Black-Scholes denklemi sayfasının kaynağını görüntüle

{{Karıştırma|Black-Scholes modeli|Black-Scholes formülü}}

'''Black-Scholes denklemi''', 1973 yılında [[Fischer Black]] ve [[Myron Scholes]] tarafından yazılan makalede<ref name=BlackScholes>{{Akademik dergi kaynağı|başlık=The Pricing of Options and Corporate Liabilities|yazar1=Black, Fischer|yazar2=Scholes, Myron|dergi=Journal of Political Economy|yıl=1973|cilt=81|sayı=3|sayfalar=637-654|doi=10.1086/260062|s2cid=154552078}} [https://www.jstor.org/stable/1831029] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20240331090254/https://www.jstor.org/stable/1831029 |tarih=31 Mart 2024 }} (Black ve Scholes'un orijinal makalesi.)</ref> elde edilen [[Black-Scholes formülü]]nün kanıtında ilk defa elde edilmiş ve daha genel türev ürünleri için de uyarlanabilen bir [[Kısmi diferansiyel denklem|kısmi diferensiyel denklemdir]]. 
[[Black-Scholes formülü]]nün orijinal kanıtındaki esas fikir, opsiyon ve opsiyon dayanak varlığından oluşan bir portföy yaratmak ve bu portföyü küçük zaman aralıklarında dayanak varlığın piyasa fiyatına duyarsız hale getirmektir. Sonucunda, '''Black-Scholes denklemi''' elde edilir ve elde edilen diferansiyel denklem, değişik dönüşümler ve yerine koymalar vasıtasıyla [[ısı denklemi]]ne dönüştürülür.

==Denklemin ifadesi==
Kullanma fiyatı ''K'', vadesi ''T''  olan [[Opsiyon (finans)|Avrupa tipi bir opsiyonun]] fiyatı <math>V=V(t,S)</math>, bu opsiyonun dayanak varlığının spot fiyatı ''S'', [[Volatilite (finans)|oynaklığı]] (volatilitesi) <math> \sigma </math> ve risksiz-faiz oranı ''r'' olsun. Diyelim ki, dayanak varlığın spot fiyat süreci [[geometrik Brown hareketi]]ni izlesin; yani,  Brown hareketini <math>W</math> ile gösterirsek, <math>\mu</math> sabitse
:<math> dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t. </math>
olsun. O zaman,
:<math>
\frac{\partial V}{\partial t}+r S \frac{\partial V }{\partial S} + \frac{S^2 \sigma^2}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}-rV=0.
</math>

==Kanıt==
[[Black-Scholes modeli]]nin merkezi varsayımlarından biri söz konusu dayanak varlığın (Black-Scholes özelinde hisse senedinin) fiyatının hareketlerinin (''S''<sub>''t''</sub>) [[geometrik Brown hareketi]]ni izlemesidir. Yani, [[sabit]] bir sürüklenme (<math> \mu </math>) ve [[volatilite]] (<math> \sigma </math>) olmak üzere;
:<math> dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t \, </math>

Black-Scholes'un makalesindeki fikirden hareketle portföy (<math>P</math>) şu şekilde oluşsun:
* -1 tane opsiyon (yani opsiyon satılmıştır)
* <math>\triangle</math> sonradan belirlenmek üzere <math>\triangle</math> tane dayanak varlık

Opsiyonun fiyatı <math>V=V(t,S)</math> olsun. O zaman, bu portföyün değeri 
:<math>P = -V + \triangle S</math>
olur. Bu potrföyün değerinin kısa bir zaman aralığındaki değişimi <math>\mathrm{d}P</math>  o zaman
:<math>\mathrm{d}P = -\mathrm{d}V + \triangle \mathrm{d}S</math>
olur.  Öbür taraftan, fiyatı iki kere türevlenebilien bir türev ürününün fiyatı <math>V=V(t,S)</math> için [[Ito önsavı]] kullanılarak 
:<math>\mathrm{d}V = \left(\frac{\partial V}{\partial t} + \mu \,S\frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\,\sigma^2\,S^2\,\frac{\partial^2V}{\partial S^2}\right) \mathrm{d}t + \sigma\,S\,\frac{\partial V}{\partial S}\,\mathrm{d}W</math>.

O zaman,

:<math>\mathrm{d}P= -\mathrm{d}V  + \triangle \mathrm{d}S = -\left(\frac{\partial V}{\partial t} + \mu \,S\frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\,\sigma^2\,S^2\,\frac{\partial^2V}{\partial S^2}-\triangle \mu S_t\right) \mathrm{d}t - \left(\sigma\,S\,\frac{\partial V}{\partial S}-\triangle\sigma S\right)\mathrm{d}W
 </math>
olur. Bu portföyün dayanak varlığın piyasa fiyatına duyarsız halde olması istendiğinden, difüzyon teriminin (rassallığa katkıda bulunan terimlerin) 0 olması gerekir. Yani,  <math>\sigma\,S\,\frac{\partial V}{\partial S}-\triangle\sigma S=0</math> olmalıdır ki bu da <math>\triangle=\frac{\partial V}{\partial S}</math> verir. O zaman, 
 
:<math>\mathrm{d}P= -\left(
\frac{\partial V}{\partial t} +  \frac{1}{2}\,\sigma^2\,S^2\,\frac{\partial^2V}{\partial S^2}
\right) \mathrm{d}t
 </math>
elde edilir. Diğer taraftan, portföy rassallığa duyarsız hale geldiği için [[risksiz faiz oranı]] ile büyüyecektir; yani, 
:<math>\mathrm{d}P=rP dt=-rV dt + r S \frac{\partial V}{\partial S} dt </math>
elde edilir. <math>\mathrm{d}P</math> için elde edilen bu iki ifade birbirine eşitlenerek [[Black-Scholes kısmi diferansiyel denklemi]] elde edilir:
:<math>
\frac{\partial V}{\partial t}+r S \frac{\partial V }{\partial S} + \frac{S^2 \sigma^2}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}-rV=0
</math>
Bu denklemin çözülmesi için aynı zamanda bir sınır değeri konulması lazım;ancak, zaten opsiyonun vade tarihindeki değeri opsiyonun türüne göre <math>\max(S_T-K,0)</math> veya <math>\max(K-S_T,0)</math> olacaktır.

== Ayrıca bakınız ==
* [[Feynman-Kac formülü]]

== Kaynakça ==
{{Kaynakça}}

[[Kategori:Finans]]
[[Kategori:Opsiyon (finans)]]
[[Kategori:Finansal matematik]]
[[Kategori:Parabolik kısmi diferansiyel denklemler]]