Analitik Fredholm teoremi sayfasının kaynağını görüntüle

[[Matematik]]te '''Analitik Fredholm teoremi''' bir [[Hilbert uzayı]] üzerinde tanımlı [[sınırlı operatör|sınırlı]] [[doğrusal operatör]]lerden bazılarının sınırlı [[Ters fonksiyon|ters]]lerinin varlığıyla ilgili bir sonuçtur. Teorem,  [[Hilbert-Schmidt teoremi]] ve [[Fredholm seçeneği]] gibi iki klâsik ve önemli teoremin temelini oluşturur. Teorem, adını İsveçli matematikçi [[Erik Ivar Fredholm]]'dan almıştır.

== Teoremin ifadesi ==
<math>G\subset \Complex </math> bir [[bölge (matematik)|bölge]], <math>(H, \langle\  , \ \rangle)</math> [[Gerçel sayı|gerçel]] ve [[Karmaşık sayı|karmaşık]] bir [[Hilbert uzayı]] ve <math>L(H)</math> ise <math>H</math>'den <math>H</math>'ye giden [[sınırlı doğrusal operatör|sınırlı ve doğrusal operatörlerin]] uzayı olsun. [[Birim operatör]]ü <math>I</math> ile gösterelim. Diyelim ki, bir <math>B:G\to L(H)</math> gönderimi için 
<math display="block">\lim_{\lambda \to \lambda_{0}} \frac{B(\lambda) - B(\lambda_{0})}{\lambda - \lambda_{0}}</math> [[limit]]i her <math>\lambda_0\in G</math> için var olsun; yâni, <math>B</math> gönderimi <math>G</math> içinde analitik olsun ve <math>B(\lambda)</math> operatörü her <math>\lambda\in G</math> için [[tıkız operatör]] olsun.
O zaman,<ref>{{Kitap kaynağı|başlık=Methods of modern mathematical physics|url=https://archive.org/details/methodsofmodernm0000reed|yayıncı=Academic Press|yıl=1972|yazarlar=Reed, M., Simon, B.|kitapbaşlığı=Vol I: Functional Analysis|sayfa=[https://archive.org/details/methodsofmodernm0000reed/page/n222 201]|alıntı=Bölüm VI Theorem VI.14'e bakınız|şehir=Cambridge|doi=10.1016/B978-0-12-585001-8.50007-6}}
</ref>
* ya tüm <math>\lambda</math> değerleri için <math>I-B(\lambda)</math> operatörünün tersi yoktur;
* ya da, <math>G</math>'nin [[Ayrık küme|ayrık]] bir <math>S</math> altkümesi vardır öyle ki <math>I-B(\lambda)</math> operatörünün tersi <math>\lambda\in G\backslash S</math> için her zaman vardır. Bu durumda, <math>\lambda\mapsto (I-B(\lambda))^{-1}</math> olarak tanımlanan bir fonksiyon, <math>G\backslash S</math> kümesinde analitik olur. Eğer <math>\lambda\in S</math> ise, o zaman
:<math>B(\lambda)\psi=\psi</math>
:denkleminin çözümlerinin kümesi sonlu boyutlu olur.

== Kaynakça ==
{{Kaynakça}}

[[Kategori:Fredholm teorisi]]
[[Kategori:Fonksiyonel analiz teoremleri]]
[[Kategori:Karmaşık analiz teoremleri]]