Brezis-Gallouët eşitsizliği sayfasının kaynağını görüntüle

[[Matematik|Matematiğin]] bir alt dalı olan [[Analiz (matematik)|analiz]]de, '''Brezis-Gallouët eşitsizliği''',<ref>H. Brezis and T. Gallouet. ''Nonlinear Schrödinger evolution equations.'' Nonlinear Anal. 4 (1980), no. 4, 677–681. {{doi|10.1016/0362-546X(80)90068-1}} {{closed access}}</ref> yeteri kadar türevlenebilen iki gerçel değişkenli fonksiyonların esaslı sınırlılığıyla ilgili ve [[kısmi diferansiyel denklemler]]in çalışılmasında çok yararlı olan bir eşitsizliktir. Bu eşitsizlik, [[Haïm Brezis]] and [[Thierry Gallouët]]'nin adını taşımaktadır.

== Eşitsizliğin ifadesi ==
<math>\Omega\subset\mathbb{R}^2</math>, düzenli sınırı olan sınırlı bir kümenin içi veya dışı ya da  <math>\mathbb{R}^2</math>nin kendisi olsun. O zaman, hemen hemen her yerde 0dan farklı her <math>u\in H^2(\Omega)</math> için 
:<math>\displaystyle \|u\|_{L^\infty(\Omega)}\leq C \|u\|_{H^1(\Omega)}\left(1+\Bigl(\log\bigl( 1+\frac{\|u\|_{H^2(\Omega)}}{\|u\|_{H^1(\Omega)}}\bigr)\Bigr)^{1/2}\right)</math>
eşitsizliğini sağlayan ve sadece <math>\Omega</math>'ya bağlı gerçel bir <math>C</math> sayısı vardır.

Her <math>v\in H^2(\mathbb{R}^2)</math> için 
:<math>\int_{\mathbb{R}^2} \bigl( (\partial^2_{11} v)^2 + 2(\partial^2_{12} v)^2 +  (\partial^2_{22} v)^2\bigr) = \int_{\mathbb{R}^2} \bigl(\partial^2_{11} v+\partial^2_{22} v\bigr)^2</math> 
olduğu için, Brezis-Gallouët eşitsizliğinden hareketle, hemen hemen her yerde 0dan farklı her <math>u\in H^2(\Omega)</math> için, 
:<math>\displaystyle \|u\|_{L^\infty(\Omega)}\leq C \|u\|_{H^1(\Omega)}\left(1+\Bigl(\log\bigl( 1+\frac{\|\Delta u\|_{L^2(\Omega)}}{\|u\|_{H^1(\Omega)}}\bigr)\Bigr)^{1/2}\right)</math>
elde edilir ki eşitslizliğin bu hali Brezis-Gallouët eşitsizliğin daha çok atfedilen halidir.<ref>{{kitap kaynağı | soyadı1 = Foias | ad1 = Ciprian | yazarbağı = Ciprian Foias | soyadı2 = Manley | ad2 = O. | soyadı3 = Rosa | ad3 = R. | soyadı4 = Temam | ad4 = R. | başlık = Navier–Stokes Equations and Turbulence | yayıncı = Cambridge University Press |yer= Cambridge | yıl = 2001 | isbn = 0-521-36032-3 |url-erişimi= registration | url = https://archive.org/details/navierstokesequa0000unse }}</ref>

== İspat ==
<math>\Omega</math>'nın düzenli sınırı olduğu varsayımıyla aşağıdaki şu özelliklere sahip bir <math>P~:~H^2(\Omega)\to H^2(\mathbb{R}^2)</math> genişleme operatörünün varlığı elde edilmiş olur:
*  <math>P</math> operatörü <math>H^1(\Omega)</math> uzayından <math>H^1(\mathbb{R}^2)</math> uzayına [[sınırlı operatör|sınırlı bir operatör]]dür.
*  <math>P</math> operatörü <math>H^2(\Omega)</math> uzayından <math>H^2(\mathbb{R}^2)</math> uzayına sınırlı bir operatördür.
* Her <math>u\in H^2(\Omega)</math> için, <math>P u</math>'nun <math>\Omega</math>'ya kısıtlanması yine  <math>u</math> olur.

<math>\|u\|_{H^1(\Omega)} = 1</math> özelliğine sahip bir <math>u\in H^2(\Omega)</math> alalım. <math>v = P u </math> fonksiyonunun Fourier dönüşümünü <math>\widehat{v}</math> ile gösterelim. O hâlde,

* <math>\|(1+|\xi|)\widehat{v}\|_{L^2(\mathbb{R}^2)} \le C</math>,
* <math>\|(1+|\xi|^2)\widehat{v}\|_{L^2(\mathbb{R}^2)} \le C\|u\|_{H^2(\Omega)}</math>,
* <math>\|u\|_{L^\infty(\Omega)} \le \|v\|_{L^\infty(\mathbb{R}^2)} \le C\|\widehat{v}\|_{L^1(\mathbb{R}^2)}</math>.
eşitsizliklerini sağlayan ve sadece <math>\Omega</math>'ya bağlı pozitif bir <math>C</math> sayısı vardır.

Herhangi bir <math>R >0</math> için, daha önce elde edilen eşitsizlikler ve [[Cauchy-Schwarz eşitsizliği]] kullanılarak
:<math>\begin{align}\displaystyle \|\widehat{v}\|_{L^1(\mathbb{R}^2)} &= \int_{|\xi|<R} |\widehat{v}(\xi)| {\rm d}\xi + \int_{|\xi|>R} |\widehat{v}(\xi)| {\rm d}\xi\\
 &= \int_{|\xi|<R} (1+|\xi|)|\widehat{v}(\xi)| \frac 1 {1+|\xi|}{\rm d}\xi + \int_{|\xi|>R} (1+|\xi|^2)|\widehat{v}(\xi)| \frac 1 {1+|\xi|^2}{\rm d}\xi\\
 &\le C \left( \int_{|\xi|<R}  \frac 1 {(1+|\xi|)^2}{\rm d}\xi\right)^{\frac 1 2} + C \|u\|_{H^2(\Omega)}\left(\int_{|\xi|>R} \frac 1 {(1+|\xi|^2)^2}{\rm d}\xi\right)^{\frac 1 2}\end{align}</math>
yazılır. İntegraller hesaplanarak, 
:<math>\|\widehat{v}\|_{L^1(\mathbb{R}^2)}\le C(\log(1+R))^{\frac 1 2} +  C \frac {\|u\|_{H^2(\Omega)}} {1+R}.</math>
eşitsizliği elde edilir.

<math>\|u\|_{H^1(\Omega)} = 1</math> durumunda, <math>R =\|u\|_{H^2(\Omega)} </math> alınarak eşitsizlik elde edilmiş olur. Eşitszliğin genel hali için, sıfıra eşit olmayan <math>u\in H^2(\Omega)</math> için, daha önce kanıtlanan eşitsizlik durumunda  <math>u/ \|u\|_{H^1(\Omega)}</math> fonksiyonu kullanılır.

== Ayrıca bakınız ==
* [[Ladıjenskaya eşitsizliği]]
* [[Agmon eşitsizliği]]

== Kaynakça ==
{{Kaynakça}}

[[Kategori:Analiz teoremleri]]
[[Kategori:Eşitsizlikler]]