Çok değişkenli karmaşık analiz sayfasının kaynağını görüntüle

{{Karmaşık analiz kenar çubuğu}}

[[Matematik]]te, '''çok değişkenli karmaşık analiz''' ya da '''çok boyutlu karmaşık analiz''', [[karmaşık koordinat uzayı]] <math>\mathbb C^n</math>de ya da bu uzayın altkümeleri üzerinde  tanımlı ve [[Karmaşık sayı|karmaşık değer]] alan fonksiyonların teorisi; yani, ''birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonların teorisi''dir. Değişken sayısından bağımsız olarak karmaşık analize ''karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi'' de denilir.

[[Karmaşık analiz]], değişken sayısından bağımsız olarak [[Analiz (matematik)|analizin]] genel bir alt disiplininin adı olarak bilinse de, ''karmaşık analiz'' kavramından ekseriyetle kökleri [[Leonhard Euler|Euler]] ve daha öncesine kadar giden ve [[karmaşık düzlem]]de yapılan [[karmaşık analiz|bir değişkenli karmaşık analiz]] anlaşılır. Birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi, karmaşık analizden önemli noktalarda farklılık gösterir ve bazı matematik cemiyetlerince ayrı araştırma alanı olarak [[Matematik Konu Sınıflandırması|sınıflandırılmıştır]]. Mesela, bir değişkenli karmaşık analiz, hem Avrupa hem de ABD araştırma cemiyetlerince araştırma alanı olarak 30 rakamıyla, çok değişkenli karmaşık analiz ve analitik uzaylar ise 32 rakamıyla sınıflandırılmıştır.<ref>{{Web kaynağı | url = https://mathscinet.ams.org/mathscinet/msc/msc2020.html?t=30-XX&s=&btn=Search&ls=Ct | başlık = AMS Mathscinet sınıflandırma sayfası-30 | tarih = 3 Eylül 2024 | arşivurl = https://web.archive.org/web/20230606064954/https://mathscinet.ams.org/mathscinet/msc/msc2020.html?t=30-XX&s=&btn=Search&ls=Ct | arşivtarihi = 6 Haziran 2023}}
{{Web kaynağı | url = https://zbmath.org/classification/?q=cc%3A30 | başlık = zbMath Open sınıflandırma sayfası-30 | tarih = 3 Eylül 2024 | arşivurl = https://web.archive.org/web/20200614133427/https://zbmath.org/classification/?q=cc%3A30 | arşivtarihi = 14 Haziran 2020}}
</ref><ref>{{Web kaynağı | url = https://mathscinet.ams.org/mathscinet/msc/msc2020.html?t=32-XX&s=&btn=Search&ls=Ct | başlık = AMS Mathscinet sınıflandırma sayfası-32 | tarih = 3 Eylül 2024 | arşivengelli = evet}}
{{Web kaynağı | url = https://zbmath.org/classification/?q=cc%3A32 | başlık = zbMath Open sınıflandırma sayfası-32 | tarih = 3 Eylül 2024 | arşivurl = https://web.archive.org/web/20200613221914/https://zbmath.org/classification/?q=cc%3A32 | arşivtarihi = 13 Haziran 2020}}
</ref>

[[Karmaşık analiz|Tek karmaşık değişkenli fonksiyonların teorisinde]] olduğu gibi bu alanda da ilk başta incelenen fonksiyonlar genelde [[Holomorf fonksiyon|holomorf]] veya başka bir deyişle ''karmaşık analitik''tir. Dolayısıyla, tanımlı oldukları noktalarda yerel olarak {{mvar|z<sub>i</sub>}} karmaşık değişkenlerinde [[Kuvvet serisi|kuvvet serileri]] ile temsilleri vardır. Başka bir denk ifadeyle, [[Karmaşık koordinat uzayı|çok boyutlu karmaşık uzayda]], holomorf fonksiyonlar [[polinom]]ların yerel olarak [[düzgün yakınsaklık|düzgün limit]]leridir veya <math>n</math> boyutlu [[Cauchy-Riemann denklemleri]]nin yerel olarak [[Lp uzayı|kare-integrallenebilir]] çözümleridir.<ref name="Hörmander1965">{{dergi kaynağı |doi=10.1007/BF02391775|başlık=L<sup>2</sup> estimates and existence theorems for the <math>\bar \partial</math> operator |yıl=1965 |soyadı1=Hörmander |ad1=Lars |dergi=Acta Mathematica |cilt=113 |sayfalar=89-152|s2cid=120051843}}</ref><ref>{{kitap kaynağı |isbn=978-1-4704-4636-9|başlık=Analysis of Several Complex Variables|soyadı1=Ohsawa|ad1=Takeo|yıl=2002|url={{Google books|IXhoWbo1oCkC|title=Analysis of Several Complex Variables|page=18-IA8|plainurl=yes}}}}</ref><ref name =Błocki2014>{{dergi kaynağı |doi=10.1007/s13373-014-0058-2|başlık=Cauchy–Riemann meet Monge–Ampère|yıl=2014|soyadı1=Błocki|ad1=Zbigniew|dergi=Bulletin of Mathematical Sciences|cilt=4|sayı=3|sayfalar=433-480|s2cid=53582451}}</ref>

Çok değişkenli karmaşık analizin tek değişkenli analizden farklılık gösterdiği en önemli nokta [[Holomorfluk bölgesi|holomorfluk bölgeleri]]dir. Ayrıca, [[Riemann gönderim teoremi]] gibi karmaşık analizin en temel ve güçlü teoremlerinden birisi yüksek boyutlarda en basit bölgeler arasında bile geçerli değildir. Holomorf fonksiyonların  sıfır kümelerinin topolojisi yüksek boyutlarda karmaşık düzlemde gözlemlendiği gibi [[Ayrık küme|kesikli]] bir yapıya sahip değildir. [[Weierstrass çarpım teoremi]] ve [[Mittag-Leffler teoremi]]ne paralel olarak, [[meromorf fonksiyon]]ların yerel bilgilerinden (yani [[Sıfır (karmaşık analiz)|sıfırlarından]] ve [[Kutup (karmaşık analiz)|kutuplarından]]) faydalanarak bu kutuplardan oluşan kümeler hariç her yerde meromorf olan fonksiyon oluşturma problemi çok değişkenli karmaşık analizde '''[[Cousin problemleri]]''' olarak adlandırılır.

