İ sayısı sayfasının kaynağını görüntüle

[[Dosya:ImaginaryUnit5.svg|küçükresim|sağ| [[kartezyen koordinat sistemi|kartezyen düzlem]]'de '''i''''nin gösterimi. Yatay eksen reel sayıları, dikey eksen sanal sayıları gösterir.]]
'''Sanal birim''' ya da '''i sayısı''', x<sup>2</sup>&nbsp;= -1 eşitliğini sağlayan bir sayıdır. [[Reel sayılar]] kümesindeki hiçbir sayının karesi negatif olamayacağı için, bu [[İkinci dereceden denklemler|ikinci dereceden denklemi]] sağlayan fakat reel sayılar kümesine ait olmayan böyle bir sayı, genellikle  '''i''' notasyonu ile gösterilir. '''i sayısı,''' ℝ ile gösterilen reel sayılar kümesini ℂ ile gösterilen [[Karmaşık sayı|kompleks sayılar]] kümesine genişleten ve sabit olmayan her bir P(x) polinomu için en az bir kök sağlayan matematiksel bir kavramdır. "Hayali" terimi negatif kareye sahip gerçek sayı olmadığı için kullanılır.

-1'in, bir çift karekökü olan 0 dışında her gerçek sayının iki karmaşık karekökü olduğu gibi, '''i''' ve '''-i''' olarak adlandırılan iki adet sanal karekökü vardır.

== Tanımı ==
<div align=right style="float: right;">''' i'nin kuvvetleri ile tekrarlanan döngü:'''
{| class="wikitable"
|-
|<math>\ldots</math> (tekrarlanan desen mavi bölgedir)
|-
|<math>i^{-3} = i\,</math>
|-
|<math>i^{-2} = -1\,</math>
|-
|<math>i^{-1} = -i\,</math>
|-
| style="background:#cedff2;" | <math>i^0 = 1\,</math>
|-
|style="background:#cedff2;" | <math>i^1 = i\,</math>
|-
|style="background:#cedff2;" | <math>i^2 = -1\,</math>
|-
|style="background:#cedff2;" | <math>i^3 = -i\,</math>
|-
|<math>i^4 = 1\,</math>
|-
|<math>i^5 = i\,</math>
|-
|<math>i^6 = -1\,</math>
|-
|<math>\ldots</math> (tekrarlanan desen mavi bölgedir)
|-
|}</div>

'''i''' sayısı karesi -1 olan sayıdır. Dolayısıyla, x<sup>2</sup>&nbsp;= -1 eşitliğinin bir çözümüdür.

'''i''''yi bu şekilde tanımlandığında, cebrî olarak hemen '''i''' ve '''-i'''<nowiki/>'nin karelerinin -1 olduğu sonucuna ulaşırız.

Reel sayılar üzerinde işlem yapılırken, sanal ve komplex sayılar '''i''''ye herhangi bir bilinmeyen gibi yaklaşılarak kullanılabilir. İşlemler tamamlandığında, '''i''''nin tanımına geri dönülerek, '''i' ''<sup>2</sup> görülen her yere -1 yazılıp işlem tamamlanabilir. Ayrıca '''i''''nin kuvvetleri &nbsp;'''−i''', 1,&nbsp;'''i''' veya −1 ile yer değiştirilebilir.
:<math>i^3 = i^2 i = (-1) i = -i \,</math>
:<math>i^4 = i^3 i = (-i) i = -(i^2) = -(-1) = 1 \,</math>
:<math>i^5 = i^4 i = (1) i = i. \,</math>

Sıfır dışında herhangi bir reel sayıya benzer şekilde, '''i'''nin sıfırıncı kuvveti 1'dir:

:<math>i^0 = i^{1-1} = i^1i^{-1} = i^1\frac{1}{i} = i\frac{1}{i} = \frac{i}{i} = 1 \,</math>

