Üstel tip sayfasının kaynağını görüntüle

[[Matematik|Matematiğin]] bir alt dalı olan [[karmaşık analiz]]de, [[Holomorf fonksiyon|holomorf]] bir fonksiyonun <math>|z|\to\infty</math> iken büyümesi, <math>C</math> gerçel bir sayı olmak üzere, <math>e^{C|z|}</math> [[üstel fonksiyon]]u ile sınırlanıyorsa, o zaman bu holomorf fonksiyonun '''üstel tipi <math>C</math>''''dir denir.

Holomorf bir fonksiyon bu şekilde bir üstel fonksiyon tarafından kontrol altında tutulduğunda, bu fonksiyonu terimleri başka karmaşık fonksiyonlardan oluşan yakınsak seriler halinde yazabilmek mümkün olmaktadır.  Ayrıca, 
[[Borel toplamı]] gibi tekniklerin ne zaman uygulanabileceğini anlamak veya örneğin [[Mellin dönüşümü]]nü uygulamak veya [[Euler-Maclaurin formülü]] kullanılarak yaklaşıklıklar yapmak mümkün olur. En genel durum, [[Nachbin teoremi]] tarafından verilmektedir ki bu teoremde, genel bir <math>\Psi(z)</math> fonksiyonuna karşılık '''<math>\Psi</math> tipi''' tanımlanır.

== Tanıma yönelik temel fikir==
[[Karmaşık düzlem]]de <math>z</math> değişkenini <math>z=re^{i\theta}</math> ile temsil edelim ve yine aynı düzlemnde tanımlı bir <math>f(z)</math> fonksiyonunu ele alalım. Eğer <math>r\to\infty</math> iken,
:<math>\left|f\left(re^{i\theta}\right)\right| \le Me^{\tau r}</math>
eşitsizliğini sağlayan gerçel bir <math>M</math> and <math>\tau</math> değerleri varsa, o zaman  <math>f(z)</math> fonksiyonuna '''üstel tipli fonksiyon''' denir. Burada, dikkat edilmesi gereken, bu eşitsizliğin bütün <math>\theta</math> değerleri için geçerli olmasıdır; diğer deyişle, fonksiyonun hangi yöne doğru büyümesinin alınması fark etmezsizin, bu büyümenin bir üstel fonksiyon tarafından sınırlandırılması yani kontrol altında tutulması esas fikirdir. Bu tür bir büyümenin sağlandığı en küçük <math>\tau</math> değerine ya da daha doğru deyişle bu tür <math>\tau</math> değerlerinin [[infimum]]una, fonksiyonun '''üstel tipi''' denir.

Örneğin, <math>f(z)=\sin(\pi z)</math> fonksiyonunu göz önüne alalım. Her <math>z\in \C</math> için <math>\sin{z}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> olduğu için,
:<math> |f(z)|=|\sin(\pi z)| = \Bigg | \frac{e^{i \pi z}-e^{-i\pi z}}{2i} \Bigg | \le\frac{1}{2}|e^{i\pi z}-e^{-i\pi z}|\le e^{\pi |z|}</math>
elde edilir. Aynı zamanda, <math>y>0</math> için <math>z=-iy</math> alınırsa, o zaman fonksiyonun üstel tipinin <math>\pi</math> olduğu gerçekten görülecektir. Böylece, bu örnek için, [[Carlson teoremi]] uygulanamaz; çünkü, bu teoremde, fonksiyonların üstel tipinin <math>\pi</math>'den kesinlikle az olması varsayılır.

== Tanım ==
[[Holomorf fonksiyon|Holomorf]] bir <math>F(z)</math> fonksiyonu verilmiş olsun.  Bir <math>\sigma>0</math> ve her <math>\varepsilon>0</math> için  
:<math>|F(z)|\leq A_\varepsilon e^{(\sigma+\varepsilon)|z|}</math>
eşitsizliğini <math>|z|\to\infty</math> iken sağlayan sabit bir <math>A_\varepsilon </math> varsa, o zaman <math>F(z)</math> '''üstel tipi <math>\sigma>0</math> olan''' bir fonksiyondur.
Bu durumda,
:<math>\tau(F)=\sigma=\displaystyle\limsup_{|z|\rightarrow\infty}|z|^{-1}\log|F(z)|</math>
<math>F(z)</math> fonksiyonunun '''üstel tipi'''dir. Buradaki [[limsup]], verilen bir yarıçaptan büyük yarıçap değerleri için alınan bölümlerin [[supremum]]unun yarıçap sonsuza giderken limitidir. Belli bir yarıçap değeri için alınan maksimum bölüm değerlerinin yarıçap sonsuza giderken limit supremum değeri yine buradaki limsup değeridir.  Belli bir yarıçap değeri için hesaplanan maksimumların yarıçap sonsuza giderken limiti olmasa bile, daha önce bahsedilen limsup değeri var olabilir. Örneğin,
:<math>F(z)=\sum_{n=1}^\infty\frac{z^{10^{n!}}}{(10^{n!})!}</math>
serisini ele alalım ve 
:<math> (\max_{|z|=r} \log|F(z)|) / r</math>
değerine <math>r=10^{n!-1}</math>  iken bakalım.  Bu durumda, <math>(n-1)^\text{inci}</math>  terim 
<math> \max_{|z|=10^{n!-1}} \log|F(z)|/ {10^{n!-1}}</math> terimine baskındır. O hâlde, 
:<math>\begin{align}
\left(\max_{|z|=10^{n!-1}} \log|F(z)|\right) / 10^{n!-1}&\sim\left(\log\frac{(10^{n!-1})^{10^{(n-1)!}}}{(10^{(n-1)!})!}\right)/10^{n!-1}\\
&\sim(\log 10)\left[(n!-1)10^{(n-1)!}-10^{(n-1)!}(n-1)!\right]/10^{n!-1}\\
&\sim(\log 10)(n!-1-(n-1)!)/10^{n!-1-(n-1)!}\\
\end{align}</math>
asimptotik bağlantıları vardır ki bu durumda sağ taraf <math>n</math> sonsuza giderken 0'a gider.<ref group="not">Hatta, <math>r=10^{n!-1}</math> iken bile, <math>(\max_{|z|=r}\log \log|F(z)|) /(\log r)</math> (<math>n</math> sonsuza giderken) sıfıra gider.</math></ref> Ancak, <math>F(z)</math> fonksiyonuna sadece <math>z=10^{n!}</math> noktalarında bakmakla fonksiyonun üstel tipinin 1 olduğu görülebilir.