Günümüzde, çok değişkenli karmaşık analizde yapılan araştırma çalışmaları [[cebirsel geometri]], [[diferansiyel geometri]], [[matematiksel analiz]] ve [[Kısmi diferansiyel denklem|kısmî diferansiyel denklemler]] gibi matematiğin değişik alanlarıyla simbiyotik bir ilişki içerisindedir. Özellikle, bu alanda yapılan çalışmalar, tıkız kompleks manifoldlar ve [[kompleks projektif varyete]] (<math>\mathbb{CP}^n</math>) alanındaki araştırmalar için önem teşkil etmektedir. Bu çalışmalar, <math>\mathbb{C} ^{n}</math>'de yapılan kompleks analitik geometri veya [[Stein manifoldu]] üzerine yapılan çalışmalara değişik bir bakış açısı sağlar.

==Alanın adı hakkında==
Alanın adı, Türkçedeki ve daha birçok gelişmiş dildeki sayma sistemlerinde ''birden fazla'' anlamına gelen bir kelimenin bulunmamasından dolayı ilk okunduğunda garip bir anlaşılmazlık yaratır. Aslında, yazılmak istenen ''Birden fazla karmaşık değişkenli ve karmaşık değerler alan fonksiyonlar teorisi'' ifadesidir; ancak, bu ifadenin uzunluğundan dolayı kısa ve tanımlayıcı bir alan adına doğal olarak yönelim olmuştur.

Birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonların teorisine yönelik en erken çalışmalar, çoğunlukla [[Almanca]] ve Fransızca yazılmış makalelerde, iki veya hesaplama yapmanın kolay olduğu ''birkaç karmaşık değişkenli'' durumda rastlanır. Bu sebeple, bu alanda araştırmalara öncülük yapmış  bilim dilleri olan Almanca ''mehrerer komplexer Veränderlichen'' ve Fransızca ''plusieurs variables complexes'' ifadelerinin kullanımı yayılmış,  İngilizceye de ''Several Complex Variables'' olarak geçmiştir<ref group="not">Alanın İngilizce adının ''Several Complex Variables'' olarak yaygınlaşmasında büyük ihtimalle [[William Fogg Osgood|William Osgood]]'un  rolü büyüktür.</ref>. Bu alandaki öncü makalelerden olan [[Eugenio Elia Levi]]'nin [[İtalyanca]] makalesi de ''iki veya daha fazla karmaşık değişkenli fonksiyonlar'' tabirini kullanmış olsa da,<ref name="Levi">{{Kaynak
|soyadı= Levi
|ad= Eugenio Elia
|başlık= Studii sui punti singolari essenziali delle funzioni analitiche di due o più variabili complesse
|çeviribaşlık= İki veya daha fazla karmaşık değişkenli fonksiyonların esaslı tekillikleri üzerine çalışmalar
|dil= it
|dergi= [[Annali di Matematica Pura ed Applicata]]
|seri= s. III
|cilt= XVII
|sayı= 1
|sayfalar=61-87|yıl= 1910
|doi= 10.1007/BF02419336
|jfm= 41.0487.01
|url= https://zenodo.org/record/2269099
|kaynak= {{harvnb|Levi|1910}}
|erişimtarihi= 26 Eylül 2024
|arşivurl= https://web.archive.org/web/20210418170905/https://zenodo.org/record/2269099
|arşivtarihi= 18 Nisan 2021
|ölüurl= hayır
}}</ref> modern İtalyancada kullanılan tabir ''Funzioni di più variabili complesse'' ifadesidir ki buradaki ''più'' sözü ''daha çok/fazla'' anlamı verir. Türkçedeki ''Çok değişkenli karmaşık analiz'' kullanımı, Rusçadaki ''Многомерный комплексный анализ'' (''Çok boyutlu kompleks analiz'') kullanımıyla benzerlik göstermektedir.

19. yüzyılın sonlarında ve 20. yüzyılın başlarında çok karmaşık değişkenli fonksiyonlar üzerine yapılan ve hızlanmaya başlayan araştırmalar ve tek değişkenli [[karmaşık analiz]]den farklılık göstermeye başlayan sonuçlar elde edilmesiyle beraber, bu alanda daha önceden beri çalışılagelen düşük boyutlu [[Karmaşık koordinat uzayı|karmaşık koordinat uzaylarındaki]] tanımlı fonksiyonlar yerlerini, <math>n</math> birden fazla herhangi bir tam sayı olacak şekilde, <math>n</math> boyutlu karmaşık koordinat uzayının açık kümelerinde tanımlı fonksiyonlara bırakmaya başlamıştır. Aslında, demek istenen ne ''birkaç'' ne de ''çok'' sözüdür. Sadece, ''birden fazla'' karmaşık değişkenin göz önüne alındığı ama bu sayının genel tutulup aşikâr edilmediği ima edilmektedir.

