Bir olayın olma olasılığı sayfasının kaynağını görüntüle

{{birleştir|Olay (olasılık teorisi)}}
{{Düzenle|tarih=Aralık 2023}}
'''Olasılık yoğunluk fonksiyonu''', [[olasılık kuramı]] ve '''bir olayın olma olasılığı''' dallarında bir [[rassal değişken]] olan ''X'' için [[Reel sayılar|reel sayı]]lı sürekli fonksiyondur.

''f'' ile ifade edilir ve şu özellikleri olması gereklidir:
* [[Dosya:Polynomialdeg 3.svg|küçükresim|Örnek uzayın analitik düzlemde ifade edilmesi.]]<math>\mathbb{R}</math> üzerinde pozitif veya sıfır değerleri alır;
* <math>\mathbb{R}</math> üzerinde integral değeri bulunabilir;
* <math>\int_{\mathbb{R}}f(x)\,dx = 1</math> koşuluna uyar, yani eğri altındaki tüm alan bire eşittir.

''X''in a ve b değerleri arasındaki olasılık, yani <math>P(a < X \le b)</math> şu ifade kullanılarak hesaplanır:
:<math>P \left( a < X \le b \right)=\int_a^b f\left( x \right)\,dx</math>
Yani olasılık değeri ''f(x)'' integralini <math>P(a < X < b)</math> f(x) fonksiyonunu X=a ve X=b değerleri arasında entegrasyonu ile elde edilir.

Örneğin: 
''X'' rassal değişkeninin [4.3,7.8] aralığında olasılık şöyle bulunur:

:<math>\Pr(4.3 \leq X \leq 7.8) = \int_{4.3}^{7.8} f(x)\,dx.</math>

== Örnek uzay ve ayrık küme arasındaki bağlantı ==

Bu maddenin başlangıcında verilmiş olasılık fonksiyonu tanımın bir sürekli dağılım ile ilişkili değişkenin [''a''; ''b''] aralığı ile ilişkili çift-değerli ayrık değişkenler seti kullanılarak yapılmıştır.

Diğer bazı aralıklı rassal değişkenleri temsili, [[Dirac delta fonksiyonu]] aracılığı ile olasılığın yoğunluğun bulunması suretiyle de yapılabilir. Örneğin, bir çift-değerli her biri ½ olasılığı olan -1 ve 1 değerli bir [[rassal değişken]] ele alınsın. Bu değişkenle ilişkili olasılık yoğunluğu şöyle verilir: 
:<math>f(t) = \frac{1}{2}(\delta(t+1)+\delta(t-1)).</math>

Daha genel olarak, eğer bir ayrık değişken reel sayılar arasından 'n' tane değişik değer alınsın; o halde bunlarla ilişkili olasılık fonksiyonu şudur:

:<math>f(t) = \sum_{i=1}^nP_i\, \delta(t-x_i),</math>

Burada <math>x_1, \ldots, x_n</math> değişken ait değerler olur ve <math>P_1, \ldots, P_n</math> bu değerlerle ilişkili olasılıklardır.

Bu ifade bir ayrık değişken için istatistiksel özellikleri (örneğin [[ortalama]], [[varyans]], [[çarpıklık]], [[basıklık]]) sürekli dağılım için geliştirilmiş formülleri kullanarak hesaba başlayarak sonuçların bulunmasını sağlar.

== Matematiksel olmayan olasılık tanımı ==

Bir olasılık dağılımı için yoğunluk fonksiyonu ancak ve ancak [[yığmalı dağılım fonksiyonu]] ''F''(''x'') [[mutlak süreklilik]] gösteriyorsa mümkündür. Bu halde ''F'' için [[nerede ise her yerde]] türev bulunabilir ve ''F'' için alınan birinci türev olasılık ile yoğunluk şöyle bulunur:
:<math>\frac{d}{dx}F(x) = f(x)</math>
Eğer bir olasılık dağılım için yoğunluk bulunması mümkün ise rassal değişken için her bir nokta değer (''a'') için olasılık 0 olacaktır.

Her olasılık dağılımı için bir yoğunluk fonksiyonu bulunamaz. Başta [[ayrık rassal değişkenler]] için [[olasılık yoğunluk fonksiyonu]] yoktur. Hiçbir noktaya pozitif olasılık vermeyen, yani hiç aralık parçası olmayan [[Kantor dağılımı]] için de yoğunluk fonksiyonu bulunmaz.

