Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon hiyerarşisi sayfasının kaynağını görüntüle

[[İstatistik fizik]]de,'''BBGKY hiyerarşisi''' ('''Bogoliubov–Born–Green–Kirkwood–Yvon hiyerarşisi''', bazen '''Bogoliubov hiyerarşisi''' olarak alınır) çok sayıda etkileşen parçacıkdan oluşan bir sistemin dinamiklerini tanımlayan bir dizi denklemdir. BBGKY hiyerarşisinde ''S''- parçacığı için denklem dağıtım fonksiyonu ([[olasılık yoğunluk fonksiyonu]])  (''s''&nbsp;+&nbsp;1)-parçacık dağılım işlevi eşitlikli bir denklem zincirini içerir. Bu kuramsal sonuç, [[Nikolay Bogolyubov|Bogoliubov]], [[Max Born|Born]], [[Herbert S. Green|Green]], [[John Gamble Kirkwood|Kirkwood]] ve [[Jacques Yvon|Yvon]]'un ardından isimlendirilmiştir.

==Formülasyon==
''N ''- parçacık sisteminin evrimi [[kuantum dalgalanması]] yokluğunda Liouville eşitliğinin olasılık yoğunluk fonksiyonu<math>f_N = f_N(\mathbf{q}_1\dots\mathbf{q}_N, \mathbf{p}_1 \dots \mathbf{p}_N, t)</math> içinde ''6N'' Boyutlu [[faz uzayı]] (parçacık başına 3 boşluk ve 3 momentum koordinatı)nı gösterir.
:<math>
\frac{\partial f_N}{\partial t} + \sum_{i=1}^N \dot{\mathbf{q}}_i \frac{\partial f_N}{\partial \mathbf{q}_i} + \sum_{i=1}^N \left( - \frac{\partial \Phi_i^{ext}}{\partial \mathbf{q}_i} - \sum_{j=1}^N \frac{\partial \Phi_{ij}}{\partial \mathbf{q}_i} \right) \frac{\partial f_N}{\partial \mathbf{p}_i} = 0.
</math>

Değişkenlerin bir bölümünün tamamlanmasıyla,Liouville denklemi birinci denklemin iki parçacıklı olasılık yoğunluk fonksiyonunun evrimini iki parçacıklı olasılık yoğunluk fonksiyonuyla birleştirdiği, ikinci eşitlik iki parçacıklı olasılık yoğunluk fonksiyonunu üç parçacıklı olasılıkla ilişkilendiren denklem zinciri ile birleştirebilir. Yoğunluk fonksiyonu ve genel olarak ''s'' denklemi ile ''s'' - parçacık olasılığı yoğunluk fonksiyonu (math)'yı bağlar <math>f_s = f_s(\mathbf{q}_1\dots\mathbf{q}_s, \mathbf{p}_1 \dots \mathbf{p}_s, t)</math> ile ''(s + 1)'' - parçacık olasılığı yoğunluk fonksiyonu:
:<math>
\frac{\partial f_s}{\partial t} + \sum_{i=1}^s \dot{\mathbf{q}}_i \frac{\partial f_s}{\partial \mathbf{q}_i} + \sum_{i=1}^s \left( - \frac{\partial \Phi_i^{ext}}{\partial \mathbf{q}_i} - \sum_{j=1}^s \frac{\partial \Phi_{ij}}{\partial \mathbf{q}_i} \right) \frac{\partial f_s}{\partial \mathbf{p}_i} = (N-s) \sum_{i=1}^s \frac{\partial}{\partial \mathbf{p}_i} \int \frac{\partial \Phi_{i\,s+1}}{\partial \mathbf{q}_i}\cdot f_{s+1} \,d\mathbf{q}_{s+1} d\mathbf{p}_{s+1}.
</math>
Burada <math>\mathbf{q}_i, \mathbf{p}_i</math> için koordinatlar ve momentum ''i'' parçacığı, <math>\Phi^{ext}(\mathbf{q}_i)</math> dış alan potansiyeli ve <math>\Phi_{ij}(\mathbf{q}_i, \mathbf{q}_j)</math> parçacıklar arasındaki etkileşim için çift potansiyellidir. ''s'' - parçacık dağılım fonksiyonu için yukarıdaki denklem, Liouville denkleminin değişkenleri üzerindeki entegrasyon ile elde edilir. <math>\mathbf{q}_{s+1}\dots\mathbf{q}_N, \mathbf{p}_{s+1} \dots \mathbf{p}_N</math>.

==Fiziksel yorumlama ve uygulamalar==
Şematik olarak, Liouville denklemi bize <math>Df_N=0</math> formunda <math>N</math>-parçacık sistem formu zaman evrimini verir.<math>N</math>-Parçacık sistem formunda <math>Df_N=0</math>, Faz uzayında olasılık yoğunluğunun sıkıştırılamaz akışını ifade eder. Daha sonra, indirgenmiş dağılım işlevlerini, başka bir parçacığın serbestlik derecelerini bir araya getirerek aşamalı olarak tanımlar. <math>f_s \sim \int f_{s+1}</math>.BBGKY hiyerarşisinde bir denklem bize böyle bir <math>f_s</math>  için zaman evriminin bir Liouville benzeri denklem tarafından verildiğini, ancak N-s bastırılmış parçacıkların kuvvet etkisini temsil eden bir düzeltme terimiyle verildiğini bildirmektedir.

