Borell-Brascamp-Lieb eşitsizliği

Matematikte Borell-Brascamp-Lieb eşitsizliği bir integral eşitsizliğidir. Temelinde birçok matematikçi tarafından elde edilmiş olan bu eşitsizlik Christer Borell, Herm Jan Brascamp ve Elliott Lieb adlı matematikçilerin adını taşımaktadır.

Eşitsizliğin ifadesi

$0<\lambda <1$ ve $q\in [-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$ olmak üzere, $M_q:{ℝ}^{\ge 0}\times {ℝ}^{\ge 0}\times (0,1)\to ℝ$ fonksiyonu

• $q=0$ için

$M_0(a,b,\lambda )=a^{1-\lambda }{b}^{\lambda }$

• $q=-\mathrm{\infty }$ için

$M_{-\mathrm{\infty }}(a,b,\lambda )=\min (a,b)$

• $q=+\mathrm{\infty }$ için

$M_{+\mathrm{\infty }}(a,b,\lambda )=\max (a,b)$

• $q\ne -\mathrm{\infty },0,+\mathrm{\infty }$ için

$\begin{array}{c}{M}_q(a,b,\lambda )=\{\begin{array}{cc}{((1-\lambda )a^q+\lambda b^q)}^{1/q}& ab\ne 0\text{ ise}\\ 0& ab=0\text{ ise}\end{array}\end{array}$

olarak tanımlansın. İntegrallenebilir olan $f,g,h:{ℝ}^n\to [0,+\mathrm{\infty })$ fonksiyonları her $x,y\in {ℝ}^n$ için

$h((1-\lambda )x+\lambda y)\ge M_p(f(x),g(y),\lambda )$

eşitsizliğini sağlıyorsa, o zaman

$\begin{array}{c}{\alpha }_{n,p}=\{\begin{array}{cc}\frac{p}{np+1}& p\ne \pm \frac{1}{n}\text{ ve }p\in [\frac{-1}{n},+\mathrm{\infty }]\\ +\mathrm{\infty }& p=\frac{1}{n}\\ -\mathrm{\infty }& p=\frac{-1}{n}\end{array}\end{array}$

olmak üzere

$\underset{{ℝ}^n}{\int }h(x)\mathrm{d}x\ge M_{{\alpha }_{n,p}}(\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)\mathrm{d}x,\underset{{ℝ}^n}{\int }g(x)\mathrm{d}x,\lambda )$

eşitsizliği vardır.

Eşitsizlik, Henstock ve Macbeath tarafından 1953'te $p>0$ durumu için kanıtlanmıştır. $p=0$ durumu ise Prékopa-Leindler eşitsizliği olarak bilinmektedir. Eşitsiliğin burada ifade edilen daha genel hali Borell tarafından 1975 yılından, Brascamp ve Lieb tarafından 1976 yılında tekrar elde edilmiştir. Borell-Brascamp-Lieb eşitsizliği adı yine aynı eşitsizliği 2001 yılında Riemann manifoldlarına genelleştiren Cordero-Erausquin, McCann ve Schmuckenschläger tarafından verilmiştir.