== Tarihi ==
Birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonların incelenmesi tarihi olarak en azından 19. yüzyılın başlarına kadar götürülse de, 20. yüzyıl başlarında bir değişkenli karmaşık analizden keskin bir şekilde ayrılan sonuçların elde edilmesiyle beraber, teori <math>n\ge 2</math> için yeni bir disiplin olarak doğmuştur. [[Friedrich Moritz Hartogs|Hartogs]]'un 1906'da <math>\mathbb{C}^2</math>'deki bazı bölgelerin [[holomorfluk bölgesi]] olamayacağını göstermesi<ref name=Hartogs1906>{{Kaynak|soyadı= Hartogs|ad= Fritz|yazarbağı= Friedrich Hartogs|başlık= Einige Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel bei Funktionen mehrerer Veränderlichen.|dergi= Sitzungsberichte der Königlich Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München, Mathematisch-Physikalische Klasse|dil= de|cilt= 36|sayfalar=223-242|yıl= 1906| url = https://archive.org/stream/bub_gb_N-sAAAAAYAAJ#page/n229/mode/1up| jfm = 37.0443.01
}}</ref> ve [[Henri Poincaré|Poincaré]]'nin  karmaşık düzlemdeki iki birim diskin kartezyen çarpımıyla <math>\mathbb{C}^2</math>'deki birim yuvarın birbirine Riemann dönüşüm teoremindeki gibi denk olmayacağını göstermesi<ref>{{Akademik dergi kaynağı |soyadı1=Poincare |ad1=M. Henri |yazarbağı=Henri Poincaré |başlık=Les fonctions analytiques de deux variables et la représentation conforme |dergi=Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo |tarih=1907 |cilt=23 |sayfalar=185-220|dil=fr |doi=10.1007/BF03013518 |s2cid=123480258 |url=https://zenodo.org/record/2037590 |erişim-tarihi=26 Eylül 2024 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20221218121631/https://zenodo.org/record/2037590 |arşivtarihi=18 Aralık 2022 |ölüurl=hayır }}</ref> çok değişkenli karmaşık analizin doğuşuna sebep olan öncü iki çalışmadır.

=== İlk kaynaklar ===
Çok değişkenli karmaşık analizin [[Fritz Hartogs|Hartogs]] ve [[henri Poincaré|Poincaré]] ile başlayan çağında altın kaynak vazifesi gören çalışmalar [[Felix Klein]] öncülüğünde başlatılan Almanca matematik ansiklopedisi ''Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen (EMW)''<ref group="not">Tr. (yaklaşık çeviri) ''Uygulamalarıyla beraber matematiksel bilimler ansiklopedisi''</ref> bünyesinde bulunmaktadır.<ref group="not">1898 yılından 1933 yılına kadar devam ettirilen bu ansiklopedi projesinde yaklaşık 20000 sayfayı bulan matematik çalışması 6 cilt (Alm. ''Bände'') altında kümelenmiştir. Her bir cildin içeriği ise kitaplar halinde yayınlanmıştır.</ref> EMW'nin ''Analiz''e ayrılan ikinci cildi beş ayrı kitap olarak yayınlanmıştır.
:Bd.2-2 olarak numaralandırılan ikinci cildin üçüncü kitabının [[William Osgood]] tarafından 1901'de yazılan ''Allgemeine Theorie analytischen Funktionen einer und mehrerer komplexer Variabler''<ref>W. F. Osgood, [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=193096 ''Allgemeine Theorie der analytischen Funktionen einer oder mehrerer komplexer Grössen.'' (Bir ve birkaç karmaşık değişkenli analitik fonksiyonlarının genel teorisi)],  ''Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen.'' (''Almanca'')</ref> başlıklı kısmı ilk derli toplu kaynaktır. Dört alt başlık altında toplanan bu çalışmanın son kısmında ise ''Birkaç karmaşık değişkenli analitik fonksiyonlar'' ele alınmıştır.<ref group="not">Çalışmanın birinci kısmında ''Bir karmaşık değişkenli analitik fonksiyonların genel teorisinin temelleri'' verilmiştir. İkinci kısımda ''Geometrik fonksiyon teorisi'' ele alınmış; üçüncü kısım ise ''Analitik fonksiyonların sonsuz seriler ve çarpımlarla temsil edilmesi yoluyla incelenmesi''ne ayrılmıştır.</ref>

:Bd. 2-3-1 olarak numaralandırılan ikinci cildin dördüncü kitabının [[Ludwig Bieberbach]] tarafından 1920'de yazılan ''Neuere Untersuchungen über Funktionen von komplexen Variablen''<ref>L. Bieberbach, [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=185786 ''Neuere Untersuchungen über Funktionen von komplexen Variablen.'' (Karmaşık değişkenli fonksiyonların üzerine yapılan son çalışmalar)],  ''Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen.'' (''Almanca'')</ref>  başlıklı kısmı [[William Osgood]]'un daha önceki [[ansiklopedi]] çalışması ve bu ansiklopedi çalışmasından genişletilerek yazılan ''Lehrbuch der funktionentheorie'' kitabından sonra yapılmış ikinci ciddi kaynak çalışmadır. Onbir ayrı başlıkta yazılan bu çalışmanın son kısmında ''Birkaç karmaşık değişkenli analitik fonksiyonlar'' ve Osgood'un ansiklopedi çalışmasından sonra bu alanda meydana gelen yeni gelişmeler ele alınmıştır.

