Aritmetik sayfasının kaynağını görüntüle

[[Dosya:Arithmetic_operations.svg|küçükresim|alt=Aritmetik işlemlerin simgelerini gösteren diyagram|Aritmetikte temel işlemler toplama, çıkarma, çarpma ve bölme olarak sıralanmaktadır.]]

[[Dosya:Kugleramme.jpg|küçükresim|Basit aritmetik işlemlerde kullanılan bir [[abaküs]]]]
'''Aritmetik'''; [[matematik|matematiğin]] sayılar arasındaki ilişkiler ile sayıların problem çözmede kullanımı ile ilgilenen dalı.<ref name="Britannica">{{BritannicaDVD|arithmetic|2012}}</ref> Aritmetik kavramı ile genellikle [[sayılar teorisi]], ölçme ve hesaplama ([[toplama]], [[çıkarma]], [[çarpma]], [[bölme]], [[üs alma]], [[kök alma]]) kastedilir.<ref name="Britannica"/> Bununla birlikte bazı matematikçiler daha karmaşık çeşitli işlemleri de aritmetik başlığı altında değerlendirirler.<ref name="Britannica"/>

Aritmetik sistemler, işlem yapılan sayıların türüne göre çeşitlenir. [[Tam sayı]] aritmetiği sadece pozitif ve negatif [[doğal sayı]]lar ile yapılan hesaplamaları içerirken, rasyonel sayı aritmetiği, tam sayılar arasındaki [[kesir]]lerle yapılan işlemleri kapsar. Reel sayı aritmetiği, [[Rasyonel sayı|rasyonel]] ve [[irrasyonel sayı]]ların her ikisiyle yapılan hesaplamaları barındırır ve tam bir [[sayı doğrusu]]nu kapsar.

Sistemlerin ayrımı, kullanılan [[sayı sistemi]]ne göre de yapılır. [[Onlu sayı sistemi|Ondalık]] aritmetik, en yaygın kullanılan sistemdir ve sayıları ifade etmek için 0'dan 9'a kadar olan temel rakamları ve bu rakamların kombinasyonlarını kullanır. Öte yandan, çoğunlukla bilgisayarlar tarafından kullanılan [[ikili sayı|ikili]] aritmetik, sayıları 0 ve 1 rakamlarının kombinasyonları olarak temsil eder. Bazı aritmetik sistemler ise sayılardan farklı [[matematiksel nesne]]ler üzerinde işlem yapar, örneğin [[aralık aritmetiği]] ve [[Matris (matematik)|matris]] aritmetiği gibi.

Aritmetik işlemler, matematiğin birçok alt dalında, örneğin [[cebir]], [[kalkülüs]] ve [[istatistik]] gibi alanlarda temel oluşturur. Ayrıca, [[fizik]] ve [[ekonomi]] gibi bilimlerde de benzer bir işlev görür. Aritmetik, günlük yaşamın birçok yönünde, alışveriş yaparken para üstü hesaplamak veya kişisel finans yönetimi gibi faaliyetlerde kullanılır. Öğrencilerin ilk karşılaştığı matematik eğitimi biçimlerinden biri olan aritmetiğin, bilişsel ve kavramsal temelleri [[psikoloji]] ve [[felsefe]] tarafından incelenmektedir.

Aritmetiğin pratiği, binlerce hatta belki de on binlerce yıl öncesine uzanmaktadır. [[Uygarlık|Antik uygarlıklar]] arasında yer alan [[Antik Mısır|Mısırlılar]] ve [[Sümer]]liler, M.Ö. 3000 civarında pratik aritmetik sorunları çözmek amacıyla sayı sistemleri geliştirdiler. M.Ö. 7. ve 6. yüzyıllarda, [[antik Yunan]]lılar sayılar üzerine daha soyut bir inceleme başlatmış ve katı [[matematiksel kanıt]] yöntemlerini tanıtmışlardır. [[Hindistan tarihi|Antik Hindu]]lar, [[sıfır]] kavramını ve [[Hint-Arap rakam sistemi|ondalık sistemi]] ortaya çıkardılar; bu sistem, Orta Çağ'da Arap matematikçiler tarafından geliştirilmiş ve Batı dünyasına aktarılmıştır. İlk [[mekanik hesap makineleri]] 17. yüzyılda icat edilmiştir. 18. ve 19. yüzyıllarda, modern [[sayı teorisi]]nin geliştirilmesi ve aritmetiğin [[Aksiyomatik sistem|aksiyomatik temellerinin]] oluşturulması yaşanmıştır. 20. yüzyılda, [[Hesap makinesi|elektronik hesap makinelerin]] ve bilgisayarların ortaya çıkışı, aritmetik hesaplamaların doğruluk ve hızını köklü bir şekilde değiştirmiştir. Bu teknolojik ilerlemeler, aritmetik işlemlerin uygulama alanlarını genişleterek, matematik eğitimi ve günlük matematik uygulamalarında önemli dönüşümler yaratmıştır.

