Ölçü (matematik) sayfasının kaynağını görüntüle

{{için|Eşcebir kavramı|eşcebir ölçümü}}
{{karıştırma|Metrik (matematik)}}
[[Dosya:Measure_illustration_(Vector).svg|alt=|küçükresim|{{Ortala|Gayri resmi olarak, bir ölçü [[Monoton fonksiyon|tekdüze]] olma özelliğine sahiptir, yani ''A'', ''B''’nin bir [[alt küme]]si ise, ''A''’nın ölçüsü ''B''’nin ölçüsünden küçük veya ona eşittir. Ayrıca, [[boş küme]]nin ölçüsünün 0 olması gerekir.}}]]
[[Matematik|Matematiğin]] bir alt dalı olana [[Analiz (matematik)|analiz]]de '''ölçü''' bir kümeye ve bu kümenin uygun altkümelerine negatif olmayan bir [[genişletilmiş sayı]] atayan bir fonksiyondur. Ölçü kavramı,  uzunluk, alan ve hacim kavramlarının sistemli bir genellemesidir. Önemli ölçü örneklerinden birisi {{Matematik|''n''}}-[[boyut]]lu Öklid uzayı {{Matematik|'''R'''<sup>''n''</sup>}}'nin uygun alt kümelerine [[Öklid geometrisi]]ndeki geleneksel [[Uzunluk|uzunluk]], [[alan]] ve [[Hacim|hacim]] gibi kavramlarına karşılık gelen sayıları atayan [[Lebesgue ölçüsü]]dür. Örneğin, [[Reel doğru|gerçek sayılar]]daki {{Matematik|[0, 1]}} [[Aralık (matematik)|aralığın]]ın Lebesgue ölçüsü, kelimenin günlük anlamındaki uzunluğudur; diğer deyişle, {{Matematik|[0, 1]}} aralığının ölçüsü 1'dir. 

Ölçülerin fonksiyonların integrallerinin alınması ile yakından ilgisi vardır ve [[Lebesgue integrali]] gibi modern integral kavramlarının temelini oluştururlar. 
Ölçülerin oluşturulması, özellikleri ve ölçülere göre integral almayı konu edinen matematik kuramına '''ölçü kuramı''' veya '''ölçü teorisi''' denir.<ref>{{Terimler|ölçü kuramı|1 Şubat 2025}}</ref>

Teknik olarak, ölçü, bir {{Mvar|X}} kümesinin (belirli) alt kümelerine negatif olmayan bir gerçel sayı veya {{math|+∞}} atayan bir [[fonksiyon]]dur (''aşağıdaki'' [[Ölçü (matematik)#Tanım|Tanıma]] bakınız). Ayrıca [[Sigma toplanırlık|sayılabilir şekilde toplanır]] olmalıdır: Sonlu (veya sayılabilir olarak sonsuz) sayıda "daha küçük" ayrık alt kümelere ayrıştırılabilen "büyük" bir alt kümenin ölçüsü, bu "daha küçük" alt kümelerin ölçülerinin toplamına eşittir. Genel olarak, bir ölçünün diğer aksiyomlarını yerine getirirken belirli bir kümenin ''her bir'' alt kümesiyle ''tutarlı bir'' boyutu ilişkilendirilmek istenirse, yalnızca [[sayma ölçüsü]] gibi önemsiz örnekler bulunur. Bu problem, ölçüsü bir [[Sigma-cebir|{{Matematik|σ}}-cebir]] oluşturmak için gerekli olan ''ölçülebilir'' alt kümeler olarak adlandırılan, yalnızca tüm alt kümelerin bir alt koleksiyonu üzerinde tanımlayarak çözüldü. Bu, sayılabilir [[Birleşme özelliği (küme teorisi)|birliklerin]], sayılabilir [[Kesişme özelliği|kesişimlerin]] ve ölçülebilir alt kümelerin [[Tamamlayıcı (küme teorisi)|tamamlayıcılarının]] ölçülebilir olduğu anlamına gelir. Üzerinde Lebesgue ölçüsünün tutarlı bir şekilde tanımlanamadığı bir Öklid uzayındaki [[ölçülemeyen küme]]ler, tamamlayıcıları ile kötü bir şekilde karıştırılma anlamında zorunlu olarak karmaşıktır.<ref>[[Paul Halmos|Halmos, Paul]] (1950), ''Measure theory'', Van Nostrand and Co.</ref> Aslında onların varlığı, [[seçim aksiyomu]]nun en az bir değişkeni sıfırdan farklı olan (non-trivial) bir sonucudur.

