Altmışlık sayı sistemi sayfasının kaynağını görüntüle

'''Altmış tabanı''' olarak da bilinen '''altmışlı''',<ref>{{IPAc-en|s|ɛ|k|s|ə|ˈ|dʒ|ɛ|s|ᵻ|m|əl}} ve {{IPAc-en|s|ɛ|k|ˈ|s|æ|dʒ|ᵻ|n|ər|i}} şeklinde telaffuz edilir; bakınız {{Oxford2e|sexagesimal}}</ref> '''altmışlık sistem''' veya '''altmışlık düzen''', [[Taban (aritmetik)|taban]] olarak [[60 (sayı)|altmış]] olan bir [[Sayısal sistem|sayı sistemi]]dir. MÖ 3. binyılda eski [[Sümerler]]de ortaya çıktı, eski [[Babilliler]]e aktarıldı ve günümüzde hala [[zaman]]ı, [[açı]]ları ve [[Coğrafi koordinat sistemi|coğrafi koordinatları]] ölçmek için geçmişten bir miras olarak değiştirilmiş bir biçimde kullanılmaktadır.

Bir [[üstün yüksek derecede bileşik sayı]] olan 60 sayısı on iki [[Çarpanlara ayırma|çarpan]]a sahiptir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60, bunlardan 2, 3 ve 5 [[asal sayı]]lardır. Bu kadar çok çarpanla, altmışlık sayıları içeren birçok [[kesir]] basitleştirilmiştir. Örneğin, bir saat eşit olarak 30 dakika, 20 dakika, 15 dakika, 12 dakika, 10 dakika, 6 dakika, 5 dakika, 4 dakika, 3 dakika, 2 dakika ve 1 dakikalık bölümlere bölünebilir. 60, 1'den 6'ya kadar her sayıya bölünebilen en küçük sayıdır; yani, 1, 2, 3, 4, 5 ve 6'nın [[Ortak kat|en küçük ortak katı (EKOK)]]'dır.

: ''Bu makalede, altmış tabanındaki rakamların tümü, aksi belirtilmediği sürece ondalık sayılarla temsil edilmektedir.'' ''Örneğin,'' 10'', [[10 (sayı)|on]] sayısı ve'' 60'', [[60 (sayı)|altmış]] sayısı anlamına gelir.''

== Kökeni ==
İnsanların yalnızca bir ellerini kullanarak [[Parmak sayma|parmaklarıyla]] 12'ye kadar saymaları mümkündür, başparmak sırayla her bir [[parmak kemiği]]ni işaret eder. Asya'nın birçok bölgesinde hala kullanımda olan geleneksel bir sayma sistemi bu şekilde çalışır ve 10, 20 ve 5'e dayalı olanların yanı sıra 12 ve 60'a dayanan sayı sistemlerinin oluşumunu açıklamaya yardımcı olabilir. Bu sistemde, bir el tekrar tekrar 12'ye kadar sayar, diğerinde yineleme sayısını gösterir, beş düzine, yani 60'a ulaşana kadar.<ref name="Ifrah">{{Kaynak|başlık=The Universal History of Numbers: From prehistory to the invention of the computer.|soyadı = Ifrah|ad = Georges|yayıncı=[[John Wiley and Sons]]|yıl=2000|isbn=978-0-471-37568-5|oclc=42291138|yayınyeri=New York}}. Fransızca'dan David Bellos, E.F. Harding, Sophie Wood ve Ian Monk tarafından çevrilmiştir.</ref><ref name="Macey">{{Kaynak|url=https://books.google.com/books?id=xlzCWmXguwsC&pg=PA92&lpg=PA92|başlık=The Dynamics of Progress: Time, Method, and Measure|sayfalar=92|yer=Atlanta, Georgia|yayıncı=University of Georgia Press|yıl=1989|isbn=978-0-8203-3796-8|soyadı=Macey|ad=Samuel L.|oclc=1113278749|yayınyeri=Atina, Londra|erişimtarihi=28 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20200614083226/https://books.google.com/books?id=xlzCWmXguwsC&pg=PA92&lpg=PA92|arşivtarihi=14 Haziran 2020|ölüurl=hayır}}</ref>

[[Otto Neugebauer]]'e göre, altmış tabanının kökenleri, genellikle tasvir edildiği kadar basit, tutarlı veya zaman açısından tekil değildir. Bugün zaman, açılar ve astronomik koordinat sistemleri gibi özel konular için devam eden yüzyıllar süren kullanımları boyunca, altmışlık tabanda gösterimler, örneğin altmışlık sayıların nasıl yazıldığı gibi, her zaman güçlü bir ondalık notasyonu içermiştir. Bunların kullanımı, her zaman tek bir metinde bile sayıları temsil edecek çeşitli tabanların nerede ve nasıl temsil ettiği konusundaki tutarsızlıkları içermiştir (ve içermeye devam etmektedir).<ref name="Neugebauer">{{Kaynak|soyadı=Neugebauer|ad=Otto|başlık=The Exact Sciences In Antiquity|dergi=Acta Historica Scientiarum Naturalium et Medicinalium|sayfalar=17-19|yayıncı=Dover|yıl=1969|cilt=9|isbn=978-0-486-22332-2|oclc=13409|pmid=14884919|yayınyeri=New York}}</ref>