==i ve -i==
<math>x^2+1= 0</math> polinomu dışında başka hiçbir ikinci derece polinomunda çok katlı ve kökleri birbirlerini destekleyen ve tersi olacak böyle bir özellik yoktur.
'''i''' ve '''-i''''nin birbirlerine eşit olmadığı -bir çözümdür- ve kanıtlanabilir, denklemin çözümünü sadece i olarak vermek belirsizlik ortaya çıkarır.Ancak '''i''' ve '''-i''' niceliksel ve niteliksel olarak kıyaslamada kullanılamaz. Her iki imajiner sayının kareleri -1 dir.
<math>x^2+1= 0</math> bağıntısında köklerde birisi daha notasyonel olsa da hiçbiri daha öncelikli kabul edilemez.
Bu konularda en hassas açıklama karmaşık düzlemde tanımlanan '''R'''[''X'']/ (''X''<sup>2</sup> + 1), izomorfizmdir, neredeyse böyle eşsiz bir izomorfizm yoktur.
'''R'''[''X'']/ (''X''<sup>2</sup> + 1)'de ''X'' dan −''X'' a birbirine eş iki otomorfik düzlem vardır.
Bakınız [[Karmaşık sayı]], [[complex conjugation]], [[automorphism|field automorphism]] ve [[Galois group]].
Kompleks sayılar 2 × 2 reel matrisinde yorumlanırsa [[Matrix (matematik)|matrisler]] (bkz. [[Kompleks sayılar]]), benzer sorunlar doğar,çünkü burada;
:<math> X^2 = -I. \ </math>
matris denkleminin çözümü
:<math>X = \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & \;\; 0 
\end{pmatrix}</math>
ve
:<math>X = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & \;\; 0 
\end{pmatrix}
</math>

şeklindedir.
Tüm bu belirsizlikleri çözmek için kompleks sayılardaki imajiner birim tanımına 
sadık kalmalıyız.
Örneğin iki boyutlu vektörlerin inşasında (0,1) vektörü kullanılır.
== Doğru kullanım ==
İmajiner birim bazen uzman matematik bağlamlarında <math>\sqrt{-1}</math> olarak yazılır. (veya daha az uzman fakat popular bağlamda ). Ancak,[[N'inci kök|kök]] bulmak gibi durumlarda manipüle şekli kullanılmaktadır. Çünkü prensip olarak [[karekök]] fonksiyon,''yalnızca x'' ≥ 0, gerçel durumlar için tanımlanır veya disipliner bir şekilde kompleks karekök fonksiyon olarak ele alınmalıdır.Eğer kompleks karekök fonksiyon manipulasyonu yapılmazsa yanlış sonuçlar çıkabilir:

:<math>-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1</math>    ''(tutarsız)''.

tutarlı bir yöntemin pozitif ve negatif kökler için çıkardığı farklı sonuçlar:
:<math>-1 = i \cdot i = \pm \sqrt{-1} \cdot \pm \sqrt{-1} = \pm \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \pm \sqrt{1} = \pm 1</math>   ''(farklılık)''.

Hesaplama kuralı
:<math>a</math> ve <math>b</math>'nin yalnızca negatif olmayan gerçel değerleri için
:<math>\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}</math>. geçerlidir.
Bu tür hataların önüne geçmek için, bir strateji olarak kare kök işareti altında negatif bir sayı asla kullanılmamalıdır,örneğin
:<math>\sqrt{-7}</math>, yerine <math>i\sqrt{7}</math> yazılmalıdır.

==i sayısı'nın karekökü==
imajiner birimin karekökünü karmaşık sayılar içinde ifade edebilmek için iki rakam gereklidir.Ancak bu gerekli değildir: :<ref name="qcorner">[http://www.math.utoronto.ca/mathnet/questionCorner/rootofi.html University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i?] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20110607223806/http://www.math.utoronto.ca/mathnet/questionCorner/rootofi.html |tarih=7 Haziran 2011 }} URL retrieved March 26, 2007.</ref>

:<math> \pm \sqrt{i} = \pm \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i). </math>,
çünkü :<math> \pm \sqrt{i} </math> ifadesini kullanmak daha pratiktir.