Bir [[yığmalı dağılım fonksiyonu]]nun türevi ile olasılık yoğunluk fonksiyonu arasındaki ilişkinin karmaşık matematik biçimlerden biraz aranmış açıklaması [[istatistiksel fizik]] dalında geliştirilmiştir ve bu genellikle olasılık yoğunluk fonksiyonu tanımı olarak kullanılabilir. Bu tanım şöyle yapılır:

''dt'' sonsuz derece küçük bir sayı olarak alınsın. <math>X</math>in (''t'', ''t'' + ''dt'') aralığında bulunacağı <math>f(t)\,dt</math> ifadesine eşittir; yani

:<math>\Pr(t<X<t+dt) = f(t)\,dt~</math>

== Moment, beklenen değer ve varyans ==

Sürekli ''X'' rassal değişkeni için ''n''inci [[momentler|momenti]] E(''X''<sup>''n''</sup>) gösterilip şu ifade ile verilir:

:<math> E(X^n) = \int_{-\infty}^\infty x^n f_X(x)\,dx,</math>

[[Beklenen değer]] o zaman birinci moment olup şöyle verilir:

:<math>E\left(X\right) = \int_{-\infty}^{\infty}x.f(x)\,dx </math>

[[Varyans]] ise şöyle verilir:

:<math> \operatorname{var}(X) = E(X - E(X))^2 = \int_{-\infty}^\infty (x-E(X))^2 f_X(x)\,dx  </math>

Bu ifade açılırsa

:<math>V\left(X\right) = E\left(X^2\right) - \left[ E\left(X\right)\right]^2 </math>

olur.

== Çoklu değişkenlerle ilişkili olasılık fonksiyonu ==

Sürekli [[rassal değişken]]ler olan <math>X_1,\ldots,X_n</math> için, bu değişkenlerinin tümünü kapsayan [[rassal vektör]] için bir olasılık yoğunluk fonksiyonu tanımlamak mümkündür. Buna '''ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu''' adı verilir. [[vektör-değerli fonksiyon|''n'' değişkenli]] bu yoğunluk fonksiyonu matematik notasyon biçimleriyle şöyle tanımlanır. <math>X_1,\ldots,X_n</math> değişkenlerin değerleriyle tanımlanan ''n''-boyutlu uzayda bulunan herhangi bir ''D'' sahası alınsın; bu değişken setinin ''D'' sahası içine düşen bir realizasyonun bulunacağının olasılığı şöyle verilir:

:<math>\Pr \left( X_1,\ldots,X_N \isin D \right) 
 = \int_D f_{X_1,\dots,X_n}(x_1,\ldots,x_N)\,dx_1 \cdots dx_N.</math>

''i''=1, 2, …,''n'' için tek bir değişken <math>X_i</math> ile ilişkili olasılık yoğunluk fonksiyonu 
<math>f_{X_i}(x_i)</math> olarak ifade edilsin. Bu olasılık <math>X_1,\ldots,X_n</math> rassal değişkenlerle ilişkili olasılık yoğunluklarından ''n'' - 1 tane diğer değişkenlerle entegrasyonu [[kombinasyon]] suretiyle elde edilir:
:<math>f_{X_i}(x_i) = \int f(x_1,\ldots,x_n)\, dx_1 \cdots dx_{i-1}\,dx_{i+1}\cdots dx_n</math>

=== Bağımsızlık ===

Sürekli rassal değişken olan <math>X_1,\ldots,X_n</math> birbirlerinden [[Bağımsızlık|bağımsız]] olmaları için

:<math>f_{X_1,\dots,X_n}(x_1,\ldots,x_N) = f_{X_1}(x_1)\cdots f_{X_n}(x_n).</math>

koşuluna tam olarak uymaları gerekir.

Eğer ''n'' elemanlı bir rassal değişken vektörünün [[ortak olasılık dağılımı]] tek bir değişken için ''n'' değişik fonksiyona faktörize edilebilirse; yani
:<math>f_{X_1,\dots,X_n}(x_1,\ldots,x_n) = f_1(x_1)\cdots f_n(x_n),</math>
ise, o halde, ''n'' değişkenin hepsi birbirlerinden [[bağımsızlık]] gösteriyor demektir. Bu halde her bir fonksiyon için marjinal olasılık fonksiyonu şöyle verilir:

:<math>f_{X_i}(x_i) = \frac{f_i(y_i)}{\int f_i(x)\,dx}.</math>

=== Örneğin ===

Çoklu boyutlu olasılık fonksiyonlarının verilen tanımını biraz daha açığa kavuşturmak için basit bir örneğin alınsın; bu iki bilinmeyenli bir rassal vektör olsun. Koordinatları <math>(X,Y)</math> olan iki boyutlu rassal vektör, <math>\vec R</math> olarak isimlendirilsin. Pozitif ''x'' ve pozitif ''y'' kuadrantları içinde <math>\vec R</math> için olasılık elde etmek şöyle
:<math>\Pr \left( X > 0, Y > 0 \right)
 = \int_0^\infty \int_0^\infty f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy.</math>
olur.

== Kaynakça ==
* {{Kitap kaynağı
 | son = de Laplace
 | ilk = Pierre Simon
 | yıl = 1812
 | başlık = Théorie Analytique des Probabilités| url = https://archive.org/details/thorieanalytiqu00laplgoog
 }}
::fr: İlk defa olasılık kuramı ile değişkenler hesabını bileştiren temel eser.
* {{Kitap kaynağı
 | son = Kolmogorov
 | ilk = Andrei Nikolajevich
 | yıl = 1933
 | başlık = Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung}}
::de:Olasılık kuramının ilk defa modern ölçü-teorisi temeline konulması. [[İngilizce]] tercümesi ''Foundations of the Theory of Probability'' olarak 1950de yayınlanmıştır.

[[Kategori:Olasılık teorisi]]