Ölçüm teorisi, 19. yüzyılın sonları ve 20. yüzyılın başlarında diğerlerinin yanı sıra [[Émile Borel]], [[Henri Léon Lebesgue|Henri Lebesgue]], [[Johann Radon]] ve [[Maurice René Fréchet|Maurice Fréchet]] tarafından birbirini takip eden aşamalarda geliştirildi. Ölçülerin ana uygulamaları, [[Lebesgue integrali]]nin temelleri içinde, [[Andrey Kolmogorov]]'un [[Aksiyomizasyon|belitleştirilmesi]]ne ait [[olasılık teorisi]]nde ve [[ergodik teori]]de yer almaktadır. Entegrasyon teorisinde, bir ölçü belirtmek, Öklid uzayının alt kümelerinden daha genel uzaylar üzerindeki [[integral]]lerin tanımlamasına izin verir; dahası, Öklid uzayları üzerine Lebesgue ölçümü ile ilgili integral daha geneldir ve selefi [[Riemann integrali]]nden daha zengin bir teoriye sahiptir. Olasılık teorisi, tüm kümeye 1 büyüklüğünü atayan ölçüleri dikkate alır ve ölçülebilir alt kümeleri olasılıkları ölçü tarafından verilen olaylar olarak kabul eder. [[Ergodik teori]], bir [[dinamik sistem]] altında değişmeyen veya doğal olarak ortaya çıkan ölçüleri dikkate alır.

== Tanım ==
[[Dosya:Countable_additivity_of_a_measure.svg|küçükresim|upright=1.36|{{Ortala|Bir {{Mvar|μ}} ölçüsü için sayılabilir toplanırlık: Sayılabilir ayrık birleşimin ölçüsü, her bir alt kümenin tüm ölçülerinin toplamı ile aynıdır.}}]]
{{Mvar|X}} bir küme ve {{Mvar|Σ}}, {{Mvar|X}} üzerinde bir [[Sigma-cebir|{{Matematik|σ}}-cebir]] olsun. {{Mvar|Σ}}'dan [[genişletilmiş gerçek sayı doğrusu]]na bir {{Mvar|μ}} fonksiyonuna, aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa '''ölçü''' denir:

* '''Negatif olmama''': Σ'daki tüm {{Matematik|''E''}}'ler için, {{Matematik|''μ''(''E'') ≥ 0}}'dir.
* '''Sıfır boş küme''': <math>\mu(\varnothing)=0</math>.
* '''Sayılabilir toplanırlık''' (veya [[Sigma toplanırlık|{{Matematik|σ}}-toplanırlık]]): Σ'de tüm [[Sayılabilirlik|sayılabilir]] koleksiyonlar <math>\{E_k\}_{k=1}^\infty</math> için ikili [[ayrık küme]]ler,

: <math>\mu\left(\bigsqcup_{k=1}^\infty E_k\right)=\sum_{k=1}^\infty \mu(E_k).</math>

En az bir küme <math>E</math> sonlu bir ölçüye sahipse, <math>\mu(\varnothing)=0</math> otomatik olarak karşılanır. Nitekim sayılabilir toplanırlık vasıtasıyla,

: <math>\mu(E)=\mu(E \cup \varnothing) = \mu(E) + \mu(\varnothing),</math>

ve bu nedenle <math>\mu(\varnothing)=0.</math>

Yukarıdaki ölçü tanımının yalnızca ikinci ve üçüncü koşulları karşılanırsa ve {{Mvar|μ}}, {{Matematik|±∞}} değerlerinden en fazla birini alırsa, {{Mvar|μ}} '''[[işaretli ölçü]]''' olarak adlandırılır.

