Asal sayı sayfasının kaynağını görüntüle

[[Dosya:Primes-vs-composites.svg|küçükresim|[[Bileşik sayılar]], dikdörtgen biçimlerine düzenlenebilirken, asal sayıların bu biçimde düzenlenmesi mümkün değildir.|alt=İki ile on iki arasındaki noktaların grupları, bileşik sayıların (4, 6, 8, 9, 10 ve 12) dikdörtgen şekillerde düzenlenebildiğini fakat asal sayıların bu düzenlemeye uygun olmadığını gösterir]]

Bir '''asal sayı''', yalnızca 1'den büyük olup kendisinden küçük iki doğal sayının [[Çarpma|çarpım]]ı olarak ifade edilemeyen bir [[doğal sayı]]dır. 1'den büyük ve asal olmayan doğal sayılara [[bileşik sayı]] adı verilir. Örneğin, 5 bir asal sayıdır çünkü onu bir çarpım olarak ifade etmenin mümkün olan yolları, {{kayma|1 × 5}} veya {{kayma|5 × 1}}, yalnızca 5 sayısını içermektedir. Ancak, 4 bir bileşik sayıdır çünkü bu, her iki sayının da 4'ten küçük olduğu bir çarpım (2 × 2) şeklindedir. Asal sayılar, [[aritmetiğin temel teoremi]]nden ötürü [[sayı teorisi]] alanında merkezi öneme sahiptir: 1'den büyük her doğal sayı, ya bir asal sayıdır ya da asal sayıların çarpımı olarak, sıralamalarından bağımsız bir şekilde, benzersiz olarak [[Çarpanlara ayırma|çarpanlarına ayrılabilir]].

Bir sayının asal oluş özelliği, '''asallık''' olarak tanımlanır. Verilen bir <math>n</math> sayısının asal olup olmadığını denetlemek için kullanılan basit fakat zaman alıcı bir yöntem olan [[asallık testi]], <math>n</math> sayısının 2 ile <math>\sqrt{n}</math> arasındaki herhangi bir tam sayıya katı olup olmadığını sınar. Daha hızlı algoritmalar arasında, hızlı olmasına karşın küçük bir hata payı barındıran [[Miller–Rabin asallık testi]] ve her zaman [[polinom zaman]]ında doğru sonucu veren fakat pratikte uygulanabilirliği sınırlı olan [[AKS asallık testi]] yer alır. [[Mersenne sayıları]] gibi özel biçimlere sahip sayılar için özellikle hızlı yöntemler mevcuttur. {{As of|2024|10|12}}, [[bilinen en büyük asal sayı]], 41.024.320 [[rakam|ondalık basamağa]] sahip bir Mersenne asalıdır. Bu asal sayı 2<sup>136,279,841</sup>-1'tur.<ref name="GIMPS-2018" />

Asal sayılar ile bileşik sayıları birbirinden ayıran kesin ve basit bir formül bulunmamaktadır. Bununla birlikte, doğal sayılar arasındaki asal sayıların dağılımı, genel olarak istatistiksel yöntemlerle modellenebilir. Bu bağlamda elde edilen ilk önemli sonuç, 19. yüzyılın sonlarında ispatlanan [[asal sayı teoremi]]dir; bu teori, büyük bir sayının rastgele seçilmesi durumunda asal olma [[olasılık|olasılığ]]ının, sayının basamak sayısına, yani [[logaritma]]sına ters [[orantı|oranlı]] olduğunu ifade eder.

Bir asal sayı 1 veya kendisine dışında hiçbir sayıya bölünmeyen bir doğal sayıdır. M.Ö. 300 civarında [[Öklid teoremi|Öklid tarafından ispatlandığı]] gibi, asal sayılar [[sonsuz küme|sonsuz bir kümedir]] bu nedenle en büyük asal sayı diye bir şey bulunmamaktadır.

Asal sayılara ilişkin tarihsel bazı sorular henüz çözüme kavuşturulmamıştır. Bu sorular içerisinde her 2'den (En küçük asal sayı 2'dir.<ref>{{Web kaynağı |url=https://mathworld.wolfram.com/PrimeNumber.html |başlık=Arşivlenmiş kopya |erişimtarihi=7 Nisan 2020 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20200412012957/https://mathworld.wolfram.com/PrimeNumber.html |arşivtarihi=12 Nisan 2020 |ölüurl=hayır}}</ref>) büyük çift tam sayının iki asal sayının toplamı olarak yazılabileceğini ileri süren [[Goldbach hipotezi|Goldbach'ın hipotezi]] ve ikişer rakam aralıkla sınırsız sayıda ikiz asal sayı çiftinin var olduğunu iddia eden [[İkiz asallar|ikiz asal]] hipotezi yer almaktadır. Bu tür sorular, sayıların [[analitik sayı teorisi|analitik]] ve [[cebirsel sayı teorisi|cebirsel]] boyutları üzerine yoğunlaşan sayı teorisi alanlarının gelişimini hızlandırmıştır. Asal sayılar, [[bilgi teknolojisi]] alanında, özellikle de büyük sayıların asal çarpanlara [[Tam sayı çarpanlarına ayırma|ayrılmasının]] güçlüğüne dayanan [[açık anahtarlı kriptografi]] gibi çeşitli işlemlerde kullanılmaktadır. [[Soyut cebir]]de, asal sayılara genelleştirilmiş bir biçimde benzeyen yapılar arasında [[asal eleman]]lar ve [[asal idealler]] sayılabilir.

==Tanım ve örnekler==
Bir [[doğal sayı]] (1, 2, 3, 4, 5, 6, vb.), 1'den büyük olması ve kendisinden küçük iki doğal sayının çarpımı olarak ifade edilememesi durumunda ''asal sayı'' olarak nitelendirilir. 1'den büyük olup asal olmayan sayılara [[bileşik sayı]]lar adı verilir.{{r|Gardiner_1997}} Diğer bir ifadeyle, eğer <math>n</math> sayısı, kendinden küçük birden fazla eşit parçaya bölünemez ise,{{r|Henderson_2014}} ya da <math>n</math> kadar nokta tam bir dikdörtgen olarak şekillendirilemez ise{{r|Adler_1960}}, <math>n</math> bir asal sayıdır.

Örneğin, 1 ile 6 arasındaki sayılar içinde, 2, 3 ve 5 sayıları asal sayılardır,{{r|Leff_2000}} zira bu sayıları kendinden başka tam bölebilen (kalan bırakmaksızın) başka bir sayı yoktur. 1 sayısı, tanım gereği asal olarak kabul edilmez. {{kayma|1=4 = 2 × 2}} ve {{kayma|1=6 = 2 × 3}} her ikisi de bileşik sayı kategorisindedir.

[[Dosya:Prime number Cuisenaire rods 7.png|küçükresim|upright=1.2|[[Cuisenaire çubukları]] kullanılarak yapılan gösterim, 7 sayısının asal olduğunu, çünkü 2, 3, 4, 5 veya 6 sayılarıyla tam olarak bölünemediğini ortaya koyuyor|alt=Cuisenaire çubukları kullanılarak yapılan gösterim, 7 sayısının asal olduğunu, çünkü 2, 3, 4, 5 veya 6 sayılarıyla tam olarak bölünemediğini ortaya koyuyor.]]
Bir doğal sayı <math>n</math>'in [[bölen]]leri, <math>n</math> sayısını eşit olarak bölebilen doğal sayılardır. Her doğal sayı, kendisi ve 1 olmak üzere iki temel bölene sahiptir. Eğer bir sayının bu ikisinden başka bir böleni varsa, asal sayı olamaz. Bu durum, asal sayıların alternatif bir tanımını sunar: Yalnızca iki pozitif [[bölen]]e sahip olan sayılar asal sayılardır. Bu iki bölen, 1 ve sayının kendisidir. Tek bir bölene sahip olan 1 sayısı, bu tanım çerçevesinde asal kabul edilmez.{{r|Dudley_1978}} Aynı kavramı başka bir şekilde ifade etmek gerekirse, bir sayı <math>n</math>, 1'den büyükse ve <math>2, 3, \dots, n-1</math> sayılarından hiçbiri <math>n</math> sayısını eşit bölmezse, o sayı asaldır.{{r|Sierpiński_1988}}

İlk 25 asal sayı (100'den küçük tüm asal sayılar) şunlardır:{{r|ziegler}}
: [[2]], [[3]], [[5]], [[7]], [[11 (sayı)|11]], [[13 (sayı)|13]], [[17 (sayı)|17]], [[19 (sayı)|19]], [[23 (sayı)|23]], [[29 (sayı)|29]], [[31 (sayı)|31]], [[37 (sayı)|37]], [[41 (sayı)|41]], [[43 (sayı)|43]], [[47 (sayı)|47]], [[53 (sayı)|53]], [[59 (sayı)|59]], [[61 (sayı)|61]], [[67 (sayı)|67]], [[71 (sayı)|71]], [[73 (sayı)|73]], [[79 (sayı)|79]], [[83 (sayı)|83]], [[89 (sayı)|89]], [[97 (sayı)|97]] {{OEIS|id=A000040}}.

2'den büyük hiçbir [[çift sayı]] <math>n</math> asal olamaz çünkü herhangi bir böyle sayı <math>2\times n/2</math> olarak ifade edilebilir. Bu nedenle, 2 dışındaki her asal sayı bir [[tek sayı]]dır ve ''tek asal'' olarak adlandırılır.{{r|Stillwell_1997}} Benzer şekilde, alışılagelmiş [[Onlu sayı sistemi|ondalık]] sistemde yazıldığında, 5'ten büyük tüm asal sayılar 1, 3, 7 veya 9 ile biter. Diğer rakamlarla biten sayılar hep bileşiktir: 0, 2, 4, 6 veya 8 ile biten ondalık sayılar çifttir ve 0 veya 5 ile biten ondalık sayılar 5'e bölünebilir.{{r|Sierpiński_1964}}

Tüm asalların [[Küme (matematik)|kümesi]] bazen <math>\mathbf{P}</math> (kalın harflerle büyük bir ''P''){{r|Nathanson_2000}} veya <math>\mathbb{P}</math> (tahtaya yazı tipiyle büyük bir P) ile gösterilir.{{r|Faticoni_2012}}

==Tarihçe==
[[Dosya:Rhind Mathematical Papyrus.jpg|küçükresim|[[Rhind Papirüsü]]|alt=Rhind Papirüsü]]

M.Ö. 1550 civarından kalan [[Rhind Papirüsü]], asal ve bileşik sayılar için farklı formdaki [[Mısır kesri]] genişlemelerini içerir.{{r|Bruins_1974}} Ancak, asal sayıların incelenmesine dair en eski kayıtlar [[Yunan matematiği|antik Yunan matematikçilerinden]] gelmektedir, onlar bu sayılara {{transl|grc|prōtos arithmòs}} ({{dil|grc|πρῶτος ἀριθμὸς}}) demektedirler. [[Öklid]]'in ''[[Öklid'in Elementleri|Elementleri]]'' (M.Ö. 300 civarı) asal sayıların [[Öklid teoremi|sonsuzluğunu]] ve [[aritmetiğin temel teoremi]]ni kanıtlar ve bir [[Mersenne sayısı]]ndan nasıl bir [[mükemmel sayı]] oluşturulacağını gösterir.{{r|stillwell-2010-p40}} Başka bir Yunan icadı olan [[Eratosten kalburu]], asal sayı listeleri oluşturmak için hala kullanılmaktadır.{{r|pomerance-sciam}}{{r|mollin}}

Miladi 1000 yıllarında, [[Orta Çağ İslam matematiği|İslam dönemi]] matematikçisi [[İbnü'l-Heysem]], asal sayıları, <math>(n-1)!+1</math> ifadesini tam bölünebilen <math>n</math> sayıları olarak tanımlayan [[Wilson teoremi]]'ni buldu. Ayrıca, tüm çift mükemmel sayıların Öklid'in Mersenne asallarını kullanarak yapılan inşasından geldiğini öne sürdü ancak bunu kanıtlayamadı.<ref>{{MacTutor Biography|id=Al-Haytham|title=Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham}}</ref> Bir diğer İslam dönemi matematikçisi, [[Ibn al-Banna' al-Marrakushi]], Eratosten kalburunun, üst sınırın kareköküne kadar olan asal bölenleri dikkate alarak hızlandırılabileceğini gözlemledi.<ref name="mollin"/> [[Fibonacci]], İslami matematikten gelen yenilikleri Avrupa'ya taşıdı. Onun kitabı ''[[Liber Abaci]]'' (1202), asallığı test etmek için [[deneme bölmesi]]ni tanımlayan ilk eser oldu ve yine kareköküne kadar olan bölenleri kullanmayı önerdi.<ref name="mollin"/>

1640 senesinde, [[Pierre de Fermat]] tarafından ispatı yapılmamış olmasına rağmen ortaya atılan [[Fermat'nın küçük teoremi]], sonradan [[Leibniz]] ve [[Euler]] tarafından ispatlanmıştır.<ref>{{harvnb|Sandifer|2007}}, [https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA45 8. Fermat's Little Theorem (November 2003), p. 45]</ref> Fermat, <math>2^{2^n}+1</math> formülüyle ifade edilen [[Fermat sayıları]]nın asallık özelliklerini araştırmış,{{r|Sandifer_2014}} [[Marin Mersenne]] ise <math>p</math>'nin asal olduğu durumlarda <math>2^p-1</math> formunda tanımlanan Mersenne asallarını incelemiştir.{{r|Koshy_2002}} [[Goldbach]], Euler'e yazdığı 1742 tarihli mektupta, her çift sayının iki asal sayının toplamı olarak ifade edilebileceğini öneren [[Goldbach hipotezi]]ni dile getirmiştir. Euler, tüm çift mükemmel sayıların Mersenne asalları kullanılarak oluşturulabileceğini gösteren Heysem varsayımını (günümüzde [[Öklid–Euler teoremi]] olarak adlandırılır) kanıtlamıştır.{{r|Yuan_2002}} Euler ayrıca, asal sayıların sonsuz olduğunu ve asal sayıların terslerinin toplamının diverjansını, <math>\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{7}+\tfrac{1}{11}+\cdots</math>, matematiksel analiz metodolojilerini bu alana taşıyarak kanıtlamıştır.{{r|Narkiewicz_2000}} 
19. yüzyılın başlarında, [[Legendre]] ve [[Gauss]], <math>x</math> sonsuza yaklaştıkça, <math>x</math>'e kadar olan asal sayıların sayısının, <math>x/\log x</math> ile [[Asimptotik analiz|asimptotik]] olduğunu tahmin etmişlerdir, burada <math>\log x</math>, <math>x</math>'in [[doğal logaritması]]dır. Asal sayıların bu yüksek yoğunluğunun bir zayıf sonucu [[Bertrand'ın postülatı]] idir; bu postülat her <math>n > 1</math> için, <math>n</math> ile <math>2n</math> arasında bir asal sayı olduğunu öne sürer ve 1852'de [[Pafnuty Chebyshev]] tarafından kanıtlanmıştır.<ref>{{Akademik dergi kaynağı |ad=P. |soyadı=Tchebychev |yazarbağı=Pafnuty Chebyshev |başlık=Asal Sayılar Üzerine Bir Bellek. |dergi=Journal de mathématiques pures et appliquées |seri=Série 1 |yıl=1852 |sayfalar=366-390 |url=http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1852_1_17_A19_0.pdf |dil=fr |erişim-tarihi=8 Mart 2024 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20221106051136/http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1852_1_17_A19_0.pdf |arşivtarihi=6 Kasım 2022 |ölüurl=hayır }}. (Postulatın kanıtı: 371–382). Ayrıca bkz. Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg, cilt 7, sayfa 15–33, 1854</ref> [[Bernhard Riemann]]'ın [[Verilen Büyüklükten Küçük Asal Sayıların Sayısı Üzerine|1859 tarihli zeta-fonksiyonu üzerine yazdığı makalesindeki]] fikirleri, Legendre ve Gauss'un tahminini kanıtlamak için bir çerçeve çizdi. Yakından ilgili olan [[Riemann hipotezi]] hala kanıtlanmamış olmasına rağmen, Riemann'ın çizdiği çerçeve 1896'da [[Jacques Hadamard|Hadamard]] ve [[Charles Jean de la Vallée-Poussin|de la Vallée Poussin]] tarafından tamamlandı ve sonuç şimdi [[asal sayılar teoremi]] olarak bilinmektedir.<ref>{{Kitap kaynağı |soyadı= Apostol |ad= Tom M. |yazarbağı= Tom M. Apostol | editör1-soyadı = Bambah | editör1-ad = R.P. | editör2-soyadı = Dumir | editör2-ad = V.C. | editör3-soyadı = Hans-Gill | editör3-ad = R.J. |bölüm= Asal sayı teoreminin yüzyıllık tarihi |yer= Basel | mr = 1764793 |sayfalar=1-14|yayıncı= Birkhäuser |seri= Matematikte Eğilimler |başlık= Sayı Teorisi |bölümurl= https://books.google.com/books?id=aiDyBwAAQBAJ&pg=PA1 |yıl= 2000}}</ref> 19. yüzyılın başka bir önemli sonucu [[Dirichlet'in aritmetik diziler üzerine teoremi]] idi, belirli [[aritmetik dizi]]lerin sonsuz çoklukta asal sayı içerdiğini belirtir.<ref>{{Kitap kaynağı |soyadı= Apostol |ad= Tom M. |yazarbağı= Tom M. Apostol |bölüm= 7. Aritmetik Dizilerdeki Asallar Üzerine Dirichlet Teoremi |bölümurl= https://books.google.com/books?id=3yoBCAAAQBAJ&pg=PA146 |yer= New York; Heidelberg | mr = 0434929 |sayfalar=146-156|yayıncı= Springer-Verlag |başlık= Analitik Sayı Teorisi'ne Giriş |yıl= 1976 }}</ref>

Deneme bölmesinin pratikte uygulanabilir olduğu sayılardan daha [[büyük sayılar]] için birçok matematikçi [[asallık testi]] üzerinde çalışmıştır. Belirli sayı formlarına sınırlı yöntemler arasında Fermat sayıları için [[Pépin testi]] (1877),<ref>{{Kitap kaynağı|başlık=A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip|ad=Jean-Luc|soyadı=Chabert|yayıncı=Springer|yıl=2012|isbn=978-3-642-18192-4|sayfa=261|url=https://books.google.com/books?id=XcDqCAAAQBAJ&pg=PA261}}</ref> [[Proth teoremi]] (yaklaşık 1878),<ref>{{Kitap kaynağı|başlık=Elementary Number Theory and Its Applications|url=https://archive.org/details/elementarynumber0000rose_q4e9|ad=Kenneth H.|soyadı=Rosen|basım=4.4yayıncı=Addison-Wesley|yıl=2000|isbn=978-0-201-87073-2|bölüm=Theorem 9.20. Proth's Primality Test|sayfa=[https://archive.org/details/elementarynumber0000rose_q4e9/page/n363 342]}}</ref> [[Lucas–Lehmer asallık testi]] (1856'da ortaya çıktı) ve genelleştirilmiş [[Lucas asallık testi]] bulunmaktadır.<ref name="mollin"/>

1951 yılından itibaren, en büyük bilinen asal sayıların tümü, [[bilgisayar]]larda gerçekleştirilen bu testlerle keşfedilmiştir.{{efn|Aimé Ferrier'in 1951'de bir mekanik hesap makinesi ile keşfettiği 44 basamaklı asal sayı, elektronik bilgisayarların yardımı olmadan keşfedilen en büyük asal sayı olma özelliğini korumaktadır.<ref>{{kitap kaynağı|başlık=The Once and Future Turing|ad1=S. Barry|soyadı1=Cooper|ad2=Andrew|soyadı2=Hodges|yayıncı=Cambridge University Press|yıl=2016|isbn=978-1-107-01083-3|sayfalar=37-38|url=https://books.google.com/books?id=h12cCwAAQBAJ&pg=PA37}}</ref>}} Büyük asal sayıları arama çabası, [[Great Internet Mersenne Prime Search]] ve benzeri [[dağıtık hesaplama]] projeleri vasıtasıyla matematiksel olmayan topluluklarda da büyük bir ilgi uyandırmıştır.<ref name=ziegler/><ref>{{harvnb|Rosen|2000}}, s. 245.</ref> Asal sayıların [[soyut matematik]]{{efn|name="pure"|Beiler'e göre, sayı teorisi uzmanı [[Ernst Kummer]], asal sayılarla sıkı bir ilişki içinde bulunan [[ideal sayı]]larını, "herhangi bir pratik uygulama ile kendilerini kirletmedikleri için" özellikle benimsemiştir,<ref>{{kitap kaynağı|başlık=Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains|ad=Albert H.|soyadı=Beiler|yıl=1999|yayıncı=Dover|özgünyıl=1966|isbn=978-0-486-21096-4|sayfa=2|url=https://books.google.com/books?id=NbbbL9gMJ88C&pg=PA2|oclc=444171535}}</ref> Katz ise, asal sayıların dağılımı konusundaki çalışmalarıyla tanınan [[Edmund Landau]]'nun, matematiğin pratik uygulamalarına derin bir antipati duyduğunu ve bu sebeple, pratik faydaları önceden kanıtlanmış olan [[geometri]] gibi alanlardan uzak durduğunu ifade etmektedir.<ref>{{dergi kaynağı | soyadı = Katz | ad = Shaul |doi= 10.1017/S0269889704000092 | sayı = 1–2 | dergi = Science in Context | mr = 2089305 | sayfalar =199-234| başlık = Berlin roots – Zionist incarnation: the ethos of pure mathematics and the beginnings of the Einstein Institute of Mathematics at the Hebrew University of Jerusalem | cilt = 17 | yıl = 2004| s2cid = 145575536  |issn=0269-8897 }}</ref>}} dışında önemli uygulamalara sahip olmadığına dair görüş, 1970'lerde, asal sayıları temel alan [[açık anahtarlı kriptografi]] ve [[RSA (şifreleme yönetimi)|RSA]] kriptosisteminin geliştirilmesi ile çürütülmüştür.<ref name="ent-7">{{kitap kaynağı|başlık=Elementary Number Theory|seri=Textbooks in mathematics|ad1=James S.|soyadı1=Kraft|ad2=Lawrence C.|soyadı2=Washington|yayıncı=CRC Press|yıl=2014|isbn=978-1-4987-0269-0|sayfa=7|url=https://books.google.com/books?id=4NAqBgAAQBAJ&pg=PA7}}</ref>