:{|
|<math>\left( \pm \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i) \right)^2 \ </math>
|<math>= \left( \pm \frac{\sqrt{2}}2 \right)^2 (1 + i)^2 \ </math>
|-
|
|<math>= \frac{1}{2} (1 + i)(1 + i) \ </math>
|-
|
|<math>= \frac{1}{2} (1 + 2i + i^2) \quad \quad \quad (i^2 = -1) \ </math>
|-
|
|<math>= \frac{1}{2} (1 + 2i - 1) \ </math>
|-
|
|<math>= \frac{1}{2} (2i) \ </math>
|-
|
|<math>= i. \ </math>
|}

== '''i''' sayısı'nın tersi ==
'''i''''nin tersi kolaylıkla bulunur.:
:<math>\frac{1}{i} = \frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i</math>
Bütün kompleks sayıların bölmesinde ''i'' 'nin kullanılan şekli :
:<math>\frac{a + bi}{i} = -i\,(a + bi) = -ai - bi^2 = b - ai </math>

== '''i''' sayısı'nın kuvvetleri ==
'''i''' sayısının kuvvetleriyle tekrarlanan evresi:
:<math>\ldots</math>
:<math>i^{-3} = i\,</math>
:<math>i^{-2} = -1\,</math>
:<math>i^{-1} = -i\,</math>
:<math>i^0 = 1\,</math>
:<math>i^1 = i\,</math>
:<math>i^2 = -1\,</math>
:<math>i^3 = -i\,</math>
:<math>i^4 = 1\,</math>
:<math>\ldots</math>

Herhangi bir ''n'' tam sayısına eklenen değerler şu açılım desenlerini verir:

:<math>i^{4n} = 1\,</math>
:<math>i^{4n+1} = i\,</math>
:<math>i^{4n+2} = -1\,</math>
:<math>i^{4n+3} = -i.\,</math>
sonuç olarak
:<math>i^n = i^{n \bmod 4}\,</math>

Burada ''mod 4'' gösterimi [[operasyon modülü|aritmetik modül 4]].
=== Faktöriyel ===
Sanal birim {{Matematik|i}} nin [[faktöriyel]]i  [[gama fonksiyonu]]nun terimleri içinde sıklıkla verilen {{Matematik|1 + '''i'''}} de değerlendirilir:
:<math>i! = \Gamma(1+i) \approx 0.4980 - 0.1549i.</math>

Ayrıca,
:<math>|i!| = \sqrt{\pi \over \sinh \pi} </math><ref>"[http://www.wolframalpha.com/input/?i=abs(i!) abs(i!)] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20150706045535/http://www.wolframalpha.com/input/?i=abs(i!) |tarih=6 Temmuz 2015 }}", ''WolframAlpha''.</ref>

== Euler formülü ==

[[Euler formülü]]

:<math>e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \,</math> ,şeklindedir.
burada ''x'' gerçel bir sayıdır. Bu formülde kompleks ''x'' analitik olarak gösterilebilir.

''x'' = π alınırsa

:<math>e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1 + i0 \,</math>

ve 
[[Euler özdeşliği]]:

:<math>e^{i\pi} + 1 = 0.\,</math>
zarif bir şekle gelir.
Bu basit özdeşlikte beş farklı değeri bir arada bulabiliriz([[0]], [[1 (sayı)|1]], [[pi sayısı|π]], ''[[e sayısı|e]]'' ve '''i''') ve temel operatörler toplama,çarpma,üs alma'da bir aradadır.