{{Matematik|(''X'', Σ)}} çifti, bir [[ölçülebilir uzay]] olarak adlandırılır, Σ'nın üyelerine '''ölçülebilir kümeler''' denir. Eğer <math>\left(X, \Sigma_X\right)</math> ve <math>\left(Y, \Sigma_Y\right)</math> iki ölçülebilir uzay ise, eğer her {{Matematik|''Y''}}-ölçülebilir küme <math>B \in \Sigma_Y</math> için, [[Görüntü kümesi|ters görüntü]] {{Mvar|X}} ölçülebilir -yani: <math>f^{(-1)}(B) \in \Sigma_X</math> ise, ardından bir fonksiyon <math>f : X \to Y</math> '''ölçülebilir''' olarak adlandırılır. Bu kurulumda, ölçülebilir fonksiyonların [[Bileşke fonksiyon|bileşimi]] ölçülebilirdir ve ölçülebilir uzaylar ile ölçülebilir fonksiyonlar, nesneler olarak ölçülebilir uzaylar ve oklar gibi ölçülebilir fonksiyonlar kümesini bir [[Kategori (matematik)|kategori]] haline getirir. Ayrıca başka bir kurulumla ilgili bkz. [[Ölçülebilir fonksiyon#Terim kullanım varyasyonları]].

Bir {{Matematik|(''X'', Σ, ''μ'')}} [[Demet (matematik)|üçlü]]sü [[ölçü uzayı]] olarak adlandırılır. Bir [[olasılık ölçüsü]], toplam ölçüsü bir olan bir ölçüdür - yani {{Matematik|''μ''(''X'') {{=}} 1}} . [[Olasılık uzayı]], olasılık ölçüsüne sahip bir ölçü uzayıdır.

Aynı zamanda [[Topolojik uzaylar|topolojik uzay]] olan ölçü uzayları için, ölçü ve topoloji için çeşitli uyumluluk koşulları yerleştirilebilir. Pratikte [[Matematiksel analiz|analiz]]de (ve çoğu durumda [[olasılık teorisi]]nde de) karşılaşılan ölçülerin çoğu [[Radon ölçüsü|Radon ölçüleri]]dir. Radon ölçüleri, [[Destek (matematik)#Kompakt destek|kompakt destekli]] [[sürekli fonksiyon]]ların [[yerel dışbükey uzay]]ında doğrusal fonksiyonlar açısından alternatif bir tanıma sahiptir. Bu yaklaşım [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]] (2004) ve bir dizi başka kaynak tarafından alınmıştır. Daha fazla ayrıntı için [[Radon ölçüsü|Radon ölçüleri]] hakkındaki makaleye bakın.

== Örnekler ==
Bazı önemli ölçüler burada listelenmiştir.

* [[Sayma ölçüsü]] {{Matematik|''μ''(''S'')}} = {{Matematik|''S''}} öğelerin sayısı ile tanımlanır.
* {{Matematik|'''R'''}} üzerindeki [[Lebesgue ölçüsü]], {{Matematik|''μ''([0, 1]) {{=}} 1}} {{Matematik|'''R'''}} [[Aralık (matematik)|aralıkları]] içeren bir ''σ''-cebirinde bir [[Tam ölçü|tam]] [[Translasyonel değişmezlik|öteleme-değişmez]] ölçüdür; ve bu özelliklere sahip diğer her ölçü Lebesgue ölçüsünü genişletir.
* Dairesel [[açı]] ölçüsü, [[Dönme|döndürme]] altında değişmez ve [[hiperbolik açı]] ölçüsü, [[sıkıştırma dönüşümü]] altında değişmez.
* Bir [[yerel tıkız topolojik grup]] için [[Haar ölçüsü]], Lebesgue ölçüsünün (ve ayrıca sayma ölçüsü ve dairesel açı ölçüsünün) bir genellemesidir ve benzer benzersizlik özelliklerine sahiptir.
* [[Hausdorff ölçüsü]], Lebesgue ölçüsünün tam sayı olmayan boyutlu kümelere, özellikle fraktal kümelere bir genellemesidir.
* Her [[olasılık uzayı]], tüm uzayda 1 değerini alan (ve dolayısıyla tüm değerlerini [0, 1] [[Birim aralık|birim aralığında]] alan) bir ölçüye yol açar. Böyle bir ölçüme ''olasılık ölçüsü'' denir. [[Kolmogorov aksiyomları|Olasılık aksiyomları]]na bakın.
* [[Dirac ölçüsü]] δ<sub>''a''</sub> (cf. [[Dirac delta fonksiyonu]]), χ<sub>''S''</sub> {{Matematik|''S''}}'nin [[gösterge fonksiyonu]] olmak üzere δ<sub>''a''</sub>''(S)'' = χ<sub>''S''</sub>(a) ile verilir. Bir kümenin ölçüsü, eğer {{Matematik|''a''}} noktasını içeriyorsa 1, aksi takdirde 0'dır.