[[Dosya:Proto-cuneiform_sexagesimal_type_Sa.svg|küçükresim|{{Ortala|Erken [[Çivi yazısı|Proto-çivi yazısı]] (MÖ 4. binyıl) ve alt-küçük sistem için [[çivi yazısı]] işaretleri (60, 600, 3600, vb.)}}]]
Altmışlık tabanın titiz ve tamamen kendi kendine tutarlı kullanımı için en güçlü itici güç, her zaman kesirleri yazmak ve hesaplamak için kullanılabilen matematiksel avantajları olmuştur. Eski metinlerde bu, altmışlık tabanın matematiksel veri tablolarında en düzgün ve tutarlı bir şekilde kullanıldığı gerçeğinde ortaya çıkar.<ref name="Neugebauer"/> Geçmişte altmışlık tabanın kullanımını matematiksel tablolardan daha az tutarlı olsa da genişletmeye yardımcı olan bir başka pratik etken, tüccarlara ve alıcılara, daha büyük miktarlarda mal için pazarlık yapmak ve bunları bölmek söz konusu olduğunda günlük finansal işlemleri kolaylaştırmak için sağladığı avantajlardı. Erken ''[[Şekel|shekel]]'' özelde bir ''mana''’nın altmışta biriydi, daha sonra Yunanlar bu ilişkiyi bir [[Mina (birim)|mina]]'nın ellide biri olan bir şekeli de 10 tabanına uyumlu oranda olmak zorunda bıraktılar.

Matematiksel tablolardan ayrı olarak, çoğu metinde sayıların temsil edilme şeklindeki tutarsızlıklar, sayısal büyüklükleri temsil etmek için kullanılan en temel [[çivi yazısı]] sembollerine kadar uzanmaktadır.<ref name="Neugebauer"/> Örneğin, 1 için çivi yazısı sembolü, kamıştan yapılmış kalemin yuvarlak ucunun kile belirli bir açıyla uygulanmasıyla yapılmış bir [[elips]] iken, 60'ın altmış tabanında sembolü daha büyük bir oval veya "büyük 1" idi. Ancak bu sembollerin kullanıldığı aynı metinlerde 10 rakamı kalemin yuvarlak ucunun kile dik olarak uygulanmasıyla yapılmış bir daire olarak temsil edilmiş ve 100'ü temsil etmek için daha büyük bir daire veya "büyük 10" kullanılmıştır. Bu tür çok tabanlı sayısal miktar sembolleri, tek bir sayı içinde bile birbirleriyle ve kısaltmalarla karıştırılabilir. Belirtilen ayrıntılar ve hatta büyüklükler (sıfır tutarlı bir şekilde kullanılmadığından) belirli zaman dönemleri, kültürler ve temsil edilen miktarlar veya kavramlar için deyimseldi yani dilin özelliklerini taşıyordu. Sayısal büyüklüklerin bu tür bağlama bağlı temsillerinin geriye dönüp bakıldığında eleştirilmesi kolay olsa da, modern zamanlarda hala düzinelerce düzenli olarak kullanılan konuya bağlı taban karma örneğine sahibiz, bunlara ondalık kesirlerin altmış-tabanında astronomik koordinatlara eklenmesiyle ilgili son yenilikler de dahildir.

== Kullanımı ==

=== Babil matematiği ===
Eski [[Mezopotamya]]'da kullanıldığı şekliyle altmışlık sistem, [[Rakam|basamak]]ları için 60 farklı sembol kullanmadığı için saf bir taban 60 sistemi değildi. Bunun yerine, [[çivi yazısı]] rakamları, bir [[işaret-değer gösterimi]] tarzında bir alt taban olarak [[10 (sayı)|on]]'u kullandı: Altmışlık düzende basamaklar, dokuza kadar birimleri temsil eden bir grup dar, kama şeklindeki işaretten ([[Dosya:Babylonian_1.svg|20x20pik]], [[Dosya:Babylonian_2.svg||20x20pik]], [[Dosya:Babylonian_3.svg||20x20pik]], [[Dosya:Babylonian_4.svg|20x20pik]], ..., [[Dosya:Babylonian_9.svg|20x20pik]]) ve beş onluğa kadar temsil edilen geniş, kama şeklindeki işaretler grubundan ([[Dosya:Babylonian_10.svg|20x20pik]], [[Dosya:Babylonian_20.svg|20x20pik]], [[Dosya:Babylonian_30.svg|20x20pik]], [[Dosya:Babylonian_40.svg|20x20pik]], [[Dosya:Babylonian_50.svg|20x20pik]]) oluşuyordu. Bu işaretlerle yazılan rakamın değeri, bileşen parçalarının değerlerinin toplamıydı:
[[Dosya:Babylonian_numerals.svg|orta|470x470pik]]
59'dan büyük sayılar, [[Basamak (matematik)|basamak değeri gösterimi]]nde bu formun birden çok sembol bloğuyla gösterildi. [[0 (sayı)|Sıfır]] için sembol olmadığından, bir sayının nasıl yorumlanması gerektiği her zaman hemen açık değildir ve gerçek değeri bazen bağlamına göre belirlenmiş olmalıdır. Örneğin, 1 ve 60 için semboller aynıdır.<ref>{{Kaynak|url=https://books.google.com/books?id=Aji2yzbopxgC&pg=PA182|ad1=Ignacio |soyadı1=Bello |ad2=Jack R. |soyadı2=Britton |ad3=Anton |soyadı3=Kaul|başlık=Topics in Contemporary Mathematics|sayfa=182|yayıncı=Cengage Learning|basım=9.|yıl=2009|isbn=9780538737791|yayınyeri=Avustralya, ABD | oclc=326670156}}.</ref><ref name="lmnz">{{Kaynak|url=http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/2014/08/31/look-ma-no-zero/|başlık=Ancient Babylonian Number System Had No Zero|tarih=31 Ağustos 2014|dergi=[[Scientific American]]|seri=Roots of Unity|ad=Evelyn|soyadı=Lamb|erişimtarihi=28 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20141017091037/http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/2014/08/31/look-ma-no-zero/|arşivtarihi=17 Ekim 2014|ölüurl=hayır}}</ref> Daha sonra Babil metinlerinde sıfırı temsil etmek için bir yer tutucu ([[Dosya:Babylonian_digit_0.svg|30x30pik]]) kullanıldı, ancak {{Değer|13200}} gibi sayılarda yaptığımız gibi sayının sağ tarafında değil, yalnızca yazılan sayının orta konumlarındaki rakam eksikliklerini gidermek için.<ref name="lmnz"/>

=== Diğer tarihsel kullanımlar ===
[[Çin takvimi]]nde, günlerin veya yılların on kök dizisinde ve 12 daldan oluşan başka bir dizide konumlarla adlandırıldığı bir [[altmışlık döngü]] yaygın olarak kullanılır. Aynı gövde ve dal, bu döngü boyunca her 60 adımda bir tekrar eder.

