Üçgen sayfasının kaynağını görüntüle

{{diğer anlamı2|Üçgen}}
{{Çokgen bilgi kutusu
|ad            = Üçgen
|resim         = Triangle illustration.svg
|resim_altyazı = Bir üçgen
|kenarlar      = 3
|schläfli      = {3} (eşkenar için)
|alan          = farklı yöntemlerle;<br>[[#Alan|aşağı bkz.]]
|açı           = 60° (eşkenar için)
|çevre         = Üç kenar uzunluğunun toplamı}}
{{Geometri}}
[[Dosya:triangle_problem.svg|küçükresim|{{Ortala|Bir üçgen problemi}}|upright=0.95]]
[[Dosya:Dreieck.svg|küçükresim|upright=1.18|{{Ortala|Herhangi bir üçgen.}}]]
Bir '''üçgen''' düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimidir. Üçgene '''müselles''' ve '''üçbucak''' da denir.

Düzlem [[geometri]]sinin temel şekillerinden biridir. Bir üçgenin üç köşesi ve bu köşeleri birleştiren [[doğru parçası|doğru parçalarından]] oluşan üç kenarı vardır. Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180°, dış açılarının toplamı 360°'dir.

<math>[AB] U [AC] U [BC]= ABC\!\,</math>

Burada;

A, B ve C noktaları üçgenin köşeleri ve <math>[AB], [AC], [BC]\!\,</math> doğru parçaları üçgenin kenarlarıdır. <math>\alpha\!\,</math>, <math>\beta\!\,</math> ve <math>\gamma\!\,</math> üçgenin iç açılarıdır.

== Matematiksel tanım ==
Yukarıda anlatılan biçimiyle ([[Öklit geometrisi|Öklit düzleminde]]) üçgen, [[Riemann geometrisi]]nde daha genel bir nesnenin özel bir durumudur. '''X''' bir Riemann uzayı ve '''A''', '''B''' ve '''C''' de bu uzayın birbirine doğrusal olmayan üç noktası olsun. Bu üç noktanın her bir çifti arasında birer kesel (jeodezik) seçilsin. Bu üç keselin birleşimine '''ABC üçgeni''' denir. Örneğin bir [[Riemann yüzeyi]] olarak Dünya yüzeyinde, kuzey kutbundan 0 meridyeniyle ekvatora, ekvator boyunca 90. doğu meridyenine, bu meridyen boyunca geri kuzey kutbuna çıkan eğri bir üçgen oluşturur. Bu üçgenin iç açılarının toplamı 270°'dir.

Daha genel olarak, bir topolojik uzayda verilen herhangi üç noktayı birleştiren herhangi üç eğrinin birleşimine üçgen denir. İki boyutlu bir [[çokkatlı]] bu tür üçgenlerin (belli özellikleri sağlayan) birleşimi olarak ifade edildiğinde, bu üçgenler topluluğuna çokkatlının üçgenlenmesi denir.

Aşağıdaki özellikler, Öklit düzlemindeki üçgenlere aittir.

== Üçgenin açıları ==
{{double image|center|Triangle-exteriour-angle-theorem-2.svg|300|Triangle_with_notations_2.svg|300|{{ortala|{{math|α}}, {{math|β}} ve {{math|γ}} üçgenin iç açıları, {{math|α'}}, {{math|β'}} ve {{math|γ'}} ise üçgenin dış açılarıdır.}}|{{Ortala|AC, ABC ve ACB üçgenin iç açılarıdır. <math>|BC|=a\!\,</math>, <math>|AB|=c\!\,</math> ve <math>|AC|=b\!\,</math> <math>\alpha+\beta+\gamma = 180^0\!\,</math>}}}}
* Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.
Bir ABC üçgenine A tepe noktasından [[teğet]] geçecek şekilde ve BC'ye paralel olacak şekilde bir doğru çizildiğinde, BC doğru parçasının açıları, iç ters açılar kuralından dolayı tepe açısının yanına gelerek bir doğru parçasının yarısını kaplarlar.

* Üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
Bir [[Amerika Birleşik Devletleri|ABD]] üçgenine D tepe noktasından [[teğet]] geçecek ve taban olan BC'ye paralel olacak şekilde bir doğru çizilip kenarlar uzatıldığında yöndeş açılar kuralı yardımıyla bu önerme kanıtlanabilir.