Çeşitli teorilerde kullanılan diğer 'adlandırılmış' ölçüler şunları içerir: [[Borel ölçüsü]], [[Jordan ölçüsü]], [[ergodik ölçü]], [[Euler ölçüsü]], [[Gauss ölçüsü]], [[Baire ölçüsü]], [[Radon ölçüsü]], [[Young ölçüsü]] ve [[Loeb ölçüsü]].

Fizikte bir ölçüye örnek olarak [[kütle]]nin uzamsal dağılımı (örneğin, [[Kütle çekimsel potansiyel|yerçekimi potansiyeli]]ne bakınız) veya [[Korunan miktar|korunan]] başka bir negatif olmayan [[kapsamlı özellik]] gösterilebilir (bunların bir listesi için [[korunum yasası]]na bakınız). Negatif değerler, işaretli ölçümlere yol açar, aşağıdaki "genellemeler" bölümüne bakın.

* Semplektik bir manifolddaki doğal hacim formu olarak da bilinen [[Liouville teoremi (Hamiltonian)#Simplektik geometri|Liouville ölçüsü]], klasik istatistiksel ve Hamilton mekaniğinde faydalıdır.
* [[Gibbs ölçüsü]], istatistiksel mekanikte, genellikle [[kanonik topluluk]] adı altında yaygın olarak kullanılmaktadır.

== Temel özellikler ==
{{Mvar|μ}} bir ölçü olsun.

=== Monotonluk ===
Eğer {{Matematik|''E''<sub>1</sub>}} ve {{Matematik|''E''<sub>2</sub>}}, {{Matematik|''E''<sub>1</sub>&nbsp;⊆&nbsp;''E''<sub>2</sub>}} olmak üzere ölçülebilir kümeler ise,

: <math>\mu(E_1) \leq \mu(E_2).</math>

=== Sayılabilir birleşim ve kesişimlerin ölçüsü ===

==== Alt toplanırlık ====
Σ'deki (mutlaka ayrık olmayan) {{Matematik|''E<sub>n</sub>''}} ölçülebilir kümelerinin herhangi bir [[Sayılabilirlik|sayılabilir]] {{Matematik|''E''<sub>1</sub>, ''E''<sub>2</sub>, ''E''<sub>3</sub>, ...}} [[dizi]]si için:

: <math>\mu\left( \bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) \le \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i).</math>

==== Alttan süreklilik ====
{{Matematik|''E''<sub>1</sub>, ''E''<sub>2</sub>, ''E''<sub>3</sub>, ...}} ölçülebilir kümeler ve <math>E_n \subseteq E_{n+1}</math> ise tüm {{Matematik|''n''}}, {{Matematik|''E<sub>n</sub>''}} kümelerinin [[Birleşme özelliği (küme teorisi)|birleşimi]] ölçülebilirdir ve aşağıdaki ifade geçerlidir:

: <math> \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i).</math>

==== Üstten süreklilik ====
{{Matematik|''E''<sub>1</sub>, ''E''<sub>2</sub>, ''E''<sub>3</sub>, ...}} ölçülebilir kümeler ise ve tüm {{Matematik|''n''}}, <math>E_{n+1} \subseteq E_n</math> için, {{Matematik|''E<sub>n</sub>''}} kümelerinin [[Kesişme özelliği|kesişimi]] ölçülebilirdir; ayrıca, en az bir {{Matematik|''E<sub>n</sub>''}} sonlu bir ölçüye sahipse, o zaman

: <math> \mu\left(\bigcap_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i).</math>

Bu özellik, en az bir {{Matematik|''E<sub>n</sub>''}}'nin sonlu ölçüye sahip olduğu varsayımı olmaksızın yanlıştır. Örneğin, her {{Matematik|''n'' ∈ '''N'''}}, {{Matematik|''E<sub>n</sub>'' {{=}} [''n'', ∞) ⊂ '''R'''}}, bunların hepsi sonsuz Lebesgue ölçüsüne sahiptir, ancak kesişim boştur.