Osgood'un yazdığı ansiklopedi makalesi daha sonra yine William Osgood tarafından yazılan birinci baskısı 1907'de, ikinci baskısı ise 1912'de yapılan iki ciltlik ''Lehrbuch Der Funktionentheorie''<ref>"Lehrbuch der funktionentheorie, von dr. W. F. Osgood." [[Michigan Üniversitesi]] ''Tarihi Matematik Kolleksiyonu''nda. https://name.umdl.umich.edu/acm2537.0001.001. [[Michigan Üniversitesi]] Kütüphanesi Dijital Kolleksiyonlar. Erişim tarihi: 3 Ekim 2024.</ref> çalışmasına temel oluşturmuştur.<ref group="not">Bu kitabın ilk baskısı üç kısımdan oluşmuştur: birinci kısım, gerçel değişkenli fonksiyonlar teorisindeki teoremler ve sonuçlara, ikinci kısım analitik fonksiyonlar teorisine, üçüncü kısım ise daha önceki kısımların eliptik fonksiyonlar, seriler ve sonsuz çarpımlar, elamanter fonksiyonlar ve logaritmik potansiyel gibi uygulamalarına ayrılmıştır. 1912'deki ikinci baskıda ise bir önceki baskıdanki üçüncü kısmın son ünitesi ikiye ayrılmış ve ortaya kitabın dördüncü kısmı olarak logaritmik potansiyeller, açıkorur temsiller ve analitik fonksiyonların birbiçimlendirilmesi hakkında yeni malzemeler eklenmiştir.</ref><ref>{{Akademik dergi kaynağı|title=Osgood's Theory Of Functions''-Lehrbuch der Funktionentheorie. Von DR. W. F. OSGOOD. Erster Band mit 158 Figuren. Zweite Auflage. (Bd. XX: 1, B. G. Teubner's Sammlung von Lehrbüchern auf dem Gebiete der mathematischen Wissenschaften.) B. G. Teubner, 1912. 8vo. xii + 766 pp.)|year=1914|author=Edward B. Van Vleck|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|volume=20|issue=10|pages=532–546|url=https://www.ams.org/journals/bull/1914-20-10/S0002-9904-1914-02548-0/S0002-9904-1914-02548-0.pdf|erişim-tarihi=12 Ekim 2024|arşivurl=https://web.archive.org/web/20220616181202/https://www.ams.org/journals/bull/1914-20-10/S0002-9904-1914-02548-0/S0002-9904-1914-02548-0.pdf|arşivtarihi=16 Haziran 2022|ölüurl=hayır}}</ref> Osgood, ayrıca bu alandaki ilk İngilizce eserlerden biri olan ''Topics in the theory of functions of several complex variables''<ref>William Fogg Osgood, ''Topics in the Theory of Functions of Several Complex Variables'' (''Birkaç karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisinde konular'').  New York, American Mathematical Society, 1914 (İngilizce).</ref> adlı derleme kitabını yazmıştır.  Yine, aynı yılda, [[Andrew Forsyth]] tarafından 1913'te [[Kalküta Üniversitesi|Kalküta Üniversitesi'nde]] verdiği derslerden derlenen başka bir İngilizce kitap da yayınlanmıştır<ref>{{Kitap kaynağı|yazar=Andrew Russell Forsyth|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39076006343250&seq=7|başlık=''Lectures Introductory to the Theory of Functions of Two Complex Variables''|yayıncı=Cambridge University Press|yıl=1914}}</ref>; ancak, bu kitap oldukça eleştirilmiştir.<ref>{{Kitap kaynağı |başlık= A Mathematician's Miscellany | soyadı1 = Littlewood | ad1 = John Edensor |sayfa= [https://archive.org/details/littlewoodsmisce0000litt/page/135 135] |alıntı= A. R. Forsyth, iki değişkenli karmaşık değişkenli fonksiyonlar üzerine [[Cambridge University Press]]'ten çıkan bir kitap yayınlamıştır. Baştan aşağıya kötü bir kitap. |yayıncı= [[Cambridge University Press]] |yıl= 1986 | isbn = 9780521337021 |yazarbağı= John Edensor Littlewood | url = https://archive.org/details/littlewoodsmisce0000litt/page/135 }}</ref><ref>{{Akademik dergi kaynağı|doi=10.1090/S0002-9904-1918-03119-4|başlık=Book Review: ''Lectures Introductory to the Theory of Functions of Two Complex Variables''|yıl=1918|soyadı1=Carmichael|ad1=R. D.|dergi=Bulletin of the American Mathematical Society|cilt=24|sayı=9|sayfalar=446-455|s2cid=44682430}}</ref>

1934'te [[Heinrich Behnke]] ve [[Peter Thullen]] tarafından yazılan ve 1970'te tekrar baskısı yapılan ''Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlicher'' başlıklı kitap<ref>{{Kitap kaynağı |yazar1=[[Heinrich Behnke]] |yazar2=[[Peter Thullen]] |tarih=1934 |başlık=Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlicher |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-99659-7 |yer=Berlin, Heidelberg |yayıncı=Springer Verlag |dil=De |seri=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete |isbn=978-3-642-98844-8 |erişim-tarihi=12 Ekim 2024 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20230210094244/https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-99659-7 |arşivtarihi=10 Şubat 2023 |ölüurl=hayır }}</ref> uzun yıllar boyunca ana kaynak vazifesi görmüştür. 1948'te [[Salomon Bochner]] ve [[William Ted Martin]] tarafından yazılan ''Several Complex Variables'' adlı kitap<ref>
{{Kitap kaynağı|yazar1=Salomon Bochner|yazar2=William Ted Martin| url=https://ia601407.us.archive.org/35/items/in.ernet.dli.2015.212801/2015.212801.Several-Complex.pdf|başlık=''Several Complex Variables''|yayıncı=Princeton University Press|seri=Princeton Mathematical Series, vol. 10|yıl=1948}}</ref> ise 1950'den önce yazılmış ve uzun süre kaynak vazifesi görmüş bir başka kitaptır.

=== Gelişimi ===
[[Friedrich Hartogs]], [[Pierre Cousin]] ve [[Eugenio Elia Levi]]'nin öncü çalışmaları ve [[Kiyoshi Oka]]'nın 1930'ların ortalarından itibaren seri halinde yayınladığı çalışmalarıyla genel bir teorinin anahatları ortaya çıkmaya başladı. Bu dönemde, bu alanda çalışan diğer matematikçiler arasında öne çıkan isimler [[Heinrich Behnke]], [[Peter Thullen]], [[Karl Stein]], [[Wilhelm Wirtinger]] ve [[Francesco Severi]]'ydi. Hartogs, <math>n>1</math> iken her analitik fonksiyon <math> f : \Omega\subset\mathbb C^n \to \Complex</math> için, korunmalı (yalıtık) her tekilliğin aslında kaldırılabilir tekillik olması gerektiği gibi bazı temel sonuçları kanıtladı.

1945'ten sonra Fransa'da [[Henri Cartan]]'ın ve Almanya'da [[Hans Grauert]] ve [[Reinhold Remmert]]'in seminerlerinde yapılan önemli çalışmalar, teorinin resmini hızla değiştirdi. Özellikle analitik devamlılıkla âlâkalı olmak üzere bir dizi konu açıklığa kavuşturuldu. Özellikle, [[Levi problemi]]nin cözülmesiyle, tek değişkenli teoriden farklılaşan sonuçlar açıkça ortaya konuldu: açık ve bağlantılı her <math>D\subset\mathbb C</math> kümesi için, bu kümenin sınırı üzerinde analitik olarak hiçbir yerde devam etmeyecek bir fonksiyon bulabiliriz; ama, durum <math>n>1</math> iken böyle değildir. Aslında, bu türden <math>D</math>'ler [[karmaşık koordinat uzayı]]  <math>\mathbb {C}^{n}</math> ve [[Stein manifoldu|Stein manifoldları]] özelinde [[sözde dışbükeylik]] adı verilen bir şartı sağlamaktadır.

