Bölme sayfasının kaynağını görüntüle

{{hakkında|bölme işlemi|Tam sayıların kalansız bölünmesi ile ilgili kurallar|Bölünebilme kuralları}}

[[Dosya:Divide20by4.svg|küçükresim|20 / 4 = 5 işleminin elmalarla gösterimi. Sözlü şekilde "20 bölü dört eşittir beş." olarak ifade edilir.]]

'''Bölme''', aritmetiğin temelini oluşturan dört ana işlemden biri olarak kabul edilir. Diğer üç ana işlem ise [[toplama]], [[çıkarma]] ve [[çarpma]] olarak sıralanır. İşlem sırasında bölünen miktar '''''bölünen''''' olarak adlandırılırken, bu miktarın bölündüğü sayıya '''''bölen''''' denir ve işlemin sonucunda elde edilen değer ''[[bölüm]]'' olarak tanımlanır.

Temel düzeyde, iki [[doğal sayı]]nın bölünme işlemi, diğer olası yorumlara ek olarak, bir sayının başka bir sayı içerisinde ne sıklıkla yer aldığının hesaplanmasını içeren bir süreç olarak ele alınabilir.<ref>{{kitap kaynağı|soyadı1=Blake|ad1=A. G.|başlık=Arithmetic|tarih=1887|yayıncı=[[Alexander Thom (almanac editor)|Alexander Thom & Company]]|yer=[[Dublin|Dublin, Ireland]]}}</ref>{{rp|7}}  Örnek vermek gerekirse, 20 elma dört birey arasında eşit biçimde dağıtıldığında, her biri 5'er elma alır (ilgili görsel incelenebilir). Ancak bu durumda, tekrarlanan sayı veya içinde yer alan sayı (bölen), [[tam sayı]] olmayabilir.

[[Kalanlı bölme]] veya Öklid bölmesi, iki [[doğal sayı]] arasında gerçekleştirilen ve birinci sayının içinde ikinci sayının tamamıyla yer aldığı defaların sayısını ifade eden tam sayı bir ''bölüm'' ile, bölüm hesaplaması sırasında birinci sayının bir kısmının ikinci sayının büyüklüğü kadar daha fazla tahsis edilemediği için arta kalan ''kalan''ı içerir. Mesela, 21 elma dört kişi arasında paylaştırıldığında, her bir birey yine 5 elma alır ve bir elma artar.

Bölme işleminin sürekli olarak bir sayı üretmesi ve bir tam sayı bölümü ile bir kalan vermemesi için, doğal sayıların [[rasyonel sayı]]lar veya [[reel sayı]]lar ile genişletilmesi gereklidir. Bu genişletilmiş [[sayı sistemi|sayı sistemlerinde]], bölme, çarpma işleminin tersi olarak işlev görür; yani {{math|''a'' {{=}} ''c'' / ''b''}} ifadesi, {{math|''a'' × ''b'' {{=}} ''c''}} olarak değerlendirilir ({{math|''b''}} değerinin sıfır olmadığı varsayımı altında.) Eğer {{math|1=''b'' = 0}} ise, bu durum [[sıfıra bölme]] olarak adlandırılır ve tanımı mevcut değildir.{{efn|Sıfıra bölme, reel sayıların [[genişletilmiş reel sayı doğrusu]] veya [[projektif olarak genişletilmiş reel sayı doğrusu]] ile genişletilmesi, ya da sıfıra yaklaşan sayılarla gerçekleştirilen bölüm işlemlerinin limitleri gibi bazı özel durumlarda tanımlanabilir. Örnek olarak: {{math|lim<sub>''x''→0</sub> {{sfrac|sin ''x''|''x''}} {{=}} 1.}}<ref name="mwdiv" /><ref name="db0">{{MathWorld|id=DivisionbyZero|title=Division by Zero}}</ref>}}<ref>{{kitap kaynağı|soyadı1=Derbyshire|ad1=John|başlık=Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics|url=https://archive.org/details/primeobsessionbe0000john|tarih=2004|yayıncı=[[Penguin Books]]|yer=[[New York]]|isbn=978-0-452-28525-5}}</ref>{{rp|246}} 21 elmalı durumda ise, her birey 5 elma ve bir çeyrek elma alır, bu şekilde hiç artan kalmaz.