== Tanım ve etimoloji==

Aritmetik, sayılar ve onların işlemleri üzerine çalışan [[matematik|matematiğ]]in temel bir dalıdır. Bu disiplin, [[toplama]], [[çıkarma]], [[çarpma]] ve [[bölme]] işlemleri aracılığıyla sayısal hesaplamalar yapılmasını içerir.<ref name="Romanowski 2008 302–303">{{multiref | {{harvnb|Romanowski|2008|pp=302–303}} | {{harvnb|HC staff|2022b}} | {{harvnb|MW staff|2023}} | {{harvnb|Bukhshtab|Pechaev|2020}} }}</ref> Geniş bir perspektiften bakıldığında, [[üs alma]] ve [[logaritma]] gibi işlemleri de kapsar.<ref>{{multiref | {{harvnb|Bukhshtab|Pechaev|2020}} | {{harvnb|Burgin|2022|pp=57, 77}} | {{harvnb|Adamowicz|1994|p=299}} }}</ref>
[[Türkçe]]ye [[Fransızca]]dan geçen<ref>{{TDK2|aritmetik|Güncel Türkçe Sözlük|21 Mayıs 2013}}</ref> "aritmetik" terimi, Latince ''arithmetica'' kelimesinden türetilmiş olup, bu kelime Antik [[Yunanca]] ''ἀριθμός'' (arithmos), yani "[[sayı]]" ve ''ἀριθμητική τέχνη'' (arithmetike tekhne), yani "sayma sanatı" anlamına gelmektedir.<ref>{{multiref | {{harvnb|Peirce|2015|p=[https://books.google.com/books?id=oI_yCQAAQBAJ&pg=PA109 109]}} | {{harvnb|Waite|2013|p=[https://books.google.com/books?id=xqKcAQAAQBAJ&pg=PA42 42]}} | {{harvnb|Smith|1958|p=[https://books.google.com/books?id=uTytJGnTf1kC&pg=PA7 7]}} }}</ref>

Tanımı konusunda farklı görüşler bulunmaktadır. Dar bir tanımlamaya göre, aritmetik yalnızca [[doğal sayılar]] ile ilgilenir.<ref>{{multiref | {{harvnb|Oliver|2005|p=58}} | {{harvnb|Hofweber|2016|p=153}} }}</ref> Ancak daha yaygın görüş, kapsamına [[tam sayılar]], [[rasyonel sayılar]], [[reel sayılar]] ve bazen de [[karmaşık sayılar]] üzerindeki işlemleri dahil etmektir.<ref name="Romanowski 2008 302–303"/> Bazı tanımlar, aritmetiği yalnızca sayısal hesaplamalar alanına sınırlar.<ref>{{harvnb|Sophian|2017|p=[https://books.google.com/books?id=8FYPEAAAQBAJ&pg=PA84 84]}}</ref> Daha geniş anlamda ele alındığında, sayı kavramının nasıl geliştiğini, sayıların özellikleri ve aralarındaki ilişkilerin analizini ve aritmetik işlemlerin aksiyomatik yapısının incelenmesini de içerir.<ref>{{multiref | {{harvnb|Bukhshtab|Pechaev|2020}} | {{harvnb|Stevenson|Waite|2011|p=[https://books.google.com/books?id=sYScAQAAQBAJ&pg=PA70 70]}} | {{harvnb|Romanowski|2008|pp=303–304}} }}</ref>