== Holomorfluk tanımı ==
Bir değişkenli karmaşık analizdeki her noktada karmaşık türevlenebilme üzerinden yapılan holomorfluk tanımı, çok değişkenli analizde de benzer şekilde geçerlidir. <math>\Omega</math> [[karmaşık düzlem]]de açık bir küme olmak üzere, <math>f:\Omega\mapsto \mathbb C</math> fonksiyonunun <math>z_0\in\Omega</math> noktasında holomorf olması için verilen 
:<math>f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 } </math>
tanımı, <math>n\ge 2</math> iken, her bir karmaşık değişken için (diğerleri sabit tutularak) ayrı ayrı istenir. Diğer deyişle, <math>\Omega</math> bu sefer <math>n</math> boyutlu [[karmaşık koordinat uzayı]] <math>\mathbb C^n</math>de açık bir küme olmak üzere, bir <math>g:\Omega\mapsto \mathbb C</math> fonksiyonunun holomorfluğu için 
:<math>\omega \mapsto f(z_1,\dots,z_{i-1},\omega,z_{i+1},\dots,z_n)</math>
gönderimlerinin her bir koordinatta ayrı ayrı holomorf olması yeterlidir. Bazen, holomorfluk için, [[Osgood önsavı]]nın gerektirdiği üzere, süreklilik varsayımı da eklenir; ancak, bu varsayım, [[Hartogs teoremi]] sayesinde gereksizdir.

=== Denk tanımlar ===
==== Karmaşık türevlenebilme ====
<math>\Omega\subset \mathbb{C}^n</math> bölgesinde tanımlı ve <math>\mathbb{C}</math>'de değer alan bir <math>f</math> fonksiyonunun bir <math>z\in \Omega</math> noktasında holomorfluğu için bu noktada karmaşık-türevlenebilmesi yeterlidir. Diğer deyişle,
:<math>
f(z+h) = f(z) + L(h) + o(\lVert h\rVert)
</math>
denkliğini sağlayacak karmaşık-doğrusal bir <math>L:\mathbb{C}^n \to \mathbb{C}</math> gönderimi varsa, o zaman <math>f</math>'ye  <math>z</math> noktasında holomorftur denilir. Eğer, <math>f</math> fonksiyonu, <math>\Omega</math> tanım kümesinin tüm noktalarında holomorf ise o zaman <math>f</math>ye (<math>\Omega</math> üzerinde) holomorftur denir.

==== Cauchy-Riemann denklemleri ====
{{Ana|Cauchy-Riemann denklemleri}}
[[karmaşık analiz|Bir değişkenli karmaşık analizde]], <math>f:\Omega\subset \mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> fonksiyonunun 
bir <math>p\in \Omega</math> noktasında holomorf olması için bu fonksiyonun gerçel kısmı <math>u</math> ve sanal kısmı <math>v</math>'nin [[Cauchy–Riemann denklemleri|Cauchy-Riemann denklemlerini]] <math>p</math> noktası etrafında sağlaması gerekli ve yeterlidir.
<math display="block">\frac{\partial u}{\partial x}(p) = \frac{\partial v}{\partial y}(p) \quad \text{ ve } \quad\frac{\partial u}{\partial y} (p)=-\frac{\partial v}{\partial x}(p)</math>

Çok değişkenli karmaşık analizde, bir <math>f:\Omega\subset \mathbb{C}^n\to \mathbb{C}</math> fonksiyonunun holomorf olması ancak ve ancak her koordinata karşılık gelen değişkende holomorf olmasıyla mümkündür. Bu da, bir karmaşık değişkenli analizdeki sonuçlardan yola çıkarak, fonksiyonun her koordinat değişkenindeki gerçel kısmı  <math>u</math> ve sanal kısmı <math>v</math>'nin Cauchy-Riemann denklemlerini sağlamasıyla mümkündür:
<math display="block">\forall i\in \{1,\dots,n\},\quad\frac{\partial u}{\partial x_i} = \frac{\partial v}{\partial y_i} \quad \text{ ve } \quad\frac{\partial u}{\partial y_i} = -\frac{\partial v}{\partial x_i}</math>

[[Wirtinger türevi]] gösterimi kullanırsak, o zaman 
<math display="block">\forall i\in \{1,\dots,n\},\quad \frac{\partial f}{\partial \overline{z_i}} = 0,</math>
yazılabilir. Fonksiyon, [[karmaşık diferansiyel form]]ların <math>(0,0)</math>-dereceli bir hali olduğu için, Cauchy-Riemann denklemleri derli toplu bir şekilde <math>\bar\partial f=0</math> olarak da yazılabilir.