[[Platon]] ''[[Devlet (kitap)|Devlet]]''’inin VIII. Kitabı, 60<sup>4</sup> = {{Değer|12960000}} ve onun bölenleri üzerine odaklanan bir evlilik alegorisini içerir. Bu sayı, özellikle basit altmışlık temsili 1,0,0,0,0'a sahiptir. Daha sonraki bilim adamları, bu pasajı açıklamak için hem Babil matematiğini hem de müzik teorisini kullandılar.<ref>{{Kaynak
 | soyadı = Barton 
 | ad = George A.
 | başlık = On the Babylonian origin of Plato's nuptial number
 | yıl = 1908
 | dergi = Journal of the American Oriental Society
 | cilt = 29
 | sayfalar =210-219|doi= 10.2307/592627
 | jstor = 592627}}.</ref>
<ref>{{Kaynak
 | soyadı = McClain
 | ad = Ernest G.
 | yazarbağı = Ernest G. McClain
 | yıl = 1974
 | başlık = Musical "Marriages" in Plato's "Republic"
 | dergi = Journal of Music Theory
 | cilt = 18
 | sayı = 2
 | sayfalar =242-272|doi= 10.2307/843638
 | yazar2 = Plato
 | jstor = 843638}}</ref>

[[Batlamyus]]'un ''[[Almagest]]'' adlı eseri, MS 2. yüzyılda [[Teorik astrofizik|matematiksel astronomi]] üzerine yazılmış bir inceleme, sayıların kesirli kısımlarını ifade etmek için 60 tabanını kullanır. Özellikle, bir milenyumdan (bin yıldan) fazla bir süredir esasen tek kapsamlı [[trigonometrik tablo]] olan [[Batlamyus kirişler tablosu|kirişler tablosu]], bir derecenin 60 tabanına göre kesirli kısımlarına sahiptir.

Ortaçağ gökbilimcileri, zamanı not etmek için altmış tabanına göre sayıları da kullandılar. El-[[Birûni]], 1000'de Yahudi aylarını tartışırken, ilk olarak saati 60 tabanına benzer şekilde [[dakika]]lara, [[saniye]]lere, [[Derece (birim)|üçüncü]]lere ve [[Derece (birim)|dördüncü]]lere ayırdı.<ref name="al-Biruni">{{Kaynak|yazar=Al-Biruni|url=https://books.google.com/books?id=pFIEAAAAIAAJ&pg=PA147|başlık=The Chronology of Ancient Nations|sayfalar=147-149|yıl=1879|özgünyıl=1000|çevirmen-ad=C. Edward|çevirmen-soyadı=Sachau|yazarbağı=Birûni|erişimtarihi=28 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20210825052438/https://books.google.com/books?id=pFIEAAAAIAAJ&pg=PA147|arşivtarihi=25 Ağustos 2021|ölüurl=hayır}}</ref> 1235 civarında [[Johannes de Sacrobosco|Sacroboscolu John]] bu geleneği sürdürdü, ancak Nothaft bunu yapan ilk kişinin Sacrobosco olduğunu düşündü.<ref>{{Kaynak|soyadı = Nothaft | ad = C. Philipp E.|başlık=Scandalous Error: Calendar Reform and Calendrical Astronomy in Medieval Europe|tarih=2018|sayfa=126|yer=Oxford|yayıncı=Oxford University Press|alıntı=Sacrobosco, altmışlık kesirlere geçti, ancak bunları güne değil saate uygulayarak takvimsel veya astronomik hesaplamada kullanıma daha uygun hale getirdi ve böylece 21. yüzyılda hala geçerli olan saat, dakika ve saniye kullanımını başlattı.|yayınyeri=Oxford, Birleşik Krallık|isbn=978-0-19-879955-9|oclc=1022945273}}</ref> [[Alfonsine tabloları]]nın Paris versiyonu (yaklaşık 1320) günü temel zaman birimi olarak kullandı ve bir günün katlarını ve bölümlerini 60 tabana kaydederek gösterdi.<ref>{{Kaynak|başlık=Scandalous Error: Calendar Reform and Calendrical Astronomy in Medieval Europe|tarih=2018|sayfa=196|yer=Oxford|yayıncı=Oxford University Press|alıntı=Alfonsine Tablolarının Latin-Paris enkarnasyonlarında dikkate değer bir özelliği, tüm tablo haline getirilmiş parametrelerin katı şekilde 'altmış tabanına göre küçültülmesidir', çünkü hareketler ve zaman aralıkları tutarlı bir şekilde 60 taban katlarına ve günlerin veya derecelerin kesirlerine göre çözülmüştür.|soyadı = Nothaft | ad = C. Philipp E.|yayınyeri=Oxford, Birleşik Krallık|isbn=978-0-19-879955-9|oclc=1022945273}}</ref>