Bilgisayarla yapılan asallık testlerinin ve çarpanlara ayırma işleminin artan pratik önemi, kısıtlama olmaksızın büyük sayılarla başa çıkabilen gelişmiş yöntemlerin geliştirilmesine yol açtı.<ref name="pomerance-sciam"/><ref>{{Kitap kaynağı|başlık=Secret History: The Story of Cryptology|seri=Discrete Mathematics and Its Applications|ad=Craig P.|soyadı=Bauer|yayıncı=CRC Press|yıl=2013|isbn=978-1-4665-6186-1|sayfa=468|url=https://books.google.com/books?id=EBkEGAOlCDsC&pg=PA468}}</ref><ref>{{Kitap kaynağı|başlık=Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory|cilt=11|seri=Dolciani mathematical expositions|ad1=Victor|soyadı1=Klee|yazarbağı1=Victor Klee|ad2=Stan|soyadı2=Wagon|yazarbağı2=Stan Wagon|yayıncı=Cambridge University Press|yıl=1991|isbn=978-0-88385-315-3|sayfa=224|url=https://books.google.com/books?id=tRdoIhHh3moC&pg=PA224}}</ref> Asal sayılar teorisinin matematiksel gelişimi, asal sayıların keyfi olarak uzun aritmetik dizilerinin olduğunu belirten [[Green–Tao teoremi]] (2004) ve [[Yitang Zhang]]'ın 2013'te sınırlı büyüklükte sonsuz çoklukta [[asal boşluk]]larının olduğunun kanıtı ile de ileriye taşındı.<ref name="neale-18-47">{{harvnb|Neale|2017}}, ss. 18, 47.</ref>

=== 1 sayısının asallığı ===

Antik Yunanların çoğu, başlangıçta 1'i bir sayı olarak bile kabul etmemiştir,<ref name="crxk-34">{{Akademik dergi kaynağı | soyadı1 = Caldwell | ad1 = Chris K. | soyadı2 = Reddick | ad2 = Angela | soyadı3 = Xiong | ad3 = Yeng | soyadı4 = Keller | ad4 = Wilfrid | sayı = 9 | dergi = [[Journal of Integer Sequences]] | mr = 3005523 | sayfa = Article 12.9.8 | başlık = The history of the primality of one: a selection of sources | url = https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Caldwell2/cald6.html | cilt = 15 | yıl = 2012 | erişim-tarihi = 8 Mart 2024 | arşivurl = https://web.archive.org/web/20180412081118/https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Caldwell2/cald6.html | arşivtarihi = 12 Nisan 2018 | ölüurl = hayır }} For a selection of quotes from and about the ancient Greek positions on the status of 1 and 2, see in particular pp. 3–4. For the Islamic mathematicians, see p. 6.</ref><ref>{{Kitap kaynağı|başlık=Speusippus of Athens: A Critical Study With a Collection of the Related Texts and Commentary|cilt=39|seri=Philosophia Antiqua : A Series of Monographs on Ancient Philosophy|ad=Leonardo|soyadı=Tarán|yayıncı=Brill|yıl=1981|isbn=978-90-04-06505-5|sayfalar=35-38|url=https://books.google.com/books?id=cUPXqSb7V1wC&pg=PA35}}</ref> dolayısıyla asallığını tartışmaları mümkün değildi. Nicomachus, Iamblichus, Boethius ve Cassiodorus gibi birkaç Yunan ve sonraki Roma geleneği alimi, asal sayıları tek sayıların bir alt bölümü olarak kabul ettiği için, 2'yi de asal olarak kabul etmemişlerdir. Ancak, Öklid ve diğer birçok Yunan matematikçisi 2'yi asal olarak kabul etmiştir. [[Orta Çağ]] İslam matematikçileri genellikle Yunanların görüşlerini takip ederek 1'i bir sayı olarak görmemişlerdir.<ref name="crxk-34"/> Orta Çağ ve Rönesans boyunca matematikçiler 1'i bir sayı olarak kabul etmeye başlamış ve bazıları onu ilk asal sayı olarak dahil etmiştir.<ref>{{harvnb|Caldwell|Reddick|Xiong|Keller|2012}}, pp. 7–13. See in particular the entries for Stevin, Brancker, Wallis, and Prestet.</ref> 18. yüzyılın ortalarında [[Christian Goldbach]], [[Leonhard Euler]] ile olan yazışmalarında 1'i asal olarak listelemiştir; ancak, Euler kendisi 1'i asal olarak kabul etmemiştir.<ref>{{harvnb|Caldwell|Reddick|Xiong|Keller|2012}}, s. 15.</ref> 19. yüzyılda birçok matematikçi hala 1'i asal olarak kabul etmiş,<ref name="cx"/> ve 1'i içeren asal sayı listeleri en son 1956 yılında yayımlanmıştır.<ref>{{Kitap kaynağı |soyadı=Riesel |ad=Hans |yazarbağı= Hans Riesel |başlık=Prime Numbers and Computer Methods for Factorization |yayıncı=Birkhäuser |yer=Basel, Switzerland | isbn=978-0-8176-3743-9 |yıl=1994|sayfa=36|basım=2.2mr=1292250|url=https://books.google.com/books?id=ITvaBwAAQBAJ&pg=PA36 |doi=10.1007/978-1-4612-0251-6 }}</ref><ref name="cg-bon-129-130">{{Kitap kaynağı | soyadı1=Conway | ad1=John Horton | yazarbağı1=John Horton Conway | soyadı2=Guy | ad2=Richard K. | yazarbağı2=Richard K. Guy |başlık=The Book of Numbers | url=https://archive.org/details/bookofnumbers0000conw |url-erişimi=kayıtlı |yayıncı=Copernicus |yer=New York | isbn=978-0-387-97993-9 |yıl=1996 |sayfalar=[https://archive.org/details/bookofnumbers0000conw/page/129 129-130]| mr=1411676 |doi=10.1007/978-1-4612-4072-3 }}</ref>

1 sayısı günümüzde ne [[asal]] ne de [[bileşik sayı|bileşik]] kabul edilir ve özel bir durumu vardır.<ref>Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, 1986. s 31.<[http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumber.html] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20130329190729/http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumber.html|tarih=29 Mart 2013}}></ref> Geçmişte pek çok matematikçi 1'i asal sayı olarak kabul ediyordu. 1'in asal olarak kabul edilmesine dayanarak yapılan birçok çalışma geçerliliğini hâlâ sürdürmektedir: [[Moritz Abraham Stern|Stern]] ve [[Helmut Zeisel|Zeisel]]'in çalışmaları gibi. [[Henri Lebesgue]], çalışmalarında 1'i asal olarak ele alan son profesyonel matematikçi olarak bilinir. 1 asal olarak ele alındığında bâzı teoremlerde değişikliğe gidilmesi gerekir. Örneğin tüm pozitif [[tam sayı]]ların "yalnız bir şekilde" asal sayıların çarpımları şeklinde yazılabileceğini söyleyen [[aritmetiğin temel teoremi]], geçmişteki asal sayı tanımına göre geçerli değildir.<ref>{{Kitap kaynağı|soyadı=Gowers|ad=T|yazarbağı=William Timothy Gowers|yıl=2002|sayfalar=[https://archive.org/details/mathematicsverys00gowe_114/page/n125 118]|alıntı=The seemingly arbitrary exclusion of 1 from the definition of a prime … does not express some deep fact about numbers: it just happens to be a useful convention, adopted so there is only one way of factorizing any given number into primes|başlık=Mathematics: A Very Short Introduction|url=https://archive.org/details/mathematicsverys00gowe_114|yayıncı=[[Oxford University Press]]|id=ISBN 0-19-285361-9}}</ref><ref>"[http://primes.utm.edu/notes/faq/one.html "Why is the number one not prime?"] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20080509162105/http://primes.utm.edu/notes/faq/one.html |tarih=9 Mayıs 2008 }}". Retrieved 2007-10-02.</ref><ref>"[http://www.geocities.com/primefan/Prime1ProCon.html "Arguments for and against the primality of 1] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20070825005316/http://www.geocities.com/primefan/Prime1ProCon.html |tarih=25 Ağustos 2007 }}".</ref>
[[Dosya:Prime rectangles.svg|küçükresim|Resimdeki örnek 11'in asal olup 12'nin asal olmadığını gösteriyor.]]

Bir sayının asal olarak tanımlanması değiştirilip 1 asal olarak kabul edilseydi, asal sayılarla ilgili birçok ifade daha zor bir şekilde yeniden formüle edilmek zorunda kalırdı. Örneğin, aritmetiğin temel teoremi, her sayının 1'in istenilen sayıda kopyasıyla çeşitli faktörizasyonları olacağı için, 1'den büyük asallara göre faktörizasyonlar açısından yeniden ifade edilmek zorunda kalırdı.<ref name="cx">{{Akademik dergi kaynağı | soyadı1 = Caldwell | ad1 = Chris K. | soyadı2 = Xiong | ad2 = Yeng | sayı = 9 | dergi = [[Journal of Integer Sequences]] | mr = 3005530 | sayfa = Article 12.9.7 | başlık = What is the smallest prime? | url = https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Caldwell1/cald5.pdf | cilt = 15 | yıl = 2012 | erişim-tarihi = 8 Mart 2024 | arşivurl = https://web.archive.org/web/20180412081058/https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Caldwell1/cald5.pdf | arşivtarihi = 12 Nisan 2018 | ölüurl = hayır }}</ref> Benzer şekilde, [[Eratosthenes kalburu]] 1'i bir asal olarak ele alırsa doğru çalışmazdı çünkü 1'in tüm katlarını (yani, tüm diğer sayıları) elemek ve sadece 1 sayısını çıkarmak zorunda kalırdı.<ref name="cg-bon-129-130"/> Asal sayıların bazı diğer daha teknik özellikleri de 1 numarası için geçerli değildir: örneğin, [[Totient|Euler'in totient fonksiyonu]] veya [[bölenler toplamı fonksiyonu]] için formüller asal sayılar için 1 ile farklıdır.<ref>Totient için bkz. {{harvnb|Sierpiński|1988}}, [https://books.google.com/books?id=ktCZ2MvgN3MC&pg=PA245 s. 245]. Bölenlerin toplamı için bkz. {{Kitap kaynağı|başlık=How Euler Did It|seri=MAA Spectrum|ad=C. Edward|soyadı=Sandifer|yayıncı=Mathematical Association of America|yıl=2007|isbn=978-0-88385-563-8|sayfa=59|url=https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA59}}</ref> 20. yüzyılın başlarında, matematikçiler 1'in asal olarak listelenmemesi, ancak daha çok "[[Birim (halka teorisi)|birim]]" olarak kendi özel kategorisinde yer alması gerektiği konusunda anlaşmaya başladılar.<ref name="cx"/>

==Temel özellikler==
[[Dosya:Prime Factorization of 42 (Second Example).png|küçükresim|42'nin Çarpan Ağacı yöntemi ile asal çarpanlarına ayırma.]]

===Çarpanlama===
{{Ana|Aritmetiğin temel teoremi}}

Bir sayının asal sayıların çarpımı olarak yazılması, o sayının ''asal çarpanlara ayrılması'' olarak adlandırılır. Örneğin:

:<math>\begin{align}
   34866 &= 2\times 3\times 3\times 13 \times 149\\
   &=2\times 3^2\times 13 \times 149.
 \end{align}</math>
Bu çarpımdaki terimlere ''asal çarpanlar'' denir. Aynı asal çarpan birden fazla bulunabilir; bu örnekte asal çarpan <math>3</math> iki defa görülmektedir. Bir asal sayı birden fazla kez bulunduğunda, [[Üs|üssel sayılar]] kullanılarak aynı asal sayı gruplandırılabilir: örneğin, yukarıdaki sonucun ikinci yazım şeklinde, <math>3^2</math>, <math>3</math> sayısının [[Kare (cebir)|karesini]] veya ikinci kuvvetini gösterir.

Asal sayıların sayılar teorisi ve genel olarak matematiğe merkezi önemi, ''aritmetiğin temel teoremi''nden kaynaklanmaktadır.{{r|Smith_2011}} Bu teorem, 1'den büyük her tam sayının bir veya daha fazla asal sayının çarpımı olarak yazılabileceğini belirtir. Daha da önemlisi, bu çarpım özeldir; yani, aynı sayının her iki asal çarpanlarının çarpımı, çarpanların sıralaması farklı olsa bile, aynı asal sayıların aynı sayıda kopyasını içerecektir.<ref>{{harvnb|Dudley|1978}}, [https://books.google.com/books?id=tr7SzBTsk1UC&pg=PA16 Section 2, Theorem 2, p. 16]; {{Kitap kaynağı|başlık=Closing the Gap: The Quest to Understand Prime Numbers|başlıkbağı= Closing the Gap: The Quest to Understand Prime Numbers |ad=Vicky|soyadı=Neale|yazarbağı=Vicky Neale|yayıncı=Oxford University Press|yıl=2017|isbn=978-0-19-109243-5|yer=[https://books.google.com/books?id=T7Q1DwAAQBAJ&pg=PA107 p. 107]}}</ref> Dolayısıyla, bir [[Asal çarpanlara ayırma|asal çarpanlarına ayırma]] algoritması kullanılarak çarpanlara ayırma işlemi yapmanın birçok farklı yolu olmasına rağmen, hepsi aynı sonucu üretmek zorundadır. Bu nedenle, asal sayılar doğal sayıların "temel yapı taşları" olarak kabul edilebilir.{{r|Sautoy_2003}}

Asal çarpanlara ayrılmanın benzersizliğinin kanıtlarından bazıları, [[Öklid'in lemması]]na dayanır: Eğer <math>p</math> bir asal sayıysa ve <math>p</math>, <math>a</math> ve <math>b,</math> tam sayılarının çarpımı olan <math>ab</math>'yi bölerse, o zaman <math>p</math>, ya <math>a</math>'yı ya da <math>b</math>'yi (veya her ikisini de) böler.<ref>{{harvnb|Dudley|1978}}, [https://books.google.com/books?id=tr7SzBTsk1UC&pg=PA15 Section 2, Lemma 5, p. 15]; {{Kitap kaynağı|başlık=Mathematics for the Curious|ad=Peter M.|soyadı=Higgins|yayıncı=Oxford University Press |yıl=1998 |isbn=978-0-19-150050-3 |sayfalar=77-78|url=https://books.google.com/books?id=LeYH8P8S9oQC&pg=PA77}}</ref> Aksine, bir sayı <math>p</math>, bir çarpımı böldüğünde daima çarpımın en az bir faktörünü bölerse, o zaman <math>p</math> asal olmalıdır.{{r|Rotman_2000}}

===Sonsuzluk===
{{ana|Öklid teoremi}}

Asal sayıların sayısı [[sonsuz]]dur. Diğer bir deyişle, asal sayı dizisi:

: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

asla son bulmaz. Bu tez, antik Yunan matematikçisi [[Öklid]] onuruna, "Öklid Teoremi" olarak isimlendirilmiştir çünkü bu tezin bilinen ilk ispatı onun adıyla ilişkilendirilir. Asal sayıların sonsuzluğunu kanıtlayan birçok metod mevcuttur; bunlar arasında, [[Euler]] tarafından gerçekleştirilen [[matematiksel analiz|analitik]] ispat, [[Christian Goldbach|Goldbach'ın]] [[Fermat sayıları]] üzerine kurulu [[Fermat sayısı#Temel özellikler|ispatı]],<ref>[http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0722.pdf Letter] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20150611112920/http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0722.pdf |tarih=11 Haziran 2015 }} Goldbach'tan Euler'e [[Latince]], Temmuz 1730.</ref> [[Hillel Furstenberg|Furstenberg'in]] genel [[topoloji]] kullanarak sunduğu [[Furstenberg'in asal sayıların sonsuzluğunu kanıtlama yöntemi|kanıtı]],{{r|Furstenberg_1955}} ve [[Ernst Kummer|Kummer'in]] ispatı sayılabilir.{{r|Ribenboim_2004}}

Öklid'in ispatı,<ref>[[Öklid'in Elementleri]], Book IX, Proposition 20. bakınız [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX20.html David Joyce'un Öklid'in ispatının İngilizce çevirisi] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20110123034101/http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX20.html |tarih=23 Ocak 2011 }} ya da {{kitap kaynağı|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=umn.31951000084215o;view=1up;seq=95|başlık=The Elements of Euclid, With Dissertations|soyadı=Williamson|ad=James|yayıncı=[[Clarendon Press]]|yıl=1782|yer=Oxford|sayfa=63|oclc=642232959|erişim-tarihi=18 Mart 2024|arşivurl=https://web.archive.org/web/20230326205020/https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=umn.31951000084215o;view=1up;seq=95|arşivtarihi=26 Mart 2023|ölüurl=hayır}}</ref> herhangi bir [[sonlu küme|sonlu asal sayı listesinin]] eksik olduğunu gösterir. Ana fikir, verilen listedeki asal sayıların hepsini çarparak <math>1</math> eklemektir. Eğer liste <math>p_1, p_2, \ldots, p_n,</math> asal sayılarından oluşuyorsa, bu

: <math> N = 1 + p_1\cdot p_2\cdots p_n. </math> sayısını verir.

Temel teorem gereğince, <math>N</math> sayısı,

: <math> N = p'_1\cdot p'_2\cdots p'_m </math>

şeklinde bir veya daha fazla asal çarpan içeren bir asal çarpanlara ayırımına sahiptir. <math>N</math> sayısı, bu çarpanlarca tam bölünebilirken, verilen asal sayı listesindeki herhangi bir sayı ile bölündüğünde 1 kalanını verir; bu durum, <math>N</math> sayısının asal çarpanlarının verilen liste içinde yer alamayacağını gösterir. Asal sayıların sonlu bir listesinin olmaması gerçeği, asal sayıların sonsuz olduğunu zorunlu kılar.

En küçük asal sayıların çarpımlarına bir eklenerek oluşturulan sayılara [[Öklid sayısı]] adı verilir.{{r|Vardi_1991}} Bunlardan ilk beşi asal olmakla birlikte, altıncısı,

:<math>1 + (2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13) = 30031 = 59\cdot 509,</math> şeklindedir.

===Asal sayı denklemleri===

Asal sayıları tespit etmek için bilinen etkin bir yöntem mevcut değildir. Öyle ki, yalnızca asal sayı değerleri üreten, sabit olmayan çok değişkenli bir [[polinom]] dahi bulunamamıştır.{{r|matiyasevich}} Bununla birlikte, yalnızca asal sayıları veya tüm asal sayıları temsil edebilen çeşitli ifadeler mevcuttur. Bu ifadelerden biri, [[Wilson teoremi]]'ne dayalı olup, 2 sayısının defalarca ve diğer tüm asal sayıların ise sadece bir kez elde edilmesini sağlayan bir formüldür.{{r|Mackinnon_1987}} Dokuz değişken ve bir parametreye sahip [[Diyofantus denklemi|Diyofantus denklemleri]]nden oluşan bir küme de mevcuttur; bu kümenin belirgin bir özelliği şöyledir: Eğer ve ancak eğer bu denklem sistemi doğal sayılar kümesi üzerinde bir çözüme sahipse, ilgili parametre bir asal sayıdır. Bu özellik, tüm ''pozitif'' değerleri asal sayı olan bir formülün elde edilmesi amacıyla kullanılabilir.{{r|matiyasevich}}

[[Mills teoremi]] ve [[E. M. Wright|Wright]] tarafından öne sürülen bir teoremle ilgili olarak, asal sayılar üreten diğer formüller de mevcuttur. Bu teoremler, <math>A>1</math> ve <math>\mu</math> şeklinde ifade edilen gerçek sabitlerin varlığını öne sürer.