Matematiksel yapıların tanımlanmasıyla ilgili çeşitli yollar içinde, farklı [[cebirsel yapı]]lar iki tür bölme işlemine ev sahipliği yapar. Öklid bölmesi (kalanlı bölme) içeren yapılar, [[Öklid bölgesi]] olarak adlandırılır ve bu yapılar arasında, tek [[belirsiz (değişken)|belirsiz]] içeren [[polinom halkası]]lar yer alır; bu halkalar, tek değişkenli formüllerle çarpma ve toplama işlemlerini tanımlar. Sıfır olmayan tüm elemanlarla (tek sonuç veren) bölme işleminin tanımlandığı yapılar, [[alan (matematik)|alanlar]] ve [[bölme halkası]] olarak bilinir. Bir [[halka (matematik)|halka]]da ise bölme işlemi her zaman mümkün olan elemanlar [[birim (halka teorisi)|birimler]] olarak adlandırılır (örneğin, tam sayılar halkasındaki 1 ve -1 gibi). Ayrıca, bölme işleminin cebirsel yapılar bağlamında başka bir genelleştirmesi [[bölüm grubu]] şeklindedir; bu yapıda "bölme" işleminin sonucu bir sayı yerine bir grup olarak karşımıza çıkar.

== Giriş ==
Bölme işlemi, bölme ve bölüntü kavramları çerçevesinde en temel biçimde ele alınabilir: Bölme perspektifinden, {{math|20 / 5}} ifadesi, 20 sayısına erişmek için eklenmesi gereken 5'lerin sayısını temsil eder. Bölüntü perspektifinden ise, {{math|20 / 5}} ifadesi, 20 birimlik bir setin bölündüğü beş parçanın her birinin büyüklüğünü ifade eder. Örneğin, 20 elma, dört elmadan oluşan beş gruba ayrılır; bu durum "yirmi bölü beş dört eder" şeklinde ifade edilir. Bu durum, {{math|1=20 / 5 = 4}} veya {{math|1={{sfrac|20|5}} = 4}} şeklinde gösterilir.<ref name="mwdiv">{{MathWorld|id=Division|title=Bölme}}</ref> Bu örnekte, 20 bölünen olarak, 5 bölen olarak ve 4 bölüm olarak tanımlanır.

Diğer temel matematik işlemlerinden farklı olarak, doğal sayıların bölünmesi esnasında, bölünen sayının tam bölünememesi sonucunda bazen bir [[kalan]] meydana gelir; mesela, {{math|10 / 3}} işlemi sonucunda 1 kalan kalır, çünkü 10 sayısı 3'ün bir katı değildir. Bu tür durumlarda kalan, bölümün [[kesirli kısım]]ına eklenebilir, bu nedenle {{math|10 / 3}} işlemi {{math|{{sfrac|3|1|3}}}} veya {{math|3.33...}} olarak ifade edilebilir. Ancak, [[tam sayı]] bölmesi bağlamında, kesirli kısım olmaksızın, kalan genellikle ayrı olarak tutulur (veya nadiren atılır veya [[yuvarlama|yuvarlanır]]).<ref name="mwintdiv">{{MathWorld|id=TamSayıBölmesi|title=Tam Sayı Bölmesi}}</ref> Kalanın kesir olarak değerlendirildiği durumlar, bir [[rasyonel sayı]] oluşumuna neden olur. Tam sayıların bölünme işlemlerinin tüm potansiyel sonuçlarını içerecek şekilde genişletilmesiyle tüm rasyonel sayılar kümesi oluşturulur.

Çarpma ve toplama işlemlerinin tersine, bölme işlemi [[değişme özelliği]]ne sahip değildir; bu, {{math|''a'' / ''b''}} ifadesinin her durumda {{math|''b'' / ''a''}} ile eşit olmayacağı anlamına gelir.<ref>http://www.mathwords.com/c/commutative.htm {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20181028172101/http://www.mathwords.com/c/commutative.htm |tarih=28 Ekim 2018 }} 23 Ekim 2018 tarihinde alındı</ref> Ayrıca, bölme işlemi genel olarak [[Birleşme özelliği (ikili işlemler)|birleşimsel]] de değildir, yani birden fazla bölme işlemi gerçekleştirildiğinde, işlemlerin uygulama sırası sonucu etkileyebilir.<ref>http://www.mathwords.com/a/associative_operation.htm {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20181028042107/http://mathwords.com/a/associative_operation.htm |tarih=28 Ekim 2018 }} 23 Ekim 2018 tarihinde alındı</ref> Örnek vermek gerekirse, {{math|(24 / 6) / 2 {{=}} 2}} sonucu elde edilirken, {{math|24 / (6 / 2) {{=}} 8}} sonucu elde edilir (parantez kullanımı, parantez içindeki işlemlerin dışındakilerden önce yapıldığını belirtir).