== Üçgenlerin türleri ==
Üçgenler, kendilerini oluşturan parçaların ([[köşe]], [[Kenar (geometri)|kenar]], [[açılar]] vb.) aynı düzlemde olup olmadığına göre sınıflandırılabilir. Eğer üçgenin tamamı tek bir düzlemdeyse [[düzlem]]sel, diğer durumlarda da örneğin [[Küresel üçgen|küresel]] ya da [[Hiperbolik üçgen]] terimleri kullanılır.

=== Kenarlarına göre üçgenler ===
<gallery>
Dosya:Triangle.Equilateral.svg|{{Ortala|[[Eşkenar üçgen]]}}
Dosya:Triangle.Isosceles.svg|{{Ortala|[[İkizkenar üçgen]]}}
Dosya:Triangle.Scalene.svg|{{Ortala|[[Çeşitkenar üçgen]]}}
</gallery>

==== Eşkenar üçgen ====
{{Ana|Eşkenar üçgen}}

Tüm kenarları eşit olan üçgen olup iç açılarının her biri 60°'dir. Tabanlara indirilen dikmeler hem [[açıortay]], hem de [[kenarortay]]dır.

==== İkizkenar üçgen ====
{{Ana|İkizkenar üçgen}}
	
İki kenarı eşit olan üçgenlerdir. Ayrıca iki açısı birbirine eşittir. Eşit olmayan kenara indirilen [[Dikme (Matematik)|dikme]] hem [[açıortay]], hem [[kenarortay]] özelliği gösterir.

==== Çeşitkenar üçgen ====
                                                       
Her kenarının uzunluğu ve açısı farklıdır. Çeşitkenar üçgenin simetrisi yoktur.

=== Açılarına göre üçgenler ===
==== Dar açılı üçgen ====
Açıları 90 dereceden küçük olan üçgenlere dar açılı üçgen denir.

==== Dik açılı üçgen ====
{{Ana|Dik Üçgen}}

Bir açısı dik (yani 90°) olan üçgenlerdir. Bu üçgenlerde yükseklik dik kenarlardan biridir. En uzun kenarına [[hipotenüs]] denir.

==== Geniş açılı üçgen ====
Açılarından biri 90°den büyük olan üçgenlerdir. Sadece bir tek açısı geniş açı olabilir. Tabana ait yükseklik tabanın uzantısı ile kesişir.

== Üçgen bağıntıları ==

=== Pisagor bağıntısı ===
Bir dik üçgenin dik kenarlarına 'a' ve 'b' dersek [[hipotenüs]]ün karesi bu kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir. Buna [[Pisagor teoremi]] denir. Yani:

<math>\ a^2+b^2=c^2\!\,</math>.
[[Dosya:Pythagoras-2a.gif|küçükresim|{{Ortala|Pisagor bağıntısı}}]]
=== Alan hesaplamaları ===
==== Kenardan yararlanma ====
[[Dosya:Triangle.TrigArea.svg|upright=0.68|sol|küçükresim|{{Ortala|Alan hesaplaması}}]]
Bir üçgenin alanı, taban ve tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır:

<math>\frac{b.h}{2}=A(ABC)</math>

==== Açıdan yararlanma ====
Bir üçgenin alanı, herhangi iki kenarı ile aralarında kalan [[açı]]nın [[Sinüs (matematik)|sinüs]]ünün çarpımının yarısıdır.
<br /><math>A(ABC)=\frac{a.b.sin\gamma}{2}</math>

==== Heron yöntemi ====
Çevre uzunluğuna '2u', [[yarı çevre|yarısı]]na 'u' dersek alan:

<math>A(ABC)=\sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)}</math>

=== Kosinüs teoremi ===
{{Ana|Kosinüs teoremi}}
Herhangi bir üçgende a, b, c kenarlarını alalım. a ve b arasında kalan açı da <math>\alpha</math> olsun. c kenarını bulmak için kullanılacak formül:

<math>c=\sqrt{a^2+b^2-2ab.cos\alpha}</math>

=== Öklit bağıntısı ===
{{Ana|Öklid bağıntısı}}
[[Dosya:öklid.gif|küçükresim|{{Ortala|Öklid bağıntısı}}]]
Bir dik üçgende hipotenüse "a" diğer iki kenara "b" ve "c", hipotenüs uzunluğunun yüksekliğine "h", bu yüksekliğin ikiye böldüğü "c" kenarıyla ortak köşeye sahip olan parçaya "p", "b" kenarıyla ortak köşeye sahip olan parçaya "k" dersek,