Altmışlık sayı sistemi, 1671'e kadar Avrupalı gökbilimciler tarafından hesaplamalar yapmak için sıklıkla kullanılmaya devam etti.<ref>{{Kaynak|soyadı=Newton|ad=Isaac|yazarbağı=Isaac Newton|url=https://books.google.com/books?id=WyQOAAAAQAAJ&pg=PA146&lpg=PA146|başlık=The Method of Fluxions and Infinite Series: With Its Application to the Geometry of Curve-lines.|sayfa=146|yer=[[Londra]]|yayıntarihi=1736|yayıncı=[[Henry Sampson Woodfall|Henry Woodfall]]|alıntı=Bunlardan en dikkat çekici olanı, Gökbilimciler arasında sıkça kullanılan Arithmetick'in Seksagesimal veya Altmışlık Ölçeği'dir; tüm olası Sayıları, Tam sayıları veya Kesirleri, Rasyonel veya Rasyonel olmayan, ''Altmış''ın kuvvetleri ve elli dokuzu aşmayan belirli sayı Katsayıları ile ifade eder.|yıl=1671|erişimtarihi=28 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20200924215135/https://books.google.com/books?id=WyQOAAAAQAAJ&pg=PA146&lpg=PA146|arşivtarihi=24 Eylül 2020|ölüurl=hayır}}</ref> Örneğin, ''[[Fundamentum Astronomiae]]''’'deki [[Jost Bürgi]] (1592'de [[II. Rudolf (Kutsal Roma imparatoru)|İmparator II. Rudolf]]'a sunulmuştur), ''Fundamentum Astronomicum'''daki meslektaşı Ursus ve muhtemelen [[Henry Briggs (matematikçi)|Henry Briggs]], sinüsleri hesaplamak için 16. yüzyılın sonlarında seksagesimal (altmışlık) sisteme dayalı çarpım tablolarını kullandı.<ref name="folkerts">{{Kaynak
 | soyadı1 = Folkerts
 | ad1 = Menso
 | soyadı2 = Launert
 | ad2 = Dieter
 | soyadı3 = Thom
 | ad3 = Andreas
 | arxiv = 1510.03180
 |doi= 10.1016/j.hm.2016.03.001
 | sayı = 2
 | dergi = Historia Mathematica
 | mr = 3489006
 | sayfalar =133-147| başlık = Jost Bürgi's method for calculating sines
 | cilt = 43
 | yıl = 2016
 | s2cid = 119326088}}</ref>

On sekizinci yüzyılın sonlarında ve on dokuzuncu yüzyılın başlarında [[Tamiller|Tamilli]] gök bilimcilerin, [[Helenistik Dönem|Helenistik]] gök bilimciler tarafından geliştirilen ondalık ve altmışlık gösterimlerin bir karışımını kullanıp kabuklarla hesaplamalar yaparak astronomik hesaplamalar yaptıkları bulundu.<ref>{{Kaynak
| başlık=Tamil Astronomy: A Study in the History of Astronomy in India
| ad=Otto
| soyadı=Neugebauer
| yazarbağı= Otto E. Neugebauer 
| dergi=Osiris
| cilt=10
| sayfalar=252-276| yıl=1952
|doi=10.1086/368555
}}; burada basılmıştır: {{Kaynak
| ad=Otto
| soyadı=Neugebauer
| yazarbağı= Otto E. Neugebauer 
| başlık = Astronomy and History: Selected Essays
| yer = New York
| yayıncı = [[Springer-Verlag]]
| yıl = 1983
| isbn = 0-387-90844-7}}</ref>

Taban-60 sayı sistemleri, Sümerlerle ilgisi olmayan diğer bazı kültürlerde, örneğin [[Batı Papua (bölge)|Batı Yeni Gine]]'deki [[Ekari halkı]] tarafından da kullanılmıştır.<ref>{{Kaynak
 |başlık       = Kapauku numeration: Reckoning, racism, scholarship, and Melanesian counting systems
 |ad           = Nancy
 |soyadı       = Bowers
 |dergi        = Journal of the Polynesian Society
 |cilt         = 86
 |sayı         = 1
 |sayfalar     =105-116|yıl          = 1977
 |url          = http://www.ethnomath.org/resources/bowers1977.pdf
 |ölüurl= evet
 |arşivurl     = https://web.archive.org/web/20090305190121/http://www.ethnomath.org/resources/bowers1977.pdf
 |arşivtarihi= 5 Mart 2009
}}</ref><ref>{{Kaynak
 |ad       = Glendon Angove
 |soyadı        = Lean
 |başlık       = Counting Systems of Papua New Guinea and Oceania
 |yayıncı   = Ph.D. thesis, [[Papua New Guinea University of Technology]]
 |yıl        = 1992
 |url         = http://www.uog.ac.pg/glec/thesis/thesis.htm
 |ölüurl= evet
 |arşivurl  = https://web.archive.org/web/20070905170848/http://www.uog.ac.pg/glec/thesis/thesis.htm
 |arşivtarihi = 5 Eylül 2007
}}. Özellikle bakınız; {{web kaynağı|url=http://www.uog.ac.pg/glec/thesis/ch4web/ch4.htm | başlık=chapter 4 | arşivurl=https://web.archive.org/web/20070928061154/http://www.uog.ac.pg/glec/thesis/ch4web/ch4.htm |arşivtarihi=28 Eylül 2007}}</ref>

=== Modern kullanım ===
Altmışlık sistemin modern kullanımları arasında [[açı]]ları ölçme, [[Coğrafi koordinat sistemi|coğrafi koordinatlar]], elektronik [[Seyir|seyrüsefer]] ve [[zaman]] yer alır.<ref>{{Kaynak|başlık=Sexagesimal System|çalışma=SpringerReference|yer=Berlin/Heidelberg|yayıncı=Springer-Verlag|yıl=2011|doi=10.1007/springerreference_78190}}</ref>

Bir [[Saat (zaman)|saat]] 60 [[dakika]]ya, bir dakika 60 saniyeye bölünür. Bu nedenle, 3:23:17 {{Kayma|(3 saat, 23 dakika ve 17 saniye)}} gibi bir zaman ölçümü, tam altmışlık bir sayı (altmışlık taban noktası yok) olarak yorumlanabilir, yani {{Kayma|3 × 60{{sup|2}} + 23 × 60{{sup|1}} + 17 × 60{{sup|0}} saniye}}. Ancak, bu sayıdaki üç altmışlık basamağın her biri (3, 23 ve 17) [[Onlu sayı sistemi|ondalık sistem]] kullanılarak yazılmıştır.