== Simetrik ve dışbükey bir cisme göre üstel tip ==
Üstel tipin çok değişkenli karmaşık fonksiyonlar için bir genelleştirmesi [[Elias Stein]] tarafından verilmiştir.<ref>{{kaynak
|  soyadı = Stein
|  ad = E.M.
|yazarbağı= Elias M. Stein
|  başlık = Functions of exponential type
|dergi= Ann. of Math. |seri =  2
|  cilt = 65
|  yıl = 1957
|  sayfalar =582&ndash;592|  mr = 0085342
|  jstor = 1970066
|doi= 10.2307/1970066
}}</ref>
Diyelim ki <math>K</math> kümesi <math>\mathbb{R}^n</math>nin [[Dışbükey küme|dışbükey]], [[Tıkızlık|tıkız]] ve [[simetri]]k olan bir altkümesi olsun.<ref group="not">Akademik Bilim Terimleri Sözlüğü'ne göre, Öklid uzayında dışbükey, kapalı ve sınırlı olan bir altkümeye  [https://terimler.org/terim/disbukey-cisim dışbükey cisim] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20241203132829/https://terimler.org/terim/disbukey-cisim |tarih=3 Aralık 2024 }} denir.</ref> Böyle her <math>K</math> için 
:<math> K= \{x\in\mathbb{R}^n : \|x\|_K \leq1\}</math>
küme eşitliği sağlayan bir <math> \|\cdot\|_K </math> normu vardır. Diğer deyişle, <math>K</math> kümesi,  <math>\mathbb{R}^{n}</math>deki bir <math>\|\cdot\|_K</math> normuna göre birim yuvardır. 
:<math>K^{*}=\{y\in\mathbb{R}^{n}:x\cdot y \leq 1 \text{ her } x\in{K}\}</math>
kümesi ise <math>K</math> kümesinin [[polar küme]]sidir.  <math>K^{*}</math> kümesi de yine <math>\mathbb{R}^n</math>nin dışbükey, tıkız ve simetrik altkümesidir. Dahası,
:<math>\|x\|_K = \displaystyle\sup_{y\in K^{*}}|x\cdot y|</math>
yazılabilir. Öyleyse, <math>\|\cdot\|_K</math> normu  <math>\mathbb{R}^n</math>den <math>\mathbb{C}^n</math>ye şu şekilde genişletilebilir: 
:<math>\|z\|_K = \displaystyle\sup_{y\in K^{*}}|z\cdot y|.</math>

Sonuç olarak, <math>n</math> tane karmaşık değişkeni olan bir <math>F(z)</math> fonksiyonunu ele alalım. Her <math>\varepsilon>0</math> için
:<math>|F(z)|<A_\varepsilon e^{2\pi(1+\varepsilon)\|z\|_K}</math>
eşitsizliğini bütün <math>z\in\mathbb{C}^{n}</math> için sağlayacak bir <math>A_\varepsilon</math>  sayısı varsa, o zaman, <math>F(z)</math> fonksiyonuna '''<math>K</math> kümesine göre üstel tipli''' denir.

== Fréchet  uzayı ==
Üstel tip <math>\tau</math> olan fonksiyonların uzayı [[tam uzay|tam]] bir [[düzgün uzay]] oluşturur. Başka bir deyişle, sayılabilir
:<math> \| f \|_n = \sup_{z \in \mathbb{C}} e^{-\left(\tau + \frac{1}{n}\right)|z|} |f(z)|</math>
norm ailesi tarafından doğurulan topolojiyle donatıldığında, bu uzay bir [[Fréchet uzayı]] olur.

== Ayrıca bakınız ==

== Notlar ==
<references group="not"/>

== Kaynakça ==
{{Kaynakça}}

[[Kategori:Karmaşık analiz]]