Aritmetik, [[sayı teorisi]] ile yakından ilişkilidir ve bu alanlar bazen eşanlamlı olarak kullanılsa da,<ref>{{multiref | {{harvnb|Lozano-Robledo|2019|p=[https://books.google.com/books?id=ESiODwAAQBAJ&pg=PR13 xiii]}} | {{harvnb|Nagel|Newman|2008|p=[https://books.google.com/books?id=WgwUCgAAQBAJ&pg=PA4 4]}} }}</ref> sayı teorisi daha çok tam sayıların özellikleri ve ilişkileri, örneğin [[bölünebilirlik]], [[Çarpanlara ayırma|faktörizasyon]] ve [[asal sayı|asallık]] gibi konular üzerinde yoğunlaşır<ref>{{multiref | {{harvnb|Wilson|2020|pp=[https://books.google.com/books?id=fcDgDwAAQBAJ&pg=PA1 1–2]}} | {{harvnb|Karatsuba|2020}} | {{harvnb|Campbell|2012|p=[https://books.google.com/books?id=yoEFp-Q2OXIC&pg=PT33 33]}} | {{harvnb|Robbins|2006|p=[https://books.google.com/books?id=TtLMrKDsDuIC&pg=PR12-IA1 1]}} }}</ref> ve geleneksel olarak yüksek aritmetik olarak adlandırılır.<ref>{{multiref | {{harvnb|Duverney|2010|p=[https://books.google.com/books?id=sr5S9oN1xPAC&pg=PR5 v]}} | {{harvnb|Robbins|2006|p=[https://books.google.com/books?id=TtLMrKDsDuIC&pg=PR12-IA1 1]}} }}</ref>

== Sayılar ==
[[Sayı]]lar, miktar ölçümü ve büyüklük değerlendirmesi yapmak için kullanılan temel [[matematiksel nesne]]lerdir. Aritmetikte merkezi bir yere sahip olan sayılar, aritmetik işlemlerin tümünün üzerinde yürütüldüğü temel elemanlardır. Sayılar farklı kategorilere ayrılır ve bu sayıları temsil etmek için çeşitli [[sayısal sistemler]] kullanılır.<ref>{{multiref | {{harvnb|Romanowski|2008|pp=302–304}} | {{harvnb|Khattar|2010|pp=[https://books.google.com/books?id=I3rCgXwvffsC&pg=PA1 1–2]}} | {{harvnb|Nakov|Kolev|2013|pp=[https://books.google.com/books?id=xYgCAQAAQBAJ&pg=PA270 270–271]}} }}</ref>

=== Çeşitleri ===
[[Dosya:Number line.png|küçükresim|upright=1.75|alt=Farklı sayı türlerini gösteren sayı doğrusu|Bir [[sayı doğrusu]] üzerinde çeşitli sayı türleri gösterilmektedir. Tam sayılar siyah ile, rasyonel sayılar mavi ile ve irrasyonel sayılar yeşil ile işaretlenmiştir.]]

Aritmetikte kullanılan temel sayı türleri [[doğal sayılar]], tam sayılar, [[tamsayılar]], [[rasyonel sayılar]] ve [[reel sayılar]]dır.<ref>{{multiref | {{harvnb|Nagel|2002|pp=180–181}} | {{harvnb|Luderer|Nollau|Vetters|2013|p=[https://books.google.com/books?id=rSf0CAAAQBAJ&pg=PA9 9]}} | {{harvnb|Khattar|2010|pp=[https://books.google.com/books?id=I3rCgXwvffsC&pg=PA1 1–2]}} }}</ref> Doğal sayılar, 1'den başlayıp sonsuza kadar giden tam sayılardır. 0 ve negatif sayıları içermezler. Ayrıca sayma sayıları olarak da bilinir ve <math>{1, 2, 3, 4, ...}</math> şeklinde ifade edilebilir. Doğal sayıların sembolü <math>\N</math>'dir.{{efn|Other symbols for the natural numbers include <math>\N^*</math>, <math>\N^+</math>, <math>\N_1</math>, and <math>\mathbf{N}</math>.<ref>{{multiref | {{harvnb|Bukhshtab|Nechaev|2016}} | {{harvnb|Zhang|2012|p=[https://books.google.com/books?id=GRTSBwAAQBAJ&pg=PA130 130]}} | {{harvnb|Körner|2019|p=[https://books.google.com/books?id=z-y2DwAAQBAJ&pg=PA109 109]}} | {{harvnb|International Organization for Standardization|2019|p=[https://cdn.standards.iteh.ai/samples/64973/329519100abd447ea0d49747258d1094/ISO-80000-2-2019.pdf 4]}} }}</ref>}}

