr=2108489}}
* {{Kaynak | soyadı1 = Courant | ad1 = Richard | yazarbağı1 = Richard Courant | soyadı2 = Robbins | ad2 = Herbert | yazarbağı2 = Herbert Robbins |bölüm= Chapter III: Geometrical constructions, the algebra of number fields |basım=2.2 isbn = 0-19-510519-2 |sayfalar=117-164|yayıncı= Oxford University Press |başlık= What is Mathematics? An elementary approach to ideas and methods |yıl= 1996}}
* {{Kaynak|soyadı=Elkin|ad=Jack M.|tarih=March 1965|sayı=3|dergi=The Mathematics Teacher|jstor=27968003|sayfalar=194-199|başlık=A deceptively easy problem|cilt=58|doi=10.5951/MT.58.3.0194 }}
* {{Kaynak|ad=John B.|soyadı=Fraleigh|başlık=A First Course in Abstract Algebra|basım=5.5yıl=1994|yayıncı=Addison Wesley|isbn=978-0-201-53467-2|mr=0225619}}
* {{Kaynak|ad= Michael|soyadı=Friedman|yayıncı=Birkhäuser|yıl=2018|başlık=A History of Folding in Mathematics: Mathematizing the Margins|başlıkbağı=A History of Folding in Mathematics|seri=Science Networks. Historical Studies |cilt=59 |isbn=978-3-319-72486-7|doi=10.1007/978-3-319-72487-4|mr=3793627}}
* {{Kaynak|ad=I. N.|soyadı=Herstein|yazarbağı=Israel Nathan Herstein|başlık=Abstract Algebra|yıl=1986|yayıncı=Macmillan|isbn=0-02-353820-1|mr=1011035}}
* {{Kaynak|başlık=Number Systems: A Path into Rigorous Mathematics |ad=Anthony|soyadı=Kay|yayıncı=Taylor & Francis|yıl=2021|isbn=978-0-367-18065-2}}
* {{Kaynak|ad=Nicholas D.|soyadı=Kazarinoff|yazarbağı=Nicholas D. Kazarinoff|başlık=Ruler and the Round: Classic Problems in Geometric Constructions|yıl=2003|özgünyıl=1970|yayıncı=Dover|isbn=0-486-42515-0|mr=1963960}}
* {{Kaynak|ad=Felix|soyadı=Klein|yazarbağı=Felix Klein|başlık=Famous Problems of Elementary Geometry|yıl=1897|yayıncı=Ginn & Co|translator1-first=Wooster Woodruff|translator1-last=Beman|translator2-first=David Eugene|translator2-last=Smith|url=https://archive.org/details/famousproblemse00kleigoog }}
* {{Kaynak|başlık=The Ancient Tradition of Geometric Problems|başlıkbağı= The Ancient Tradition of Geometric Problems |seri=Dover Books on Mathematics|ad=Wilbur Richard|soyadı=Knorr|yazarbağı=Wilbur Knorr|yayıncı=Courier Dover Publications|yıl=1986|isbn=978-0-486-67532-9|mr=0884893 }}
* {{Kaynak|başlık=Abstract Algebra: A Comprehensive Introduction|seri=Cambridge Mathematical Textbooks|ad1=John W.|soyadı1=Lawrence|ad2=Frank A.|soyadı2=Zorzitto|yayıncı=Cambridge University Press|yıl=2021|isbn=978-1-108-86551-7}}
* {{Kaynak|soyadı=Martin|ad=George E.|doi=10.1007/978-1-4612-0629-3|isbn=0-387-98276-0|mr=1483895|yayıncı=Springer-Verlag, New York|seri=Undergraduate Texts in Mathematics|başlık=Geometric Constructions|başlıkbağı=Geometric Constructions|yıl=1998}}
* {{Kaynak|ad=Edwin E.|soyadı=Moise|yazarbağı=Edwin E. Moise|başlık=Elementary Geometry from an Advanced Standpoint|yıl=1974|basım=2.2yayıncı=Addison Wesley|isbn=0-201-04793-4|mr=0344984 }}
* {{Kaynak|soyadı=Neumann|ad=Peter M.|yazarbağı=Peter M. Neumann|doi=10.2307/2589403|sayı=6|dergi=American Mathematical Monthly|mr=1626185|sayfalar=523-528|başlık=Reflections on reflection in a spherical mirror|cilt=105|yıl=1998|jstor=2589403 }}
* {{Kaynak|ad=Steven|soyadı=Roman|yazarbağı=Steven Roman|başlık=Field Theory|yıl=1995|yayıncı=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-94408-1|mr=1329733}}
* {{Kaynak|ad=Joseph J.|soyadı=Rotman|yazarbağı=Joseph J. Rotman|başlık=A First Course in Abstract Algebra with Applications|basım=3.3yıl=2006|yayıncı=Prentice Hall|isbn=978-0-13-186267-8}}
* {{Kaynak|ad=Ian|soyadı=Stewart|yazarbağı=Ian Stewart (mathematician)|başlık=Galois Theory|basım=2.2yıl=1989|yayıncı=Chapman and Hall|isbn=978-0-412-34550-0|mr=1036521 }}
* {{Kaynak|ad= P. L.|soyadı= Wantzel|yazarbağı=Pierre Wantzel|başlık= Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas |dergi= Journal de Mathématiques Pures et Appliquées|yıl= 1837|cilt= 1|sayı= 2|sayfalar=366-372|url = http://visualiseur.bnf.fr/ConsulterElementNum?O=NUMM-16381&Deb=374&Fin=380&E=PDF}}
{{kaynak sonu}}

==Dış bağlantılar==
{{commons kategori|Constructible numbers}}
* {{MathWorld |title=Constructible Number |urlname=ConstructibleNumber|mod=cs2|ref=none}}
* [http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/rational.shtml Constructible Numbers] at [[Cut-the-knot]]

{{sayılar}}

[[Kategori:Sayılar]]
[[Kategori:Öklid düzlem geometrisi]]
[[Kategori:Cebirsel sayılar]]