Bölme işlemi, geleneksel olarak [[Birleşme özelliği (ikili işlemler)|sol-birleşimsel]] niteliktedir. Bu bağlamda, ardışık bölme işlemleri söz konusu olduğunda, hesaplama işleminin sırası soldan sağa doğru yapılır:<ref name="Order of arithmetic operations">George Mark Bergman: [https://math.berkeley.edu/~gbergman/misc/numbers/ord_ops.html Order of arithmetic operations] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20170305004813/https://math.berkeley.edu/~gbergman/misc/numbers/ord_ops.html |tarih=5 Mart 2017 }}</ref><ref name="The Order of Operations">Education Place: [http://eduplace.com/math/mathsteps/4/a/index.html The Order of Operations] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20170608144614/http://eduplace.com/math/mathsteps/4/a/index.html |tarih=8 Haziran 2017 }}</ref>
: <math>a / b / c = (a / b) / c = a / (b \times c) \;\ne\; a/(b/c)= (a\times c)/b.</math>

Ayrıca, bölme işlemi toplama ve çıkarma üzerinde [[Dağılma özelliği|sağ-dağılma]] özelliği gösterir, bu,
: <math>\frac{a \pm b}{c} = (a \pm b) / c = (a/c)\pm (b/c) =\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}.</math> şeklinde ifade edilebilir.

[[Çarpma]] işlemi için de benzer bir durum söz konusudur; <math>(a + b) \times c = a \times c + b \times c</math> şeklinde ifade edilir. Buna karşın, bölme işlemi [[Dağılma özelliği|sol-dağılma]] özelliğine sahip ''değildir'',
: <math>\frac{a}{b + c} = a / (b + c) ;\ne; (a/b) + (a/c) = \frac{ac+ab}{bc}.</math> Mesela, <math>\frac{12}{2+4} = \frac{12}{6} = 2</math> örneğinde olduğu gibi, fakat <math>\frac{12}{2} + \frac{12}{4} = 6+3 = 9</math> durumunda sonuçlar farklıdır.

Çarpma işlemi, hem sol-dağılma hem de sağ-dağılma özelliğine sahiptir ve bu nedenle [[Dağılma özelliği|dağılma]] özelliği gösterir.

== Notasyon ==
{{further|Bölme işareti}}
[[Dosya:Skjermbilete 2012-11-03 kl. 02.48.36.png|küçükresim|Artı ve eksiler. «Næringsoppgave 1» adlı resmi Norveç ticaret beyanı formundan bir alıntıda eksi işareti alternatifi olarak kullanılan bir [[obelus]].]]
Matematikte bölme işlemi, ''bölünen'' sayının ''bölen'' sayının üzerine yazılması ve aralarında, ayrıca [[kesir çubuğu]] olarak da bilinen yatay bir çizgi bulunması şeklinde gösterilir. Örneğin, "''a'' bölü ''b''" ifadesi şu şekilde yazılabilir:
:<math>\frac ab</math>

Bu yöntem, bölme işleminin tanımlanmasında, bilgisayar [[programlama dili]] çoğunluğunda tercih edilen yaygın bir yöntemdir, zira bu, basit bir [[ASCII]] karakter dizisi olarak rahatlıkla yazılabilir. (Ayrıca, bu gösterim [[soyut cebir]] alanında ''bölüm nesneleri'' için kullanılan tek yöntemdir.) [[MATLAB]] ve [[GNU Octave]] gibi bazı [[matematiksel yazılım]]lar, işlenenlerin sırasını tersine çevirerek, bölme operatörü olarak [[ters eğik çizgi]] kullanılmasına olanak tanır:
:<math>b\backslash a</math>

Bu iki biçim arasındaki bir tipografik varyasyon olarak, bir [[eğik çizgi]] (kesir çizgisi) kullanılır, fakat bu durumda bölünen yukarıya, bölen ise aşağıya yerleştirilir:
:<math>{}^{a}\!/{}_{b}</math>

Bu gösterim şekillerinden her biri, bir [[kesir]]i ifade etmek için kullanılabilir. Bir kesir, bölünen ve bölenin her ikisi de [[tam sayı]] olan ve bölme işleminin daha ileri değerlendirilmeye ihtiyaç duymadığı bir bölme ifadesidir (bunlar genellikle ''pay'' ve ''payda'' olarak adlandırılır). Bölme işlemini göstermenin başka bir yolu ise, özellikle aritmetikte yaygın olarak kullanılan [[bölme işareti]] (÷, [[obelus]] olarak da adlandırılır) kullanmaktır:
:<math>a \div b</math>