:<math>\left \lfloor A^{3^n}\right \rfloor \text{ ve } \left \lfloor 2^{\cdots^{2^{2^\mu}}} \right \rfloor</math>

İlk formülde, herhangi bir doğal <math>n</math> sayısı için belirtilen sayılar asal niteliktedir; ikinci formülde ise, üslerin herhangi bir sayıda oluşu durumunda da sayılar asal özellik gösterirler.{{r|Wright_1951}} Bu bağlamda, <math>\lfloor {}\cdot{} \rfloor</math> sembolü, incelenen sayıya eşit veya bu sayıdan daha az olan en yüksek tam sayıyı ifade eden [[taban fonksiyonunu]] belirtmektedir. Fakat, <math>A</math> veya <math>\mu.</math> değerlerinin hesaplanabilmesi için asal sayıların ilk etapta elde edilmiş olması gerekliliği göz önünde bulundurulduğunda, bu formüllerin asal sayı üretimi açısından pratikte bir yararı bulunmamaktadır.{{r|matiyasevich}}

===Çözüm bekleyen sorular===

Matematik alanında, asal sayılarla ilgili bir dizi varsayım ileri sürülmüştür. Çoğunlukla temel bir ifade şekliyle ortaya konan bu varsayımlar, onlarca yıl süresince ispatlanamamıştır: 1912 yılında ortaya atılan [[Landau problemleri]] başlığı altındaki dört soru günümüze dek çözülememiştir.<ref>{{harvnb|Guy|2013}}, [https://books.google.com/books?id=EbLzBwAAQBAJ&pg=PR7 p. vii].</ref> Bu varsayımlardan bir tanesi, 2'den büyük olan her çift tam sayı <math>n</math>'nin, iki asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebileceğini öne süren [[Goldbach hipotezi]] ile ilişkilendirilmiştir.<ref>{{harvnb|Guy|2013}}, [https://books.google.com/books?id=EbLzBwAAQBAJ&pg=PA105 C1 Goldbach's conjecture, pp. 105–107].</ref> 2014 itibarıyla, söz konusu varsayım, <math>n=4\cdot 10^{18}</math> değerine ulaşan tüm sayılar için teyit edilmiştir.{{r|Silva_2014}} Bu iddiadan daha zayıf önermeler ispatlanmıştır; mesela, [[Vinogradov teoremi]], yeterli büyüklükteki her tek tam sayının, üç asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebileceğini belirtmektedir.<ref>{{harvnb|Tao|2009}}, [https://books.google.com/books?id=NxnVAwAAQBAJ&pg=PA239 3.1 Structure and randomness in the prime numbers, pp. 239–247]. See especially p.&nbsp;239.</ref> [[Chen teoremi]], yeterli büyüklükteki herhangi bir çift sayının, bir asal sayı ile bir [[yarı asal]] (iki asal sayının çarpımı) toplamı şeklinde gösterilebileceğini öne sürmektedir.<ref>{{harvnb|Guy|2013}}, p. 159.</ref> Bunun yanı sıra, 10 değerinden büyük olan her çift tam sayı, altı asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebilir.{{r|Ramare_1995}} Bu tür soruların incelendiği sayı teorisi dalı, [[toplamsal sayı teorisi]] olarak adlandırılmaktadır.{{r|Rassias_2017}}

Ardışık asal sayılar arasındaki farkları ifade eden [[asal boşlukları]] ile ilgili bir başka problem türü bulunmaktadır. Herhangi bir doğal <math>n</math> sayısı için, <math>n!+2, n!+3,\dots, n!+n</math> dizisinin <math>n-1</math> adet bileşik sayı içerdiği göz önüne alındığında, istenilen büyüklükte asal boşlukların mevcudiyeti tespit edilebilir.<ref>{{harvnb|Koshy|2002}}, [https://books.google.com/books?id=-9pg-4Pa19IC&pg=PA109 Theorem 2.14, p. 109]. {{harvnb|Riesel|1994}}, faktöriyel yerine [[asal çarpan]]ın kullanıldığı benzer bir mantıksal çıkarımı sunmaktadır.</ref> Bununla birlikte, büyük asal aralıkların oluşumu, bu argümanın işaret ettiğinden çok daha önce gerçekleşmektedir.<ref name="riesel-gaps"/> Mesela, 8 birimlik ilk asal sayı farkı, 89 ile 97 arasındaki asal sayılar arasında gözlemlenir,<ref>{{Cite OEIS|A100964|name=Smallest prime number that begins a prime gap of at least 2n}}</ref> bu, <math>8!=40320</math> değerinden önemli ölçüde daha düşüktür.
İki asal sayı arasındaki farkın 2 olması durumunda, [[İkiz asallar|ikiz asal]] çiftlerinin sonsuz sayıda var olduğu öne sürülmektedir; bu önerme, 'ikiz asal hipotezi' olarak bilinir. [[Polignac hipotezi]] ise daha geniş bir perspektiften, her pozitif <math>k</math> tam sayı değeri için, ardışık asal sayı çiftlerinin <math>2k</math> farkla ayrıldığı durumların sonsuz sayıda olduğunu ifade etmektedir.<ref name="rib-gaps">{{harvnb|Ribenboim|2004}}, Gaps between primes, pp. 186–192.</ref>

[[Andrica hipotezi]],<ref name="rib-gaps"/> [[Brocard hipotezi]],<ref name="rib-183">{{harvnb|Ribenboim|2004}}, p. 183.</ref> [[Legendre hipotezi]]<ref name="chan">{{dergi kaynağı | soyadı = Chan | ad = Joel | başlık = Prime time! | dergi = Math Horizons | cilt = 3 | sayı = 3 | tarih = February 1996 | sayfalar =23-25| jstor = 25678057|doi= 10.1080/10724117.1996.11974965 }} Note that Chan lists Legendre's conjecture as "Sierpinski's Postulate".</ref> ve [[Oppermann hipotezi]],<ref name="rib-183"/> <math>1</math> ile <math>n</math> arasındaki asal sayılar arasındaki maksimum boşlukların yaklaşık olarak en fazla <math>\sqrt{n}</math> olması gerektiğini ileri sürmektedir; bu çıkarım, Riemann hipotezi çerçevesinde elde edilen bilinen bir sonuçtur. Ancak, daha iddialı olan [[Cramér hipotezi]], en büyük boşluk boyutunu <math>O((\log n)^2)</math> olarak tahmin etmektedir. İki asal sayı arasındaki boşluklar, asal sayıların arasındaki farkların desenlerini ifade eden [[Asal k-ikilisi|asal <math>k</math>-ikililer]] şeklinde genelleştirilebilir. Bu desenlerin sonsuz sayıda varlığı ve yoğunluğu, asal sayıların, asal sayı teoremi ile belirlenen yoğunluğa sahip rastgele bir sayı dizisi gibi davrandığını öneren [[Sezgisel analiz|sezgisel]] temellere dayanan [[ilk Hardy–Littlewood hipotezi]]nin inceleme konusudur.<ref>{{harvnb|Ribenboim|2004}}, Prime <math>k</math>-tuples conjecture, pp. 201–202.</ref>

==Analitik özellikler==
[[Analitik sayı teorisi]], sayı teorisini, [[sürekli fonksiyon]]lar, [[Limit (matematik)|limitler]], [[Seri (matematik)|sonsuz seriler]] ve bunların yanı sıra sonsuzluk ve [[sonsuz küçük]] kavramlarıyla ilişkili matematiksel yapılar üzerinden detaylı bir şekilde araştırır.

Bu araştırma alanının kökenleri, [[Leonhard Euler]]'in [[Basel problemi]]ni çözümüyle ilişkilendirilen ilk önemli çalışmasına dayanır. İlgili sorun, <math>1+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{9}+\tfrac{1}{16}+\dots,</math> şeklinde ifade edilen sonsuz serinin değerinin ne olduğunu sorgulamaktadır; bu değer günümüzde [[Riemann zeta fonksiyonu]]'nun <math>\zeta(2)</math> değeri olarak kabul edilmektedir. Söz konusu fonksiyon, asal sayılarla ve matematiğin en önemli çözülememiş problemlerinden biri olan [[Riemann hipotezi]] ile sıkı bir şekilde ilişkilidir. Euler'in bu konudaki katkısı, <math>\zeta(2)=\pi^2/6</math> eşitliğini ispatlamasıyla öne çıkmaktadır.<ref>{{harvnb|Sandifer|2007}}, [https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA205 Chapter 35, Estimating the Basel problem, pp. 205–208].</ref> Bu sayının ters değeri olan <math>6/\pi^2</math>, geniş bir değer aralığından uniform dağılımla seçilen iki rastgele sayının [[Aralarında asal|birbirleriyle aralarında asal]] (yani ortak hiçbir çarpana sahip olmayan) olma ihtimalinin sınır değerini temsil etmektedir.{{r|Ogilvy_1988}}

Büyük ölçekte asal sayıların dağılımı, örneğin belirli bir büyük eşik değerinden daha küçük olan asal sayıların sayısı gibi sorular, [[asal sayı teoremi]] tarafından açıklanmaktadır; fakat <math>n</math>-inci asal sayıyı belirleyen etkin bir formül mevcut değildir. [[Dirichlet'in aritmetik diziler üzerine teoremi]]nin temel versiyonu, aralarında asal olan <math>a</math> ve <math>b</math> tam sayıları için
:<math>p(n) = a + bn</math>
biçimindeki doğrusal polinomların sonsuz sayıda asal değere ulaştığını öne sürer. Teoremin ileri versiyonları, bu asal değerlerin terslerinin toplamının ıraksadığını ve aynı <math>b</math> değerine sahip farklı doğrusal polinomların asal sayılar bakımından yaklaşık olarak aynı oranlara sahip olduğunu ifade eder.
Daha yüksek dereceli polinomlarda asal sayı oranlarına ilişkin varsayımlar ortaya konmuş olmakla birlikte, bu varsayımlar henüz kanıtlanmamıştır ve tam sayı girdileri için sonsuz kez asal olan bir kuadratik polinomun varlığı bilinmemektedir.

===Öklid teoreminin analitik ispatı===
[[Asal sayıların terslerinin toplamının diverjansı|Euler'ın asal sayıların sonsuzluğunu kanıtlama yöntemi]], asal sayıların [[Çarpmaya Göre Ters|tersleri]]nin toplamlarını incelemektedir,

:<math>\frac 1 2 + \frac 1 3 + \frac 1 5 + \frac 1 7 + \cdots + \frac 1 p.</math>

Euler, herhangi bir [[reel sayı]] <math>x</math> için, bu toplamın <math>x</math> değerinden daha büyük olacağı bir asal <math>p</math> sayısının mevcut olduğunu kanıtlamıştır.<ref>{{harvnb|Apostol|1976}}, Section 1.6, Theorem 1.13</ref>

Bu durum, asal sayıların sonsuz sayıda olduğunun bir göstergesidir; zira sonlu sayıda asal sayı var olsaydı, bu toplam, her bir <math>x</math> değerini aşmak yerine, en büyük asal sayıda en yüksek değerine erişirdi.
Bu serinin büyüme oranı, [[Mertens' teoremleri|Mertens' ikinci teoremi]] ile daha detaylı bir biçimde tanımlanmıştır.<ref>{{harvnb|Apostol|1976}}, Bölüm 4.8, Teorem 4.12</ref> Karşılaştırma amacıyla,

:<math>\frac 1 {1^2} + \frac 1 {2^2} + \frac 1 {3^2} + \cdots + \frac 1 {n^2}</math>

toplamı, <math>n</math> sonsuza yaklaştıkça sonsuzluğa yönelmez (bkz. [[Basel problemi]]). Bu çerçevede, her iki küme de sonsuz sayıda olmasına rağmen, asal sayıların doğal sayı karelerine göre daha sıklıkla ortaya çıktığı görülmektedir.{{r|mtb-invitation}}

[[Brun teoremi]], [[ikiz asallar]]ın terslerinin toplamının,

:<math> \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{{11}} + \frac{1}{{13}}} \right) + \cdots, </math>
sonlu bir değere sahip olduğunu ifade etmektedir. Brun teoremi nedeniyle, Euler metodunun, sonsuz sayıda ikiz asalın var olduğu iddiasını ele alan [[ikiz asal hipotezi]]ni çözümlemek amacıyla kullanılabilmesi mümkün değildir.{{r|mtb-invitation}}

===Belirli bir üst sınıra kadar olan asal sayıların miktarı===
[[Dosya:Prime-counting relative error.svg|küçükresim|upright=1.6|[[Yaklaşık hata|Göreceli hatanın]] <math>\tfrac{n}{\log n}</math> ve logaritmik integral <math>\operatorname{Li}(n)</math>, [[asal sayıları sayma fonksiyonu]] ile olan yakınsaklığına dair incelemesi. <math>n</math> değerinin artışı ile her iki göreceli hata oranı da azalarak sıfıra ulaşmaktadır; ancak, logaritmik integralin sıfıra yakınsama hızı, öteki yaklaşıma göre çok daha fazladır.]]

[[Asal sayıları sayma fonksiyonu]] olarak adlandırılan <math>\pi(n)</math>, <math>n</math> değerine eşit veya ondan küçük olan asal sayıların toplam sayısını ifade etmek için kullanılan bir fonksiyondur.<ref>{{harvnb|Crandall|Pomerance|2005}}, [https://books.google.com/books?id=RbEz-_D7sAUC&pg=PA6 p.&nbsp;6].</ref> Örnek olarak, <math>\pi(11)=5</math> olarak ifade edilir; zira 11 sayısına eşit veya bu sayıdan daha küçük olan beş adet asal sayı mevcuttur. [[Meissel–Lehmer algoritması]] gibi metodlar, <math>n</math>'ye kadar olan asal sayıların her birini tek tek sıralamaktan çok daha hızlı bir şekilde <math>\pi(n)</math> değerinin doğru hesaplamasını gerçekleştirebilir.<ref>{{harvnb|Crandall|Pomerance|2005}}, [https://books.google.com/books?id=ZXjHKPS1LEAC&pg=PA152 Section 3.7, Counting primes, pp. 152–162].</ref>

[[Asal sayı teoremi]]ne göre, <math>\pi(n)</math> değeri, <math>n/\log n</math> ifadesine asimptotiktir, yani
: <math>\pi(n) \sim \frac{n}{\log n},</math> şeklinde gösterilir.
Bu durum, <math>\pi(n)</math> ile sağ taraftaki ifadenin oranının, <math>n</math> değeri sonsuzluğa ulaştıkça [[Dizinin limiti|1 değerine yakınsadığını]] ifade eder.<ref name="cranpom10">{{harvnb|Crandall|Pomerance|2005}}, [https://books.google.com/books?id=RbEz-_D7sAUC&pg=PA10 p.&nbsp;10].</ref> Bu durum, <math>n</math> değerinden daha küçük rastgele bir sayının asal sayı olma ihtimalinin, (yaklaşık olarak) <math>n</math> sayısının basamak sayısına ters orantılı olduğunu göstermektedir.{{r|
Sautoy_2011}}

Bu durum, aynı zamanda, <math>n</math> sıradaki asal sayının büyüklüğünün <math>n\log n</math> ile orantılı olduğunu<ref>{{harvnb|Apostol|1976}}, Section 4.6, Theorem 4.7</ref> ve bunun sonucu olarak, asal sayılar arasındaki ortalama boşluk büyüklüğünün <math>\log n</math> ile orantılı olduğunu göstermektedir.<ref name="riesel-gaps">{{harvnb|Riesel|1994}}, "[https://books.google.com/books?id=ITvaBwAAQBAJ&pg=PA78 Large gaps between consecutive primes]", pp. 78–79.</ref> <math>\pi(n)</math> değerinin daha doğru bir tahmini, [[logaritmik integral]] kullanılarak sağlanmaktadır.<ref name="cranpom10"/>
:<math>\pi(n)\sim \operatorname{Li}(n) = \int_2^n \frac{dt}{\log t}.</math>

===Aritmetik diziler===
[[Aritmetik dizi]], dizide yer alan ardışık sayıların her biri arasında sabit bir fark bulunan, sonlu veya sonsuz bir sayılar dizisini ifade eder.{{r|Gelfand_2003}} Bu farka, dizinin [[Modüler aritmetik|modülü]] denir.{{r|Mollin_1997}}
<ref>{{harvnb|Crandall|Pomerance|2005}}, [https://books.google.com/books?id=ZXjHKPS1LEAC&pg=PA Theorem 1.1.5, p. 12].</ref>
Örneğin,
:3, 12, 21, 30, 39, ...,
9 modül değerine sahip bir sonsuz aritmetik diziyi temsil eder. Aritmetik bir dizideki sayılar, modül değerine bölündüklerinde aynı kalanı alır; bu durumun bir örneği olarak, kalanın 3 olduğu görülür. Modülün 9 ve kalanın 3 olması, her iki değerin de 3'ün katları olması anlamına gelir, bu yüzden dizideki her bir eleman da 3'ün katıdır. Bu sebeple, bu dizi sadece bir tek asal sayı içermektedir ki o da 3'tür. Genel anlamda, sonsuz dizi
:<math>a, a+q, a+2q, a+3q, \dots</math>
ancak kalan <math>a</math> ve modül <math>q</math> birbirine göre asal olduğunda birden fazla asal sayı içerebilir. Eğer bu iki değer birbirine göre asal ise, [[Dirichlet'in aritmetik diziler üzerine teoremi]], ilerlemenin sonsuz sayıda asal sayı içerdiğini öne sürer.
{{Wide image|Prime numbers in arithmetic progression mod&nbsp;9 zoom in.png|815px|İncelemiş olduğumuz yatay şeridin her bir sırası, modül 9'a göre mümkün olan dokuz farklı dizi ilerlemesinden bir tanesini temsil etmekte olup, asal sayılar kırmızı renkle vurgulanmıştır. Mod 9 değerleri 0, 3 veya 6 olan sayı dizileri, en fazla bir adet asal sayıyı (bu sayı 3'tür) barındırabilirken; mod 9 değerleri 2, 4, 5, 7 ve 8 olan sayı dizileri, her bir dizi içinde benzer asal sayı miktarlarıyla birlikte, sonsuz sayıda asal sayı içermektedir.|alt=Prime numbers in arithmetic progression mod 9}}
[[Green–Tao teoremi]], yalnızca asal sayılardan müteşekkil ve herhangi bir uzunlukta olabilen sonlu aritmetik dizilerin mevcudiyetini ispatlamaktadır.<ref name="neale-18-47"/>{{r|Green_2008}}

===Kuadratik polinomlar tarafından üretilen asal sayı değerleri===

[[Dosya:Ulam 2.png|küçükresim|upright=1.1|[[Ulam spirali]]. Asal sayılar (kırmızı olarak belirtilmiştir), belirli diyagonaller üzerinde yoğun bir dağılım gösterirken, bazı diyagonallerde bu yoğunluk gözlemlenmemektedir. <math>4n^2 - 2n + 41</math> biçiminde ifade edilen kuadratik polinomdan elde edilen asal sayı değerleri mavi renkle işaretlenmiştir. |alt=Ulam spirali]] 
Euler, <math>n^2 - n + 41</math> biçiminde ifade edilen fonksiyonun <math>1\le n\le 40</math> aralığındaki n değerleri için asal sayı değerleri ürettiğine dikkat çekmiştir; bununla birlikte, bu fonksiyonun ileri değerleri arasında bileşik sayıların da yer aldığı gözlemlenmiştir.{{r|Hua_2009}}<ref>The sequence of these primes, starting at <math>n=1</math> rather than <math>n=0</math>, is listed by {{Kitap kaynağı|başlık=103 curiosità matematiche: Teoria dei numeri, delle cifre e delle relazioni nella matematica contemporanea|dil=it|ad1=Paolo Pietro|soyadı1=Lava|ad2=Giorgio|soyadı2=Balzarotti|yayıncı=Ulrico Hoepli Editore S.p.A.|yıl=2010|isbn=978-88-203-5804-4|sayfa=133|bölümurl=https://books.google.com/books?id=YfsSAAAAQBAJ&pg=PA133|bölüm=Chapter 33. Formule fortunate}}</ref> Bu fenomen için bir açıklama arayışı, [[Heegner sayıları]] ve [[sınıf sayısı problemi]] ile ilgili olarak, [[cebirsel sayı teorisi]]nin derinliklerine dalmayı gerektirmiştir.{{r|Chamberland_2015}} [[Hardy–Littlewood F hipotezi]], tam sayılı [[katsayı]]lara sahip [[ikinci dereceden polinom]]ların değerleri içerisindeki asal sayıların yoğunluğunun, logaritmik integral ve polinom katsayılarının fonksiyonu olarak öngörülmesine yöneliktir. Şu ana kadar, herhangi bir ikinci dereceden polinomun sonsuz sayıda asal sayı değeri ürettiği ispatlanamamıştır.{{r|guy-a1}}

[[Ulam spirali]], doğal sayıları, orijini çevreleyen konsantrik kareler halinde spiral bir düzende iki boyutlu bir ızgara üzerine yerleştirir ve asal sayıları belirginleştirir. Görsel bir inceleme sonucunda, asal sayıların belirli diyagonaller üzerinde, diğerlerine kıyasla daha yoğun bir şekilde gruplandığı görülmekte, bu durum bazı ikinci dereceden polinomların, diğerlerine nazaran daha sıklıkla asal değerler ürettiği yönünde bir izlenim uyandırmaktadır.{{r|guy-a1}}

===Zeta fonksiyonu ve Riemann hipotezi===
{{Ana|Riemann hipotezi}}
[[Dosya:Riemann zeta function absolute value.png|küçükresim|upright=1.5|Zeta fonksiyonunun mutlak değerlerine ilişkin çizim, fonksiyonun belirli özelliklerini sergilemektedir|alt=Zeta fonksiyonunun mutlak değerlerine dair çizim]]

1859 yılından itibaren matematik alanında aydınlatılamamış en meşhur meselelerden biri, aynı zamanda [[Milenyum Problemleri]] arasında yer alan [[Riemann hipotezi]], [[Riemann zeta fonksiyonu]] <math>\zeta(s)</math>'nun [[Kök (matematik)|sıfır]] noktalarının konumlarını sorgular.
Bu fonksiyon, [[karmaşık sayılar]] üzerinde tanımlı bir [[analitik fonksiyon]] niteliğindedir. Reel kısmı bir değerinden büyük <math>s</math> karmaşık sayıları için, fonksiyon hem tüm tam sayılar üzerinden hesaplanan bir [[seri (matematik)|sonsuz seri]], hem de asal sayılar üzerinden tanımlanan bir [[sonsuz çarpım]] ile ifade edilir,
:<math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}=\prod_{p \text{ asal}} \frac 1 {1-p^{-s}}.</math>

Euler tarafından ortaya konulan bu toplam ile çarpım arasındaki denklik, [[Euler çarpımı]] olarak isimlendirilmiştir.{{r|Patterson_1988}} Euler çarpımı, aritmetiğin temel teoremi sayesinde elde edilmiş olup, zeta fonksiyonunun asal sayılarla derinlemesine ilişkisini açığa çıkarır.{{r|Borwein_2008}} Sonsuz sayıda asal sayı bulunması gerektiğini kanıtlama yolunda bu durum, eğer sadece sınırlı sayıda asal sayı varsa,
toplam-çarpım eşitliğinin <math>s=1</math> noktasında da geçerli olması gerekirken, toplamın diverjans gösterdiği ([[Harmonik seriler|harmonik seri]] <math>1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\dots</math> gibi), çarpımın ise sonlu bir değer alması gerektiğiyle sonuçlanan bir çelişki ile karşı karşıya kalınır.<ref>{{harvnb|Sandifer|2007}}, [https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA191 sayfalar 191–193].</ref>

Riemann hipotezi, zeta fonksiyonunun [[Kök (matematik)|sıfırları]]nın tamamının ya negatif çift sayılardan ya da [[Karmaşık sayı|reel kısım]]ları 1/2'ye eşit olan karmaşık sayılardan oluştuğunu öne sürer.<ref>{{harvnb|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}, [https://books.google.com/books?id=Qm1aZA-UwX4C&pg=PA15 Conjecture 2.7 (the Riemann hypothesis), p. 15].</ref> [[Asal sayı teoremi]]nin ilk kanıtı, bu hipotezin bir versiyonuna, yani reel kısmı 1 olan sıfırların var olmadığı varsayımına dayanmaktaydı,<ref>{{harvnb|Patterson|1988}}, p. 7.</ref><ref name="bcrw18">{{harvnb|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}, [https://books.google.com/books?id=Qm1aZA-UwX4C&pg=PA18 p. 18.]</ref> fakat daha basit kanıtlar da ortaya konmuştur.<ref>{{harvnb|Nathanson|2000}}, [https://books.google.com/books?id=sE7lBwAAQBAJ&pg=PA289 Chapter 9, The prime number theorem, pp. 289–324].</ref>
Asal sayı sayım fonksiyonu, [[Riemann'ın açık formülü]] aracılığıyla, zeta fonksiyonunun sıfırlarının her birinden bir terimin katkısıyla oluşan bir toplam şeklinde ifade edilebilir; bu toplamın temel bileşeni logaritmik integral olup, geri kalan terimler ana terimin üzerinde ve altında dalgalanmalara yol açar.<ref>{{Akademik dergi kaynağı |soyadı= Zagier |ad= Don |yazarbağı= Don Zagier |doi= 10.1007/bf03351556 |sayı= S2 |dergi= [[The Mathematical Intelligencer]] |sayfalar=7-19|başlık= The first 50 million prime numbers |cilt= 1 |yıl= 1977| s2cid = 37866599 }} özellikle bakınız: pp. 14–16.</ref>
Bu bağlamda, sıfırların, asal sayıların dağılım düzenini belirlediği söylenebilir. Riemann hipotezi eğer doğruysa, bu dalgalanmalar minimale indirgenecek ve
[[asal sayıların asimptotik dağılımı]], asal sayı teoreminin öngördüğü gibi, <math>x</math> sayısına yakın aralıklarda (yaklaşık olarak <math>x</math> sayısının karekökü büyüklüğündeki aralıklar için) da geçerli olacaktır.