{{Ayrıca bakınız|Looman-Menşov teoremi}}

==== Kuvvet serisi temsili ====
<math>\mathbb{N}^n=\{(\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n)| \alpha_i \in \mathbb{N}\quad \forall i=1, \ldots, n\}</math> kümesi <math display="inline">n</math>-boyutlu [[doğal sayı]]lar kümesi  olsun. <math>\alpha, \beta \in \mathbb{N}^n</math> ve <math>X = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n</math> için aritmetik, sıralama, mutlak değer, faktöriyel ve kuvvet alma işlemleri aşağıdaki gibi tanımlansın:
:* <math>\alpha \pm \beta= (\alpha_1 \pm \beta_1,\,\alpha_2 \pm \beta_2, \ldots, \,\alpha_n \pm \beta_n)</math>
:* <math>\alpha \le \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha_i \le \beta_i \quad \forall\,i\in\{1,\ldots,n\}</math>
:* <math>| \alpha | = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n</math>
:* <math>\alpha ! = \alpha_1! \cdot \alpha_2! \cdots \alpha_n!</math>
:* <math>X^{\alpha} = x_1^{\alpha_1} \cdots x_n^{\alpha_n} </math>
O zaman, bu biçimdeki vektör endisler için,  <math>\sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n} a_{\alpha} X^{\alpha}</math> bir kuvvet serisi olur ve yakınsaklığı mutlak yakınsaklık üzerinden tanımlanır. Diğer taraftan, <math>z</math> merkezli ve <math>r=(r_1, \cdots, r_n)\in \mathbb{R}_{+}^n</math> yarıçaplı disk çarpımı ([[polidisk]])
:<math>P(a,r)=\{ w=(w_1, w_2, \dots, w_n) \in {\mathbf{C}}^n \mid \vert a_k - w_k \vert < r_k, \forall  k = 1,\dots,n \}</math> 
olarak tanımlanır. O zaman, <math>f:P(a,r)\mapsto \mathbb C</math> fonksiyonu holomorf ise, <math>f(z)=\sum_{\alpha\in \mathbb{N}^n}a_{\alpha}(z-a)^{\alpha}</math> gösterimi vardır. Ayrıca, <math>f^{(\alpha)}(a):=\frac{\partial^{|\alpha|} f}{\partial z_{1}^{\alpha_1}\cdots \partial z_{n}^{\alpha_n} }</math> 
olmak üzere 
<math>a_{\alpha}=\frac{f^{(\alpha)}(a)}{\alpha !}</math> 
olur.

== Bir değişkenli karmaşık analizle karşılaştırma ==
=== Aynı kalan sonuçlar ===

<math>\Omega</math> kümesi <math>\mathbb C^n</math>de açık olmak üzere,
* <math>\mathcal O (\Omega)=\{ f:\Omega\mapsto \mathbb C: f \text{ holomorftur }\}</math> tanımlansın.
:O zaman, <math>\mathcal O (\Omega)</math>,  <math>\mathbb C</math> [[Cisim (cebir)|cismi]] üzerinde iyi tanımlı bir cebirdir. Gerçekten de
:#İki holomorf fonksiyonun toplamı ve çarpımı yine holomorftur. 
:#<math>f</math> tanımlı olduğu her noktada sıfırdan farklı değer alıyorsa, o zaman <math>\frac{1}{f}</math> de holomorftur.

==== En büyük mutlak değer teoremi ====
{{Ana|Maksimum ilkesi (karmaşık analiz)}}
<math>\Omega\subset \mathbb C^n</math> bir bölge (bağlantılı ve açık) olsun. <math>f:\Omega\mapsto \mathbb C</math> fonksiyonu için <math>|f(z)|</math>'nin en büyük değeri <math>\Omega</math> içindeki bir noktada elde ediliyorsa, o zaman <math>f</math> sabittir. Bu yüzden, <math>\Omega</math> sınırlı bir bölgeyse, <math>f:\overline \Omega\mapsto \mathbb C</math> fonksiyonu sürekliyse ve sabit değilse, <math>|f(z)|</math> en büyük değerini <math>\Omega</math>'nın topolojik sınırı olan <math>b\Omega</math> üzerinde alır.

==== Yerel düzgün yakınsaklık ====
<math>f_n:\Omega\mapsto\mathbb C</math> yerel düzgün yakınsak bir holomorf fonksiyon dizisi ise; yani, her <math>z\in \Omega</math> için bir <math>U_z</math> komşuluğu varsa ve <math>f_n|_{U_z}</math> dizisi düzgün yakınsaksa, o zaman limit fonksiyonu da holomorftur.

==== Özdeşlik teoremi ====
{{Ana|Özdeşlik teoremi}}
Holomorf bir fonksiyon açık bir küme üzerinde sıfır değeri alıyorsa, o zaman her yerde tamamen sıfır değeri alır; yani, bu fonksiyon sıfır fonksiyondur.

==== Açık gönderim teoremi ====
{{Ana|Açık gönderim teoremi (karmaşık analiz)}}
<math>f:\Omega\mapsto \mathbb C</math> fonksiyonu sabit değilse, <math>f(\Omega)</math> karmaşık düzlemde açıktır.

==== Liouville teoremi ====
{{Ana|Liouville teoremi (karmaşık analiz)}}
Bir fonksiyon <math>\mathbb C^n</math>'de holomorf ve sınırlıysa, o zaman sabittir.

=== Farklılaşan sonuçlar ===
==== Sıfır ve tekilik kümeleri ====
Bir değişkenli karmaşık analizde holomorf fonksiyonların sıfır değeri aldıkları noktaların bu fonksiyonların tanımlı oldukları kümenin içine limiti olamaz. Yani, karmaşık düzlemdeki açık kümelerde tanımlı holomorf fonksiyonların sıfırları yalıtıktır. Ancak, bu durum yüksek boyutlarda geçerli değildir. Örneğin, <math>f(z_1, z_2)=z_1 z_2</math> olarak tanımlı holomorf fonksiyonun sıfır kümesi <math>\mathbb{C}\times\{0\}\cup \{0\}\times \mathbb{C}</math> kümesidir.

Çok değişkenli holomorf fonksiyonların [[Hartogs devam teoremi]] sayesinde tek bir noktada tekilliği olamaz. Bu yüzden yüksek boyutlu karmaşık koordinat uzayının açık kümeleri üzerinde tanımlı holomorf fonksiyonların sıfırları ve tekillikleri bir değişkenli karmaşık analizdeki korunmalı ya da yalıtık değildir. Bu sebeple, karmaşık analizdeki [[Rouché teoremi]] ve [[Kalıntı teoremi]]  gibi sonuçlar ya da bu gibi sonuçların üzerine inşâ edildiği [[dolanım sayısı]] ve [[Kalıntı (karmaşık analiz)|kalıntı]] gibi kavramların <math>n\ge 2</math> için karşılığını veren basit tanımlar ve kavramlar yoktur.