Bu gösterim şekli, genellikle yalnızca ilkokul matematiğinde nadir olarak karşımıza çıkar. [[ISO 80000-2]]-9.6, bu işaretin kullanılmamasını önermektedir. Ayrıca, bu bölme işareti, bölme işleminin kendisini temsil etmek amacıyla da kullanılır; örneğin bir [[hesap makinesi]]nin tuşu üzerinde bir etiket olarak. Obelus sembolü, İsviçreli matematikçi [[Johann Rahn]] tarafından 1659 yılında ''Teutsche Algebra'' isimli çalışmasında ilk kez tanıtılmıştır.<ref name="Cajori">{{kitap kaynağı|author=Cajori, Florian|başlık=A History of Mathematical Notations|url=https://archive.org/details/b29980343_0002|yayıncı=Open Court Pub. Co.|yıl=1929}}</ref>{{rp|211}} ÷ simgesi, bazı Avrupa ülkelerinde çıkarma işareti olarak kullanıldığı için, bu kullanım yanılgılara yol açabilir.<ref>{{kitap kaynağı |bölümurl=https://www.unicode.org/versions/Unicode10.0.0/ch06.pdf#G7935 | sayfa=280, Obelus | kısım = 6. Writing Systems and Punctuation | yayıncı= Unicode Consortium | başlık = The Unicode® Standard: Version 10.0 – Core Specification | tarih= June 2017}}</ref>

Bazı [[İngilizce]] konuşulmayan ülkelerde bölme işlemi için iki nokta üst üste işareti kullanılmaktadır:<ref>{{kitap kaynağı|başlık=Mathematics for Teachers: An Interactive Approach for Grades K–8|sayfa=126|author=Thomas Sonnabend|yayıncı=Brooks/Cole, Cengage Learning (Charles Van Wagner)|yıl=2010|isbn=978-0-495-56166-8}}</ref>

:<math>a : b</math>

Bu gösterim, [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] tarafından 1684 yılında yayımlanan ''Acta eruditorum'' isimli çalışmasında ilk kez kullanılmıştır.<ref name="Cajori" />{{rp|295}} Leibniz, oran ve bölme işlemleri için farklı semboller kullanılmasına karşıydı. Ancak, İngilizce dil kullanımında, [[İki nokta|iki nokta üst üste]] işareti yalnızca [[oran]] gibi ilişkili bir kavramı ifade etmek amacıyla kullanılmaktadır.

19. yüzyıldan itibaren, ABD'deki ders kitaplarında, özellikle [[uzun bölme]] konuları ele alınırken, ''a''nın ''b''ye bölünmesini belirtmek için <math>b)a</math> veya <math>b \overline{)a}</math> biçimleri tercih edilmiştir. Bu notasyonun tarihçesi tam olarak belirgin değildir, zira zaman içinde bir evrim sürecinden geçmiştir.<ref name="Smith">{{kitap kaynağı|başlık=History Of Mathematics Vol II|url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.201939|author=Smith, David Eugene|yayıncı=Ginn And Company|yıl=1925}}</ref>

== Hesaplama ==
{{Ana|Uzun bölme|Bölme algoritması}}

=== Manuel yöntemler ===
Bölme işlemi, sıklıkla bir nesne grubunun, örneğin bir grup şekerlemenin, eşit kısımlara "bölünmesi" fikri ile öğretilir. Her turda her bir bölüme birden fazla nesne atanması, bölünen miktarın bölenin katları kadar azaltılarak tekrarlanan bir süreç olan '[[Parçalama (bölme)|parçalama]]'{{snd}} yöntemine ilham verir. Bu yöntemde bölünen, bölenin çeşitli katları çıkarılarak azaltılır.

Bu süreç, belirli bir aşamada kısmi kalana göre daha fazla katın çıkarılmasına olanak tanıyarak, çift yönlü parçalama gibi daha esnek yöntemlerin geliştirilmesine de imkan sağlar.

İki tam sayının bölünmesi, eğer bölen küçükse [[kısa bölme]] yöntemi, eğer bölen büyükse [[uzun bölme]] yöntemi kullanılarak daha sistematik ve verimli bir biçimde gerçekleştirilebilir. Bölünen sayıda bir [[kesir]]li kısım mevcut ise (bu, bir [[ondalık kesir]] olarak tanımlanabilir), bu işlem birler basamağından daha ileriye, istenen kadar devam ettirilebilir. Bölenin kesirli bir kısmı varsa, sorun her iki sayıda da ondalık noktayı sağa taşıyarak yeniden formüle edilebilir, böylece bölenin kesir içermemesi sağlanır; bu da sorunun daha kolay çözülmesine olanak tanır (örn., 10/2.5 = 100/25 = 4).