==Soyut cebir==
===Modüler aritmetik ve sonlu alanlar===
{{Ana|Modüler aritmetik}}

Modüler aritmetik, modül olarak isimlendirilen bir doğal sayı <math>n</math> için, yalnızca <math>{0,1,2,\dots,n-1}</math> sayılarının kullanıldığı, geleneksel aritmetik işlemlerin modifiye edilmiş bir şeklidir.
Diğer tüm doğal sayılar, <math>n</math> ile bölme işlemi sonrasında elde edilen kalan değer ile bu sisteme dahil edilerek karşılıkları bulunur.<ref>{{harvtxt|Kraft|Washington|2014}}, [https://books.google.com/books?id=VG9YBQAAQBAJ&pg=PA96 Proposition 5.3], p. 96.</ref>

Modüler toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri, tam sayıların geleneksel toplama, çıkarma veya çarpma işlemlerinin sonucuna, bu sonucun modülünün alınarak yerine konulması yöntemiyle gerçekleştirilir.{{r|Shahriari_2017}}

Tam sayılar arasındaki eşitlik kavramı, modüler aritmetikte ''denklik'' olarak ifade edilir:
<math>x</math> ile <math>y</math>, <math>n</math> ile bölündüklerinde aynı kalan değerine sahip olduklarında denk olmaları durumu (<math>x\equiv y</math> mod <math>n</math> şeklinde belirtilir).<ref>{{harvnb|Dudley|1978}}, [https://books.google.com/books?id=tr7SzBTsk1UC&pg=PA28 Theorem 3, p. 28].</ref>

Bu numaralandırma sisteminde, modül bir asal sayı olduğunda ve yalnızca o zaman, sıfır olmayan tüm sayılara bölme işlemi gerçekleştirilebilir. Mesela, modül olarak <math>7</math> asal sayısının seçilmesi durumunda, <math>3</math> sayısı ile bölme işlemi gerçekleştirilebilir: <math>2/3\equiv 3\bmod{7}</math>, zira her iki tarafın da <math>3</math> ile çarpılması, paydalardaki terimlerin sadeleştirilmesi sonucunda <math>2\equiv 9\bmod{7}</math> geçerli denklemini ortaya çıkarır. Ancak, bileşik bir modül olan <math>6</math> için, <math>3</math> ile bölme işlemi gerçekleştirilemez. <math>2/3\equiv x\bmod{6}</math> denkleminin geçerli bir çözümü bulunmamaktadır: payda terimlerinin <math>3</math> ile çarpılması, denklemin sol tarafını <math>2</math> yaparken sağ tarafını <math>0</math> ya da <math>3</math> olarak değiştirir.
[[Soyut cebir]] terminolojisinde, bölme işleminin yapılabilir olması, bir asal sayının modülü altında modüler aritmetiğin bir [[alan (matematik)|alan]], daha özgül bir ifadeyle bir [[sonlu alan]] oluşturduğu; ancak diğer modüllerin yalnızca bir [[halka (matematik)|halka]] sağladığı, fakat bir alan oluşturmadığı anlamına gelir.<ref>{{harvnb|Shahriari|2017}}, [https://books.google.com/books?id=GJwxDwAAQBAJ&pg=PA27 pp. 27–28].</ref>

Asal sayılarla ilgili birçok teorem, modüler aritmetik kullanılarak ifade edilebilir. Mesela, [[Fermat'nın küçük teoremi]], eğer bir
<math>a\not\equiv 0</math> (mod <math>p</math>) ise, o zaman <math>a^{p-1}\equiv 1</math> (mod <math>p</math>) olacağını öne sürer.<ref>{{harvnb|Ribenboim|2004}}, Fermat's little theorem and primitive roots modulo a prime, pp. 17–21.</ref>

Tüm <math>a</math> değerleri için bu toplamın gerçekleştirilmesi, şu denklemi ortaya çıkarır:
:<math>\sum_{a=1}^{p-1} a^{p-1} \equiv (p-1) \cdot 1 \equiv -1 \pmod p,</math>
bu denklem, <math>p</math> asal sayı olduğu durumlarda geçerlidir.
[[Giuga hipotezi]], bu denklemin, <math>p</math> sayısının asal olması için yeterli bir koşul olduğunu ileri sürer.<ref>{{harvnb|Ribenboim|2004}}, The property of Giuga, pp. 21–22.</ref> [[Wilson teoremi]]ne göre, <math>p>1</math> olan bir tam sayının asal olduğu; yalnız ve yalnız <math>(p-1)!</math> faktöriyelinin, <math>p</math> modunda <math>-1</math> ile denk olması durumunda geçerlidir. Bileşik bir {{kayma|sayı <math>;n = r\cdot s; </math>}} için bu durum söz konusu olamaz, zira bu sayının çarpanlarından birisi, hem {{mvar|n}} hem de <math>(n-1)!</math>'i bölebilecek ve bu nedenle <math>(n-1)!\equiv -1 \pmod{n}</math> eşitliği mümkün olmayacaktır.<ref>{{harvnb|Ribenboim|2004}}, The theorem of Wilson, p. 21.</ref>

===''p''-sel sayılar===
{{ana|p-sel sayılar}}

Bir tam sayının [[p-sel düzen|<math>p</math>-sel düzeni]] <math>\nu_p(n)</math>, <math>n</math> sayısının asal çarpan ayrıştırmasında <math>p</math> asalının kaç defa yer aldığının göstergesidir. Bu kavram, tam sayılar için geçerli olduğu gibi, [[rasyonel sayılar]] için de, bir kesirin <math>p</math>-sel düzeninin <math>\nu_p(m)-\nu_p(n)</math> olarak tanımlanmasıyla genişletilebilir. Herhangi bir rasyonel sayı için <math>p</math>-sel mutlak değer <math>|q|_p</math>, <math>|q|_p=p^{-\nu_p(q)}</math> şeklinde ifade edilir. Bir tam sayının <math>p</math>-sel mutlak değeri ile çarpılması, onun çarpan ayrıştırmasındaki <math>p</math> asal çarpanlarını ortadan kaldırır, sadece diğer asal sayıları bırakır. Tıpkı iki gerçek sayı arasındaki uzaklığın, onların farklarının mutlak değeri ile ölçülebilmesi gibi, iki rasyonel sayı arasındaki uzaklık da onların <math>p</math>-sel uzaklığı, yani farklarının <math>p</math>-sel mutlak değeri ile ölçülebilir. Bu uzaklık tanımına göre, iki sayı birbirine yakın kabul edilir (küçük bir uzaklığa sahiptirler) eğer farkları <math>p</math>'nin yüksek bir derecesi ile bölünebiliyorsa. Rasyonel sayıların ve onların uzaklıklarının ek sınırlayıcı değerler eklenerek gerçek sayılar gibi bir [[tam alan]] oluşturulduğu şekilde, <math>p</math>-sel uzaklık ile rasyonel sayılar, farklı bir tam alan olan [[p-sel sayılar|<math>p</math>-sel sayılar]] olarak genişletilebilir.<ref name="childress"/>{{r|Erickson_2016}}

Bu düzen, mutlak değer ve bu kavramlardan türetilmiş tam alan kavramı, [[cebirsel sayı alanları]] ve bu alanların [[Değerlendirme (cebir)|değerlendirmeleri]] (alanın [[çarpımsal grup]]undan tamamen sıralı bir toplamsal gruba, düzen olarak da adlandırılan, özel eşlemeler), [[Mutlak değer (cebir)|mutlak değerler]] (alanı gerçek sayılara çarpan olarak eşleyen, norm olarak da bilinen, özel çarpan eşlemeler) ve yerler (verilen alanın yoğun bir küme olarak yer aldığı, tamamlamalar olarak adlandırılan, [[tam alan]]lara yapılan genişletmeler) kavramlarına genelleştirilebilir.<ref>{{Kitap kaynağı |soyadı= Weil |ad= André |yazarbağı= André Weil | isbn = 978-3-540-58655-5 | mr = 1344916 |sayfa= [https://archive.org/details/basicnumbertheor00weil_866/page/n56 43] |yayıncı= Springer-Verlag |yer= Berlin |seri= Classics in Mathematics |başlık= Basic Number Theory | url = https://archive.org/details/basicnumbertheor00weil_866 |url-erişimi=kısıtlı |yıl= 1995}} Note however that some authors such as {{harvtxt|Childress|2009}} instead use "place" to mean an equivalence class of norms.</ref>

Örneğin, rasyonel sayılardan [[reel sayı]]lara yapılan genişleme, sayılar arasındaki uzaklığın, onların farklarının alışılagelen [[mutlak değer]]ine dayandığı bir yer olarak tanımlanabilir. Bu bağlamda, bir toplamsal gruba yapılan karşılık gelen eşleme, mutlak değerin [[logaritması]] olurdu, fakat bu, bir değerlendirme için gerekli olan tüm özellikleri sağlamaz. [[Ostrowski teoremi]]ne göre, doğal bir denklik anlayışına kadar, gerçek sayılar ve <math>p</math>-sel sayılar, onların düzen ve mutlak değerleri ile, rasyonel sayılar üzerinde tanımlanmış tek değerlendirmeler, mutlak değerler ve yerlerdir.<ref name="childress"/> [[Yerel-küresel prensip]], rasyonel sayılar üzerindeki belirli sorunların, onların her bir yerinden elde edilen çözümlerin birleştirilmesi yoluyla çözülebilmesini sağlar, bu durum asal sayıların sayı teorisindeki kritik önemini bir kez daha altını çizer.{{r|Koch_1997}}

===Halkalarda asal elemanlar===
[[Dosya:Gaussian primes.svg|küçükresim|Norm değeri 500'ü aşmayan Gauss asalları, kompleks sayılar içerisinde, özellikle Gauss tam sayıları kapsamında, asallık özelliği taşıyan özel bir sayı alt kümesini ifade eder. (Bu bağlamda "norm", vektör uzayındaki sıfır vektörü hariç, her bir vektöre katı bir şekilde pozitif bir uzunluk veya boyut atayan matematiksel bir fonksiyonu belirtir.)]]

Toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin belirlendiği bir cebirsel yapı olan değişmeli halka, matematiksel yapıların bir çeşididir. Tam sayılar, bu yapıların bir örneği olup, tam sayılar içerisinde yer alan asal sayılar, ''asal elemanlar'' ve ''indirgenemez elemanlar'' şeklinde iki farklı yöntemle genellenmiştir. <math>R</math> halkasındaki sıfırdan farklı <math>p</math> elemanı, çarpmaya göre tersi olmadığında (yani bir birim olmadığında) ve <math>p</math> elemanı, <math>R</math>'nin iki elemanının çarpımı <math>xy</math>'i böldüğünde, <math>x</math> veya <math>y</math> elemanlarından en az birini bölebilme özelliğini gösterdiğinde asal olarak nitelendirilir. Bir elemanın ne bir birim ne de iki birim olmayan elemanların çarpımı olmaması durumunda ise indirgenemez olarak tanımlanır. Tam sayılar halkasında asal ve indirgenemez elemanlar aynı küme içinde bulunur,
:<math>{ \dots, -11, -7, -5, -3, -2, 2, 3, 5, 7, 11, \dots },.</math>
Herhangi bir halkada, bütün asal elemanlar indirgenemez niteliktedir. Bu durumun tersi genellikle doğru olmamakla birlikte, benzersiz çarpanlara ayırma alanları için geçerlidir.{{r|Lauritzen_2003}}

Aritmetiğin temel teoremi, tanımı gereği, benzersiz çarpanlara ayırma alanları çerçevesinde geçerliliğini korur. Bu tür alanların bir örneği olarak <math>\mathbb{Z}[i]</math> üzerinden tanımlanan Gauss tam sayıları gösterilebilir. Bu alan, <math>a</math> ve <math>b</math> herhangi tam sayılar olmak üzere, <math>a+bi</math> formundaki karmaşık sayılardan oluşan bir halkayı ifade eder ve bu bağlamda <math>i</math>, hayali birimi temsil eder. Bu yapıdaki asal elemanlara Gauss asal sayıları adı verilir. Tam sayılar arasında asal kabul edilen her sayının, Gauss tam sayıları içinde asal olarak kabul edilmemesi mümkündür; mesela, 2 sayısı, <math>1+i</math> ve <math>1-i</math> olmak üzere iki Gauss asalının çarpımı olarak ifade edilebilir. 3 mod 4 ile kongruent olan rasyonel asallar, Gauss tam sayılarında asal olarak kabul edilirken, 1 mod 4 ile kongruent olan rasyonel asallar asal olarak kabul edilmez.<ref>{{harvnb|Lauritzen|2003}}, Corollary 3.5.14, p. 133; Lemma 3.5.18, p. 136.</ref> Bu durum, [[Fermat'nın iki kare toplamı üzerine teoremi]]nden kaynaklanır; bu teorem, tek bir asal sayı <math>p</math>'nin, <math>p=x^2+y^2</math> formunda iki karenin toplamı olarak ifade edilebileceğini ve bu sayede <math>p</math> 1 mod 4 iken <math>p=(x+iy)(x-iy)</math> şeklinde çarpanlara ayrılabileceğini öngörür.<ref>{{harvnb|Kraft|Washington|2014}}, [https://books.google.com/books?id=4NAqBgAAQBAJ&pg=PA297 Section 12.1, Sums of two squares, pp. 297–301].</ref>

===Asal idealler===
Bütün halkaların benzersiz çarpanlara ayrılabilen bölgeler olduğu genellenemez. Örnek olarak, tam sayılar <math>a</math> ve <math>b</math> için tanımlanan <math>a+b\sqrt{-5}</math> sayılar halkasında, <math>21</math> sayısı <math>21=3\cdot7=(1+2\sqrt{-5})(1-2\sqrt{-5})</math> şeklinde iki farklı çarpanlara ayrılabilir, ancak bu çarpanların hiçbiri daha ileri indirgenebilir durumda değildir; bu da benzersiz çarpanlara ayrım özelliğinin bulunmadığını gösterir. Benzersiz çarpanlara ayrım özelliğinin geniş bir halkalar sınıfına uygulanabilmesi için, sayı kavramı, bir halkanın öğeleri alt kümesi olan ve bu öğelerin çiftlerinin tüm toplamları ile halka öğeleri ile olan tüm çarpımlarını barındıran bir [[ideal (halka teorisi)|ideal]] ile yer değiştirebilir.
''Asal idealler'', bir asal öğenin ürettiği [[başlangıç ideal]]inin bir asal ideal olması anlamında asal öğeleri genelleştiren ve [[değişmeli cebir]], [[sayılar teorisi|cebirsel sayılar teorisi]] ile [[cebirsel geometri]] alanlarında önemli bir araç ve araştırma nesnesidir. Tam sayılar halkasının asal idealleri ise (0), (2), (3), (5), (7), (11), ... şeklinde sıralanabilir. Aritmetiğin temel teoremi, bir [[Noetherian halka|Noetherian]] [[değişmeli halka]] içerisindeki her idealin, [[birincil ideal]]lerin bir kesişimi olarak tanımlanabileceğini belirten [[Lasker–Noether teoremi]] ile genelleştirilmiştir; bu ideal türleri, [[asal kuvvet]]lerin uygun bir şekilde genellenmiş halidir.{{r|Eisenbud_1995}}

Bir halkanın spektrumu, söz konusu halkanın asal ideallerini içeren noktalarla tanımlanan bir geometrik alandır.{{r|Shafarevich_2013}} Aritmetik geometri alanı, bu kavramdan önemli ölçüde yararlanmakta ve sayı teorisi ile geometri disiplinleri arasında çeşitli kavramsal paralellikler bulunmaktadır. Mesela, bir alana genişletme işlemi sonucu asal ideallerin faktörizasyonu veya dalgalanması gibi cebirsel sayı teorisinin temel problemleri, geometride dalgalanma fenomeni ile benzer özellikler gösterir. Tam sayılar üzerine kurulu sayı teorisi problemlerinin çözümünde bu kavramlar etkili olabilir. Kuadratik sayı alanlarının tam sayılar halkasındaki asal idealler, tam sayı asal sayıları üzerinde kare köklerin varlığını ifade eden kuadratik karşılıklılık teoreminin ispatlanmasında kullanılabilmektedir.{{r|Neukirch_1999}}
Fermat'nın Son Teoremi'ni ispatlama çabalarının ilk aşamaları, siklotomik tam sayılarda benzersiz çarpanlara ayrılmanın başarısız olması ile ilişkilendirilen tam sayı asal sayıları olan düzenli asalların, Kummer tarafından literatüre kazandırılmasına yol açmıştır.<ref>{{harvnb|Neukirch|1999}}, Section I.7, p. 38</ref>

Cebirsel bir sayı alanında, kaç adet tam sayı asal sayısının, birden fazla asal idealin ürünü şeklinde faktörize olduğu meselesi, [[Çebotarev yoğunluk teoremi]] ile çalışılmıştır. Bu teorem, siklotomik tam sayılar bağlamında uygulandığında, aritmetik ilerlemelerde yer alan asal sayılar hakkındaki Dirichlet teoremini özel bir örnek olarak içermektedir.{{r|Stevenhagen_1996}}

===Grup kuramı===
Sonlu gruplar kuramında, [[Sylow teoremleri]] bir asal sayının <math>p^n</math> kuvvetinin bir grubun [[bir grubun mertebesi|mertebesine]] bölünebilmesi durumunda, ilgili grubun <math>p^n</math> mertebesinde en az bir altgruba sahip olduğunu belirtir. [[Lagrange teoremi (grup teorisi)|Lagrange teoremi]] uyarınca, asal sayıda bir mertebe ile tanımlanan her grup bir [[döngüsel grup]] niteliğindedir
ve [[Burnside teoremi]] tarafından, mertebesi yalnızca iki farklı asal sayı ile bölünebilen her grup, [[çözülebilir grup|çözülebilir]] özellik gösterir.<ref>{{Kitap kaynağı|başlık=The Theory of Groups|seri=Dover Books on Mathematics|ad=Marshall|soyadı=Hall|yazarbağı=Marshall Hall (mathematician)|yayıncı=Courier Dover Publications|yıl=2018|isbn=978-0-486-81690-6|url=https://books.google.com/books?id=K8hEDwAAQBAJ}} Sylow teoremleri için bkz. s. 43; Lagrange teoremi için bkz. s. 12; Burnside teoremi için bkz. s. 143.</ref>

==Hesaplamalı yöntemler==

[[Dosya:Gears large.jpg|küçükresim|Bu tarım aletinin içerisinde yer alan küçük dişli, 13 dişe sahiptir ki bu bir asal sayıdır, ortada yer alan dişli ise 21 dişe sahiptir ve bu, 13 ile göreceli olarak asaldır.]]
Genel anlamda sayı teorisi ve özellikle asal sayılar üzerine yapılan çalışmalar, uzun bir süre boyunca, saf matematiğin matematik dışında herhangi bir uygulaması olmayan kanonik bir örneği olarak kabul edilmiştir.{{efn|name="pure"}} Bunun istisnası, dişli çarkların aşınmasını eşit bir şekilde dağıtabilmek amacıyla dişli dişlerinin asal sayılarla belirlenmesi uygulamasıdır.<ref>{{Kitap kaynağı|başlık=How Round is Your Circle?: Where Engineering and Mathematics Meet|başlıkbağı=How Round Is Your Circle|ad1=John|soyadı1=Bryant|ad2=Christopher J.|soyadı2=Sangwin|yayıncı=Princeton University Press|yıl=2008|isbn=978-0-691-13118-4|yer=[https://books.google.com/books?id=iIN_2WjBH1cC&pg=PA178 p. 178]}}</ref> Bu bağlamda, [[United Kingdom|Britanya]]'dan matematikçi [[G. H. Hardy]] gibi sayı teorisyenleri, çalışmalarının açık bir şekilde herhangi bir askeri amaç taşımadığından dolayı övünç duymuştur.<ref>{{Kitap kaynağı|başlık=A Mathematician's Apology|soyadı1=Hardy|ad1=Godfrey Harold|yayıncı=Cambridge University Press|yıl=2012|isbn=978-0-521-42706-7|sayfa=[https://books.google.com/books?id=EkY2im6xkVkC&pg=PA140 140]|oclc=922010634|alıntı=No one has yet discovered any warlike purpose to be served by the theory of numbers or relativity, and it seems unlikely that anyone will do so for many years.|yazarbağı1=G. H. Hardy|özgünyıl=1940|başlıkbağı=A Mathematician's Apology}}</ref>

1970'li yıllarda, asal sayıların [[açık anahtarlı şifreleme]] algoritmaları geliştirmek için bir temel olarak kullanılabileceğinin kamuoyuna duyurulmasıyla, sayı teorisinin saflık vizyonu ciddi bir şekilde sarsılmıştır.<ref name="ent-7"/>
Bu uygulamalar, asal sayılarla hesaplama yapabilen algoritmaların ve özellikle de bir sayının asal olup olmadığını belirlemeye yönelik yöntemlerin, yani [[primality test|asallık testlerinin]], kapsamlı bir şekilde incelenmesini teşvik etmiştir.
Büyük sayılar için kullanışlı olmaktan uzak, en temel asallık testi yöntemi olan deneme bölme yöntemi, yavaşlığı sebebiyle eleştirilmiştir. Modern asallık testlerinin bir kısmı herhangi bir sayıya uygulanabilirken, özel türdeki sayılar için daha verimli testler geliştirilmiştir. Çoğunlukla, asallık testleri sadece argümanın asal olup olmadığını belirlemekle sınırlıdır. Bileşik argümanların bir asal çarpanını (veya tüm asal çarpanlarını) belirleyebilen rutinler, [[çarpanlara ayırma]] algoritmaları olarak tanımlanır.
Ayrıca, asal sayılar bilgisayar bilimlerinde [[denetim toplamı|denetim toplamlarında]], [[Hash tablosu|anahtarlı tablolarda]] ve [[Sözde rassal sayı üreteci|sanki rastgele sayı üreteçlerinde]] kullanım alanı bulmaktadır.