Tam sayılar, doğal sayılarla aynıdır, tek farkı 0'ı da içermeleridir. <math>{0, 1, 2, 3, 4, ...}</math> şeklinde temsil edilebilir ve sembolü <math>\N_0</math>dir.<ref>{{multiref | {{harvnb|Romanowski|2008|p=304}} | {{harvnb|Nagel|2002|pp=180–181}} | {{harvnb|Hindry|2011|p=x}} | {{harvnb|Bukhshtab|Nechaev|2016}} }}</ref>{{efn|Tam sayılar için diğer semboller arasında <math>\N^0</math>, <math>\N \cup {0 }</math> ve <math>W</math> bulunur.<ref>{{multiref | {{harvnb|Swanson|2021|p=[https://books.google.com/books?id=cHshEAAAQBAJ&pg=PA107 107]}} | {{harvnb|Rossi|2011|p=[https://books.google.com/books?id=kSwVGbBtel8C&pg=PA111 111]}} }}</ref>}} Bazı matematikçiler, doğal sayılar kümesine 0'ı dahil ederek doğal sayılar ve tam sayılar arasında bir ayrım yapmazlar.<ref>{{multiref | {{harvnb|Rajan|2022|p=[https://books.google.com/books?id=OCE6EAAAQBAJ&pg=PA17 17]}} | {{harvnb|Hafstrom|2013|p=[https://books.google.com/books?id=mj_DAgAAQBAJ&pg=PA6 6]}} }}</ref> Tam sayılar kümesi, hem pozitif hem de negatif tam sayıları kapsar. Sembolü <math>\Z</math>'dir ve <math>{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}</math> şeklinde ifade edilebilir.<ref>{{multiref | {{harvnb|Romanowski|2008|p=304}} | {{harvnb|Nagel|2002|pp=180–181}} | {{harvnb|Hindry|2011|p=x}} | {{harvnb|Hafstrom|2013|p=[https://books.google.com/books?id=mj_DAgAAQBAJ&pg=PA95 95]}} }}</ref>

Doğal ve tam sayıların kullanım biçimlerine göre, bu sayılar [[kardinal sayılar|kardinal]] ve [[ordinal sayılar|ordinal]] sayıları olarak iki farklı kategoriye ayrılabilir. Kardinal sayılar, bir, iki, üç gibi sayılar, nesnelerin sayısını ifade eder ve "Kaç tane?" sorusuna yanıt verirler. Öte yandan, ordinal sayıları, birinci, ikinci, üçüncü gibi ifadeler, bir dizideki konum veya sıralamayı gösterir ve "Hangi pozisyon?" sorusunu yanıtlarlar. Bu iki sayı türü, matematikte farklı amaçlar için kullanılır ve her biri, belirli bir sorunun cevabını sağlama kapasitesine sahiptir. Kardinal sayılar genellikle nicelikleri, ordinal sayıları ise nesnelerin veya olayların göreceli konumlarını belirtmek için tercih edilir.<ref>{{multiref | {{harvnb|Orr|1995|p=[https://books.google.com/books?id=DMTqRnoE8iMC&pg=PA49 49]}} | {{harvnb|Nelson|2019|p=[https://books.google.com/books?id=xTiDDwAAQBAJ&pg=PR31 xxxi]}} }}</ref>