Bölme işlemi bir [[abaküs]] kullanılarak da yapılabilir.<ref>{{Kitap kaynağı|soyadı=Kojima|ad=Takashi|url=https://books.google.com/books?id=tidyAgAAQBAJ&pg=PA11|başlık=Advanced Abacus: Theory and Practice|tarih=9 Temmuz 2012|yayıncı=Tuttle Publishing|isbn=978-1-4629-0365-8|dil=İngilizce}}</ref>

[[Matematiksel tablolar|Logaritma tabloları]], iki sayının logaritmalarının çıkarılması ve sonucun [[ters logaritma]]sının bulunması süreci ile iki sayının bölünmesi için kullanılabilir.

[[Kaydırma cetveli]], bölme işlemi için C ölçeği üzerindeki bölen ile D ölçeği üzerindeki bölüneni hizalayarak kullanılabilir. Bölüm, C ölçeğinin sol başlangıç noktası ile hizalanmış D ölçeği üzerinde yer alır. Ancak, kullanıcının ondalık noktasının konumunu zihinsel olarak izlemesi gerekir.

===Bilgisayar yöntemleri===
Günümüz [[hesap makinesi]]leri ve [[bilgisayar]]ları, uzun bölme işlemine benzer yöntemlerle ya da daha hızlı tekniklerle bölme işlemini gerçekleştirir.

[[Modüler aritmetik]]te (bir asal sayıya göre modülo) ve [[reel sayılar]] için, sıfır olmayan sayılar bir [[modüler çarpmaya göre ters|çarpmaya göre ters]] özelliğine sahiptir. Bu durumlarda, {{mvar|x}} ile bölme, {{mvar|x}}'in çarpmaya göre tersi ile çarpım işlemi şeklinde gerçekleştirilebilir. Bu teknik sıklıkla bilgisayar aritmetiğinde tercih edilen daha hızlı yöntemler arasında yer alır.

== Farklı bağlamlarda bölme ==
=== Öklid bölmesi ===
{{Ana|Öklid bölmesi}}
Öklid bölmesi, tam sayıların bölünmesi sürecinin tipik sonuçlarını matematiksel olarak formüle eder. Bu formülasyon, ''b'' ≠ 0 olmak üzere, ''a'' ''bölünen'' ve ''b'' ''bölen'' iki tam sayı verildiğinde, ''q'' ''bölüm'' ve ''r'' ''kalan'' olacak şekilde, [[Biricik|eşsiz]] tam sayıların var olduğunu öne sürer. İşlem sonucunda ''a'' = ''bq'' + ''r'' eşitliği sağlanır ve 0 ≤ ''r'' < ''|b|'' koşulu yerine getirilir, burada ''|b|'' ifadesi ''b'' sayısının [[mutlak değer]]ini gösterir.

=== Tam sayılarla bölme ===
Tam sayılar, bölme işlemi altında [[Kapalılık (matematik)|kapalı]] bir yapı sergilemezler. Sıfıra bölme işlemi tanımsız olduğu gibi, bölüm sadece bölünenin bölenin tam sayı katı olması durumunda tam sayı değerindedir. Örneğin, 26 sayısının 11 ile bölünmesi tam sayı bir sonuç üretmez. Bu tür durumlarda beş farklı yöntemden biri tercih edilebilir:

# 26'nın 11'e bölünemeyeceğini ifade etmek; bu durumda bölme işlemi bir [[kısmi fonksiyon]] olarak ele alınır.
# Sonucu [[Kayan nokta|kayan noktalı sayı]] formunda yaklaşık bir değer olarak sunmak; bu yöntem genellikle [[Sayısal analiz|sayısal hesaplama]] süreçlerinde benimsenir.
# Sonucu 26'nın 11'e bölünmesiyle elde edilen <math>\tfrac{26}{11}</math> şeklinde bir [[kesir]] olarak veya alternatif olarak <math>\tfrac{26}{11} = 2 \tfrac 4{11}.</math> şeklinde bir [[bileşik sayı]] olarak vermek. Bu kesirler genellikle sadeleştirilir; örneğin, 52'nin 22'ye bölünmesi sonucu da <math>\tfrac{26}{11}</math> şeklindedir. Bu sadeleştirme işlemi, [[en büyük ortak bölen]]in çıkarılmasıyla yapılır.
# Sonucu bir tam sayı ''[[bölüm]]'' ve ''[[kalan]]'' olarak vermek, örneğin <math>\tfrac{26}{11} = 2 \mbox{ kalan } 4</math>. Bu durum, iki tam sayı sonucu ile gerçekleştirilen bölme, temelinde [[Öklid algoritması]] bulunan ''[[Kalanlı bölme|Öklid bölmesi]]'' olarak adlandırılır.
# Yalnızca tam sayı bölümü cevap olarak sunmak, yani <math>\tfrac{26}{11} = 2</math>; bu durum, 2 veya 3'teki sayıların ''[[taban fonksiyonu]]'' ile işlenmesidir. Bu yaklaşım bazen ''tam sayı bölmesi'' olarak tanımlanır ve "//" işareti ile gösterilir.