===Deneme bölme yöntemi===

Bir tam sayının asallık durumunun belirlenmesinde kullanılan en temel yöntem, ''[[deneme bölme]]'' olarak isimlendirilir. Bu metod, ilgili tam sayı <math>n</math>'i 2'den başlayarak <math>n</math>'in [[karekök]]üne kadar olan her tam sayıya bölme işlemi uygular. Bu sayılardan herhangi biri tarafından <math>n</math> düzgün bir şekilde bölünebilirse, <math>n</math> bileşik olarak tanımlanır; aksi halde asal olarak kabul edilir.
<math>n</math>'in karekökünden büyük tam sayıların kontrol edilmesine gerek yoktur çünkü, <math>n = a\cdot b</math> olduğu durumda, <math>a</math> ve <math>b</math> çarpanlarından biri her zaman <math>n</math>'in kareköküne eşit veya ondan küçüktür. Bu yöntemin bir diğer iyileştirmesi, bu aralıkta yalnızca asal sayıların çarpan olarak kontrol edilmesidir.<ref>{{Kitap kaynağı|başlık=Primes and Programming|ad=Peter|soyadı=Giblin|yazarbağı=Peter Giblin|yayıncı=Cambridge University Press|yıl=1993|isbn=978-0-521-40988-9|sayfa=[https://archive.org/details/primesprogrammin0000gibl/page/39 39]|url=https://archive.org/details/primesprogrammin0000gibl|url-erişimi=kayıtlı}}</ref>
Örnek olarak, 37 sayısının asal olup olmadığının belirlenmesi sürecinde, bu metod 2'den <math>\sqrt{37}</math> değerine kadar olan asal sayılar, yani 2, 3 ve 5 sayıları ile bölme işlemi gerçekleştirir. Yapılan her bölme işlemi sıfırdan farklı bir kalan ile sonuçlandığı için, 37 sayısı asal olarak tanımlanır.

Bu metodun tanımı basit olmakla birlikte, büyük tam sayıların asallık testi için uygulanabilirliği sınırlıdır; zira, bu tam sayıların basamak sayısına bağlı olarak yürütülen testlerin sayısı, [[üstel büyüme|üstel bir artış]] göstermektedir.<ref>{{harvnb|Giblin|1993}}, [https://archive.org/details/primesprogrammin0000gibl/page/54 p. 54]</ref> Bununla birlikte, bölücü büyüklüğü üzerinde karekökten daha az bir sınır belirlenerek kullanılan deneme bölme yöntemi, daha karmaşık yöntemlere başvurulmadan önce, küçük çarpanlara sahip bileşik sayıları hızla belirlemek amacıyla bu süzgeçten geçen sayılar üzerinde hâlâ tercih edilmektedir.<ref name="p. 220">{{harvnb|Riesel|1994}}, [https://books.google.com/books?id=ITvaBwAAQBAJ&pg=PA220 p. 220].</ref>

===Kalbur yöntemleri===
[[Dosya:Sieve of Eratosthenes animation.gif|çerçeve|[[Eratosten kalburu]], başlangıçta tüm sayıların işaretsiz (gri) olduğu bir durumla işe koyulur. Ardından, tekrarlanan işlemlerle ilk işaretsiz sayıyı tespit eder, bu sayıyı asal olarak işaretler (koyu renkler) ve bu sayının karesi ile bu sayıdan sonra gelen tüm katlarını bileşik olarak işaretler (daha soluk renkler). 2 (kırmızı), 3 (yeşil), 5 (mavi) ve 7 (sarı) sayılarının katlarının işaretlenmesinin ardından, tablonun kareköküne kadar olan tüm asallar ele alınmış ve işaretlenmemiş kalan sayılar (11, 13 vb.) asal olarak nitelendirilir (magenta).|alt=Eratosten süzgeci animasyonu]]

{{Ana|Eratosten kalburu}}
Bilgisayarların var olmadığı dönemlerde, verilen bir sınır değere kadar tüm asalların ya da asal çarpanlaştırmaların listelendiği [[matematiksel tablo]]lar yaygın biçimde basılmaktaydı.<ref>{{Akademik dergi kaynağı|ad=Maarten|soyadı=Bullynck|başlık=A history of factor tables with notes on the birth of number theory 1657–1817|dergi=Revue d'Histoire des Mathématiques|yıl=2010|sayfalar=133-216|cilt=16|sayı=2|url=https://hal-univ-paris8.archives-ouvertes.fr/hal-01103903/|erişim-tarihi=25 Mart 2024|arşivurl=https://web.archive.org/web/20230604074723/https://hal-univ-paris8.archives-ouvertes.fr/hal-01103903|arşivtarihi=4 Haziran 2023|ölüurl=hayır}}</ref> Asal sayıların listesinin elde edilmesinde kullanılan en kadim yöntem, ''Eratosten kalburu'' olarak isimlendirilir.<ref>{{Kitap kaynağı|başlık=The Joy of Factoring|cilt=68|seri=Student mathematical library|ad=Samuel S. Jr.|soyadı=Wagstaff|yazarbağı=Samuel S. Wagstaff Jr.|yayıncı=American Mathematical Society|yıl=2013|isbn=978-1-4704-1048-3|sayfa=191|url=https://books.google.com/books?id=rowCAQAAQBAJ&pg=PA191}}</ref> Bu yöntemin optimize edilmiş bir çeşidini gösteren animasyon, metodun uygulanışını görselleştirir.<ref>{{Kitap kaynağı|başlık=Prime Numbers: A Computational Perspective|basım=2.2ad1=Richard|soyadı1=Crandall|yazarbağı1=Richard Crandall|ad2=Carl|soyadı2=Pomerance|yazarbağı2=Carl Pomerance|yayıncı=Springer|yıl=2005|isbn=978-0-387-25282-7|sayfa=121|url=https://books.google.com/books?id=RbEz-_D7sAUC&pg=PA121}}</ref>

Aynı problem için daha asimptotik açıdan daha verimli bir başka kalbur yöntemi [[Atkin kalburu]] olarak belirlenmiştir.<ref>{{konferans kaynağı | soyadı1 = Farach-Colton | ad1 = Martín | yazarbağı1 = Martin Farach-Colton | soyadı2 = Tsai | ad2 = Meng-Tsung | editör1-soyadı = Elbassioni | editör1-ad = Khaled | editör2-soyadı = Makino | editör2-ad = Kazuhisa | arxiv = 1504.05240 |bölüm= On the complexity of computing prime tables |doi= 10.1007/978-3-662-48971-0_57 |sayfalar=677-688|yayıncı= Springer |seri= Lecture Notes in Computer Science |başlık= Algorithms and Computation: 26th International Symposium, ISAAC 2015, Nagoya, Japan, December 9-11, 2015, Proceedings |cilt= 9472 |yıl= 2015| isbn = 978-3-662-48970-3 }}</ref> İleri düzey matematikte, [[elek teorisi]] benzeri metodlar diğer problemlerin çözümünde de kullanılmaktadır.<ref>{{Kitap kaynağı|başlık=Sieves in Number Theory|cilt=43|seri=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge)|ad=George|soyadı=Greaves|yayıncı=Springer|yıl=2013|isbn=978-3-662-04658-6|sayfa=1|url=https://books.google.com/books?id=G0TtCAAAQBAJ&pg=PA1}}</ref>

===Asallık testi ile asallığın kanıtlanması===
Bir <math>n</math> sayısının asal olup olmadığını belirlemek amacıyla kullanılan en gelişmiş modern testlerden bazıları, yanlış bir sonuç üretme ihtimali olan olasılıksal (veya Monte Carlo) algoritmalarıdır.<ref name="hromkovic">{{Kitap kaynağı |soyadı= Hromkovič |ad= Juraj |yazarbağı= Juraj Hromkovič |bölüm= 5.5 Bibliographic Remarks |bölümurl= https://books.google.com/books?id=nkeqCAAAQBAJ&pg=PA383 |doi= 10.1007/978-3-662-04616-6 | isbn = 978-3-540-66860-2 | mr = 1843669 |sayfalar=383-385|yayıncı= Springer-Verlag, Berlin |seri= Texts in Theoretical Computer Science. An EATCS Series |başlık= Algorithmics for Hard Problems |yıl= 2001| s2cid = 31159492 }}</ref> Örneğin, bir <math>p</math> sayısı için [[Solovay–Strassen asallık testi]] uygulamasında, <math>2</math> ile <math>p-2</math> arasından rastgele seçilen bir <math>a</math> sayısı üzerinden, <math>a^{(p-1)/2}\pm 1</math> ifadesinin <math>p</math> tarafından bölünebilirliği [[modüler üs alma]] aracılığıyla denetlenir.{{efn|Bu testte, <math>\pm 1</math> terimi, <math>a</math> sayısının varsayılan asal <math>p</math> sayısına modulo bir kare olması durumunda negatif, aksi halde pozitiftir. Genel olarak, <math>p</math> asal olmayan değerler için, <math>\pm 1</math> terimi negatifleştirilmiş [[Jacobi sembolü]] olarak tanımlanır ve bu [[karşılıklı kuadratik]] kullanılarak hesaplanabilir.}} Bu durumda, algoritma pozitif yanıt verir; aksi takdirde, negatif yanıt verir. <math>p</math> sayısı gerçekten asal ise, algoritma her zaman pozitif yanıt verir; fakat <math>p</math> bileşik bir sayı ise, pozitif yanıt verme olasılığı en fazla 1/2, negatif yanıt verme olasılığı ise en az 1/2'dir.<ref name="koblitz"/>

Bu deneyin aynı sayı üzerinde <math>n</math> defa yinelenmesi halinde, bir bileşik sayının her seferinde bu deneyden başarıyla geçme ihtimali en çok <math>1/2^n</math> olarak belirlenir. Deneylerin sayısı arttıkça, bu ihtimal üssel olarak azaldığından, yinelenen deneyi geçen bir sayının asal olduğuna ilişkin yüksek bir güven seviyesi (fakat kesin bir kanıt değil) elde edilir. Diğer taraftan, eğer deney en az bir kere dahi başarısızlıkla sonuçlanırsa, bu durumda söz konusu sayının mutlaka bileşik olduğu kesinleşir.<ref>{{Kitap kaynağı |başlık= Fundamentals of Computer Security | ad1 = Josef | soyadı1 = Pieprzyk | ad2 = Thomas | soyadı2 = Hardjono | ad3 = Jennifer | soyadı3 = Seberry | yazarbağı3 = Jennifer Seberry |yayıncı= Springer |yıl= 2013 | isbn = 978-3-662-07324-7 |bölüm= 2.3.9 Probabilistic Computations |sayfalar=51-52|bölümurl= https://books.google.com/books?id=BG2rCAAAQBAJ&pg=PA51}}</ref>
Bu şekilde bir testi geçmeyi başaran bileşik sayılara [[sanki asal]] (İng. ''pseudoprime'') adı verilir.<ref name="koblitz">{{Kitap kaynağı |soyadı= Koblitz |ad= Neal |yazarbağı= Neal Koblitz |bölüm= Chapter V. Primality and Factoring |doi= 10.1007/978-1-4684-0310-7_5 | isbn = 978-0-387-96576-5 | mr = 910297 |sayfalar=112-149|yayıncı= Springer-Verlag, New York |seri= Graduate Texts in Mathematics |başlık= A Course in Number Theory and Cryptography |cilt= 114 |yıl= 1987}}</ref>

Diğer taraftan, bazı algoritmaların sonuçlarının daima doğru olacağına dair bir garanti bulunmaktadır. Bu durumun bir örneği deneme bölme yöntemidir. Kesin doğru çıktı sağlayan algoritmalar, [[AKS asallık testi]] gibi deterministik (rastgele olmayan) algoritmaları,<ref name="tao-aks">{{Kitap kaynağı |soyadı= Tao |ad= Terence |yazarbağı= Terence Tao |bölüm= 1.11 The AKS primality test |bölümurl= https://terrytao.wordpress.com/2009/08/11/the-aks-primality-test/ |doi= 10.1090/gsm/117 | isbn = 978-0-8218-5280-4 |yer= Providence, RI | mr = 2780010 |sayfalar=82-86|yayıncı= American Mathematical Society |başlık= An epsilon of room, II: Pages from year three of a mathematical blog |cilt= 117 |yıl= 2010|seri= Graduate Studies in Mathematics }}</ref>
ve algoritmanın nihai yanıtını etkilemeyen rastgele seçimler yapan, örneğin bazı [[elips eğri asallık kanıtlama]] çeşitlerindeki gibi [[Las Vegas algoritması]]nı kapsar.<ref name="hromkovic"/>

Elips eğri metodu, bir sayının asallığı konusunda bir karara vardığında, kolaylıkla doğrulanabilir bir [[asallık sertifikası]] temin eder.<ref name="atkin-morain" />
Pratik uygulamalarda, garantili doğruluk sağlayan asallık testleri içinde, elips eğri asallık testi en hızlı olanıdır; ancak, bu testin çalışma zamanı analizi, katı ispatlara değil, [[sezgisel argüman]]lara dayanır. Matematiksel olarak zaman karmaşıklığı ispatlanmış [[AKS asallık testi]] mevcut olmakla birlikte, uygulamada elips eğri asallığını kanıtlamadan daha yavaş işler.<ref name="morain"/> Bu metodlar, rastgele sayılar üretilip test edilerek ve asal olan bir sayı bulunana dek büyük rastgele asal sayılar üretmek için kullanılabilir; bu süreçte, bir hızlı olasılıksal test, garantili doğruluk sağlayan bir algoritma ile kalan sayıların asallığının doğrulanmasından önce, çoğu bileşik sayıyı çabucak elemine etme işlevi görür.{{efn|Aslında, elips eğri asallığını kanıtlama analizlerinin büyük bir kısmı, algoritmaya giriş olarak sunulan sayının önceden bir olasılıksal testten geçtiği varsayımına dayanmaktadır.<ref name = "atkin-morain">{{Akademik dergi kaynağı | soyadı1 = Atkin | ad1 = A O.L. | yazarbağı1 = A. O. L. Atkin | soyadı2 = Morain | ad2 = F. |doi= 10.1090/s0025-5718-1993-1199989-x|sayı= 203 |dergi= [[Mathematics of Computation]] | mr = 1199989 |sayfalar=29-68|başlık= Elliptic curves and primality proving |cilt= 61 |yıl= 1993| jstor = 2152935 |bibcode= 1993MaCom..61...29A |url = https://www.ams.org/mcom/1993-61-203/S0025-5718-1993-1199989-X/S0025-5718-1993-1199989-X.pdf |  }}</ref>}}

Aşağıda sunulan tablo, mevcut testlerden seçilmiş olanları sıralamaktadır. Bu testlerin çalışma zamanları, incelenmek üzere olan sayıyı temsil eden <math>n</math> ve olasılıksal algoritmalar için gerçekleştirilen testlerin sayısını ifade eden <math>k</math> ile ilişkilendirilmiştir. Ek olarak, <math>\varepsilon</math>, keyfi olarak belirlenebilen küçük bir pozitif değeri simgeler ve log, belirli bir tabana atıfta bulunmaksızın [[logaritma]]yı işaret eder. [[Büyük O gösterimi]], her bir zaman kısıtının, boyutsuz birimlerden zaman birimlerine çevrilebilmesi için bir sabit faktör ile çarpılması gerektiğini belirtir; bu faktör, algoritmanın uygulandığı bilgisayarın türü gibi uygulama ayrıntılarına bağlıdır, fakat <math>n</math> ve <math>k</math> girdi parametrelerine bağlı olmaz.

{| class="wikitable sortable"
|-
! Test
! Geliştirildiği yıl
! Tip
! Çalışma süresi
! Notlar
! class=unsortable| Kaynaklar
|-
| [[AKS asallık testi]]
| 2002
| deterministik
| <math>O((\log n)^{6+\varepsilon})</math>
|
| <ref name="tao-aks"/><ref>{{Akademik dergi kaynağı|soyadı1=Lenstra|ad1=H. W. Jr.|yazarbağı1=Hendrik Lenstra|soyadı2=Pomerance|ad2=Carl|yazarbağı2=Carl Pomerance|doi=10.4171/JEMS/861|sayı=4|dergi=[[Journal of the European Mathematical Society]]|mr=3941463|sayfalar=1229-1269|başlık=Primality testing with Gaussian periods|url=https://math.dartmouth.edu/~carlp/aks111216.pdf|cilt=21|yıl=2019|hdl=21.11116/0000-0005-717D-0|s2cid=127807021|erişim-tarihi=26 Mart 2024|arşivurl=https://web.archive.org/web/20231227045936/https://math.dartmouth.edu/~carlp/aks111216.pdf|arşivtarihi=27 Aralık 2023|ölüurl=hayır}}</ref>
|-
| [[Elips eğrisi asallık kanıtlama]]
| 1986
| Las Vegas
| <math>O((\log n)^{4+\varepsilon})</math> ''sezgisel olarak''
|
| <ref name="morain">{{Akademik dergi kaynağı |soyadı= Morain |ad= F. |doi= 10.1090/S0025-5718-06-01890-4 |sayı= 257 |dergi= [[Mathematics of Computation]] | mr = 2261033 |sayfalar=493-505|başlık= Implementing the asymptotically fast version of the elliptic curve primality proving algorithm |cilt= 76 |yıl= 2007| arxiv = math/0502097 |bibcode= 2007MaCom..76..493M | s2cid = 133193 }}</ref>
|-
| [[Baillie–PSW asallık testi]]
| 1980
| Monte Carlo
| <math>O((\log n)^{2+\varepsilon})</math>
|
| <ref name="PSW">{{Akademik dergi kaynağı |yazar1=Carl Pomerance |yazarbağı1=Carl Pomerance |yazar2=John L. Selfridge |yazarbağı2=John L. Selfridge |yazar3=Samuel S. Wagstaff, Jr. |yazarbağı3=Samuel S. Wagstaff, Jr. |başlık=The pseudoprimes to 25·10<sup>9</sup> |dergi=[[Mathematics of Computation]] |tarih=July 1980 |cilt=35 |sayı=151 |sayfalar=1003-1026 |url=http://math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/paper25.pdf |jstor=2006210 |doi=10.1090/S0025-5718-1980-0572872-7 |doi-access=ücretsiz |erişim-tarihi=26 Mart 2024 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20240117125947/https://math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/paper25.pdf |arşivtarihi=17 Ocak 2024 |ölüurl=hayır }}</ref><ref name="lpsp">{{Akademik dergi kaynağı |yazar1=Robert Baillie |yazar2=Samuel S. Wagstaff, Jr. |yazarbağı2=Samuel S. Wagstaff, Jr. |başlık=Lucas Pseudoprimes |dergi=[[Mathematics of Computation]] |tarih=October 1980 |cilt=35 |sayı=152 |sayfalar=1391-1417 |url=http://mpqs.free.fr/LucasPseudoprimes.pdf |mr=583518 |jstor=2006406 |doi=10.1090/S0025-5718-1980-0583518-6 |doi-access=ücretsiz |erişim-tarihi=26 Mart 2024 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20160304032340/http://mpqs.free.fr/LucasPseudoprimes.pdf |arşivtarihi=4 Mart 2016 |ölüurl=hayır }}</ref>
|-
| [[Miller–Rabin asallık testi]]
| 1980
| Monte Carlo
| <math>O(k(\log n)^{2+\varepsilon})</math>
| hata olasılığı <math>4^{-k}</math>
| <ref name="monier">{{Akademik dergi kaynağı |soyadı= Monier |ad= Louis |doi= 10.1016/0304-3975(80)90007-9 |sayı= 1 |dergi= [[Theoretical Computer Science (dergi)|Theoretical Computer Science]] | mr = 582244 |sayfalar=97-108|başlık= Evaluation and comparison of two efficient probabilistic primality testing algorithms |cilt= 12 |yıl= 1980|  }}</ref>
|-
| [[Solovay–Strassen asallık testi]]
| 1977
| Monte Carlo
| <math>O(k(\log n)^{2+\varepsilon})</math>
| hata olasılığı <math>2^{-k}</math>
| <ref name="monier"/>
|}

===Özel amaçlı algoritmalar ve en büyük bilinen asal sayı===
{{ana|Asal sayıların listesi}}
Bahse konu testlerin yanı sıra, özgün biçimdeki bazı sayıların asallık durumu, daha hızlı bir metodoloji kullanılarak test edilebilir. Örnek olarak, [[Lucas–Lehmer asallık testi]], bir [[Mersenne sayısı]]nın (iki'nin bir kuvvetinden bir az olan) asal olup olmadığını, deterministik bir yaklaşımla, Miller–Rabin testinin tek bir yinelemesi kadar sürede tespit edebilmektedir.<ref>{{Kitap kaynağı |soyadı= Tao |ad= Terence |yazarbağı= Terence Tao |bölüm= 1.7 The Lucas–Lehmer test for Mersenne primes |bölümurl= https://terrytao.wordpress.com/2008/10/02/the-lucas-lehmer-test-for-mersenne-primes/ | isbn = 978-0-8218-4883-8 |yer= Providence, RI | mr = 2523047 |sayfalar=36-41|yayıncı= American Mathematical Society |başlık= Poincaré's legacies, pages from year two of a mathematical blog. Part I |yıl= 2009 }}</ref> Bu sebepten ötürü, 1992 yılından itibaren ({{as of|2024|10|lc=|21}}) [[en büyük bilinen asal sayı|en büyük ''bilinen'' asal]] sayı, sürekli olarak bir Mersenne asalı olagelmiştir.<ref>{{harvnb|Kraft|Washington|2014}}, [https://books.google.com/books?id=4NAqBgAAQBAJ&pg=PA41 s. 41].</ref>
Mersenne asallarının sonsuz olduğu varsayılmaktadır.<ref>Örnek olarak {{harvnb|Guy|2013}}, [https://books.google.com/books?id=1BnoBwAAQBAJ&pg=PA13 A3 Mersenne asalları. Tekrarlanan birimler. Fermat sayıları. <math>k\cdot 2^n+1</math> şeklindeki asal sayılar. ss. 13–21].</ref>