== Sigma-sonlu ölçüler ==
{{Matematik|''μ''(''X'')}} sonlu bir gerçek sayı ise (∞ yerine) bir {{Matematik|(''X'', Σ, ''μ'')}} ölçü uzayına sonlu denir. Sıfır olmayan sonlu ölçüler, herhangi bir sonlu ölçü {{Mvar|μ}}, olasılık ölçüsü ile orantılıdır; <math>\frac{1}{\mu(X)}\mu</math> anlamında [[olasılık ölçüsü]]ne benzer. {{Mvar|μ}} ölçüsü, {{Mvar|X}} ölçülebilir sonlu ölçü kümelerinin sayılabilir bir birleşimine ayrıştırılabiliyorsa, ''σ-sonlu'' olarak adlandırılır. Benzer şekilde, bir ölçü uzayındaki bir kümenin, sonlu ölçülü kümelerin sayılabilir bir birleşimi ise, bir ''σ-sonlu ölçüsü'' olduğu söylenir.

Örneğin, standart [[Lebesgue ölçüsü]]ne sahip [[reel sayılar]] σ-sonludur, ancak sonlu değildir. Tüm {{Matematik|''k''}} [[tam sayı]]ları için [[kapalı aralık]]ları {{Matematik|[''k'', ''k''+1]}} düşünün; sayılabilecek bu tür aralıklar vardır, her birinin ölçüsü 1'dir ve bunların birleşimi tüm gerçek doğrudur. Alternatif olarak, her sonlu gerçekler kümesine kümedeki nokta sayısını atayan [[sayma ölçüsü]] ile [[Reel sayılar|gerçek sayıları]] düşünün. Bu ölçü uzayı σ-sonlu değildir, çünkü sonlu ölçülü her küme yalnızca sonlu sayıda nokta içerir ve tüm gerçek doğruyu kaplamak için sayılamayacak kadar çok sayıda küme gerekir. Σ-sonlu ölçü uzaylarının bazı çok uygun özellikleri vardır; σ-sonluluğu bu bağlamda topolojik uzayların [[Lindelöf uzayı|Lindelöf özelliği]] ile karşılaştırılabilir. Bir ölçü uzayının 'sayılamayan ölçüye' sahip olabileceği fikrinin belirsiz bir genellemesi olarak da düşünülebilirler.

== s-sonlu ölçüler ==
Bir ölçü, sınırlı ölçülerin sayılabilir bir toplamı ise, s-sonlu olduğu söylenir. S-sonlu ölçüler sigma-sonlu ölçülerden daha geneldir ve [[stokastik süreç]]ler teorisinde uygulamaları vardır.

== Tamlık ==
Ölçülebilir {{Mvar|X}} kümesi, {{Matematik|''μ''(''X'') {{=}} 0}} ise ''[[boş küme]]'' olarak adlandırılır. Boş kümenin bir alt kümesine ''ihmal edilebilir küme'' denir. İhmal edilebilir bir kümenin ölçülebilir olması gerekmez, ancak ölçülebilir her ihmal edilebilir küme otomatik olarak bir boş kümedir. Her ihmal edilebilir küme ölçülebilir ise bir ölçü ''eksiksiz'' olarak adlandırılır.

Ölçülebilir bir {{Mvar|X}} kümesinden ihmal edilebilir bir küme kadar farklılık gösteren {{Matematik|''Y''}} alt kümelerinin σ-cebiri dikkate alınarak, yani {{Mvar|X}} ve {{Matematik|''Y''}} [[simetri farkı]] bir sıfır kümede yer alacak şekilde bir ölçü, tam bir ölçü olarak genişletilebilir. Bu, {{Matematik|''μ''(''Y'')}}'yi {{Matematik|''μ''(''X'')}}'e eşit olarak tanımlar.

== Toplanırlık ==
Ölçümlerin sayılabilecek şekilde toplanır olması gerekmektedir. Ancak durum aşağıdaki şekilde güçlendirilebilir. Herhangi bir <math>I</math> kümesi ve herhangi bir negatif olmayan <math>r_i,i\in I</math> için;

: <math>\sum_{i\in I} r_i=\sup\left\lbrace\sum_{i\in J} r_i : |J|<\aleph_0, J\subseteq I\right\rbrace.</math>

Yani, <math>r_i</math> toplamını, sonlu birçoğunun tüm toplamlarının eküsü (supremum) olarak tanımlıyoruz.