Bir [[bilgisayar programı]] içerisinde tam sayılar üzerinde bölme işlemi yapılması özel bir hassasiyet gerektirir. Bazı [[programlama dili|programlama dilleri]], yukarıda belirtilen 5. örnekte olduğu gibi, tam sayı bölmesini ele alır ve sonuç olarak bir tam sayı verir. Diğer diller, örneğin [[MATLAB]] ve diğer her türlü [[Bilgisayarlı cebir sistemi]], yukarıdaki 3. örnek gibi bir rasyonel sayı olarak cevap döndürür. Bu diller, diğer durumların sonuçlarını elde etmek için fonksiyonlar sunar, bu sonuçlar doğrudan veya 3. durumun sonucundan türetilmiş olabilir.

Tam sayı bölmesi için kullanılan adlar ve semboller arasında div, /, \ ve % yer alır. Bölünen ya da bölenin negatif olduğu durumlarda tam sayı bölmesinin tanımları değişkenlik gösterir: [[yuvarlama]] ya sıfıra doğru (genellikle T-bölmesi olarak adlandırılır) ya da [[Genişletilmiş reel sayı doğrusu|−∞]]'e doğru (F-bölmesi olarak bilinir) yapılabilir; daha az yaygın olan diğer yöntemler için [[modulo işlemi]]ne bakılabilir.

[[Bölünebilme kuralları]], bir tam sayının başka bir tam sayıya tam olarak bölünüp bölünmediğini belirlemek için bazen hızlı bir şekilde kullanılabilir.

=== Rasyonel sayılar ===
İki [[rasyonel sayı]] arasında gerçekleştirilen bölme işlemi, bölenin sıfır olmaması durumunda, sonuç olarak başka bir rasyonel sayı üretir. ''p''/''q'' ve ''r''/''s'' şeklinde ifade edilen iki rasyonel sayının bölünmesi,
<math display="block">{p/q \over r/s} = {p \over q} \times {s \over r} = {ps \over qr}.</math>
biçiminde hesaplanabilir.

Bu dört değerden her biri tam sayıdır ve sadece ''p'' sıfır olabilir. Bu tanımlama, bölme işleminin [[çarpma]] işleminin tersi olmasını sağlar.

=== Reel sayılar ===
İki [[reel sayı]] arasındaki bölme işlemi, bölen sıfır olmadığında, sonuç olarak başka bir reel sayı elde edilmesini sağlar. Bu, ''a''/''b'' = ''c'' ifadesinin, yalnızca ''a'' = ''cb'' ve ''b'' ≠ 0 olduğu durumlarda geçerli olacak şekilde tanımlanmıştır.

=== Karmaşık sayılar ===
İki [[karmaşık sayı]] arasında gerçekleştirilen bölme işlemi, bölen sıfır olmadığında, paydanın eşleniği kullanılarak hesaplandığında başka bir karmaşık sayı olarak ifade edilir:
<math display="block">{p+iq \over r+is} = {(p+iq)(r-is) \over (r+is)(r-is)} = {pr+qs + i(qr-ps) \over r^2+s^2} = {pr+qs \over r^2+s^2} + i{qr-ps \over r^2+s^2}.</math>

Bu süreç, <math>r-is</math> ile çarpma ve bölme işlemleri, genellikle 'gerçekleştirme' veya [[Rasyonalizasyon (matematik)|rasyonalizasyon]] olarak tanımlanır. Bu işlemde ''p'', ''q'', ''r'', ''s'' değerleri reel sayılardır ve ''r'' ve ''s'' değerleri eşzamanlı olarak 0 olamaz.

Kutupsal forma sahip karmaşık sayıların bölünmesi, yukarıda tanımlanan yöntemden daha basit bir süreçtir:
<math display="block">{p e^{iq} \over r e^{is}} = {p e^{iq} e^{-is} \over r e^{is} e^{-is}} = {p \over r}e^{i(q - s)}. </math>

Bu durumda da, ''p'', ''q'', ''r'', ''s'' değerleri reel sayılardır ve ''r'' 0 olamaz. Bu işlemler, karmaşık sayıların bölünmesini matematiksel olarak daha ulaşılabilir kılar.