Aşağıdaki tablo, çeşitli kategorilerde tespit edilmiş en büyük asal sayıları içermektedir. Bu asal sayıların bir kısmı, [[dağıtık hesaplama]] yöntemiyle keşfedilmiştir. 2009 senesinde, en az on milyon rakam içeren bir asal sayıyı ilk defa bulma başarısı gösteren [[Great Internet Mersenne Prime Search]] projesi, yüz bin Amerikan doları mükafatına layık görülmüştür.<ref>{{Web kaynağı |url= https://www.eff.org/press/archives/2009/10/14-0 |başlık= Record 12-Million-Digit Prime Number Nets $100,000 Prize |tarih= 14 Ekim 2009 |yayıncı= Electronic Frontier Foundation |erişimtarihi= 4 Ocak 2010 |arşivurl= https://web.archive.org/web/20110805043609/http://www.eff.org/press/archives/2009/10/14-0 |arşivtarihi= 5 Ağustos 2011 |ölüurl= hayır }}</ref> [[Electronic Frontier Foundation]], yüz milyon ve bir milyar rakam barındıran asal sayılar için sırasıyla yüz elli bin ve iki yüz elli bin dolar ödül sunmaktadır.<ref>{{Web kaynağı |url= https://www.eff.org/awards/coop |başlık= EFF Cooperative Computing Awards |tarih= 29 Şubat 2008 |yayıncı= Electronic Frontier Foundation |erişimtarihi= 4 Ocak 2010 |arşivurl= https://web.archive.org/web/20081109141510/http://www.eff.org/awards/coop |arşivtarihi= 9 Kasım 2008 |ölüurl= hayır }}</ref>

{| class="wikitable"
|-
! Tip
! Asal sayı
! Basamak sayısı
! Tarih
! Kaşif
|-
| [[Mersenne asal sayısı]]
| 2<sup>136,279,841</sup> − 1
| style="text-align:right;"| 41,024,320
| 12 Ekim 2024<ref name="GIMPS-2018">{{Web kaynağı | url = https://www.mersenne.org/primes/?press=M136279841 | başlık = GIMPS Discovers
Largest Known Prime Number: 2^(136,279,841)-1 | erişimtarihi = 23 Ekim 2024 | tarih = 21 Aralık 2018 | ölüurl = hayır | iş = Mersenne Research, Inc. | arşivurl = https://web.archive.org/web/20241104020923/https://www.mersenne.org/primes/?press=M136279841 | arşivtarihi = 4 Kasım 2024}}</ref>
| Luke Durant, [[Great Internet Mersenne Prime Search]]
|-
| [[Proth asal sayısı]]
| 10,223 × 2<sup>31,172,165</sup> + 1
| style="text-align:right;"| 9,383,761
| Ekim 31, 2016<ref>{{Web kaynağı|url=https://www.primegrid.com/download/SOB-31172165.pdf|başlık=PrimeGrid's Seventeen or Bust Subproject|erişimtarihi=3 Ocak 2017|arşivurl=https://web.archive.org/web/20161112051125/https://www.primegrid.com/download/SOB-31172165.pdf|arşivtarihi=12 Kasım 2016|ölüurl=hayır}}</ref>
| Péter Szabolcs, [[PrimeGrid]]<ref>{{Web kaynağı |ad=Chris K. |soyadı=Caldwell |url=http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=3 |başlık=The Top Twenty: Largest Known Primes |website=[[Prime Pages|The Prime Pages]] |erişimtarihi=3 Ocak 2017 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20120716181435/http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=3 |arşivtarihi=16 Temmuz 2012 |ölüurl=hayır }}</ref>
|-
| [[Faktöriyel asal sayı]]
| 208,003! − 1
| style="text-align:right;"| 1,015,843
| Temmuz 2016
| Sou Fukui<ref>{{Web kaynağı |ad=Chris K. |soyadı=Caldwell |url=http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=30 |başlık=The Top Twenty: Factorial |website=[[Prime Pages|The Prime Pages]] |erişimtarihi=3 Ocak 2017 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20130410122813/http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=30 |arşivtarihi=10 Nisan 2013 |ölüurl=hayır }}</ref>
|-
| [[Primorial asal sayı]]{{efn|<math>n</math> parametresine bağlı olarak tanımlanan [[primorial]] fonksiyonu, <math>n</math># şeklinde ifade edilir ve bu fonksiyon, <math>n</math> değerine kadar olan tüm asal sayıların çarpımını hesaplar. [[Primorial asal]] terimi ise, <math>n\pm 1</math> biçimlerinden herhangi birine uygun olan asal sayıları ifade etmek için kullanılır.<ref>{{harvnb|Ribenboim|2004}}, p. 4.</ref>}}
| 1,098,133# − 1
| style="text-align:right;"| 476,311
| Mart 2012
| James P. Burt, [[PrimeGrid]]<ref>{{Web kaynağı |ad=Chris K. |soyadı=Caldwell |url=http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=5 |başlık=The Top Twenty: Primorial |website=[[Prime Pages|The Prime Pages]] |erişimtarihi=3 Ocak 2017 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20210506094747/http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=5 |arşivtarihi=6 Mayıs 2021 |ölüurl=hayır }}</ref>
|-
| [[İkiz asallar]]
| 2,996,863,034,895 × 2<sup>1,290,000</sup> ± 1
| style="text-align:right;"| 388,342
| Eylül 2016
| Tom Greer, [[PrimeGrid]]<ref>{{Web kaynağı |ad=Chris K. |soyadı=Caldwell |url=http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=1 |başlık=The Top Twenty: Twin Primes |website=[[Prime Pages|The Prime Pages]] |erişimtarihi=3 Ocak 2017 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20130127020012/http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=1 |arşivtarihi=27 Ocak 2013 |ölüurl=hayır }}</ref>
|}

===Asal çarpanlara ayırma===
{{ana|Asal çarpanlara ayırma}}

Bir bileşik tam sayı olan <math>n</math> için, onun bir veya tüm asal çarpanlarını tespit etme işlemi, <math>n</math> sayısının ''çarpanlara ayrılması'' olarak isimlendirilir. Bu süreç, asallığın sınanmasından bariz bir şekilde daha zor bir hal almaktadır,<ref>{{harvnb|Kraft|Washington|2014}}, [https://books.google.com/books?id=4NAqBgAAQBAJ&pg=PA275 p. 275].</ref> ve birçok çarpanlara ayrılma algoritması tanımlanmış olmasına rağmen, bunlar en hızlı asallık testi metodlarına kıyasla daha yavaş çalışmaktadırlar. Deneme bölünmesi ve [[Pollard'ın rho algoritması]] gibi yöntemler, <math>n</math> sayısının oldukça küçük çarpanlarını keşfetmek amacıyla kullanılabilir,<ref name="p. 220"/> ve <math>n</math> sayısının az büyüklükte çarpanları varsa, [[elips eğri çarpanlarına ayırma]] yöntemi etkili olabilmektedir.<ref>{{Kitap kaynağı|başlık=An Introduction to Mathematical Cryptography|seri=Undergraduate Texts in Mathematics|ad1=Jeffrey|soyadı1=Hoffstein|ad2=Jill|soyadı2=Pipher|yazarbağı2=Jill Pipher|ad3=Joseph H.|soyadı3=Silverman|yazarbağı3=Joseph H. Silverman|basım=2.2yayıncı=Springer|yıl=2014|isbn=978-1-4939-1711-2|sayfa=329|url=https://books.google.com/books?id=cbl_BAAAQBAJ&pg=PA329}}</ref> Çarpanlarının büyüklüğünden bağımsız olarak, herhangi bir büyüklükteki sayılar için uygulanabilir yöntemler arasında [[kuadratik kalbur]] ve [[genel sayı alanı kalburu]] metodları yer almaktadır. Asallık testlerinde olduğu gibi, girdinin özgül bir yapıda olmasını zorunlu kılan çarpanlara ayrılma algoritmaları da mevcuttur; bunlar arasında [[özel sayı alanı kalburu]] bulunmaktadır.<ref>{{Akademik dergi kaynağı |soyadı= Pomerance |ad= Carl |yazarbağı= Carl Pomerance |sayı= 12 |dergi= [[Notices of the American Mathematical Society]] | mr = 1416721 |sayfalar=1473-1485|başlık= A tale of two sieves |cilt= 43 |yıl= 1996}}</ref> Aralık 2019 itibarıyla, genel amaçlı bir algoritmayla çarpanlarına ayrılmış en büyük sayı, 240 ondalık basamağa (795 bit) sahip [[RSA-240]]'dır ve bu, iki büyük asal sayının çarpımından meydana gelmektedir.<ref>Emmanuel Thomé, [https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=NMBRTHRY;fd743373.1912 “795-bit factoring and discrete logarithms,”] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20191208090044/https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=NMBRTHRY;fd743373.1912 |tarih=8 Aralık 2019 }} Aralık 2, 2019.</ref>

[[Shor algoritması]], herhangi bir tam sayının çarpanlarına ayrıştırılmasını bir [[kuantum bilgisayar]] üzerinde polinomik sayıda işlem adımı ile gerçekleştirebilir.<ref>{{kitap kaynağı|başlık=Quantum Computing: A Gentle Introduction|ad1=Eleanor G.|soyadı1=Rieffel|yazarbağı1=Eleanor Rieffel|ad2=Wolfgang H.|soyadı2=Polak|yayıncı=MIT Press|yıl=2011|isbn=978-0-262-01506-6|katkı=Chapter 8. Shor's Algorithm|sayfalar=163-176|başlıkbağı= Quantum Computing: A Gentle Introduction |bölümurl=https://books.google.com/books?id=iYX6AQAAQBAJ&pg=PA163}}</ref> Bununla birlikte, günümüz teknolojisi, söz konusu algoritmayı sadece minimal büyüklükteki sayılar üzerinde uygulayabilmektedir. {{As of|2012|10}}, bir kuantum bilgisayarında Shor algoritmasını kullanarak çarpanlarına ayrılan en büyük sayı 21 olarak kaydedilmiştir.<ref>{{dergi kaynağı |soyadı1=Martín-López |ad1=Enrique |ad2=Anthony|soyadı2=Laing|ad3=Thomas|soyadı3=Lawson |ad4=Roberto|soyadı4=Alvarez |ad5=Xiao-Qi|soyadı5=Zhou |ad6=Jeremy L.|soyadı6=O'Brien |başlık=Experimental realization of Shor's quantum factoring algorithm using qubit recycling |dergi=Nature Photonics |cilt=6 |sayı=11 |sayfalar=773-776|tarih=12 Ekim 2012 |doi=10.1038/nphoton.2012.259 |arxiv = 1111.4147 |bibcode= 2012NaPho...6..773M |s2cid=46546101 }}</ref>

===Diğer bilgisayımsal uygulamalar===

Çok sayıda [[açık anahtarlı şifreleme]] algoritması, örneğin [[RSA (şifreleme yönetimi)|RSA]] ve [[Diffie-Hellman anahtar değişimi]] gibi, büyük asal sayılar üzerine kuruludur (2048-[[bit]] asal sayılar yaygın kullanımdadır).<ref>{{haber kaynağı|gazete=[[The Register]]|url=https://www.theregister.co.uk/2016/10/09/crypto_needs_more_transparency_researchers_warn/|başlık=Crypto needs more transparency, researchers warn|ad=Richard|soyadı=Chirgwin|tarih=9 Ekim 2016|erişimtarihi=29 Mart 2024|arşivurl=https://web.archive.org/web/20190712193440/https://www.theregister.co.uk/2016/10/09/crypto_needs_more_transparency_researchers_warn/|arşivtarihi=12 Temmuz 2019|ölüurl=hayır}}</ref> RSA algoritması, iki (büyük) sayının çarpımı olan <math>x</math> ve <math>y</math> sayılarının çarpımını yapmanın, bu çarpım <math>xy</math> sonucu bilindiğinde <math>x</math> ve <math>y</math> (aralarında [[aralarında asal]] kabul edilen) sayılarını bulmaktan çok daha kolay (yani daha etkili) olduğu önermesine dayalıdır.<ref name="ent-7"/> Diffie–Hellman anahtar değişim mekanizması, <math>a^b\bmod{c}</math> şeklinde ifade edilen [[modüler üs alma]] işleminin etkili algoritmalarla gerçekleştirilebilmesi gerçeğine bağlıyken, bu işlemin tersi olan [[ayrık logaritma]] probleminin zor olduğu kabul edilmektedir.<ref>{{harvnb|Hoffstein|Pipher|Silverman|2014}}, Section 2.3, Diffie–Hellman key exchange, pp. 65–67.</ref>

Asal sayılar, hash tablolarında yaygın olarak tercih edilmektedir. Carter ve Wegman tarafından geliştirilen orijinal [[evrensel hashing]] metodolojisi, büyük asal sayılar cinsinden mod alınarak seçilen rastgele [[doğrusal fonksiyon]]lar aracılığıyla [[hash fonksiyonu]]ların hesaplanmasına dayanır. Carter ve Wegman, bu metodu, yine büyük asal sayılar cinsinden mod alınarak daha yüksek dereceden polinomlar kullanılarak [[k-bağımsız hashing|<math>k</math>-bağımsız hashing]]i genelleştirerek iyileştirmiştir.<ref>{{Introduction to Algorithms|edition=2|chapter=11.3 Universal hashing|pages=232–236}} <math>k</math>-bağımsız hashing ile ilgili problem 11–4, sayfa 251. Carter ve Wegman'a atıfla ilgili, bölüm notlarını inceleyiniz, sayfa 252.</ref> Asal sayılar, hash fonksiyonlarının yanı sıra, [[kuadratik sondalama]] yöntemine dayalı hash tablolarında, sorgulama dizilerinin tablonun tamamını kapsayacak şekilde tasarlanmasını sağlamak amacıyla hash tablo boyutlarının belirlenmesinde de kullanılmaktadır.<ref>{{kitap kaynağı|başlık=Data Structures & Algorithms in Java|url=https://archive.org/details/datastructuresal0004edgood|seri=4th|ad1=Michael T.|soyadı1=Goodrich|yazarbağı1=Michael T. Goodrich|ad2=Roberto|soyadı2=Tamassia|yazarbağı2=Roberto Tamassia|yayıncı=John Wiley & Sons|yıl=2006|isbn=978-0-471-73884-8}} "Quadratic probing" hakkında bilgi için, sayfa 382 ve alıştırma C–9.9, sayfa 415'e bakınız.</ref>

Çeşitli [[sağlama toplamı]] yöntemleri, asal sayıların matematiğine dayalıdır. Mesela, [[Uluslararası Standart Kitap Numarası]] için kullanılan sağlama toplamları, asal bir sayı olan 11'e göre sayının mod alınarak hesaplanması yoluyla tanımlanmaktadır. 11 sayısının asal bir değere sahip olması, bu metodun hem tek basamaklı hataları hem de yan yana bulunan rakamların yer değiştirme hatalarını tespit edebilmesine olanak tanır.<ref>{{kitap kaynağı|başlık=Identification Numbers and Check Digit Schemes|cilt=18|seri=Classroom Resource Materials|ad=Joseph|soyadı=Kirtland|yazarbağı=Joseph Kirtland|yayıncı=Mathematical Association of America|yıl=2001|isbn=978-0-88385-720-5|sayfalar=43-44|url=https://books.google.com/books?id=Z8eka35WUb8C&pg=PA43}}</ref> [[Adler-32]] gibi başka bir kontrol toplamı yöntemi, <math>2^{16}</math> değerinden küçük olan en büyük asal sayı 65521'e göre modüler aritmetik kullanmaktadır.<ref>{{kitap kaynağı|url=http://www.rfc-editor.org/rfc/rfc1950.txt|başlık=ZLIB Compressed Data Format Specification version 3.3|soyadı=Deutsch|ad=P.|yayıncı=Network Working Group|yıl=1996|seri=[[Request for Comments]]|cilt=1950|erişim-tarihi=29 Mart 2024|arşivurl=https://web.archive.org/web/20240226041843/https://www.rfc-editor.org/rfc/rfc1950.txt|arşivtarihi=26 Şubat 2024|ölüurl=hayır}}</ref> Asal sayılar ayrıca, [[lineer eşleşik üreteci]]ler ve [[Mersenne Twister]]<ref>{{dergi kaynağı | soyadı1 = Matsumoto | ad1 = Makoto | soyadı2 = Nishimura | ad2 = Takuji |doi= 10.1145/272991.272995 | sayı = 1 | dergi = ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation | sayfalar =3-30| başlık = Mersenne Twister: A 623-dimensionally equidistributed uniform pseudo-random number generator | cilt = 8 | yıl = 1998| citeseerx = 10.1.1.215.1141 | s2cid = 3332028 }}</ref> gibi çeşitli [[rastgele sayı üreteci]] modellerinde temel birer bileşen olarak kullanılmaktadır.<ref>{{kitap kaynağı|başlık=The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical algorithms|seri=3rd|ad=Donald E.|soyadı=Knuth|yazarbağı=Donald Knuth|yayıncı=Addison-Wesley|yıl=1998|katkı=3.2.1 The linear congruential model|sayfalar=10-26|isbn=978-0-201-89684-8|başlıkbağı=The Art of Computer Programming}}</ref>

==Diğer uygulamalar==
Asal sayılar, sayılar teorisinin yanı sıra, [[soyut cebir]] ve temel geometri gibi matematiğin diğer disiplinlerinde de geniş uygulama alanlarına sahiptir. Mesela, asal sayılar kadar noktanın iki boyutlu bir düzlem üzerine öyle bir yerleştirilmesi mümkündür ki, bu noktalardan herhangi üçü düz bir çizgi üzerinde konumlanmaz, [[üç-doğru-üzerinde-sorunu]] (İng. ''No-three-in-line problem'') ya da bu noktalar arasından seçilen her üçlü tarafından oluşturulan üçgenlerin [[Heilbronn üçgen problemi|geniş alanlara]] sahip olması sağlanabilir.<ref>{{dergi kaynağı | soyadı = Roth | ad = K.F. | yazarbağı = Klaus Roth |doi= 10.1112/jlms/s1-26.3.198 | dergi = [[Journal of the London Mathematical Society]] | mr = 0041889 | sayfalar =198-204| seri = Second Series | başlık = On a problem of Heilbronn | cilt = 26 | sayı = 3 | yıl = 1951}}</ref> Ayrıca, bir polinomun indirgenemezliğinin, polinomun katsayılarının bir asal sayı ve bu asal sayının karesi ile bölünebilirliğine dayanarak tespit edilmesini sağlayan [[Eisenstein kriteri]], indirgenemez polinomlar üzerine bir test olarak öne çıkmaktadır.<ref>{{dergi kaynağı | ad = David A. | soyadı = Cox | yazarbağı = David A. Cox | başlık = Why Eisenstein proved the Eisenstein criterion and why Schönemann discovered it first | dergi = [[American Mathematical Monthly]] | cilt = 118 | sayı = 1 | yıl = 2011 | sayfalar = 3-31 | doi = 10.4169/amer.math.monthly.118.01.003 | url = https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Cox-2012.pdf | citeseerx = 10.1.1.398.3440 | s2cid = 15978494 | erişim-tarihi = 29 Mart 2024 | arşivurl = https://web.archive.org/web/20230326032030/https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Cox-2012.pdf | arşivtarihi = 26 Mart 2023 | ölüurl = hayır }}</ref>

[[Dosya:Sum of knots3.svg|küçükresim|Bağlanmış iki asal düğümün toplamı]]
Asal sayı kavramı, matematiğin çeşitli dallarında farklı şekillerde genelleştirilmiş kadar önemlidir. Genellikle, "asal" kelimesi, uygun bir anlamda, minimaliteyi veya ayrıştırılamazlığı belirtir. Örneğin, verilen bir alanın [[asal alan]]ı, hem 0 hem de 1'i içeren en küçük alt alandır. Bu, rasyonel sayılar alanı veya asal sayıda elemana sahip bir [[sonlu alan]]dır, isminin kaynağı budur.<ref>{{kitap kaynağı | soyadı1=Lang | ad1=Serge | yazarbağı1=Serge Lang | başlık=Algebra | yayıncı=[[Springer-Verlag]] |yer=Berlin; New York | seri=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-95385-4 | mr=1878556 | yıl=2002 | cilt=211|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0 }}, Section II.1, s. 90</ref> Sıklıkla, "asal" kelimesi kullanılarak bir nesnenin, esasen benzersiz bir şekilde, asal bileşenlerine ayrıştırılabileceği anlamı da amaçlanır. Örneğin, [[düğüm teorisi]]nde, bir [[asal düğüm]] iki önemsiz düğümün [[bağlı toplamı]] olarak yazılamayacak şekilde ayrıştırılamaz bir [[düğüm (matematik)|düğüm]]dür. Herhangi bir düğüm, asal düğümlerin bağlı toplamı olarak benzersiz bir şekilde ifade edilebilir.<ref>{{dergi kaynağı|soyadı=Schubert|ad= Horst|başlık=Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten|dergi=S.-B Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl.|yıl=1949|cilt=1949|sayı=3|sayfalar=57-104|mr=0031733}}</ref> [[3-boyutlu manifoldların asal ayrışımı]] bu türe başka bir örnektir.<ref>{{dergi kaynağı | soyadı = Milnor | ad = J. | yazarbağı = John Milnor |doi= 10.2307/2372800 | dergi = American Journal of Mathematics | mr = 0142125 | sayfalar =1-7| başlık = A unique decomposition theorem for 3-manifolds | cilt = 84 | sayı = 1 | yıl = 1962| jstor = 2372800 }}</ref>

Matematik ve bilgisayar bilimlerinin ötesinde, asal sayıların [[kuantum mekaniği]]ne potansiyel ilişkileri mevcut olup, kültür ve edebiyat alanlarında metaforik öğeler olarak değerlendirilmişlerdir. Bunun yanı sıra, [[evrimsel biyoloji]] alanında, [[ağustos böceği]]lerinin yaşam evrelerinin izah edilmesinde asal sayılar başvurulan bir araç olmuştur.

