Açık gönderim teoremi (karmaşık analiz) sayfasının kaynağını görüntüle

[[Karmaşık analiz]]de '''açık gönderim teoremi''', ''U'', [[karmaşık düzlem]] '''C''' 'nin [[bağlantılı uzay|bağlantılı]] açık bir altkümesiyse ve ''f'' : ''U'' → '''C''' sabit olmayan [[holomorf]] bir fonksiyonsa, o zaman ''f'' 'nin [[açık gönderim]] olduğunu ifade eder (yani ''U'' 'nun açık altkümelerini '''C''' 'nin açık altkümelerine gönderir).

Açık gönderim teoremi, holomorfluk ve gerçel türevlenebilirlik arasındaki keskin farkı ortaya koyar. Mesela, gerçel sayılar üzerinde, ''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> türevlenebilir fonksiyonu açık bir gönderim değildir çünkü (-1,1) [[açık aralığı]]nın görüntüsü [0,1) yarıaçık aralığıdır.

Teorem, örneğin, sabit olmayan bir [[holomorf fonksiyon]]un açık bir diski bir doğrunun parçasına örten bir şekilde gönderemeyeceğini gösterir.

=== Kanıt ===
[[Dosya:OpenMapping1.png|frame|sağ|Mavi noktalar ''g''(''z'') 'nin sıfırlarını göstermektedir. Sivri siyah şekiller kutupları temsil etmektedir. ''U'' açık kümesinin sınırı kesik çigilerle gösterilmektedir. Burada bütün kutuplar açık kümenin dışındadır. Daha küçük olan kırmızı çember kanıtta kurulan ''B'' kümesidir.]]

''f'':''U'' → '''C''' sabit olmayan holomorf bir fonksiyon olsun ve <math>U</math> karmaşık düzlemin bağlantılı bir [[açık küme|açık]] altkümesi olsun. <math>f(U)</math>'daki her noktanın <math>f(U)</math>'nun bir [[iç nokta]]sı olduğunu göstermeliyiz; yani <math>f(U)</math> içindeki her noktanın <math>f(U)</math> içinde yer alan bir diskin içinde olduğunu göstermeliyiz.

<math>U</math> içinde rastgele bir <math>z_0</math> noktasını alalım. ''U'' açık olduğu için, bir <math>d>0</math> bulabiliriz öyle ki ''z''<sub>0</sub> etrafında, ''d'' yarıçaplı <math>B</math> kapalı diski tamamen ''U'' içinde yer alır. ''U'' bağlantılı olduğu ve ''f'', ''U'' üzerinde sabit olmadığı için, ''f'' 'nin ''B'' üzerinde sabit olmadığını biliyoruz. Görüntü noktası <math>w_0 = f(z_0)</math> 'ı ele alalım. <math>f(z_0)-w_0 = 0</math> olur ve <math>z_0</math>, <math>g(z)=f(z)-w_0</math> fonksiyonunun [[kök]]ü olur.

''g''(''z'') 'nin sabit olmadığını biliyoruz ve ''d'' yi daha da azaltarak ''g''(''z'') 'nin ''B'' içinde tek bir kökü olmasını sağlayabiliriz; çünkü, sabit olmayan holomorf fonksiyonların kökleri izoledir yani yalıktıktır. ''e'', ''B'' 'nin sınırındaki ''z'' değerleri için |''g''(''z'')| 'nin minimum değeri olsun (pozitif sayı). (''B'' 'nin sınırı çemberdir ve bu yüzden [[tıkız küme]]dir. |(''g''(''z'')| [[sürekli fonksiyon]]dur. Böylece, [[ekstremum değer teoremi]] bu minimumun varlığını kanıtlar.) <math>w_0</math> etrafındaki <math>e</math> yarıçaplı diski <math>D</math> ile gösterelim. [[Rouché teoremi]], <math>w_0</math> 'a uzaklığı <math>e</math> 'den az olan her <math>w</math> için <math>g(z)=f(z)-w_0</math> ve <math>f(z)-w</math> 'nin ''B'' içinde aynı sayıda köke sahip olacağını ifade eder. Bu yüzden, <math>D</math> içindeki her <math>w</math> için, <math>B</math> 'de <math>f(z_1) = w</math> olacak şekilde sadece bir tane <math>z_1</math> vardır. Bu da, ''D'' diskinin <math>f(U)</math> 'nun altkümesi olan ''f''(''B'') 'de yer aldığı anlamına gelir.

== Kaynakça ==
* {{Kaynak|ad=Walter|soyadı=Rudin|authorlink=Walter Rudin|başlık=Real & Complex Analysis|yayıncı=McGraw-Hill|yıl=1966|isbn=0-07-054234-1}}

[[Kategori:Karmaşık analiz teoremleri]]
[[Kategori:Matematik teoremleri]]
[[Kategori:Kanıt içeren maddeler]]