Benzer şekilde, pratik açısal ölçü birimi, bir daire içinde [[360]] (altı altmışlık) olan [[Derece (birim)|derece]]dir. Bir derecede 60 [[Yayın dakika ve saniyesi|yay dakika]] ve dakikada 60 [[Yayın dakika ve saniyesi|yay saniye]] vardır.

==== YAML ====
[[YAML]] veri depolama formatının 1.1<ref>{{Web kaynağı | url = http://yaml.org/spec/1.1/ | başlık = YAML Ain’t Markup Language (YAML™) Version 1.1 | erişimtarihi = 29 Aralık 2020 | arşivurl = https://web.archive.org/web/20080117095130/http://yaml.org/spec/1.1/ | arşivtarihi = 17 Ocak 2008}}</ref> sürümünde, altmışlık sayılar düz skaler için desteklenir ve hem tam sayılar<ref>{{Web kaynağı | url = http://yaml.org/type/int.html | başlık = Integer Language-Independent Type for YAML™ Version 1.1 | erişimtarihi = 29 Aralık 2020 | arşivurl = https://web.archive.org/web/20050209093324/http://yaml.org/type/int.html | arşivtarihi = 9 Şubat 2005}}</ref> hem de kayan nokta (float) sayıları resmi olarak destekler.<ref>{{Web kaynağı | url = http://yaml.org/type/float.html | başlık = Floating-Point Language-Independent Type for YAML™ Version 1.1 | erişimtarihi = 29 Aralık 2020 | arşivurl = https://web.archive.org/web/20050209092830/http://yaml.org/type/float.html | arşivtarihi = 9 Şubat 2005}}</ref> Bu, karışıklığa yol açmıştır, çünkü örneğin, bazı [[MAC adresi|MAC adresleri]] altmışlık olarak algılanacak ve tam sayılar olarak yüklenecektir, diğerleri ise bu şekilde yüklenemeyecek ve dizge olarak yüklenecektir. YAML 1.2'de seksagesimale yönelik destek kaldırıldı.<ref>{{Kaynak|url=https://yaml.org/spec/1.2/spec.html#id2805071|başlık=YAML Ain't Markup Language (YAML™) Version 1.2 (3rd Edition, Patched at 2009-10-01) §10.3.2 Tag Resolution|erişimtarihi=30 Ocak 2019|tarih=1 Ekim 2009|yayıncı=The Official YAML Web Site|arşivurl=https://web.archive.org/web/20190124222648/https://yaml.org/spec/1.2/spec.html#id2805071|arşivtarihi=24 Ocak 2019|ölüurl=hayır}}</ref>

== Gösterimler ==
[[Batlamyus]]'un yazıları gibi [[Helenistik Yunanistan|Helenistik Yunan]] astronomik metinlerinde, altmışlık sayılar [[Yunan rakamları|Yunan alfabetik rakamları]] kullanılarak yazılırdı ve her altmışlık rakam ayrı bir sayı olarak değerlendirilirdi. Helenistik gök bilimciler sıfır için yeni bir sembol, {{Üstküme|—|°}}, benimsedi; bu, yüzyıllar boyunca normalde 70 anlamına gelen Yunanca [[omikron]] (sembolü: ο) harfi de dahil olmak üzere diğer biçimlere dönüştü, buna ancak herhangi bir pozisyonda maksimum değerin 59 olduğu altmışlık sistemde izin verilebilir.<ref>{{Kaynak|basım=2.|soyadı = Neugebauer | ad = Otto | yazarbağı = Otto E. Neugebauer|başlık=The Exact Sciences in Antiquity|sayfalar=13-14, plate 2|yayıncı=[[Dover Publications]]|yıl=1969|özgünyıl=1957|isbn=978-0-486-22332-2|pmid=14884919}}</ref><ref name="Mercier">{{Kaynak |soyadı=Mercier |ad=Raymond |url=http://www.raymondm.co.uk/prog/GreekZeroSign.pdf |başlık=Consideration of the Greek symbol 'zero' |yayıncı=Home of Kairos |erişimtarihi=28 Aralık 2020 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20201105113109/http://www.raymondm.co.uk/prog/GreekZeroSign.pdf |arşivtarihi=5 Kasım 2020 |ölüurl=hayır }}</ref> Yunanlar altmışlık sayıları bir sayının kesirli kısmıyla sınırladılar.<ref>{{Kaynak|başlık=Episodes from the Early History of Mathematics|sayfalar=103-104|yer=New York|yayıncı=Random House|seri=New Mathematical Library|yıl=1964|cilt=13|soyadı= Aaboe |ad= Asger |yazarbağı = Asger Aaboe}}</ref>