===Yapılandırılabilir çokgenler ve çokgen bölümlendirmeleri===

[[Dosya:Pentagon construct.gif|küçükresim|Cetvel ve pergel yardımıyla düzenli bir beşgenin oluşturulması. Bu işlem, yalnızca 5 sayısının bir [[Fermat sayıları|Fermat asalı]] olması sayesinde gerçekleştirilebilmektedir.|alt=Cetvel ve pergel kullanılarak düzenli bir beşgenin oluşturulması]]

[[Fermat sayıları|Fermat asalı]]ları, 
:<math>F_k = 2^{2^k}+1,</math>
şeklinde tanımlanan ve <math>k</math> [[Doğal sayılar|negatif olmayan bir tam sayı]] olduğunda geçerli olan asal sayılar olarak bilinir.<ref>{{harvtxt|Boklan|Conway|2017}} ayrıca <math>2^0+1=2</math>, bu formda olmamakla birlikte, sayısını da içerir.</ref> Bu terim, her biri bu formdaki sayıların asal olduğunu varsayan [[Pierre de Fermat]]'ya atfen kullanılır. İlk beş Fermat sayısı – 3, 5, 17, 257 ve 65,537 – asal niteliktedir,<ref name="kls">{{kitap kaynağı | soyadı1 = Křížek | ad1 = Michal | soyadı2 = Luca | ad2 = Florian | soyadı3 = Somer | ad3 = Lawrence |doi= 10.1007/978-0-387-21850-2 | isbn =978-0-387-95332-8 |yer= New York | mr = 1866957 | sayfalar =1-2| yayıncı = Springer-Verlag | seri = CMS Books in Mathematics | başlık = 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry | url = https://books.google.com/books?id=hgfSBwAAQBAJ&pg=PA1 | cilt = 9 | yıl = 2001}}</ref>, fakat <math>F_5</math> ve 2017 yılı itibarıyla incelenmiş diğer tüm Fermat sayıları bileşik olarak sınıflandırılmıştır.<ref>{{dergi kaynağı | soyadı1 = Boklan | ad1 = Kent D. | soyadı2 = Conway | ad2 = John H. | yazarbağı2 = John Horton Conway | arxiv = 1605.01371 | tarih = January 2017 |doi= 10.1007/s00283-016-9644-3 | sayı = 1 | dergi = [[The Mathematical Intelligencer]] | sayfalar =3-5| başlık = Expect at most one billionth of a new Ferma''t'' prime! | cilt = 39 | s2cid = 119165671 }}</ref> Bir düzenli <math>n</math>-genin cetvel ve pergel kullanılarak çizilebilir olması, ancak ve ancak <math>n</math>'in tek asal faktörleri (var ise) birbirinden farklı Fermat asalları olduğunda mümkündür.<ref name="kls"/> Benzer şekilde, bir düzenli <math>n</math>-genin çizimi, <math>n</math> sayısının asal çarpanlarının 2 veya 3'ün herhangi bir sayıda tekrarı ile birlikte, farklı [[Pierpont asalı]]ları içeren (potansiyel olarak boş) bir küme olması durumunda, cetvel, pergel ve bir [[Açı üçlemesi|açı üçleyici]] kullanılarak gerçekleştirilebilir.<ref>{{dergi kaynağı | soyadı = Gleason | ad = Andrew M. | yazarbağı = Andrew M. Gleason |doi= 10.2307/2323624 | sayı = 3 | dergi = [[American Mathematical Monthly]] | mr = 935432 | sayfalar =185-194| başlık = Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon | url = https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1988-03_95_3/page/185 | cilt = 95 | yıl = 1988| jstor = 2323624 }}</ref>

Herhangi bir dışbükey çokgenin, <math>n</math> sayısı bir [[Asal kuvvet|asal sayının kuvveti]] olduğunda, eşit alan ve eşit çevreye sahip <math>n</math> adet daha küçük dışbükey çokgenlere ayrılması mümkündür; fakat <math>n</math> değerinin asal sayının kuvveti dışındaki diğer değerleri için bu durumun geçerli olup olmadığı bilinmemektedir.<ref>{{dergi kaynağı | soyadı = Ziegler | ad = Günter M. | yazarbağı = Günter M. Ziegler | sayı = 95 | dergi = European Mathematical Society Newsletter | mr = 3330472 | sayfalar =25-31| başlık = Cannons at sparrows | yıl = 2015}}</ref>

===Kuantum mekaniği===
[[Hugh Lowell Montgomery|Hugh Montgomery]] ve [[Freeman Dyson]]'ın 1970'lerde gerçekleştirdikleri çalışmaların öncülüğünde, matematik ve fizik alanında uzmanlar, Riemann zeta fonksiyonunun kökleri ile [[Kuantum mekaniği|kuantum sistem]]lerinin enerji düzeyleri arasında bir bağlantı olabileceğini öne sürmüşlerdir.<ref>{{web kaynağı|ad=Ivars|soyadı=Peterson|yazarbağı=Ivars Peterson |çalışma=MAA Online |url=http://www.maa.org/mathland/mathtrek_6_28_99.html |başlık=The Return of Zeta |tarih=28 Haziran 1999 |erişimtarihi=14 Mart 2008 |ölüurl=evet|arşivurl=https://web.archive.org/web/20071020141624/http://maa.org/mathland/mathtrek_6_28_99.html |arşivtarihi=20 Ekim 2007 }}</ref><ref>{{Dergi kaynağı|soyadı=Hayes|ad=Brian|yazarbağı=Brian Hayes (scientist)|tarih=2003|başlık=Computing science: The spectrum of Riemannium|jstor=27858239|dergi=[[American Scientist]]|cilt=91|sayı=4|sayfalar=296-300|doi=10.1511/2003.26.3349|s2cid=16785858 }}</ref> Aynı zamanda, asal sayılar, [[karşılıklı olarak önyargısız tabanlar]] ve [[SIC-POVM|simetrik bilgi tamamlı pozitif-operatör-değerli ölçüm]] gibi matematiksel yapılar vasıtasıyla [[kuantum bilgi bilim]]i alanında da kritik bir öneme sahiptir.<ref>{{Kitap kaynağı|başlık=Geometry of quantum states : an introduction to quantum entanglement|soyadı1=Bengtsson|ad1=Ingemar|soyadı2=Życzkowski|ad2=Karol|yayıncı=[[Cambridge University Press]]|yıl=2017|isbn=978-1-107-02625-4|seri=Second|yer=Cambridge|sayfalar=313-354|oclc=967938939|yazarbağı2=Karol Życzkowski}}</ref><ref>{{Dergi kaynağı|soyadı=Zhu|ad=Huangjun|başlık=SIC POVMs and Clifford groups in prime dimensions|url=http://stacks.iop.org/1751-8121/43/i=30/a=305305?key=crossref.45cb006b9f3c7e510461594ea8dfa7f7|dergi=Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical|cilt=43|sayı=30|sayfalar=305305|arxiv=1003.3591|doi=10.1088/1751-8113/43/30/305305|bibcode=2010JPhA...43D5305Z|yıl=2010|s2cid=118363843}}</ref>

===Biyoloji===
''[[Magicicada]]'' cinsi [[ağustos böceği]]lerinin uyguladığı evrimsel strateji, asal sayılardan faydalanmaktadır.<ref>{{dergi kaynağı |soyadı1=Goles |ad1=E. |soyadı2=Schulz |ad2=O. |ad3=M. |soyadı3=Markus |yıl=2001 |başlık=Prime number selection of cycles in a predator-prey model |dergi=[[Complexity (dergi)|Complexity]] |cilt=6 |sayı=4 |sayfalar=33-38|doi=10.1002/cplx.1040 |bibcode=2001Cmplx...6d..33G }}</ref> Bu böcek türleri, ömürlerinin büyük bir kısmını yer altında larva formunda geçirmekte, yalnızca 7, 13 veya 17 yıl gibi asal sayıları temsil eden süreler sonunda erginleşip yeryüzüne çıkarlar, çiftleşirler ve birkaç hafta içinde yaşam döngülerini tamamlayarak ölürler. Bu asal sayılara dayanan üreme döngüsü sürelerinin, avcıların bu döngülere uyum sağlamasını engellemek amacıyla evrildiği biyologlar tarafından öne sürülmektedir.<ref>{{dergi kaynağı |ad1=Paulo R.A.|soyadı1=Campos |ad2=Viviane M.|soyadı2=de Oliveira |ad3=Ronaldo|soyadı3=Giro |ad4=Douglas S.|soyadı4=Galvão | dergi = [[Physical Review Letters]] | başlık = Emergence of prime numbers as the result of evolutionary strategy | cilt = 93 |doi= 10.1103/PhysRevLett.93.098107 |pmid=15447148 | sayı = 9 | yıl = 2004 | sayfa = 098107 |bibcode=2004PhRvL..93i8107C|arxiv = q-bio/0406017 |s2cid=88332 }}</ref><ref>{{haber kaynağı|gazete=[[The Economist]]|url=http://economist.com/PrinterFriendly.cfm?Story_ID=2647052|başlık=Invasion of the Brood|tarih=6 Mayıs 2004|erişim-tarihi=26 Kasım 2006|arşivurl=https://web.archive.org/web/20060515184334/http://economist.com/PrinterFriendly.cfm?Story_ID=2647052|arşivtarihi=15 Mayıs 2006|ölüurl=hayır}}</ref>
Öte yandan, [[bambu]] bitkilerinde görülen çiçeklenme periyotlarının, çarpanlarında yalnızca küçük asal sayılar içeren [[pürüzsüz sayı]]lar olduğu varsayılmaktadır. Bu durum, bambunun çiçeklenme zamanlamalarının küçük asal sayılara dayalı bir düzenlilik gösterdiğini işaret etmektedir.<ref>{{dergi kaynağı|soyadı1=Zimmer|ad1=Carl|yazarbağı=Carl Zimmer|tarih=15 Mayıs 2015|başlık=Bamboo Mathematicians|url=https://www.nationalgeographic.com/science/article/bamboo-mathematicians|başlıknotu=Phenomena: The Loom|dergi=[[National Geographic]]|erişim-tarihi=22 Şubat 2018|arşivurl=https://web.archive.org/web/20210506012740/https://www.nationalgeographic.com/science/article/bamboo-mathematicians|arşivtarihi=6 Mayıs 2021|ölüurl=hayır}}</ref>

===Sanat ve edebiyat===
Asal sayılar, pek çok sanatçı ve yazar üzerinde derin bir etkiye sahip olmuştur.
Fransız [[besteci]] [[Olivier Messiaen]], "doğal olaylar"ı referans alarak ametrik müzik üretmede asal sayıları kullanmıştır. ''[[La Nativité du Seigneur]]'' (1935) ve ''[[Quatre études de rythme]]'' (1949–50) eserlerinde, birbirinden farklı asal sayılara dayanan motif uzunluklarını simultane kullanımıyla öngörülemez ritimler oluşturmuştur: "Neumes rythmiques" adlı üçüncü etütte 41, 43, 47 ve 53 gibi asal sayılar yer almaktadır. Messiaen, bu kompozisyon tekniğini "doğanın hareketlerinden, serbest ve eşitsiz süreçlerde meydana gelen hareketlerden ilham alarak" geliştirdiğini belirtmiştir.<ref>{{kitap kaynağı | editör1-soyadı=Hill | editör1-ad=Peter Jensen | başlık=The Messiaen companion | yayıncı=Amadeus Press |yer=Portland, OR | isbn=978-0-931340-95-6 | yıl=1995 | url = https://books.google.com/books?id=7ag3ymWqvfgC&pg=PT225 |yer= Ex. 13.2 ''Messe de la Pentecôte'' 1 'Entrée'}}</ref>

Bilimkurgu eseri ''[[Contact (roman)|Contact]]'''ta, [[Carl Sagan]], uzaylılarla iletişim kurma sürecinde iki boyutlu görüntü düzlemlerinin oluşturulmasında asal sayıların çarpanlarına ayrılmasının potansiyel bir yöntem olarak kullanılabileceğini ileri sürmüştür. Bu düşünceyi ilk defa 1975 yılında Amerikan astronom [[Frank Drake]] ile informal bir şekilde ortaya koymuştur.<ref>{{kitap kaynağı | soyadı = Pomerance | ad = Carl | yazarbağı = Carl Pomerance | editör1-soyadı = Hayes | editör1-ad = David F. | editör2-soyadı = Ross | editör2-ad = Peter | katkı = Prime Numbers and the Search for Extraterrestrial Intelligence |bölümurl= https://gauss.dartmouth.edu/~carlp/PDF/extraterrestrial.pdf | isbn = 978-0-88385-548-5 |yer= Washington, DC | mr = 2085842 | sayfalar =3-6| yayıncı = Mathematical Association of America | seri = MAA Spectrum | başlık = Mathematical Adventures for Students and Amateurs | yıl = 2004}}</ref> ''[[The Curious Incident of the Dog in the Night-Time]]'' adlı eserde, yazar [[Mark Haddon]], ana karakterin, Asperger sendromuna sahip matematiksel yeteneği yüksek bir genç, zihinsel durumunu yansıtmak amacıyla hikayenin bölümlerini ardışık asal sayılar kullanarak düzenlemiştir.<ref>{{haber kaynağı|url=https://www.theguardian.com/science/punctuated-equilibrium/2010/sep/16/curious-incident-dog-night-time|başlık=The Curious Incident of the Dog in the Night-Time|author=GrrlScientist|tarih=16 Eylül 2010|gazete=[[The Guardian]]|erişim-tarihi=22 Şubat 2010|başlıknotu=Science|arşivurl=https://web.archive.org/web/20100922003733/https://guardian.co.uk/science/punctuated-equilibrium/2010/sep/16/curious-incident-dog-night-time|arşivtarihi=22 Eylül 2010|ölüurl=hayır}}</ref> [[Paolo Giordano]]'nun ''[[The Solitude of Prime Numbers (roman)|The Solitude of Prime Numbers]]'' adlı romanında asal sayılar, yalnızlık ve tecrit duygularını sembolize etmek için kullanılmış, asal sayılar tam sayılar içerisinde "yabancı" olarak tasvir edilmiştir.<ref>{{haber kaynağı|gazete=[[The New York Times]]|başlık=Counting on Each Other|ad=Liesl|soyadı=Schillinger|tarih=9 Nisan 2010|url=https://www.nytimes.com/2010/04/11/books/review/Schillinger-t.html|başlıknotu=Sunday Book Review|erişimtarihi=29 Mart 2024|arşivurl=https://web.archive.org/web/20100412160158/https://www.nytimes.com/2010/04/11/books/review/Schillinger-t.html|arşivtarihi=12 Nisan 2010|ölüurl=hayır}}</ref>

== Asal oturanlar ==
[[Aritmetiğin temel teoremi]] 1'den büyük tüm tam sayıların asal sayıların çarpımları şeklinde yazılabileceğini, üstelik yazımın da (asal çarpanların değişik sıralanması hariç) yalnız bir şekilde (teklik) olacağını söyler. Bir sayının asal çarpanlara ayrılmasında bir asal sayı birden fazla tekrar edebilir. Dolayısıyla asal sayılar, doğal sayıların "temel inşa taşları" olarak düşünülebilir.

Örneğin, 23244'ü şu şekilde asal çarpanlarına ayırabiliriz:<br />23244 = 2<sup>2</sup>&nbsp;× 3 × 13 × 149

ve 23244'ün diğer asal çarpanlara ayırış şekilleri yukarıdaki ile aynıdır, fakat asal sayıların sıralaması değişik olabilir. Büyük sayılar için değişik [[asal çarpan]]lara ayırma [[algoritma]]ları vardır.

=== İkiz asallar ===
{{Ana|İkiz asallar sanısı}}
Aralarındaki fark iki olan asal sayılar hakkındaki [[İkiz Asallar|ikiz asallar]] konjektürü.

;'''Örneğin:'''
* (3, 5)
* (5, 7)
* (11, 13)
* (17, 19)
* (29, 31)
* (41, 43)
* (59, 61)
* (71, 73)
* (101, 103)
* (107, 109)

=== Chen asalları ===
Bir a asal sayısı (a+2) biçiminde yazıldığında asal ya da [[yarı asal]] oluyorsa a değeri, Chen asalı olarak adlandırılmaktadır. [[İkiz asallar]]da, küçük sayı<ref>{{Web kaynağı | url = https://mathworld.wolfram.com/ChenPrime.html | başlık = Chen Asalı | erişimtarihi = 3 Şubat 2023 | tarih = 24 Ocak 2023 | çalışma = Chen Prime | yayıncı = Wolfram MathWorld | arşivurl = https://web.archive.org/web/20060315065052/https://mathworld.wolfram.com/ChenPrime.html | arşivtarihi = 15 Mart 2006}}</ref> aynı zamanda Chen asalıdır.

'''Asal örnekler:'''

* a = 5 <math>\Rightarrow</math> 5 + 2 = 7
* a = 11 <math>\Rightarrow</math> 11 + 2 = 13

'''Yarı asal örnekler:'''
* a = 2 <math>\Rightarrow</math> 2 + 2 = 4 <math>\land</math> 2 × 2 = 4
* a = 7 <math>\Rightarrow</math> 7 + 2 = 9 <math>\land</math> 3 × 3 = 9

=== Mersenne asalları ===
Bir a [[Doğal sayılar|doğal sayısı]] (2<sup>a</sup> – 1) biçiminde yazıldığında hesaplanan değer [[Mersenne sayısı]], asal oluyorsa aynı zamanda Mersenne asalı olarak adlandırılmaktadır. Mersenne asalları hesaplanırken, a sayısı da<ref>{{Web kaynağı | url = https://mathworld.wolfram.com/MersennePrime.html | başlık = Mersenne Asalı | erişimtarihi = 3 Şubat 2023 | tarih = 24 Ocak 2023 | çalışma = Mersenne Prime | yayıncı = Wolfram MathWorld | arşivurl = https://web.archive.org/web/20000511211110/https://mathworld.wolfram.com/MersennePrime.html | arşivtarihi = 11 Mayıs 2000}}</ref> asal olarak alınmaktadır. Ancak a sayısının asal olarak alındığı bazı durumlarda, bileşik Mersenne sayıları hesaplanabilmektedir. Bilinen en büyük asal sayı olan 2<sup>136,279,841</sup> − 1, Mersenne asalıdır.

'''Mersenne asalları:'''
* 2<sup>2</sup> – 1 = 3
* 2<sup>5</sup> – 1 = 31
'''Bileşik Mersenne sayıları:'''

* 2<sup>11</sup> – 1 = 2047

=== Goldbach hipotezi ===
{{Ana|Goldbach hipotezi}}
Asal sayılarla ilgili Goldbach hipotezi, doğru gözükmesine rağmen halen ispatlanamamıştır. ''"Her çift (2 hariç) sayı iki asal sayının toplamı mıdır?"''

'''Örneğin:'''
* 4 = 2 + 2
* 6 = 3 + 3
* 8 = 3 + 5
* 10 = 3 + 7
* 12 = 5 + 7
* 14 = 3 + 11
* 16 = 3 + 13
* 18 = 5 + 13
* 20 = 3 + 17
* 22 = 3 + 19
* 24 = 5 + 19
* 26 = 7 + 19
* 28 = 5 + 23
* 30 = 7 + 23
* 32 = 3 + 29
* 34 = 5 + 29
* 36 = 7 + 29

== Ayrıca bakınız ==
* [[Asal sayıların listesi]]
* [[Eratosten kalburu]]
* [[Mersenne sayısı#Mersenne asal sayıları|Mersenne asallları]]
* [[Fermat'nın küçük teoremi]]
* [[Öklid teoremi]]
* [[Goldbach hipotezi]]
* [[İkiz asallar]]
* [[Yarı asal]]
* [[Lasa sayı]]

{{Sayıların sınıflandırması}}

== Not listesi ==
{{not listesi}}

==Kaynakça==
{{kaynakça|refs=

<ref name="mollin">{{dergi kaynağı 
| soyadı = Mollin 
| ad = Richard A.
|doi= 10.2307/3219180 
| sayı = 1
| dergi = Mathematics Magazine
| mr = 2107288 
| sayfalar =18-29| başlık = A brief history of factoring and primality testing B. C. (before computers)
| url = https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_2002-02_75_1/page/18
| cilt = 75 
| yıl = 2002
| jstor = 3219180 
}}</ref>

<ref name=ziegler>{{Akademik dergi kaynağı 
|soyadı= Ziegler
|ad= Günter M.
|yazarbağı= Günter M. Ziegler
|sayı= 4 
|dergi= [[Notices of the American Mathematical Society]]
| mr = 2039814 
|sayfalar=414-416|başlık= The great prime number record races
|cilt= 51 
|yıl= 2004}}</ref>

<ref name="pomerance-sciam">{{dergi kaynağı 
|başlık=The Search for Prime Numbers
|url=https://archive.org/details/sim_scientific-american_1982-12_247_6/page/136
|ad=Carl
|soyadı=Pomerance
|yazarbağı=Carl Pomerance
|dergi=[[Scientific American]]
|cilt=247
|sayı=6
|tarih=Aralık 1982
|sayfalar=136-147|jstor=24966751
|doi=10.1038/scientificamerican1282-136
|bibcode=1982SciAm.247f.136P}}</ref>

<ref name="childress">{{Kitap kaynağı 
|soyadı= Childress
|ad= Nancy 
|doi= 10.1007/978-0-387-72490-4 
| isbn = 978-0-387-72489-8
| mr = 2462595 
|sayfalar=8-11|yayıncı= Springer, New York 
|seri= Universitext 
|başlık= Class Field Theory 
| url = https://books.google.com/books?id=RYdy4PCJYosC&pg=PA8
|yıl= 2009 }} See also p. 64.</ref>

<ref name="Gardiner_1997">{{kitap kaynağı
|başlık=The Mathematical Olympiad Handbook: An Introduction to Problem Solving Based on the First 32 British Mathematical Olympiads 1965–1996
|ad=Anthony
|soyadı=Gardiner
|yazarbağı=Tony Gardiner
|yayıncı=Oxford University Press
|yıl=1997
|isbn=978-0-19-850105-3
|sayfa=[https://archive.org/details/mathematicalolym1997gard/page/26 26]
|url=https://archive.org/details/mathematicalolym1997gard
|url-erişimi=kayıtlı}}</ref>

<ref name="Henderson_2014">{{kitap kaynağı
|başlık=Dyslexia, Dyscalculia and Mathematics: A practical guide
|ad=Anne
|soyadı=Henderson
|basım=2.
|yayıncı=Routledge
|yıl=2014
|isbn=978-1-136-63662-2
|sayfa=62
|url=https://books.google.com/books?id=uy-yGVRUilMC&pg=PA62}}</ref>

<ref name="Adler_1960">{{kitap kaynağı
|başlık=The Giant Golden Book of Mathematics: Exploring the World of Numbers and Space
|url=https://archive.org/details/giantgoldenbooko00adle
|url-erişimi=kayıtlı 
|ad=Irving
|soyadı=Adler
|yazarbağı=Irving Adler
|yayıncı=Golden Press
|yıl=1960
|sayfa=[https://archive.org/details/giantgoldenbooko00adle/page/16 16]
|oclc=6975809}}</ref>

