Üst ve alt sınır sayfasının kaynağını görüntüle

[[Matematik]]te bir (''P'', ≤) [[kısmi sıralı küme]]sine ait ''S'' [[alt küme]]sinin '''üst sınırı''', ''S''<nowiki>'</nowiki>nin her elemanına eşit ya da ondan büyük olan ''P'' elemanı, '''alt sınır''' ise ''S''<nowiki>'</nowiki>nin her elemanına eşit ya da ondan küçük olan ''P'' elemanı olarak tanımlanmaktadır. Üst sınırı olan bir küme '''üstten sınırlı''', alt sınırı olan bir küme de '''alttan sınırlı''' olarak adlandırılmaktadır.

== Özellikler ==
Bir ''P'' kısmi sıralı kümesine ait ''S'' alt kümesi herhangi bir sınıra sahip olmayabilir ya da farklı üst ve alt sınırlar bulundurabilir. [[Geçişlilik (matematik)|Geçişlilik özelliği]]nin sonucu olarak, ''S''<nowiki>'</nowiki>nin üst sınırına eşit ya da ondan büyük her değer ''S''<nowiki>'</nowiki>nin üst sınırı, ''S''<nowiki>'</nowiki>nin alt sınırına eşit ya da ondan küçük her değer ''S''<nowiki>'</nowiki>nin alt sınırı olacaktır.

Bir ''P'' kısmi sıralı kümesine ait ''S'' alt kümesinin sınırları ''S''<nowiki>'</nowiki>nin elemanı olmayabilir. ''S'' bir üst sınıra sahipse, eşsiz olan bu üst sınır ''S''<nowiki>'</nowiki>nin en büyük elemanı olarak adlandırılır. Bu değer (tanımlıysa) ''S''<nowiki>'</nowiki>nin en küçük üst sınırıdır. Bir alt kümenin alt ve üst sınır kümelerinin eşit olması özel bir durumdur ve Dedekind kesimi terimiyle açıklanır.

Bir ''P'' kısmi sıralı kümesine ait Φ boş alt kümesinin alttan ve üstten sınırlı olduğu kabul edilmektedir. Bu durumda, ''P''<nowiki>'</nowiki>nin her elemanı Φ için bir alt ve üst sınır ifade etmektedir.

== Örnekler ==
2 ve 5 {5, 10, 34, 13934} kümesinin alt sınırlarıyken 8 böyle bir özellik taşımamaktadır. {42} kümesinin ise alt ve üst sınır değeri 42'dir. Diğer tüm sayılar bu kümenin alt ya da üst sınırından yalnızca birini karşılayabilirler.

[[Doğal sayılar]] kümesinin en küçük elemanının tanımlı oluşu (tanıma göre 0 ya da 1) bu kümenin bir alt sınırı olduğunu kanıtlamaktadır. Bir [[tümden sıralı küme]]nin tüm sonlu alt kümeleri alt ve üst sınıra sahiptir.

Doğal sayılar kümesinin sonsuz alt kümelerinin üst sınırı bulunmamaktadır. [[Tam sayılar]] kümesinin sonsuz alt kümeleri ise alttan ya da üstten sınırlı olabilirler. [[Rasyonel sayılar]] kümesinin sonsuz alt kümeleri alttan ya da üstten sınırlı ya da sınırsız olabilmektedir.

== İşlev sınırları ==
[[İşlev]]leri ''F'' [[tanım kümesi]] ve bir kısmi sıralı [[değer kümesi]]nde tanımlı ''S'' kümesi için, ''S''<nowiki>'</nowiki>de tanımlı her ''f'' işlevi ve ''F''<nowiki>'</nowiki>de tanımlı her ''x''

:<math>f(x) \le g(x)</math>

koşulunu sağlıyorsa, <math>G \supseteq F</math> kümesinde tanımlı bir ''g'' işlevi ''S''<nowiki>'</nowiki>nin ''üst sınırı'' olur. Özetle, ''S''<nowiki>'</nowiki>de tanımlı tek bir ''f'' işlevi bulunuyorsa ''g'', ''f''<nowiki>'</nowiki>nin ''üst sınırı'' olarak adlandırılır. Ne var ki bu, ''f''<nowiki>'</nowiki>nin ''g''<nowiki>'</nowiki>ye ait bir ''alt sınır'' olduğu anlamına gelmemektedir.

== Kaynakça ==

* {{Kitap kaynağı| yazar = B. A. Davey & H. A. Priestley| yıl =2002| başlık = Introduction to Lattices and Order| basım = 2 | yayımcı = Cambridge University Press| id = ISBN 0-521-78451-4}}

[[Kategori:Sıra teorisi]]