=== Örnekler ===
''x'' = π/2 − 2π''N'', alalım burada ''N'' herhangi bir sayıdır.
:<math>e^{i(\pi/2 - 2N\pi)} = i.\,</math>

veya, ''i'',yi üs yaparak

:<math>e^{i i(\pi/2 - 2N\pi)} = i^i \,</math>

veya

:<math>e^{-(\pi/2 - 2N\pi)} = i^i \,</math>,

:<math>e^{-(\pi/2 - 2N\pi)} = i^i \,</math>,

:<math>i^i = e^{-\pi/2 + 2\pi N}\,</math>

burada ''N'' herhangi bir tam sayıdır. Bu değer gerçel, ama eşitsizlikle

sonuçlanmamıştır.

''N = 0'' olarak girildiğinde;
:<math>i^i = e^{-\pi/2} = 0.207879576....\,</math>

Diğer birkaç örnek

:<math>\ln(i) = i\pi/2 \,</math>

:<math>i\ln(i) = -\pi/2 \,</math>

:<math>i^{\ln(i)} =e^{({\ln(i)})^2}= e^{-\pi^{2}/4}=0,1076929315 \,</math>

== i sayısı ile yapılan işlemler ==
Gerçel sayılarla birlikte '''i''';üs alma, kök alma, logaritma ve trigonometrik fonksiyonlu birçok matematiksel işlemlerde bir arada kullanılabilir.

Bir sayının ''n'''i'''''<sup>nci</sup> kuvveti:
:<math> \!\ x^{ni} = \cos(\ln(x^n)) + i \sin(\ln(x^n)).</math>

Bir sayının ''n'''i''''''<sup>nci</sup> kuvvetten kökü :

:<math> \!\ \sqrt[ni]{x} = \cos(\ln(\sqrt[n]{x})) - i \sin(\ln(\sqrt[n]{x})).</math>

Bir sayının [[imajiner-tabanlı logaritma]]'sı :

:<math> \log_i(x) = {{2 \ln(x)} \over i\pi}.</math>

görüldüğü gibi i tabanlı log herhangi tabanlı  gibi tanımlı değil

'''i''''li cos gerçel bir sayıdır:
:<math> \cos(i) = \cosh(1) = {{e + 1/e} \over 2} = {{e^2 + 1} \over 2e} = 1.54308064.</math>

ve '''i''''li sin imajinerdir:
:<math> \sin(i) = \sinh(1) \, i = {{e - 1/e} \over 2} \, i = {{e^2 - 1} \over 2e} \, i = 1.17520119 \, i.</math>

== Alternatif gösterimler ==

* [[Elektrik mühendisliği]] ve diğer alanlarda, zamanın bir fonksiyonu olan '''i'''('''t''') veya sadece '''i''' olan [[akım (elektrik)|elektrik akımı]] ile karıştırılmaması için imajiner birim <math>j\,</math> seçilmiştir. Ancak [[Python|Python programlama dili]]'ndede imajiner birim '''j''' olarak kullanılır. ise, '''i''' ve '''j''' gösterimlerini aynı şekilde algılar.
* Bazı özel incelem durumları içeren ders kitaplarında ise '''j''' = −'''i''', alma ihtiyacı vardır.
:özellikle hareketli dalgalar (e.g. x yönünde hareket eden [[düzlem dalga]] için
:<math>e^{ i (kx - \omega t)} = e^{ j (\omega t-kx)} \,</math>).
* Bazı yazılarda yazıyla imaijner birim'le karıştırmamak için  (ι ) kullanılır .örnek: .

== Ayrıca bakınız ==
* [[Alfred Tarski]]
* [[sanal sayı]]
* [[Karmaşık düzlem]]
* [[Birimin kökü]]

== Notlar ==
{{kaynakça}}

== Kaynakça ==
* Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

== Dış bağlantılar ==
* [https://web.archive.org/web/20070625162103/http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=640&bodyId=1038 Euler's work on Imaginary Roots of Polynomials] at [http://mathdl.maa.org/convergence/1/ Convergence]{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20070625162103/http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=640&bodyId=1038 |tarih=25 Haziran 2007 }}

{{küçük harf}}

[[Kategori:Karmaşık sayılar]]
[[Kategori:Cebirsel sayılar]]