Cantor'un köşegen yöntemi sayfasının kaynağını görüntüle

{{kaynaksız|tarih=aralık 2018}}
[[Dosya:Georg Cantor.png|küçükresim|Georg Cantor]]
[[Georg Cantor]]'un [[Doğal Sayılar|doğal sayılar]] ile [[Reel Sayılar|reel sayılar]]ın birebir eşlemesinin yapılamayacağını göstermek için geliştirdiği yöntem. Böyle bir eşlemenin yokluğu sonsuz elemanlı kümelerin büyüklüklerinin karşılaştırılması kavramının gelişimi açısından son derece önemlidir.

== Büyüklük ==
Verilen bir A kümesinin en az B kümesi kadar büyük olması B'den A'ya bir birebir fonksiyonun var olması şeklinde tanımlanır (<math>A\geq B</math> yazılır). Böylelikle B'nin bir kopyasının A'nın içerisinde bulunabiliyor olması sağlanır. Eğer aynı şekilde B'den de A'ya bir birebir fonksiyon varsa o zaman bu iki küme eşit büyüklükte denir (<math>B\simeq A</math> yazılır).

* Örnek olarak Çift [[Tam Sayılar]] Kümesi'nin (<math>2\mathbb{Z}=\{...,-4,-2,0,2,4,...\}</math>) ile Tam Sayılar Kümesi <math>(\mathbb{Z}=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,...\})</math> düşünülebilir. <math>2\mathbb{Z}</math>'nin elemanları <math>\mathbb{Z}</math>'nin içerisinde kendi kendilerine gönderilir.

== İspat ==

0 ile 1 arasındaki reel sayılar kümesinin sayılabilir olduğunu varsayalım. Buna göre 0 ile 1 arasındaki her reel sayıya karşılık doğal sayılar kümesinde bir sayı gelmelidir. Yani iki küme birebir eşlenebilir diyoruz.
Böyle bir eşlemeyi ele alalım ve 0 ile 1 arasındaki reel sayıları verilen eşleşmeye göre sıralayarak bir liste elde edelim. Bu listede sayıları küçükten büyüğe gelecek şekilde sıralamadım(bu şekilde sıralamaya gerek yoktur bu kısma takılmayın). Aşağıdaki sadece ilk 4 eşleşmeyi yazdım. Bu eşleşmenin sonsuza kadar gittiğini varsayıyoruz(önemli olan nokta burasıdır). Dolayısıyla aslında aşağıdaki birebir eşleşmede tüm doğal sayılar ve 0-1 aralığındaki tüm reel sayılar var diyoruz.

 0 ile 1 arasındaki tüm reel sayıları yazdığımızı diğer bir deyişle yazabileceğimizi iddia etmiştik. Şimdi bunun aksini kanıtlayalım.

 0 ile 1 arasında olan öyle bir sayı bulalım ki: Bu sayıya C adını verelim ve onu şu kurala göre oluşturalım: 
Birinci sayının ilk ondalık basamağına bakalım ve buradaki rakamdan farklı herhangi bir rakamı seçip C sayısının ilk basamağı olarak yazalım, aynı şekilde C'nin ikinci, üçüncü,... basamaklarını da oluşturalım. Mesela eğer 0 la 1 arasındaki reel sayılar aşağıdaki gibi sıralanmışsa:
 
 s0 = 0,13567....... 
 ^
 s1 = 0,25678.......
  ^
 s2 = 0,00212.......
  ^
 s3 = 0,14291.......
  ^
 . 
 . 
 .

C sayısının ilk basamağını 1'den farklı, 2. basamağını 5'ten farklı, 3. basamağını 2'den farklı, 4. basamağını gene 9'dan farklı birer rakam olarak seçeriz. (Varsayımımıza göre) Bu şekilde devam ederek 0 ile 1 arasındaki tüm sayıları tararız. Hatırlayın: taradığımız her reel sayıya karşılık doğal sayılar kümesinde bir sayı var(birebir eşleşme).

0 ile 1 arasında var olan tüm sayıları taradık(bu sayılara baktık) ve yukarıdaki anlattığımız yol ile bir C sayısı bulduk. C sayısının 0 ile 1 arasında olduğunu ve 0 ile 1 arasındaki tüm sayıları taradığımızı varsaymıştık. O halde taradığımız sayılardan birisi C sayısı olmalı. Halbuki C sayısı bizim taradığımız sayılardan hiçbirine eşit değil çünkü C sayısını buna göre oluşturmuştuk zaten. Gördüğünüz gibi burada bir tezatlık var. 0 ile 1 arasındaki tüm sayıları tek tek taradığımızı kabul ediyoruz.Ama elimizde 0 ile 1 aralığında öyle bir C sayısı bulduk ki taradığımız tüm sayılardan farklı. Dolayısıyla bu C sayısına karşılık gelebilecek bir doğal sayı da yok. Demek ki varsaydığımız birebir eşleme mümkün değil ve aslında reel sayılar kümesindeki eleman sayısı doğal sayılar kümesindeki eleman sayısından daha fazla. O zaman 0 ile 1 arasındaki reel sayılar kümesi sayılamaz deriz.

[[Kategori:Matematik teoremleri]]