Bernoulli diferansiyel denklemi sayfasının kaynağını görüntüle

{{Kaynaksız|tarih=Mayıs 2016}}
[[Matematik]]te '''Bernoulli diferansiyel denklemi''', birinci mertebeden bir [[adi diferansiyel denklemler|adi diferansiyel denklem]]in açık biçimi şöyledir:

: <math>y'+ P(x)y = Q(x)y^n\,</math>, (Denklem I)

Yukarıdaki denklemde n≠1 ve n≠0 olursa bu denkleme '''Bernoulli diferansiyel denklemi''' denir. Bu ad, [[Jakob Bernoulli]]ye ithaf olsun diye 1695 yılında konuldu. Bernoulli denklemleri özeldir. Çünkü tam çözümleri bilinir ve [[Doğrusal olmayan sistem#Doğrusal olmayan diferansiyel denklemler|doğrusal olmayan diferansiyel denklemlerdir]].

== Çözüm ==

Yukarıdaki adi diferansiyel denklemde eşitliğin her iki tarafı <math>y^n</math> ile bölünürse denklem aşağıdaki gibi olur:

: <math>\frac{y'}{y^{n}} + \frac{P(x)}{y^{n-1}} = Q(x)</math>, (Denklem II)

Burada aşağıdaki gibi bir [[değişken değiştirme]] yapılırsa;

: <math>w=\frac{1}{y^{n-1}}</math>, (Denklem III) türevi;
: <math>w'=\frac{(1-n)}{y^{n}}y'</math>, (Denklem IV) 
(Denklem III) ve (Denklem IV), (Denklem II)'de yerine konulursa;
: <math>\frac{w'}{1-n} + P(x)w = Q(x)</math>, (Denklem V) 
Bu adımda görüldüğü üzere denklem birinci mertebeden lineer diferansiyel denkleme dönüştü. Bundan sonra aşağıdaki [[integrasyon çarpanı]] kullanılarak denklem çözülebilir.
: <math>W(x)= e^{(1-n)\int P(x)dx}</math>. (Denklem VI)

== Örnek ==
Aşağıdaki Bernoulli denklemi örneğimiz olsun. 
: <math>y' - \frac{2y}{x} = -x^2y^2</math>, (Eşitlik I)
<math>y=0</math>, bir çözümdür. 
Eşitlik <math>y^2</math> ile bölünürse
:<math>y'y^{-2} - \frac{2}{x}y^{-1} = -x^2</math>, (Eşitlik II)
(Eşitlik II)'de aşağıdaki gibi bir değişken değişimi uygulanırsa;
:<math>w = \frac{1}{y}</math>, (Eşitlik III) türevi;
:<math>w' = \frac{-y'}{y^2}</math>. (Eşitlik IV)
(Eşitlik III) ve (Eşitlik IV), (Eşitlik II)'de yerine konulursa;
:<math>w' + \frac{2}{x}w = x^2</math>, (Eşitlik V)
Aşağıdaki integrasyon çarpanı kullanılırsa denklem çözülebilir;
:<math>M(x)= e^{2\int \frac{1}{x}dx} = e^{2\ln x} = x^2.</math> (Eşitlik VI)
Her iki tarafı <math>M(x)</math> ile çarpalım,
:<math>w'x^2 + 2xw = x^4,\,</math> (Eşitlik VII) 
Sol taraf <math>wx^2</math>'nin [[türev]]idir. Bu denklemde her iki tarafın integrali alınırsa;
:<math>\int (wx^2)' dx = \int x^4 dx</math> (Eşitlik VIII)
:<math>wx^2 = \frac{1}{5}x^5 + C</math> (Eşitlik IX) 
:<math>\frac{1}{y}x^2 = \frac{1}{5}x^5 + C</math> (Eşitlik X)
<math>y</math>'nin çözümü;
:<math>y = \frac{5x^2}{x^5 + C}</math> (Eşitlik XI)
Yukarıda da belirtildiği gibi <math>y=0</math> da bir çözümdür.

[[MATLAB]] kullanarak bunun doğruluğunu görebiliriz; 
<syntaxhighlight lang="matlab">
x = dsolve('Dy-2*y/x=-x^2*y^2','x')
</syntaxhighlight>
Yukarıdaki söz dizimi her iki çözümü verir;
<syntaxhighlight lang="matlab">
0
x^2/(x^5/5 + C1)
</syntaxhighlight>

Ayrıca, <math>y=0</math> hesaba katılmadan yapılan, çözümü<ref>{{Web kaynağı|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27-2*y%2Fx%3D-x^2*y^2|başlık=y'-2*y/x=-x^2*y^2|arşivurl=https://web.archive.org/web/20160308044205/http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27-2%2Ay%2Fx%3D-x%5E2%2Ay%5E2 |arşivtarihi=8 Mart 2016 }}</ref> [[Wolfram Alpha]]'da görebilirsiniz.

==Notlar==
{{kaynakça}}

[[Kategori:Adi diferansiyel denklemler]]