Orta Çağ [[Latince]] metinlerinde, altmışlık sayılar [[Arap rakamları]] kullanılarak yazılırdı; farklı kesir seviyeleri ''minuta'' (yani fraksiyon), ''minuta secunda'', ''minuta tertia'', vb. olarak belirtildi. On yedinci yüzyıla gelindiğinde, altmışlık sayıların tam sayı kısmını bir üst simge ile ve çeşitli kesirli bölümleri bir veya daha fazla vurgu işareti ile göstermek yaygın hale geldi. [[John Wallis]], ''Mathesis universalis''’inde bu gösterimi 60'ın yüksek katlarını içerecek şekilde genelleştirdi; örnek olarak {{Kayma|49‵‵‵‵36‵‵‵25‵‵15‵1°15′2″36‴49⁗}} ; soldaki sayılar 60'ın daha yüksek üsleriyle çarpıldığında, sağdaki sayılar 60'ın katlarına bölünür ve üst simge sıfır ile işaretlenen sayı, 1 ile çarpılır.<ref>{{Kaynak|url=https://books.google.com/books?id=OQZxHpG2y3UC|başlık=A History of Mathematical Notations|soyadı=Cajori|ad=Florian|yazarbağı=Florian Cajori|sayfa=216|yer=New York|yayıncı=Cosimo, Inc.|yıl=2007|özgünyıl=1928|cilt=1|isbn=9781602066854|erişimtarihi=28 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20140706172114/http://books.google.com/books?id=OQZxHpG2y3UC|arşivtarihi=6 Temmuz 2014|ölüurl=hayır}}</ref> Bu gösterim bizi, dereceler, dakikalar ve saniyeler için günümüzde kullandığımız modern işaretlere götürür. Aynı dakika ve saniye terminolojisi, zaman birimleri için de kullanılır ve saat, dakika ve saniyelerin ondalık olarak yazılan ve birbirinden iki nokta üst üste ile ayrıldığı modern zaman gösterimi, altmışlık bir gösterim biçimi olarak yorumlanabilir.

Bazı kullanım sistemlerinde, altmışlık noktadan sonra her pozisyon Latince veya [[Fransızca]] kökleri kullanılarak sayıldı: ''[[Asal (sembol)|asal]]'' veya ''primus'' ''seconde'' veya ''secundus,'' ''tierce,'' ''quatre,'', ''quinte'' vs. Bugüne kadar bir saatin ikinci dereceden kısmını veya [[Yayın dakika ve saniyesi|bir dereceyi]] "[[saniye]]" olarak adlandırıyoruz. En azından 18. yüzyıla kadar, saniyenin {{Sfrac|1|60}}'ı "tierce (kademe)" veya "third (üçüncü)" olarak adlandırıldı.<ref>{{Kaynak|başlık=A natural history of vision|sayfa=193|yayıncı=MIT Press|yıl=1998|isbn=978-0-262-73129-4|soyadı=Wade|ad=Nicholas}}</ref><ref>{{Kaynak|başlık=Middle English Dictionary|sayfa=231|yayıncı=University of Michigan Press|yıl=1952|isbn=978-0-472-01212-1|ad=Robert E.|soyadı=Lewis}}</ref>

1930'larda [[Otto Neugebauer]], Babil ve Helenistik sayılar için, sayının tam ve kesirli kısımlarını ayırmak için noktalı virgül (;) kullanırken her bölüm içindeki konumları ayırmak için de virgül (,) kullanan, her pozisyonda 0'dan 59'a kadar modern ondalık gösterimi destekleyen modern bir gösterim sistemi geliştirdi.<ref>{{Kaynak|url=https://books.google.com/books?id=i-juAAAAMAAJ&pg=PA2|soyadı1=Neugebauer|ad1=Otto|yazarbağı1=Otto E. Neugebauer|soyadı2=Sachs|ad2=Abraham Joseph|yazarbağı2=Abraham Sachs|soyadı3=Götze|ad3=Albrecht|başlık=Mathematical Cuneiform Texts|sayfa=2|yer=New Haven|yayıncı=American Oriental Society and the American Schools of Oriental Research|seri=American Oriental Series|yıl=1945|cilt=29|erişimtarihi=28 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20190402091349/https://books.google.com/books?id=i-juAAAAMAAJ|arşivtarihi=2 Nisan 2019|ölüurl=hayır}}</ref> Örneğin, hem Babil hem de Helenistik gök bilimciler tarafından kullanılan ve hala [[İbrani takvimi]]nde kullanılmakta olan ortalama [[sinodik ay]] 29; 31,50,8,20 gündür. Bu gösterim, bu makalede kullanılmaktadır.

== Kesirler ve irrasyonel sayılar ==

=== Kesirler ===
Altmışlık sistemde, [[Kesir|payda]]nın [[Hamming sayıları|düzenli bir sayı]] ([[asal çarpanlarına ayırma]]da çarpanları sadece 2, 3 ve 5 olan) olduğu herhangi bir [[kesir]] tam olarak ifade edilebilir.<ref>{{Kaynak|başlık=Astronomical Cuneiform Texts|yer=Londra|yayıncı=Lund Humphries|yıl=1955|soyadı=Neugebauer|ad=Otto E.|yazarbağı=Otto E. Neugebauer}}</ref> Burada, paydanın 60'tan küçük veya buna eşit olduğu bu türdeki tüm kesirler gösterilmektedir:

{{div sütunu|colwidth=10em}}
:{{frac|2}} = 0;30
:{{frac|3}} = 0;20
:{{frac|4}} = 0;15
:{{frac|5}} = 0;12
:{{frac|6}} = 0;10
:{{frac|8}} = 0;7,30
:{{frac|9}} = 0;6,40
:{{frac|10}} = 0;6
:{{frac|12}} = 0;5
:{{frac|15}} = 0;4
:{{frac|16}} = 0;3,45
:{{frac|18}} = 0;3,20
:{{frac|20}} = 0;3
:{{frac|24}} = 0;2,30
:{{frac|25}} = 0;2,24
:{{frac|27}} = 0;2,13,20
:{{frac|30}} = 0;2
:{{frac|32}} = 0;1,52,30
:{{frac|36}} = 0;1,40
:{{frac|40}} = 0;1,30
:{{frac|45}} = 0;1,20
:{{frac|48}} = 0;1,15
:{{frac|50}} = 0;1,12
:{{frac|54}} = 0;1,6,40
:{{frac|60}} = 0;1
{{div sütunu-son}}