<ref name="Leff_2000">{{kitap kaynağı
| url = https://archive.org/details/barronsmathworkb00leff_0 
|url-erişimi= kayıtlı 
| sayfa = [https://archive.org/details/barronsmathworkb00leff_0/page/360 360]
| başlık = Math Workbook for the SAT I 
| ad = Lawrence S. 
| soyadı = Leff 
| yayıncı = Barron's Educational Series 
| yıl = 2000 
| isbn = 978-0-7641-0768-9}}</ref>

<ref name="Dudley_1978">{{kitap kaynağı 
| soyadı1=Dudley 
| ad1=Underwood 
| yazarbağı=Underwood Dudley 
| başlık=Elementary number theory 
| yayıncı=W.H. Freeman and Co. 
|basım=2. 
| isbn=978-0-7167-0076-0 
| yıl=1978 
| katkı=Section 2: Unique factorization 
| sayfa=[https://archive.org/details/elementarynumber00dudl_0/page/10 10] 
|bölümurl=https://books.google.com/books?id=tr7SzBTsk1UC&pg=PA10 
| url=https://archive.org/details/elementarynumber00dudl_0/page/10 }}</ref>

<ref name="Sierpiński_1988">{{kitap kaynağı 
| soyadı = Sierpiński
| ad = Wacław 
| yazarbağı = Wacław Sierpiński
| başlık = Elementary Theory of Numbers 
|basım= 2. 
| cilt = 31
| seri = North-Holland Mathematical Library 
| yayıncı = Elsevier 
| yıl = 1988 
| isbn = 978-0-08-096019-7
| sayfa = 113 
| url = https://books.google.com/books?id=ktCZ2MvgN3MC&pg=PA113 }}</ref>

<ref name="Stillwell_1997">{{Kitap kaynağı
|başlık=Numbers and Geometry
|seri=Undergraduate Texts in Mathematics
|ad=John
|soyadı=Stillwell
|yazarbağı=John Stillwell
|yayıncı=Springer
|yıl=1997
|isbn=978-0-387-98289-2
|sayfa=9
|url=https://books.google.com/books?id=4elkHwVS0eUC&pg=PA9}}</ref>

<ref name="Sierpiński_1964">{{Kitap kaynağı 
|soyadı= Sierpiński 
|ad= Wacław 
|yazarbağı= Wacław Sierpiński
|yer= New York 
| mr = 0170843 
|sayfa= [https://archive.org/details/selectionproblem00sier/page/n37 40] 
|yayıncı= Macmillan 
|başlık= A Selection of Problems in the Theory of Numbers 
| url = https://archive.org/details/selectionproblem00sier 
|url-erişimi= kısıtlı 
|yıl= 1964}}</ref>

<ref name="Nathanson_2000">{{Kitap kaynağı
|başlık=Elementary Methods in Number Theory
|cilt=195
|seri=Graduate Texts in Mathematics
|bölüm=Notations and Conventions
|bölümurl=https://books.google.com/books?id=sE7lBwAAQBAJ&pg=PP10
|ad=Melvyn B.
|soyadı=Nathanson
|yazarbağı=Melvyn B. Nathanson
|yayıncı=Springer
|yıl=2000
|isbn=978-0-387-22738-2
|mr=1732941}}</ref>

<ref name="Faticoni_2012">{{Kitap kaynağı
|başlık=The Mathematics of Infinity: A Guide to Great Ideas
|cilt=111
|seri=Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts
|ad=Theodore G.
|soyadı=Faticoni
|basım=2.2yayıncı=John Wiley & Sons
|yıl=2012
|isbn=978-1-118-24382-4
|sayfa=44
|url=https://books.google.com/books?id=I433i_ZGxRsC&pg=PA44}}</ref>

<ref name="Bruins_1974">Bruins, Evert Marie, review in ''Mathematical Reviews'' of {{dergi kaynağı 
| soyadı = Gillings 
| ad = R.J.
|doi= 10.1007/BF01307175
| dergi = Archive for History of Exact Sciences
| mr = 0497458 
| sayfalar =291-298| başlık = The recto of the Rhind Mathematical Papyrus. How did the ancient Egyptian scribe prepare it? 
| cilt = 12
| sayı = 4 
| yıl = 1974
| s2cid = 121046003 }}</ref>

<ref name="stillwell-2010-p40">{{kitap kaynağı
|başlık=Mathematics and Its History
|seri=Undergraduate Texts in Mathematics
|ad=John
|soyadı=Stillwell
|yazarbağı=John Stillwell 
|basım=3. 
|yayıncı=Springer 
|yıl=2010 
|isbn=978-1-4419-6052-8 
|sayfa=40 
|url=https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA40}}</ref>

<ref name="Sandifer_2014">{{Kitap kaynağı
|başlık=How Euler Did Even More
|ad=C. Edward
|soyadı=Sandifer
|yayıncı=Mathematical Association of America
|yıl=2014
|isbn=978-0-88385-584-3
|sayfa=42
|url=https://books.google.com/books?id=3c6iBQAAQBAJ&pg=PA42}}</ref>

<ref name="Koshy_2002">{{Kitap kaynağı
|başlık=Elementary Number Theory with Applications
|ad=Thomas
|soyadı=Koshy
|yayıncı=Academic Press
|yıl=2002
|isbn=978-0-12-421171-1
|sayfa=369
|url=https://books.google.com/books?id=-9pg-4Pa19IC&pg=PA369}}</ref>

<ref name="Yuan_2002">{{Kitap kaynağı
|başlık=Goldbach Conjecture
|basım=2.2cilt=4
|seri=Series In Pure Mathematics
|ad=Wang
|soyadı=Yuan
|yayıncı=World Scientific
|yıl=2002
|isbn=978-981-4487-52-8
|sayfa=21
|url=https://books.google.com/books?id=g4jVCgAAQBAJ&pg=PA21}}</ref>

<ref name="Narkiewicz_2000">{{Kitap kaynağı
|başlık=The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood
|seri=Springer Monographs in Mathematics
|ad=Wladyslaw
|soyadı=Narkiewicz
|yayıncı=Springer
|yıl=2000
|isbn=978-3-540-66289-1
|sayfa=11
|bölüm=1.2 Sum of Reciprocals of Primes
|bölümurl=https://books.google.com/books?id=VVr3EuiHU0YC&pg=PA11}}</ref>

<ref name="Smith_2011">{{Kitap kaynağı
|başlık=The Nature of Mathematics
|ad=Karl J.
|soyadı=Smith
|basım=12.12yayıncı=Cengage Learning
|yıl=2011
|isbn=978-0-538-73758-6
|sayfa=188
|url=https://books.google.com/books?id=Di0HyCgDYq8C&pg=PA188}}</ref>

<ref name="Sautoy_2003">{{Kitap kaynağı
|başlık=The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics
|ad=Marcus
|soyadı=du Sautoy
|yazarbağı=Marcus du Sautoy
|yayıncı=Harper Collins
|yıl=2003
|isbn=978-0-06-093558-0
|sayfa=[https://archive.org/details/musicofprimessea00dusa/page/23 23]
|url=https://archive.org/details/musicofprimessea00dusa}}</ref>

<ref name="Rotman_2000">{{Kitap kaynağı
|başlık=A First Course in Abstract Algebra
|url=https://archive.org/details/firstcourseinabs0000rotm_e5g6
|ad=Joseph J.
|soyadı=Rotman
|basım=2.2yayıncı=Prentice Hall
|yıl=2000
|isbn=978-0-13-011584-3
|yer=Problem 1.40, p. 56}}</ref>

<ref name="Furstenberg_1955">{{Dergi kaynağı 
| soyadı1=Furstenberg 
| ad1=Harry 
| yazarbağı1=Hillel Furstenberg 
| başlık=On the infinitude of primes 
| url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1955-05_62_5/page/353
|doi=10.2307/2307043 
| yıl=1955 
| dergi=[[American Mathematical Monthly]]  
| cilt=62 
| mr=0068566 
| sayı=5
| sayfalar=353| jstor=2307043 }}
</ref>

<ref name="Ribenboim_2004">{{kitap kaynağı
| soyadı1=Ribenboim 
| ad1=Paulo 
|yazarbağı1=Paulo Ribenboim 
| başlık=The little book of bigger primes
| yayıncı=Springer-Verlag 
|yer=Berlin; New York
| isbn=978-0-387-20169-6 
| yıl=2004
|sayfa=4 
| url=https://books.google.com/books?id=SvnTBwAAQBAJ&pg=PA5 }}</ref>

<ref name="Vardi_1991">{{kitap kaynağı|
başlık=Computational Recreations in Mathematica
|ad=Ilan
|soyadı=Vardi
|yayıncı=Addison-Wesley
|yıl=1991
|isbn=978-0-201-52989-0
|sayfalar=82-89}}</ref>

<ref name="Mackinnon_1987">{{Akademik dergi kaynağı 
|soyadı= Mackinnon 
|ad= Nick 
|tarih= June 1987 
|doi= 10.2307/3616496 
|sayı= 456 
|sayfalar=113-114|dergi= [[The Mathematical Gazette]]
|başlık= Prime number formulae 
|url= https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1987-06_71_456/page/113
|cilt= 71
| jstor = 3616496 
| s2cid = 171537609 }}</ref>

<ref name="matiyasevich">{{Kitap kaynağı 
|soyadı= Matiyasevich 
|ad= Yuri V. 
|yazarbağı= Yuri Matiyasevich 
|yıl=1999 
|bölüm= Formulas for prime numbers
|bölümurl=https://books.google.com/books?id=oLKlk5o6WroC&pg=PA13 
| editör1-ad=Serge 
| editör1-soyadı = Tabachnikov 
| editör1-bağ=Sergei Tabachnikov
|başlık= Kvant Selecta: Algebra and Analysis
|cilt= II 
|yayıncı= [[American Mathematical Society]] 
| isbn = 978-0-8218-1915-9 
|sayfalar=13-24}}</ref>

<ref name="Wright_1951">{{Akademik dergi kaynağı 
|ad=E.M. 
|soyadı= Wright 
|yazarbağı=E. M. Wright 
|başlık=A prime-representing function
|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1951-11_58_9/page/616
|dergi=[[American Mathematical Monthly]] 
|cilt=58 
|sayı=9 
|yıl=1951 
|sayfalar=616-618|jstor=2306356 
|doi= 10.2307/2306356}}</ref>

<ref name="Silva_2014">{{dergi kaynağı 
| soyadı1 = Oliveira e Silva 
| ad1 = Tomás 
| soyadı2 = Herzog 
| ad2 = Siegfried 
| soyadı3 = Pardi 
| ad3 = Silvio 
|doi= 10.1090/S0025-5718-2013-02787-1 
| sayı = 288 
| dergi = [[Mathematics of Computation]]
| mr = 3194140 
| sayfalar =2033-2060| başlık = Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to <math>4\cdot10^{18}</math> 
| cilt = 83 
| yıl = 2014
|  }}</ref>

<ref name="Ramare_1995">{{dergi kaynağı 
| soyadı = Ramaré 
| ad = Olivier 
| sayı = 4 
| dergi = Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa 
| mr = 1375315 
| sayfalar =645-706| başlık = On Šnirel'man's constant 
| url = https://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1995_4_22_4_645_0 
| cilt = 22 
| yıl = 1995 
| erişim-tarihi = 23 Ocak 2018
| arşiv-tarihi = 9 Şubat 2022 
| arşiv-url = https://web.archive.org/web/20220209175544/http://www.numdam.org/item/?id=ASNSP_1995_4_22_4_645_0 
|ölüurl=evet}}</ref>

<ref name="Rassias_2017">{{kitap kaynağı 
| soyadı = Rassias 
| ad = Michael Th. 
|doi= 10.1007/978-3-319-57914-6 
| isbn = 978-3-319-57912-2 
|yer= Cham 
| mr = 3674356 
| sayfa = vii 
| yayıncı = Springer 
| başlık = Goldbach's Problem: Selected Topics 
| url = https://books.google.com/books?id=ibwpDwAAQBAJ&pg=PP6 
| yıl = 2017}}</ref>

<ref name="Ogilvy_1988">{{Kitap kaynağı 
| soyadı1 = Ogilvy 
| ad1 = C.S. 
| yazarbağı1 = C. Stanley Ogilvy 
| soyadı2 = Anderson 
| ad2 = J.T. 
| isbn = 978-0-486-25778-5 
|sayfalar=29-35|yayıncı= Dover Publications Inc. 
|başlık= Excursions in Number Theory 
| url = https://books.google.com/books?id=efbaDLlTXvMC&pg=PA29 
|yıl= 1988}}</ref>

<ref name="mtb-invitation">{{Kitap kaynağı
|başlık=An Invitation to Modern Number Theory
|ad1=Steven J.
|soyadı1=Miller
|ad2=Ramin
|soyadı2=Takloo-Bighash
|yayıncı=Princeton University Press
|yıl=2006
|isbn=978-0-691-12060-7
|sayfalar=43-44|url=https://books.google.com/books?id=kLz4z8iwKiwC&pg=PA43}}</ref>

<ref name="Sautoy_2011">{{Kitap kaynağı
|başlık=The Number Mysteries: A Mathematical Odyssey through Everyday Life
|ad=Marcus
|soyadı=du Sautoy
|yazarbağı=Marcus du Sautoy
|yayıncı=St. Martin's Press
|yıl=2011
|isbn=978-0-230-12028-0
|sayfalar=50-52|bölüm=What are the odds that your telephone number is prime?
|bölümurl=https://books.google.com/books?id=snaUbkIb8SEC&pg=PA50}}</ref>

<ref name="Gelfand_2003">{{Kitap kaynağı
|başlık=Algebra
|ad1=I.M.
|soyadı1=Gelfand
|yazarbağı1=Israel Gelfand
|ad2=Alexander
|soyadı2=Shen
|yayıncı=Springer
|yıl=2003
|isbn=978-0-8176-3677-7
|sayfa=37
|url=https://books.google.com/books?id=Z9z7iliyFD0C&pg=PA37}}</ref>

<ref name="Mollin_1997">{{Kitap kaynağı
|başlık=Fundamental Number Theory with Applications
|seri=Discrete Mathematics and Its Applications
|ad=Richard A.
|soyadı=Mollin
|yayıncı=CRC Press
|yıl=1997
|isbn=978-0-8493-3987-5
|sayfa=76
|url=https://books.google.com/books?id=Fsaa3MUUQYkC&pg=PA76}}</ref>

<ref name="Green_2008">{{Akademik dergi kaynağı
|ad1=Ben
|soyadı1=Green
|yazarbağı1=Ben J. Green
|ad2=Terence
|soyadı2=Tao
|yazarbağı2=Terence Tao
|başlık=The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions
|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_2008-03_167_2/page/481
|dergi=[[Annals of Mathematics]]
|cilt=167
|sayı=2
|yıl=2008
|sayfalar=481-547|doi=10.4007/annals.2008.167.481
|arxiv=math.NT/0404188
|s2cid=1883951}}</ref>

<ref name="Hua_2009">{{Kitap kaynağı
|başlık=Additive Theory of Prime Numbers
|soyadı1=Hua
|ad1=L.K.
|yayıncı=American Mathematical Society
|yıl=2009
|isbn=978-0-8218-4942-2
|seri=Translations of Mathematical Monographs
|cilt=13
|yer=Providence, RI
|sayfalar=176-177|mr=0194404
|oclc=824812353
|özgünyıl=1965}}</ref>

<ref name="Chamberland_2015">{{Kitap kaynağı
|başlık=Single Digits: In Praise of Small Numbers
|ad=Marc
|soyadı=Chamberland
|yayıncı=Princeton University Press
|yıl=2015
|isbn=978-1-4008-6569-7
|bölüm=The Heegner numbers
|sayfalar=213-215|bölümurl=https://books.google.com/books?id=n9iqBwAAQBAJ&pg=PA213}}</ref>

<ref name="guy-a1">{{Kitap kaynağı
|başlık=Unsolved Problems in Number Theory
|seri=Problem Books in Mathematics
|basım=3.3ad=Richard
|soyadı=Guy
|yazarbağı=Richard K. Guy
|yayıncı=Springer
|yıl=2013
|isbn=978-0-387-26677-0
|sayfalar=7-10|bölümurl=https://books.google.com/books?id=1BnoBwAAQBAJ&pg=PA7
|bölüm=A1 Prime values of quadratic functions}}</ref>

<ref name="Patterson_1988">{{Kitap kaynağı 
|soyadı= Patterson 
|ad= S.J. 
|doi= 10.1017/CBO9780511623707 
| isbn = 978-0-521-33535-5 
| mr = 933558 
|sayfa= 1 
|yayıncı= Cambridge University Press, Cambridge |seri= Cambridge Studies in Advanced Mathematics 
|başlık= An introduction to the theory of the Riemann zeta-function 
| url = https://books.google.com/books?id=IdHLCgAAQBAJ&pg=PA1 
|cilt= 14 
|yıl= 1988 }}</ref>

<ref name="Borwein_2008">{{Kitap kaynağı 
| soyadı1 = Borwein 
| ad1 = Peter 
| yazarbağı1 = Peter Borwein
| soyadı2 = Choi 
| ad2 = Stephen 
| soyadı3 = Rooney 
| ad3 = Brendan 
| soyadı4 = Weirathmueller
| ad4 = Andrea 
|doi= 10.1007/978-0-387-72126-2
| isbn = 978-0-387-72125-5 
|yer= New York 
| mr = 2463715 
|sayfalar=10-11|yayıncı= Springer 
|seri= CMS Matematik Kitapları/SMC Mathématiques Ouvrages 
|başlık= Riemann hipotezi: Aficionado ve virtüöz için bir kaynak 
| url = https://books.google.com/books?id=Qm1aZA-UwX4C&pg=PA10 
|yıl= 2008 }}</ref>

<ref name="Shahriari_2017">{{Kitap kaynağı
|başlık=Algebra in Action: A Course in Groups, Rings, and Fields
|cilt=27
|seri=Pure and Applied Undergraduate Texts
|ad=Shahriar
|soyadı=Shahriari
|yazarbağı= Shahriar Shahriari 
|yayıncı=American Mathematical Society
|yıl=2017
|isbn=978-1-4704-2849-5
|sayfalar=20-21|url=https://books.google.com/books?id=GJwxDwAAQBAJ&pg=PA20}}</ref>

<ref name="Erickson_2016">{{Kitap kaynağı 
| soyadı1 = Erickson 
| ad1 = Marty 
| soyadı2 = Vazzana 
| ad2 = Anthony 
| soyadı3 = Garth 
| ad3 = David 
|basım=2.2 isbn = 978-1-4987-1749-6 
| mr = 3468748 
|sayfa= 200 
|yayıncı= CRC Press
|yer= Boca Raton, FL
|seri= Textbooks in Mathematics 
|başlık= Introduction to Number Theory
| url = https://books.google.com/books?id=QpLwCgAAQBAJ&pg=PA200 
|yıl= 2016}}</ref>

<ref name="Koch_1997">{{Kitap kaynağı 
|soyadı= Koch 
|ad= H. 
|doi= 10.1007/978-3-642-58095-6 
| isbn = 978-3-540-63003-6 
| mr = 1474965 
|sayfa= 136 
|yayıncı= Springer-Verlag 
|yer= Berlin 
|başlık= Algebraic Number Theory 
| url = https://books.google.com/books?id=wt1sCQAAQBAJ&pg=PA136 
|yıl= 1997
| citeseerx = 10.1.1.309.8812 }}</ref>

<ref name="Lauritzen_2003">{{Kitap kaynağı 
|soyadı= Lauritzen 
|ad= Niels 
|doi= 10.1017/CBO9780511804229 
| isbn = 978-0-521-53410-9 
|yer= Cambridge 
| mr = 2014325 
|sayfa= 127 
|yayıncı= Cambridge University Press 
|başlık= Concrete Abstract Algebra: From numbers to Gröbner bases 
| url = https://books.google.com/books?id=BdAbcje-TZUC&pg=PA127 
|yıl= 2003 }}</ref>

<ref name="Eisenbud_1995">{{Kitap kaynağı
| soyadı1=Eisenbud 
| ad1=David 
| yazarbağı1= David Eisenbud 
|başlık=Commutative Algebra 
|yayıncı=Springer-Verlag 
|yer=Berlin; New York 
|seri=Graduate Texts in Mathematics 
| isbn=978-0-387-94268-1
| mr=1322960
|yıl=1995
|cilt=150 
|yer=Section 3.3
|doi=10.1007/978-1-4612-5350-1 }}</ref>

<ref name="Shafarevich_2013">{{Kitap kaynağı 
|soyadı= Shafarevich 
|ad= Igor R. 
|yazarbağı= Igor Shafarevich 
|doi= 10.1007/978-3-642-38010-5 
|basım=3.3 isbn = 978-3-642-38009-9 
| mr = 3100288 
|yayıncı= Springer, Heidelberg 
|başlık= Basic Algebraic Geometry 2: Schemes and Complex Manifolds 
|yıl= 2013
|bölüm= Definition of <math>\operatorname{Spec} A</math> 
|sayfa= 5 
|bölümurl= https://books.google.com/books?id=zDW8BAAAQBAJ&pg=PA5}}</ref>

<ref name="Neukirch_1999">{{Kitap kaynağı
|soyadı= Neukirch
|ad= Jürgen 
|yazarbağı= Jürgen Neukirch
|doi= 10.1007/978-3-662-03983-0 
| isbn = 978-3-540-65399-8
|yer= Berlin
| mr = 1697859
|yayıncı= Springer-Verlag 
|seri= Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] 
|başlık= Algebraic Number Theory
|cilt= 322 
|yıl= 1999 
|yer= Section I.8, p. 50}}</ref>

<ref name="Stevenhagen_1996">{{Akademik dergi kaynağı 
| soyadı1 = Stevenhagen 
| ad1 = P. 
| soyadı2 = Lenstra 
| ad2 = H.W. Jr. 
| yazarbağı2 = Hendrik Lenstra 
|doi= 10.1007/BF03027290 
|sayı= 2 
|dergi= [[The Mathematical Intelligencer]] 
| mr = 1395088
|sayfalar=26-37|başlık= Chebotarëv and his density theorem
| url = https://archive.org/details/sim_mathematical-intelligencer_spring-1996_18_2/page/26
|cilt= 18
|yıl= 1996
| citeseerx = 10.1.1.116.9409
| s2cid = 14089091 }}</ref>

}}

{{Sayılar teorisi}}

{{Otorite kontrolü}}

[[Kategori:Asal sayılar| ]]
[[Kategori:Matematik terimleri]]