Bir sayı, iki tam sayının [[oran]]ı olarak ifade edilebiliyorsa, bu sayı rasyoneldir. Örneğin, <math>\tfrac{1}{2}</math> rasyonel sayısı, pay olarak adlandırılan 1 tam sayısının, payda olarak adlandırılan 2 tam sayısına bölünmesiyle elde edilir. Diğer örnekler arasında <math>\tfrac{3}{4}</math> ve <math>\tfrac{281}{3}</math> yer almaktadır. Rasyonel sayılar kümesi, paydası 1 olan tüm [[kesir]]ler olan tam sayıları da kapsamaktadır. Rasyonel sayıların sembolü <math>\Q</math>'dur.<ref>{{multiref | {{harvnb|Romanowski|2008|p=304}} | {{harvnb|Nagel|2002|pp=180–181}} | {{harvnb|Hindry|2011|p=x}} | {{harvnb|Hafstrom|2013|p=[https://books.google.com/books?id=mj_DAgAAQBAJ&pg=PA123 123]}} }}</ref> 0.3 ve 25.12 gibi ondalık kesirler, paydaları 10'un bir kuvveti olduğu için, özel bir rasyonel sayı türüdür. Örneğin, 0.3, <math>\tfrac{3}{10}</math>'a, 25.12 ise <math>\tfrac{2512}{100}</math>'e eşittir.<ref>{{multiref | {{harvnb|Gellert|Hellwich|Kästner|Küstner|2012|p=[https://books.google.com/books?id=1jH7CAAAQBAJ&pg=PA33 33]}} }}</ref> Her rasyonel sayı, sonlu veya [[Devirli sayı|devirli ondalık]] bir kesirle ifade edilebilir.<ref>{{harvnb|Musser|Peterson|Burger|2013|p=[https://books.google.com/books?id=8jh7DwAAQBAJ&pg=PA358 358]}}</ref>{{efn|Devirli ondalık, 0.111... gibi sonsuz sayıda tekrar eden basamağa sahip bir ondalıktır ve <math>\tfrac{1}{9}</math> rasyonel sayısını ifade eder.}}

[[Dosya:Square root of 2 triangle.svg|küçükresim|alt=Dik üçgen diyagramı|[[Geometri]]deki büyüklükleri tanımlamak için bazen irrasyonel sayılar gereklidir. Örneğin, kenarlarının uzunluğu 1 olan bir [[dik üçgen]]in [[hipotenüs]]ünün uzunluğu irrasyoneldir.]]

[[İrrasyonel sayılar]], iki tam sayının oranı ile ifade edilemeyen sayılardır. Genellikle geometrik büyüklükleri tanımlamak için kullanılırlar. Örneğin, kenarlarının uzunluğu 1 olan bir [[dik üçgen]]in [[hipotenüs]] uzunluğu irrasyonel bir sayı olan <math>\sqrt 2</math> ile ifade edilir. [[Pi|{{pi}}]], başka bir irrasyonel sayı olup bir [[çember]]in [[çevre]]si ile [[çap]]ı arasındaki oranı tanımlar.<ref>{{multiref | {{harvnb|Romanowski|2008|p=304}} | {{harvnb|Nagel|2002|pp=180–181}} | {{harvnb|Hindry|2011|p=x}} }}</ref> İrrasyonel sayıların ondalık gösterimi, tekrarlayan basamaklar olmaksızın sonsuzdur.<ref>{{multiref | {{harvnb|Musser|Peterson|Burger|2013|pp=[https://books.google.com/books?id=8jh7DwAAQBAJ&pg=PA358 358–359]}} | {{harvnb|Rooney|2021|p=[https://books.google.com/books?id=WnVeEAAAQBAJ&pg=PA34 34]}} }}</ref> Rasyonel ve irrasyonel sayılar kümeleri birlikte, reel sayılar kümesini oluşturur. Reel sayıların sembolü <math>\R</math>'dir.<ref>{{multiref | {{harvnb|Romanowski|2008|p=304}} | {{harvnb|Hindry|2011|p=x}} }}</ref> Daha geniş sayı kümeleri arasında [[karmaşık sayılar]] ve [[kuaterniyon]]lar bulunur.<ref>{{multiref | {{harvnb|Hindry|2011|p=x}} | {{harvnb|Ward|2012|p=[https://books.google.com/books?id=LVDvCAAAQBAJ&pg=PA55 55]}} }}</ref>