<math> h^2=k.p</math>

<math> b^2=k(p+k)</math>

<math> c^2=p(p+k)</math>

<math>a.h=b.c</math>

== Üçgende yardımcı elemanlar ==
=== Açıortay ===
{{Ana|Açıortay}}
Bir açıyı iki eş açıya bölen doğru veya doğru parçasına açıortay denir. Açıortayların kesiştiği nokta, üçgenin içteğet [[çember|çemberinin merkezidir.]].
[[Dosya:Triangle ABC with bisector AD.svg|upright=0.8|sağ|küçükresim|{{Ortala|Açıortay}}]]
<math>\frac{|AC|}{|CD|}=\frac{|AB|}{|DB|}</math>
==== Açıortay uzunluğu ====
<math>|AD|=\sqrt{|AC||AB|-|BD||DC|}</math>

=== Kenarortay ===
{{Ana|Kenarortay}}
[[Dosya:Triangle.Centroid.svg|upright=0.8|sağ|küçükresim|{{Ortala|Kenarortaylar ve ağırlık merkezi}}]]
Bir üçgende bir köşeden karşısındaki kenara uzatılan doğru bu kenarı iki eş parçaya bölüyorsa buna kenarortay denir. Bir üçgende kenarortayların kesiştiği noktaya [[ağırlık merkezi]] denir. G harfi ile gösterilir.

Ağırlık merkezi, bir kenarortayı <math>2n</math> ve <math>n</math> olarak böler. Yani köşeye A, kenarortayın kenarı kestiği noktaya D dersek;
<br /><math>|AG|=2|GD|\!\,</math> olur.

==== Kenarortay teoremi ====
<math>2V^2_a=b^2+c^2-\frac{a^2}{2}</math>

== Üçgenlerle ilgili teoremler ==

=== Ceva teoremi ===
{{Ana|Ceva teoremi}}
[[Dosya:Ceva's theorem 1.svg|upright=0.8|küçükresim|{{Ortala|'''Ceva teoremi'''{{'}}nin uygulandığı üçgen}}]]
Ceva teoremi, üçgenin köşelerinden karşıdaki kenarın herhangi bir noktasına çizilen doğrulardan oluşan şekilde uygulanan bir teoremdir. Uygulaması şu şekildedir:

<math>\frac{|CE|}{|EA|}.\frac{|AF|}{|FB|}.\frac{|BD|}{|DC|}=1</math>

=== Menelaus teoremi ===
{{Ana|Menelaus teoremi}}
[[Dosya:Menelaus' theorem 1.svg|küçükresim|upright=0.91|{{Ortala|'''Menelaus teoremi'''}}]]
Üçgenle aynı düzlemde olan ve üçgenin köşelerinden geçmeyen herhangi bir doğrunun, üçgenin bir kenarının uzantısıyla kesişim noktalarının üçgenin köşelerine uzaklıkları arasındaki ilişkiyi anlatan teoremdir. Uygulaması:

<math>\frac{|FB|}{|FA|}.\frac{|AE|}{|EC|}.\frac{|CD|}{|DB|}=1</math>

=== Steward teoremi ===
{{Ana|Stewart teoremi}}
[[Dosya:Steward teoremi.PNG|upright=0.8|küçükresim|{{Ortala|'''Steward teoremi'''}}]]
Steward Teoremi, bir üçgende, bir köşeden karşı kenara çizilen herhangi bir doğru ile kenarlar arasındaki bir bağıntıdır. Bağıntı aşağıdaki gibidir:

<math>|AD|^2=\frac{c^2.n+b^2m}{m+n}-m.n</math>

=== Carnot teoremi ===
{{Ana|Carnot teoremi}}
Bir üçgenin iç bölgesinden alınan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerle kenarlar sırasıyla a, b (ilk kenar) x, y (ikinci kenar) m, n (üçüncü kenar) olmak üzere parçalara ayrılsın.
Benzerlik bağıntılarını kurduğumuzda:

<math>a^2+x^2+m^2=b^2+y^2+n^2\!\,</math>

==Ayrıca bakınız==
* [[Üçgen konuları listesi]]
* [[Matematiksel şekillerin listesi|Matematiksel şekiller listesi]]

== Dış bağlantılar ==
* [https://web.archive.org/web/20080429073218/http://skoool.meb.gov.tr/content/keystage3/maths/pc/learningsteps/TRILC/launch.html Üçgeni yeni öğrenenler için Milli Eğitim Bakanlığı'nın sayfası]

{{Çokgenler}}
{{Üçgen}}
{{Trigonometri}}

{{Otorite kontrolü}}

[[Kategori:Üçgen| ]]
[[Kategori:Üçgen geometrisi]]
[[Kategori:Temel şekiller]]