{{Ayrıca bakınız| Sıfır (karmaşık analiz)|Kutup (karmaşık analiz)}}
{{Ayrıca bakınız| Weierstrass çarpım teoremi|Mittag-Leffler teoremi|Cousin problemleri}}

==== Yakınsaklık bölgesi====
{{Ana|Yakınsaklık yarıçapı|Reinhardt bölgesi}}
Bir değişkenli karmaşık analizde holomorf fonksiyonlar tanımlı oldukları her noktada yerel olarak kuvvet serileri olarak temsil edilebilirler. Benzer bir durum, yüksek boyutlar için de geçerlidir. Ancak, bir karmaşık değişkenli karmaşık analizde yakınsaklık bölgesi ya [[daire|disk]] olur ya da [[karmaşık düzlem]] olur. Bu bakış açısıyla, yüksek boyutlarda yakınsaklık bölgesi sadece [[yuvar]] ya da [[disk çarpımı]] (polidisk) veya [[kompleks koordinat uzayı]] değildir. Yüksek boyutlarda, kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi [[Reinhardt bölgesi|tam Reinhardt bölgesi]] olmak zorundadır. Ancak, her [[Reinhardt bölgesi|tam Reinhardt bölgesi]] aynı zamanda bir kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesi olmak zorunda değildir. Bunun için bu bölgelere geometrik özellikler getirmek zorunluluğu vardır. Daha açık bir şekilde yazmak gerekirse, tam Reinhardt ve [[Reinhardt bölgesi#Logaritmik dışbükeylik|logaritmik dışbükey bölge]]ler bir kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesidir.

==== İntegral temsilleri ====
Bir değişkenli karmaşık analizde holomorf fonksiyonların integral temsili olan [[Cauchy integral formülü]]nün <math>n\ge 2</math> için genelleştirmeleri mevcuttur. Ancak, yüksek boyutlarda, <math>n=1</math> iken olduğu gibi geçerli olan tek bir gösterim mevcut değildir.

[[Cauchy integral formülü]]nün yüksek boyutlardaki kolay bir genellemesi karmaşık düzlemdeki açık kümelerin kartezyen çarpımından oluşan bölgeler için çok rahatlıkla gösterilebilir. Buna paralel olarak, [[analitik çokyüzlü]]ler üzerinde [[Bergman-Weil formülü]] de vardır. Ancak, bu haliyle hem kartezyen çarpımı olan bölgeler için geçerli olmasıyla hem de katlı integrallerin topolojik sınır değil de sınırların kartezyen çarpımında olmasıyla yüksek boyutlardaki kullanımı güdük kalmaktadır. Yüksek boyutlarda, bu yönde elde edilmiş [[Bochner-Martinelli formülü]] ve [[Cauchy-Fantappié formülü]] gibi değişik temsiller vardır.

{{Ayrıca bakınız|  Cauchy integral formülü|Bergman-Weil formülü|Bochner-Martinelli formülü|Cauchy-Fantappié formülü}}

==== Holomorfluk bölgeleri ====
{{Ana|Holomorfluk bölgesi|Sözde dışbükeylik}}
Karmaşık düzlemdeki her bölge bazı fonksiyonların holomorfluk bölgesidir; başka bir deyişle, her bölgenin üzerinde tanımlı ve holomorf olarak devam ettirelemeyen bir [[holomorf fonksiyon]] bulunabilir.<ref name=Siu1978>{{dergi kaynağı |doi=10.1090/S0002-9904-1978-14483-8|başlık=Pseudoconvexity and the problem of Levi|yıl=1978|soyadı1=Siu|ad1=Yum-Tong|dergi=Bulletin of the American Mathematical Society|cilt=84|sayı=4|sayfalar=481-513|mr=0477104}}</ref><ref name="Chen2000">{{dergi kaynağı |soyadı1=Chen |ad1=So-Chin |başlık=Complex analysis in one and several variables |dergi=Taiwanese Journal of Mathematics |yıl=2000 |cilt=4 |sayı=4 |sayfalar=531-568|doi=10.11650/twjm/1500407292|zbl=0974.32001|jstor=43833225|mr=1799753}}</ref> Ancak, çok değişkenli karmaşık analiz için durum böyle değildir. Diğer deyişle, <math>\mathbb{C} ^{n}(n\geq 2)</math>'deki bazı bölgeler, herhangi bir fonksiyonun [[holomorfluk bölgesi]] değildir. [[Hartogs önsavı]] ve [[Hartogs devam teoremi]] ile kanıtlanan bu özellik sayesinde, holomorfluk bölgesinin karakterizasyonu bu disiplinde önemli bir yer tutar.

==== Riemann gönderim teoremi ====
{{Ana|Riemann gönderim teoremi}}
Bir değişkenli karmaşık analizde, karmaşık analizin düzleme eşit olmayan ve basit bağlantılı olan her altkümesi birim diske birebir-örten ve tersi de holomorf olan fonksiyonlar vasıtasıyla denktir. Ancak, benzer bir sonuç yüksek boyutlarda her zaman geçerli değildir. Mesela, Poincaré  <math>\mathbb{C}^2</math>deki birim [[polidisk]] ile birim [[yuvar]]ın arasında böyle bir gönderimin olamayacağını [[Poincaré teoremi (karmaşık analiz)|göstermiştir]].

Bu yönde bilinen ayırıcı başka bir özellik [[Fatou-Bieberbach bölgesi]]dir. <math>\mathbb{C}^{n}</math>'nin özalt kümesi olup da kompleks koordinat uzayı <math>\mathbb{C}^n</math>ye birebir, örten ve tersi de holomorf olan fonksiyonlar vasıtasıyla
denk olan bu bölgeler karmaşık düzlemde (yani <math>n=1</math> iken) bulunmaz.