Denklemlerin BBGKY hiyerarşisini çözme sorunu orijinal Liouville denklemini çözmek kadar zordur ancak BBGKY hiyerarşisi için (zincirin denklemlerin sonlu bir sistemine kesilmesini sağlayan) yaklaşımlar kolayca yapılabilir. Bu eşitliklerin değeri, yüksek dağılım fonksiyonlarının <math>f_{s+2},f_{s+3},\dots</math> zaman evrimini etkilemek <math>f_s</math> yoluyla örtük olarak <math>f_{s+1}.</math> BBGKY zincirinin kesilmesi klasik türetim için kullanılabilecek birçok [[kinetik teori]] uygulaması için ortak bir başlangıç noktasıdır.<ref name="a">{{Dergi kaynağı|yazar=[[Nikolay Bogoliubov|N. N. Bogoliubov]]|başlık=Kinetic Equations|dergi=[[JETP|Journal of Experimental and Theoretical Physics]]|cilt=16|sayı=8|sayfalar=691-702|yıl=1946|url=|dil=Rusça}}</ref><ref name="b">{{Dergi kaynağı|yazar=[[Nikolay Bogoliubov|N. N. Bogoliubov]]|başlık=Kinetic Equations|dergi=Journal of Physics USSR|cilt=10|sayı=3|sayfalar=265-274|yıl=1946|url=}}</ref> veya kuantumdur.<ref>{{Dergi kaynağı|yazar=[[Nikolay Bogoliubov|N. N. Bogoliubov]], [[Kirill Gurov|K. P. Gurov]]|başlık=Kinetic Equations in Quantum Mechanics|dergi=[[JETP|Journal of Experimental and Theoretical Physics]]|cilt=17|sayı=7|sayfalar=614-628|yıl=1947|url=|dil=Rusça}}</ref> Özellikle birinci denklemdeki kesme ya da ilk iki eşitlik, klasik ve kuantum Boltzmann denklemlerini türetmek ve Boltzmann denklemlerine birinci dereceden düzeltmeler yapmak için kullanılabilir. Yoğunluk olasılık fonksiyonunun yalnızca partiküller arasındaki göreceli mesafeye veya hidrodinamik rejimin varsayımına bağlı olduğu varsayımı gibi diğer yaklaşımlar BBGKY zincirini çözülebilir hale getirebilir.

==Kaynakça==
''S'' Parçacık dağılım fonksiyonları 1935 yılında J. Yvon tarafından klasik istatistik mekaniğine dahil edildi.<ref>[[Jacques Yvon|J. Yvon]] (1935): ''La théorie statistique des fluides et l'équation d'état'' (in French), Actual. Sci. & Indust. № 203 (Paris, Hermann).</ref> ''s'' - parçacık dağılım fonksiyonları için denklemler BBGKY hiyerarşisi için yazılmıştır ve Temmuz 1945'te kaleme alınan ve 1946'da Rusça yayınlanan gazete olan Bogoliubov'un kinetik denklemlerinin türetilmesinde uygulanmıştır.<ref name="a"/> (İngilizce).<ref name="b"/> Kirikwood'un kinetik nakil teorisi kâğıtta incelendi.<ref>{{Dergi kaynağı|yazar=[[John Gamble Kirkwood|John G. Kirkwood]]|başlık=The Statistical Mechanical Theory of Transport Processes I. General Theory|url=https://archive.org/details/sim_journal-of-chemical-physics_1946-03_14_3/page/180|dergi=[[The Journal of Chemical Physics]]|cilt=14|sayı=3|sayfalar=180|tarih=Mart 1946|doi=10.1063/1.1724117|bibcode= 1946JChPh..14..180K }}</ref> Ekim 1945'te kaleme alındı ve Mart 1946'da resmi olarak yayınlandı.<ref>{{Dergi kaynağı|yazar=[[John Gamble Kirkwood|John G. Kirkwood]]|başlık=The Statistical Mechanical Theory of Transport Processes II. Transport in Gases|url=https://archive.org/details/sim_journal-of-chemical-physics_1947-01_15_1/page/72|dergi=[[Journal of Chemical Physics|The Journal of Chemical Physics]]|cilt=15|sayı=1|sayfalar=72|tarih=Ocak 1947|doi=10.1063/1.1746292 |bibcode= 1947JChPh..15...72K }}</ref> Born ve Green tarafından yazılan ilk kâğıt sıvıların genel bir kinetik teorisini düşündü ve Şubat 1946'da kaleme aldı ve 31 Aralık 1946'da yayınlandı.<ref>{{Dergi kaynağı|yazar=[[Max Born|M. Born]] and [[Herbert S. Green|H. S. Green]]|başlık=A General Kinetic Theory of Liquids I. The Molecular Distribution Functions|dergi=Proc. Roy. Soc. A|cilt=188|sayfalar=10-18|tarih=31 Aralık 1946|url=|bibcode= 1946RSPSA.188...10B |doi= 10.1098/rspa.1946.0093 }}</ref>

==Kaynakça==
{{Kaynakça}}

{{DEFAULTSORT:Bbgky Hierarchy}}
<!--Categories-->
[[Kategori:İstatistiksel mekanik]]
[[Kategori:Dengesizlik termodinamiği]]