=== Sayısal sistemler ===
{{Ana|Sayısal sistem}}

Bir [[rakam]], bir sayıyı temsil eden bir semboldür ve sayı sistemleri, sayısal temsillerin oluşturulmasını sağlayan çerçevelerdir.<ref>{{multiref | {{harvnb|Ore|1948|pp=1–2}} | {{harvnb|HC staff|2022}} | {{harvnb|HC staff|2022a}} }}</ref> Bu sistemler genellikle, belirli sayılara doğrudan atıfta bulunan sınırlı sayıda temel rakam içerir. Sayı sistemi, bu temel rakamların herhangi bir sayıyı ifade etmek için nasıl birleştirilebileceğini belirler.<ref>{{multiref | {{harvnb|Ore|1948|pp=8–10}} | {{harvnb|Nakov|Kolev|2013|pp=[https://books.google.com/books?id=xYgCAQAAQBAJ&pg=PA270 270–272]}} }}</ref> Sayı sistemleri, [[Basamak (matematik)|basamak değeri]] esaslı veya basamak değeri esaslı olmayan olarak sınıflandırılır. İlk sayı sistemlerinin tamamı basamak değeri esaslı değildi.<ref>{{multiref | {{harvnb|Stakhov|2020|p=[https://books.google.com/books?id=Fkn9DwAAQBAJ&pg=PA73 73]}} | {{harvnb|Nakov|Kolev|2013|pp=[https://books.google.com/books?id=xYgCAQAAQBAJ&pg=PA271 271–272]}} | {{harvnb|Jena|2021|pp=[https://books.google.com/books?id=qRpSEAAAQBAJ&pg=PA17 17–18]}} }}</ref> Basamak değeri esaslı olmayan sayı sistemlerinde, bir rakamın değeri, sistemdeki konumuna bağlı değildir.<ref>{{multiref | {{harvnb|Nakov|Kolev|2013|pp=[https://books.google.com/books?id=xYgCAQAAQBAJ&pg=PA271 271–272]}} | {{harvnb|Jena|2021|pp=[https://books.google.com/books?id=qRpSEAAAQBAJ&pg=PA17 17–18]}} }}</ref>

{{çoklu resim
|perrow = 1 / 1
|total_width = 250
|image1 = Tally marks.svg
|alt1 = Çetele çizgilerini gösteren diyagram
|link1 = Çetele çizgileri
|image2 = Vlčí radius.jpg
|alt2 = Çetele çubuklarının fotoğrafı
|link2 = Çetele çubukları
|footer = [[Çetele çizgileri]] ve bazı [[çetele çubukları]] basamak değeri esaslı olmayan [[tekli sayı sistemi]]ni kullanır.
}}

En basit basamak değeri esaslı olmayan sistem, [[tekli sayı sistemi]]dir. Bu sistem, 1 sayısı için tek bir sembol kullanır. Daha büyük sayılar, bu sembolün tekrarıyla yazılır. Örneğin, 7 sayısı, 1 sembolünün yedi kez tekrarlanmasıyla ifade edilir. Bu sistem, büyük sayıları yazmayı zorlaştırır; bu nedenle, birçok basamak değeri esaslı olmayan sistem, büyük sayıları doğrudan temsil etmek için ek semboller içerir.<ref>{{multiref | {{harvnb|Ore|1948|pp=8–10}} | {{harvnb|Mazumder|Ebong|2023|pp=[https://books.google.com/books?id=7oS_EAAAQBAJ&pg=PA18 18–19]}} | {{harvnb|Moncayo|2018|p=[https://books.google.com/books?id=J-pTDwAAQBAJ&pg=PT25 25]}} }}</ref> Birlikte sayma sisteminin varyasyonları, [[çetele çubukları]] ve [[çetele çizgileri]]nde kullanılır.<ref>{{multiref | {{harvnb|Ore|1948|p=8}} | {{harvnb|Mazumder|Ebong|2023|p=[https://books.google.com/books?id=7oS_EAAAQBAJ&pg=PA18 18]}} }}</ref>

[[Dosya:Hieroglyph numerals.svg|küçükresim|left|alt=Hiyeroglif rakamların diyagramı|1'den 10.000'e kadar olan hiyeroglif rakamlar<ref>{{harvnb|Ore|1948|p=10}}</ref>]]

== Not listesi ==
{{not listesi}}

== Kaynakça ==
{{Kaynakça}}

== Ayrıca bakınız ==
* [[Çarpım tablosu]]

{{Sayılar teorisi}}
{{matematik-altdal}}
{{Otorite kontrolü}}

[[Kategori:Aritmetik|*]]
[[Kategori:Matematik eğitimi]]