Ancak, düzenli olmayan sayılar daha karmaşık [[Devirli sayı|tekrarlayan kesirler]] oluşturur. Örneğin:

: {{frac|7}} = 0;{{Overline|8,34,17}} (çubuk altmışlık tabandaki rakamların dizisini gösterir 8,34,17 sonsuz sayıda defalarca tekrar eder)
: {{frac|11}} = 0;{{Overline|5,27,16,21,49}}
: {{frac|13}} = 0;{{Overline|4,36,55,23}}
: {{frac|14}} = 0;4,{{Overline|17,8,34}}
: {{frac|17}} = 0;{{Overline|3,31,45,52,56,28,14,7}}
: {{frac|19}} = 0;{{Overline|3,9,28,25,15,47,22,6,18,56,50,31,34,44,12,37,53,41}}
: {{frac|59}} = 0;{{Overline|1}}
: {{frac|61}} = 0;{{Overline|0,59}}

Altmışa bitişik olan iki sayının, 59 ve 61'in her ikisinin de asal sayı olması gerçeği, bir veya iki altmışlık basamak periyoduyla tekrar eden kesirlerin paydalarının yalnızca düzgün sayı katları olan 59 veya 61 olabileceği anlamına gelir ve diğer düzgün olmayan sayıların daha uzun bir periyotta tekrar eden kesirleri vardır.

=== İrrasyonel sayılar ===
[[Dosya:Ybc7289-bw.jpg|sağ|küçükresim|upright=0.91|{{Ortala|Yaklaşık olarak [[Karekök 2|{{Radic|2}}]]'ye eşit olan, altmışlık tabandaki {{Kayma|1;24,51,10}} sayısını gösteren Babil tableti [[YBC 7289]]}}]]
Herhangi bir konumsal sayı sistemindeki [[irrasyonel sayılar]]ın temsili (ondalık ve altmışlık dahil) ne sona erer ne de [[Devirli sayı|tekrarlanır]].

Bir [[birim kare]]nin [[köşegen]]inin uzunluğu olan [[Karekök 2|2'nin karekökü]], Eski Babil Dönemi ({{Kayma|MÖ 1900 – MÖ 1650}}) Babilliler tarafından aşağıdaki şekilde ifade edilmiştir:

: <math>1;24,51,10=1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3}=\frac{30547}{21600}\approx 1.41421296\ldots</math><ref>{{Kaynak|başlık=Square root approximations in old Babylonian mathematics: YBC 7289 in context|sayı=4|dergi=[[Historia Mathematica]]|sayfalar=366-378|yıl=1998|cilt=25|doi=10.1006/hmat.1998.2209|soyadı1 = Fowler | ad1 = David | yazarbağı1 = David Fowler (matematikçi) | soyadı2 = Robson | ad2 = Eleanor | yazarbağı2 = Eleanor Robson}}</ref>

Çünkü {{Radic|2}} ≈ {{Değer|1.41421356}} ... bir [[irrasyonel sayı]]dır, tam olarak altmışlık (veya aslında herhangi bir tam sayı tabanındaki sistem) olarak ifade edilemez, ancak altmışlık tabandaki genişlemesi böyle başlar: 1; 24,51,10,7,46,6,4, 44. . . ({{OEIS2C|A070197}})

[[Antik Yunanistan|Yunan]] matematikçi ve bilim adamı [[Batlamyus]] tarafından kullanılan [[Pi sayısı|{{Pi}}]] değeri 3;8,30 = {{kayma|3 + {{sfrac|8|60}} + {{sfrac|30|60<sup>2</sup>}}}} = {{sfrac|377|120}} ≈ {{val|3.141666}}.... idi.<ref>{{Kaynak | editör-soyadı = Toomer | editör-ad = G. J. | editör-bağı = Gerald J. Toomer | yıl = 1984 | başlık = Ptolemy's Almagest | yayıncı = Springer Verlag | yer = New York | sayfa = 302 | isbn = 0-387-91220-7 }}</ref>

15. yüzyıldan [[Pers]] bir matematikçi olan [[Gıyaseddin Cemşid]], 2{{pi}}'yi dokuz alt rakama yuvarlandığında doğru değere sahip altmışlık tabanda bir ifade olarak hesapladı (dolayısıyla {{Sfrac|1|60<sup>8</sup>}}); 2{{pi}} için değer 6; 16,59,28,1,34,51,46,14,50 idi.<ref>{{Kaynak|katkı=Al-Kashi|ad=Adolf P.|soyadı=Youschkevitch|editör-ad=Boris A.|editör-soyadı=Rosenfeld|sayfa=256|başlık=Dictionary of Scientific Biography|başlıkbağı=Dictionary of Scientific Biography}}.</ref><ref>{{harvtxt|Aaboe|1964}}, s. 125</ref>
Yukarıdaki {{Radic|2}} gibi, 2{{pi}} de irrasyonel bir sayıdır ve tam olarak altmışlık düzende ifade edilemez. Altmışlık düzendeki açılımı 6; 16,59,28,1,34,51,46,14,49,55,12,35. . . şeklinde başlar. ({{OEIS2C|A091649}})

== Ayrıca bakınız ==
* [[Saat]]
* [[Enlem]]
* [[Trigonometri]]