=== Polinomlar ===
Tek değişkenli [[polinom]]ların bir [[alan (matematik)|alan]] üzerinde bölünmesi işlemi formüle edilebilir. Tam sayılarla yapılan bölme işlemlerinde olduğu gibi, bu durumda da bir kalan elde edilir. Bu konuda daha fazla bilgi için [[Öklid polinom bölmesi]]ne ve el ile yapılan hesaplamalar için [[Polinom bölme|polinom uzun bölme]] veya [[sentetik bölme]] yöntemlerine başvurulabilir.

=== Matrisler ===
Matrisler arasında bir bölme işlemi formüle edilebilir. Bu işlem genellikle {{kayma|1=''A'' / ''B'' = ''AB''<sup>−1</sup>}} şeklinde tanımlanır; burada {{kayma|''B''<sup>−1</sup>}} ''B'' matrisinin [[Tersinir matris|tersini]] temsil eder. Ancak, olası karışıklıkları engellemek adına genellikle {{kayma|''AB''<sup>−1</sup>}} ifadesi açıkça yazılır. Ayrıca, [[Hadamard çarpımı (matrisler)|Hadamard çarpımı]] bağlamında tanımlanan [[eleman bazında bölme]] işlemi de uygulanabilir.

==== Sol ve sağ bölme işlemleri ====
[[Matris çarpımı]]nın [[değişme özelliği|değişmez]] olması nedeniyle, ''A'' matrisinin tersinin varlığı şartıyla, ''A'' matrisi ve ''B'' matrisi arasında bir [[sol bölme]] veya ''ters eğik çizgi ile bölme'' işlemi tanımlanabilir: {{kayma|1=''A'' \ ''B'' = ''A''<sup>−1</sup>''B''}}. Bu tanımın geçerli olması için, {{kayma|''B''<sup>−1</sup>}}'nin varlığı zorunlu değildir. Bununla birlikte, genel olarak kabul gören {{kayma|1=''A'' / ''B'' = ''AB''<sup>−1</sup>}} tanımı bu bağlamda sıklıkla ''sağ bölme'' veya ''eğik çizgi ile bölme'' olarak ifade edilir, böylece anlam karmaşası önlenir.

Sol ve sağ bölme bu şekilde tanımlandığında, {{kayma|''A'' / (''BC'')}} ifadesinin sonucu genelde {{kayma|(''A'' / ''B'') / ''C''}} ile aynı olmaz, aynı şekilde {{kayma|(''AB'') \ ''C''}} ifadesinin sonucu da {{kayma|''A'' \ (''B'' \ ''C'')}} ile aynı olmaz. Ancak, {{kayma|1=''A'' / (''BC'') = (''A'' / ''C'') / ''B''}} ve {{kayma|1=(''AB'') \ ''C'' = ''B'' \ (''A'' \ ''C'')}} eşitliklerinin geçerli olduğu durumlar bulunmaktadır.

==== Sankiters ====
{{kayma|''A''<sup>−1</sup>}} ve/veya {{kayma|''B''<sup>−1</sup>}}'nin mevcut olmaması durumlarında karşılaşılabilecek problemleri ortadan kaldırmak için, bölme işlemi [[Genelleştirilmiş ters|sankiters]] kullanılarak çarpma şeklinde de tanımlanabilir. Bu durumda, {{kayma|1=''A'' / ''B'' = ''AB''<sup>+</sup>}} ve {{kayma|1=''A'' \ ''B'' = ''A''<sup>+</sup>''B''}}, burada {{kayma|''A''<sup>+</sup>}} ve {{kayma|''B''<sup>+</sup>}} sırasıyla ''A'' ve ''B'' matrislerinin sankiterslerini belirtir.

=== Soyut cebirde ===
[[Soyut cebir]] alanında, ikili bir işlem olan ∗ (genelde çarpma olarak adlandırılır) ile tanımlanmış bir [[Magma (cebir)|magma]] içinde, ''a'' ile ''b'' arasındaki '''sol bölme''' ({{kayma|''a'' \ ''b''}} şeklinde gösterilir), {{kayma|1=''a'' ∗ ''x'' = ''b''}} denklemi için ''x'' değeri bulunarak tanımlanır, bu çözüm eğer mevcutsa ve tek ise geçerlidir. Aynı şekilde, ''b'' ile ''a'' arasındaki '''sağ bölme''' ({{kayma|''b'' / ''a''}} şeklinde gösterilir), {{kayma|1=''y'' ∗ ''a'' = ''b''}} denklemi için ''y'' değeri bulunarak tanımlanır. Bu tanım, ∗ işleminin değişme, birleşme veya birim eleman gibi özel özellikler gerektirmez. Eğer hem {{kayma|''a'' \ ''b''}} hem de {{kayma|''b'' / ''a''}} işlemleri tüm ''a'' ve ''b'' değerleri için var ise ve benzersiz ise, bu yapı bir [[quasigroup]] olarak adlandırılır. Bir quasigroupta, bu tanımlamalar doğrultusunda, bölme işlemi birim eleman veya tersinim olmaksızın dahi mümkündür.