<math>\Sigma</math>'da bir <math>\mu</math> ölçüsü, eğer herhangi bir <math>\lambda<\kappa</math> ve herhangi bir ayrık küme ailesi <math>X_\alpha,\alpha<\lambda</math> için aşağıdaki sağlanırsa <math>\kappa</math>-toplanır'dır:

: <math>\bigcup_{\alpha\in\lambda} X_\alpha \in \Sigma</math>
: <math>\mu\left(\bigcup_{\alpha\in\lambda} X_\alpha\right)=\sum_{\alpha\in\lambda}\mu\left(X_\alpha\right).</math>

İkinci koşulun, boş kümelerin [[İdeal (küme teorisi)|ideal]]inin <math>\kappa</math>-tam olduğu ifadeye eşdeğer olduğuna dikkat edin.

== Ölçülemeyen kümeler ==
[[Seçim aksiyomu]]nun doğru olduğu varsayılırsa, [[Öklid uzayı]]nın tüm alt kümelerinin [[Lebesgue ölçülebilir]] olmadığı kanıtlanabilir; Bu tür kümelerin örnekleri arasında [[Vitali kümesi]] ve [[Hausdorff paradoksu]] ve [[Banach-Tarski paradoksu]] tarafından öne sürülen ölçülemeyen kümeler bulunur.

== Genellemeler ==
Belirli amaçlar için, değerleri negatif olmayan gerçeklerle veya sonsuzlukla sınırlı olmayan bir "ölçüye" sahip olmak yararlıdır. Örneğin, değerleri (işaretli) gerçek sayılarda olan sayılabilir bir toplanır [[küme fonksiyonu]]na ''[[işaretli ölçü]]'', [[karmaşık sayı]]larda değerlere sahip böyle bir fonksiyona ise ''[[karmaşık ölçü]]'' denir. [[Banach uzayları]]nda değer alan ölçüler kapsamlı bir şekilde çalışılmıştır.<ref>{{Kaynak
|başlık=Random and Vector Measures
|yayıncı=[[World Scientific]]
|seri=Series on Multivariate Analysis
|yıl=2012
|cilt=9
|isbn=978-981-4350-81-5
|soyadı = Rao
|ad = M. M.
|mr = 2840012
}}.</ref> Bir [[Hilbert uzayı]]nda kendine eşlenik izdüşümler kümesindeki değerleri alan bir ölçüye, ''[[izdüşüm değerli ölçü]]'' adı verilir; bunlar, [[spektral teorem]] için [[fonksiyonel analiz]]de kullanılır. Negatif olmayan değerler alan olağan ölçüleri genellemelerden ayırmak gerektiğinde, '''pozitif ölçü''' terimi kullanılır. Pozitif ölçüler, [[konik kombinasyon]] altında kapatılır, ancak genel [[lineer kombinasyon|doğrusal kombinasyon]] değil, işaretli ölçüler pozitif ölçülerin doğrusal kapanmasıdır.

Diğer bir genelleme, [[İçerik (ölçü teorisi)|içerik]] olarak da bilinen ''sonlu toplanır ölçüdür''. Bu, ''sayılabilir'' toplanırlığa ihtiyaç ''duymak'' yerine sadece ''sonlu'' toplanırlığa ihtiyacımız olması dışında bir ölçü ile aynıdır. Tarihsel olarak, bu tanım ilk önce kullanıldı. Genel olarak, sonlu toplanır ölçümlerin [[Banach limiti|Banach limitleri]], [[Lp uzayı|''L''<sup>∞</sup>]] ikilisi ve [[Stone-Čech kompaktlaştırma]] gibi kavramlarla bağlantılı olduğu ortaya çıktı. Tüm bunlar bir şekilde [[seçim aksiyomu]]na bağlıdır. [[Geometrik ölçü teorisi]]ndeki bazı teknik problemlerde içerik yararlı olmaya devam etmektedir; bu [[Banach ölçüsü|Banach ölçüleri]]nin teorisidir.

Bir [[İşaretli ölçü|yük]], her iki yöndeki bir genellemedir: Sonlu toplanırlığa sahip, işaretli bir ölçüdür.