== Kaynakça ==
{{Kaynakça}}

== Konuyla ilgili yayınlar ==
*{{Kaynak
 | ad = Georges
 | soyadı = Ifrah
 | başlık = The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer
 | yayıncı = Wiley
 | yıl = 1999
 | isbn = 0-471-37568-3}}.
*{{Kaynak
 | ad1 = Hans J.
 | soyadı1 = Nissen
 | ad2 = P.
 | soyadı2 = Damerow
 | ad3 = R.
 | soyadı3 = Englund
 | başlık = Archaic Bookkeeping
 | yayıncı = University of Chicago Press
 | yıl = 1993
 | isbn = 0-226-58659-6}}
* {{Kaynak|soyadı=Thureau-Dangin|ad=François|başlık=Sketch of a history of the sexagesimal system|dergi=Osiris|cilt=7|yıl=1939|sayfalar=95-141|url=https://www.jstor.org/stable/301541}}
* {{Kaynak|soyadı=Lewy|ad=Hildegard|başlık=Origin and Development of the Sexagesimal System of Numeration|dergi=Journal of the American Oriental Society|cilt=69|sayı=1|yıl=1949|sayfalar=1-11|url=https://www.jstor.org/stable/595393|erişimtarihi=28 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20200326110026/https://www.jstor.org/stable/595393|arşivtarihi=26 Mart 2020|ölüurl=hayır}}
* {{Kaynak|soyadı=Powell|ad=Marvin A.|başlık=The origin of the sexagesimal system: The interaction of language and writing|yayıncı=Cleveland Museum of Art|yıl=1972|url=http://visiblelanguage.s3.amazonaws.com/pdf/6.1/origin-of-the-sexagesimal-system-interaction-of-language-and-writing.pdf|erişimtarihi=28 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20210803195746/http://visiblelanguage.s3.amazonaws.com/pdf/6.1/origin-of-the-sexagesimal-system-interaction-of-language-and-writing.pdf|arşivtarihi=3 Ağustos 2021|ölüurl=hayır}}
* {{Kaynak|soyadı1=Mansfield|ad1=Daniel F.|ad2=Norman J.|soyadı2=Wildberger|başlık=Plimpton 322 is Babylonian exact sexagesimal trigonometry|dergi=Historia Mathematica|cilt=44|sayı=4|yıl=2017|sayfalar=395-419|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086017300691|erişimtarihi=28 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20210104012043/https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086017300691|arşivtarihi=4 Ocak 2021|ölüurl=hayır}}
* {{Kaynak|soyadı=Whiting|ad=Robert M.|başlık=More evidence for sexagesimal calculations in the third millennium BC.| dergi=Zeitschrift für Assyriologie und vorderasiatische Archäologie|cilt=74|sayı=1|yıl=1984|sayfalar=59-66}}
* {{Kaynak|soyadı=Laki|ad=K.|yıl=1969|başlık=On the Origin of the Sexagesimal System|dergi=Journal of the Washington Academy of Sciences|cilt=59|sayı=1/3|sayfalar=24-29}}
* {{Kaynak|soyadı=Muroi|ad=Kazuo|başlık=The Origin of the Mystical Number Seven in Mesopotamian Culture; Division by Seven in the Sexagesimal Number System|arxiv=1407.6246|yıl=2014}}

== Dış bağlantılar ==

* {{Web kaynağı | url = http://www.wdl.org/en/item/4259 | başlık = Facts on the Calculation of Degrees and Minutes | çeviribaşlık = Derece ve Dakikaların Hesaplanmasına İlişkin Gerçekler | alıntı = [[Sibt al-Maridini|Sibṭ al-Māridīnī, Badr al-Dīn Muḥammad ibn Muḥammad]] (d. 1423) tarafından yazılan Arapça bir kitaptır. Bu çalışma, altmışlık tabanda matematiğin çok ayrıntılı bir incelemesini sunmakta ve altmışlık kesirlerin periyodikliğinden ilk söz edilenleri içeriyor gibi görünmektedir. | arşivurl = https://web.archive.org/web/20111123003034/http://www.wdl.org/en/item/4259 | arşivtarihi = 23 Kasım 2011}}
* {{Web kaynağı | url = https://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/the-joy-of-sexagesimal-floating-point-arithmetic/ | başlık = The Joy of Sexagesimal Floating-Point Arithmetic | arşivurl = https://web.archive.org/web/20170912212413/https://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/the-joy-of-sexagesimal-floating-point-arithmetic/ | arşivtarihi = 12 Eylül 2017}}
* {{Web kaynağı | url = https://ekuatio.com/en/sexagesimal-system-conversion-of-units-operations-and-exercises-resolved/ | başlık = Sexagesimal system: Conversion of units, operations and exercises resolved | arşivurl = https://web.archive.org/web/20201205111542/https://ekuatio.com/en/sexagesimal-system-conversion-of-units-operations-and-exercises-resolved/ | arşivtarihi = 5 Aralık 2020}}
* {{Web kaynağı | url = https://wuecampus2.uni-wuerzburg.de/moodle/pluginfile.php/1003205/mod_resource/content/0/Sexagesimal%20System.pdf | başlık = SEXAGESIMAL SYSTEM | arşivengelli = evet | erişimtarihi = 28 Aralık 2020 |arşivurl= https://web.archive.org/web/20210320202228/https://wuecampus2.uni-wuerzburg.de/moodle/pluginfile.php/1003205/mod_resource/content/0/Sexagesimal%20System.pdf |arşivtarihi= 20 Mart 2021 | ölüurl = hayır }}

[[Kategori:Babil matematiği]]
[[Kategori:Sayı sistemleri]]
[[Kategori:Matematik tarihi]]