"Sadeleşme" bağlamında "bölme", [[sadeleşme özelliği]]ni taşıyan bir eleman aracılığıyla her türlü magmada gerçekleştirilebilir. Bu durum, [[Matris (matematik)|matris]] cebirleri, [[kuaterniyon]] cebirleri ve kuazigruplar gibi örneklerde görülebilir. [[Tamlık bölgesi|Tamlık bölge]]lerde, her elemanın tersinin bulunması zorunlu olmadığı için, sadeleşme özelliğine sahip bir eleman ''a'' ile ''ab'' veya ''ca'' biçimindeki elemanlar üzerinde, sırasıyla sol veya sağ sadeleştirme yoluyla ''bölme'' işlemi uygulanabilir. Eğer bir [[halka (matematik)|halka]] sonlu ise ve her bir sıfır olmayan eleman sadeleştirilebiliyorsa, [[güvercin deliği ilkesi]]nin uygulanması sonucunda, halkanın sıfır olmayan tüm elemanlarının tersinir olduğu ve sıfır olmayan her elemanla ''bölme'' işleminin mümkün olduğu sonucuna varılır. ''Cebirlerin'' (teknik anlamıyla) bir bölme işlemine sahip olup olmadığını anlamak için, [[bölme cebiri]] konusundaki sayfaya yönlendirilirsiniz. Özellikle, [[Bott periyodisitesi]] herhangi bir [[reel sayı|gerçek]] [[normlu bölme cebiri]]nin reel sayılar '''R''', [[karmaşık sayı]]lar '''C''', [[Dördey|kuaterniyon]]lar '''H''' veya [[oktoniyon]]lar '''O''' ile [[izomorfik]] olduğunu göstermek için kullanılabilir.

=== Kalkülüs ===
İki işlevin oranının [[türev]]i, [[bölme kuralı]]na göre belirlenir:
<math display="block">{\left(\frac fg\right)}' = \frac{f'g - fg'}{g^2}.</math>

== Sıfıra bölünme ==
{{Ana|Sıfıra bölünme}}
Bir sayının [[sıfır]]a bölünmesi, çoğu matematiksel sistemde tanımsız olarak kabul edilir, çünkü sıfır ile çarpılan herhangi bir sonlu sayının [[çarpma|çarpımı]] daima sıfır sonucunu verir.<ref>http://mathworld.wolfram.com/DivisionbyZero.html {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20181023234325/http://mathworld.wolfram.com/DivisionbyZero.html |tarih=23 Ekim 2018 }} 23 Ekim 2018 tarihinde erişildi</ref> Bu tür bir ifadenin çoğu [[hesap makinesi]]ne girilmesi genellikle bir hata mesajıyla sonuçlanır. Bununla birlikte, [[sıfır halkası]] ve [[Tekerlek teorisi|tekerlekler]] gibi bazı ileri düzey matematik dallarında sıfıra bölme işlemi mümkündür.<ref>Jesper Carlström. [https://www2.math.su.se/reports/2001/11/2001-11.pdf "Sıfıra Bölme Üzerine"] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20190817102241/https://www2.math.su.se/reports/2001/11/2001-11.pdf |tarih=17 Ağustos 2019 }} 23 Ekim 2018 tarihinde erişildi</ref> Bu tür cebirlerde, bölme işlemi geleneksel tanımlardan farklı bir anlam taşır.

== Ayrıca bakınız ==
* [[İkiye bölme]]
* [[Galley bölmesi]]
* [[Ters eleman]]
* [[İşlem sırası]]
* [[Tekrar eden ondalık sayılar]]
* [[Bölme kuralı]]

== Notlar ==
{{not listesi}}

== Kaynakça ==
{{kaynakça}}

{{Otorite kontrolü}}

[[Kategori:Bölme| ]]
[[Kategori:İkili işlemler]]
[[Kategori:Matematik terimleri]]
[[Kategori:Temel aritmetik]]