== Ayrıca bakınız ==
{{div sütunu}}
* [[Lebesgue integrali]]
* [[Kaldırma teorisi]] (Lifting theory)
* [[İleri itme ölçüsü]] (Pushforward measure)
* [[Yoğunluk biçimi]] (Volume form)
{{div sütunu-son}}

== Kaynakça ==
{{Kaynakça}}

== Bibliyografya ==
* [[Robert G. Bartle]] (1995) ''The Elements of Integration and Lebesgue Measure'', Wiley Interscience.
* {{Kaynak | soyadı=Bauer|ad=H.|başlık=Measure and Integration Theory|yıl=2001|yayıncı=de Gruyter|yer=Berlin|isbn=978-3110167191}}
* {{Kaynak | soyadı=Bear|ad=H.S.|başlık=A Primer of Lebesgue Integration|yıl=2001|yayıncı=Academic Press|yer=San Diego|isbn=978-0120839711}}
* {{Kaynak | soyadı=Bogachev|ad=V. I.|başlık=Measure theory|yıl=2006|yayıncı=Springer|yer=Berlin|isbn=978-3540345138}}
* {{Kaynak | soyadı=Bourbaki| ad=Nicolas | başlık=Integration I |  yıl=2004 | yayıncı=[[Springer Verlag]] | isbn=3-540-41129-1}} Chapter III.
* R. M. Dudley, 2002. ''Real Analysis and Probability''. Cambridge University Press.
* {{Kaynak | soyadı=Folland | ad=Gerald B.| başlık=Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications |yıl= 1999 |yayıncı= John Wiley and Sons | isbn=0471317160 }} Second edition.
* Federer, Herbert. Geometric measure theory. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153 Springer-Verlag New York Inc., New York 1969 xiv+676 pp.
* D. H. Fremlin, 2000. ''[http://www1.essex.ac.uk/maths/people/fremlin/mt.htm Measure Theory] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20210131150030/https://www1.essex.ac.uk/maths/people/fremlin/mt.htm |tarih=31 Ocak 2021 }}''. Torres Fremlin.
* {{Kaynak | soyadı=Jech| ad=Thomas | başlık=Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded |  yıl=2003 | yayıncı=[[Springer Verlag]] | isbn=3-540-44085-2}}
* [[R. Duncan Luce]] & Louis Narens (1987). "measurement, theory of," ''The [[New Palgrave: A Dictionary of Economics]]'', v.3, ss. 428–32.
* M. E. Munroe, 1953. ''Introduction to Measure and Integration''. Addison Wesley.
* {{Kaynak|yazar=K. P. S. Bhaskara Rao and M. Bhaskara Rao|başlık=Theory of Charges: A Study of Finitely Additive Measures| yayıncı=Academic Press|yer=Londra|yıl=1983|sayfalar=x + 315|isbn=0-12-095780-9}}
* Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. ''Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach'', Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. {{ISBN|0-486-63519-8}}. Emphasizes the [[Daniell integral]].
* {{Kaynak| soyadı = Teschl| ad = Gerald| yazarbağı = Gerald Teschl| başlık = Topics in Real and Functional Analysis| url = https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-fa/index.html| yayıncı = (lecture notes)|erişimtarihi= 29 Aralık 2020|arşivurl= https://web.archive.org/web/20180910094805/http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-fa/index.html|arşivtarihi= 10 Eylül 2018| ölüurl = hayır}}
* {{Kitap kaynağı|soyadı=Tao|ad=Terence|yazarbağı=Terence Tao|başlık=An Introduction to Measure Theory|yıl=2011|yayıncı=American Mathematical Society|yer=Providence, R.I.|isbn=9780821869192}}
* {{Kitap kaynağı|soyadı=Weaver|ad=Nik|başlık=Measure Theory and Functional Analysis|yıl=2013|yayıncı= [[World Scientific]]|isbn=9789814508568}}
{{kaynak sonu}}

== Dış bağlantılar ==
{{Vikisözlük|Ölçülebilir}}
*{{springer|title=Measure|id=p/m063240}}
*[https://vannevar.ece.uw.edu/techsite/papers/documents/UWEETR-2006-0008.pdf Tutorial: Measure Theory for Dummies] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20210117205435/https://vannevar.ece.uw.edu/techsite/papers/documents/UWEETR-2006-0008.pdf |tarih=17 Ocak 2021 }} (Eğitim dokümanı: Aptallar için Ölçü Teorisi)

{{Matematik-altdal}}
{{Otorite kontrolü}}

[[Kategori:Ölçü teorisi]]
[[Kategori:Küme teorisinde genel kuramlar]]