{{Ayrıca bakınız| Fatou-Bieberbach bölgesi}}

== Levi problemi ==
[[Dosya:Holomorphiegebiet.GIF|küçükresim|upright=1.5|right|<math>\Omega</math>nın ''yerel Levi özelliği'', <math>\Omega</math>'nın sınırındaki her nokta için bir komşuluğun var olması ve bu komşuluğun <math>\Omega</math> ile kesişiminde holomorf olan hiçbir fonksiyon komşuluğun tümüne holomorf olarak devam ettirilememesi demektir.]]
En az iki boyutlu [[karmaşık koordinat uzayı]]ndaki holomorfluk bölgelerinin karakterizasyonu 20. yüzyılın ilk yarısında bu alanda çalışan matematikçileri oldukça meşgul etmiştir. İlk başta ortaya konulan kavramlardan birisi [[sözde dışbükeylik]] kavramıdır ve holomorfluk bölgelerinin sözde dışbükey olduğu ilk elde edilen sonuçlardandır. Tersi yöndeki soru, diğer deyişle, bir sözde dışbükey bölgenin holomorfluk bölgesi olup olmayacağı problemi '''Levi problemi''' olarak bilinir.<ref group=not>[[Kiyoshi Oka]], Levi problemine ''Ters Hartogs problemi'' adını vermiştir.</ref>

Levi problemi olarak tanımlanan problemin kökü aslında Eugenio Elia Levi'nin 1911'de <math>\C^2</math>'deki holomorfluk bölgesinin topolojik sınırının keyfi değil belirli dışbükeylik koşullarını sağlayan kümeler olduğunu gösterdiği çalışmasına dayanmaktadır.<ref>E.E. Levi. Sulle ipersuperficie delle spazi a 4 dimensioni che possone essere
frontiera del campo de esistenza di una funzione analitica di due variabili
complesse. Ann. Mat. Pura App. 18, 69-79 (1911)</ref><ref name="DLP">[[Ingo Lieb]], ''Das Levische Problem'', Bonner Mathematische Schriften, Heft 387, 2007, [http://bib.math.uni-bonn.de/downloads/bms/BMS-387.pdf PDF dosyası] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20240714064416/http://bib.math.uni-bonn.de/downloads/bms/BMS-387.pdf |tarih=14 Temmuz 2024 }} (kısa biyografiler ve fotoğraflar da içermektedir)</ref>  [[Otto Blumenthal]] 1912'de Levi problemini ilk kez fark eden matematikçidir; ancak, verdiği cevabı yanlıştır. [[Heinrich Behnke]], Levi problemini daha düzgün bir hâle getirmiştir ve bugünkü bilinen hâline getirmiştir: ''Yerel Levi özelliği''ni sağlayan [[Düzgünlük|düzgün]] bölgeler holomorfluk bölgesi midir? 1928'e kadar problemin kısmi çözümleri Reinhardt bölgeleri üzerinde çözülmüştür. Problemin çözümüne doğru atılan ilk ciddi adım, Henri Cartan'ın 1931de tanımladığı [[holomorf dışbükeylik]] kavramıdır. Henri Cartan ve [[Peter Thullen]]'in holomorfluk bölgesi olmakla holomorf-dışbükeylik arasında denklik olduğunu göstermesiyle problem çözülebilir bir zemine oturtulmuştur.<ref name=DLP/> 
Levi problemi, 1942'de <math>n=2</math> iken [[Kiyoshi Oka]] tarafından, genel durumlar için 1953'te [[Kiyoshi Oka]] tarafından ve 1954'te [[Hans Bremermann]] ve [[François Norguet]] tarafından birbirlerinden bağımsız şekilde çözüldü.<ref>{{Akademik dergi kaynağı|ad=Kiyoshi|soyadı=Oka|başlık=Domaines pseudoconvexes|dergi=Tôhoku Mathematical Journal|cilt=49|yıl=1942|sayfalar=15-52|url=https://www.nara-wu.ac.jp/aic/gdb/nwugdb/oka/ko_ron/f/n06/p001.html|tanıtıcı=[https://www.nara-wu.ac.jp/aic/gdb/nwugdb/oka/ko_ron/pdf/ko-f6.pdf PDF] [https://www.nara-wu.ac.jp/aic/gdb/nwugdb/oka/ko_ron/tex/ko-f6.lzh TeX]|erişim-tarihi=8 Ocak 2025|arşivurl=https://web.archive.org/web/20241207051053/https://www.nara-wu.ac.jp/aic/gdb/nwugdb/oka/ko_ron/f/n06/p001.html|arşivtarihi=7 Aralık 2024|ölüurl=hayır}}</ref><ref>{{Akademik dergi kaynağı|ad=Kiyoshi|soyadı=Oka|başlık=Domaines finis sans point critique intérieur|dergi=Japanese Journal of Mathematics|cilt=27|yıl=1953|sayfalar=97-155|url=https://www.nara-wu.ac.jp/aic/gdb/nwugdb/oka/ko_ron/f/n09/p001.html|doi=10.4099/jjm1924.23.0_97|tanıtıcı=[https://www.nara-wu.ac.jp/aic/gdb/nwugdb/oka/ko_ron/pdf/ko-f9.pdf PDF] [https://www.nara-wu.ac.jp/aic/gdb/nwugdb/oka/ko_ron/tex/ko-f9.tex TeX]|erişim-tarihi=8 Ocak 2025|arşivurl=https://web.archive.org/web/20241207054356/https://www.nara-wu.ac.jp/aic/gdb/nwugdb/oka/ko_ron/f/n09/p001.html|arşivtarihi=7 Aralık 2024|ölüurl=hayır}}</ref><ref>H. J. Bremermann. Uber die ¨ Aquivalenz der pseudokonvexen Gebiete und ¨
der Holomorphiegebiete im Raum von n komplexen Ver¨anderlichen. Math.
Ann. 128, 63-91 (1954)</ref><ref>F. Norguet. Sur les domaines d’holomorphie des fonctions uniformes de plusieurs variables complexes (passage du local au global). Bull. Soc. Mat. France 82, 137-159 (1954)</ref>

{{Ayrıca bakınız|Stein manifoldu}}

== Notlar==
{{kaynakça|group=not}}

== Kaynakça ==
{{Kaynakça}}

{{Otorite kontrolü}}

[[Kategori:Çok değişkenli karmaşık analiz| ]]
[[Kategori:Karmaşık analiz| ]]