Cebirsel sayılar sayfasının kaynağını görüntüle

[[Dosya:Isosceles right triangle with legs length 1.svg|küçükresim|upright=0.91|Kenar uzunlukları birim uzunluk olan bir dik-üçgen [[hipotenüs]]ünün uzunluğu ([[karekök 2]]), cebirsel bir sayı örneğidir.]]

'''Cebirsel sayılar''', rasyonel (veya bununla eş değer olarak, tam sayı) katsayıları olan tek değişkenli sıfırdan farklı bir [[polinom]]un kökü olarak ifade edilebilen sayılardır. Mesela, [[altın oran]], <math>(1 + \sqrt{5})/2</math>, cebirsel bir sayı örneğidir çünkü {{math|''x''{{sup|2}} − ''x'' − 1}} polinomunun bir köküdür. Bu durumda, söz konusu polinomun değerinin sıfıra eşitlendiği x değeridir. Diğer bir örnek olarak, <math>1 + i</math> biçimindeki [[karmaşık sayı]], {{math|''x''{{sup|4}} + 4}} polinomunun bir kökü olduğundan dolayı cebirsel sayı olarak kabul edilir.

Tüm tam ve rasyonel sayılar, cebirsel sayıların birer örneğidir; bunun yanında, tam sayıların köklerini içeren sayılar da cebirsel niteliktedir. [[pi|{{pi}}]] ve {{mvar|[[e sayısı|e]]}} gibi, cebirsel olmayan reel ve karmaşık sayılar, [[transandantal sayı]] olarak tanımlanmaktadır.

Cebirsel sayılar kümesi, sayılabilir sonsuz bir yapıya sahiptir ve sayılamaz karmaşık sayılar kümesinin bir alt kümesi olarak, Lebesgue ölçümü çerçevesinde ölçüsü sıfır değerindedir. Bu bağlamda, karmaşık sayıların büyük çoğunluğu [[transandantal sayı|transandantal]] karakterdedir.

== Örnekler ==

* Tüm [[rasyonel sayılar]], cebirsel sayı kategorisindedir. Bir [[tam sayı]] {{mvar|a}} ile sıfırdan farklı bir [[doğal sayı]] {{mvar|b}}'nin oranı olarak ifade edilen her rasyonel sayı, önceden belirtilen tanımı karşılar çünkü {{math|''x'' {{=}} {{sfrac|''a''|''b''}}}} ifadesi, sıfırdan farklı bir polinomun, özellikle {{math|''bx'' − ''a''}} polinomunun, köküdür.<ref>Bu bölümdeki bazı örnekler {{harvtxt|Hardy|Wright|1972|sf=159–160, 178–179}} referansından alınmıştır.</ref>
* Tam sayı katsayılarına sahip {{math|''ax''{{sup|2}} + ''bx'' + ''c''}} kuadratik polinomunun irrasyonel çözümleri olan [[kuadratik irrasyonel sayı]]lar, cebirsel sayılardır. Eğer kuadratik polinom monik karakterdeyse ({{math|''a'' {{=}} 1}}), bu kökler [[kuadratik tam sayı]] olarak nitelendirilir.
** Her iki {{mvar|a}} ve {{mvar|b}} değeri de tam sayı olan karmaşık sayılar {{math|''a'' + ''bi''}}, [[Gauss tam sayısı|Gauss tam sayı]]ları olarak adlandırılır ve kuadratik tam sayılardır. Bunun nedeni, {{math|''a'' + ''bi''}} ve {{math|''a'' − ''bi''}}'nin, {{math|''x''{{sup|2}} − 2''ax'' + ''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}}}} kuadratik denkleminin iki kökü olmasıdır.
* Bir cetvel ve pergel kullanılarak belirlenmiş bir birim uzunluktan hareketle oluşturulabilecek sayılara [[çizilebilir sayı]] denir. Tüm kuadratik irrasyonel kökleri, tüm rasyonel sayıları ve bu sayıların [[Aritmetik#Aritmetik işlemler|temel aritmetik işlemler]] ve karekök çıkarma kullanılarak oluşturulabilen tüm sayıları içerir. (Karmaşık sayılar için +1, -1, +{{mvar|i}} ve -{{mvar|i}} yönlerinin belirlenmesiyle, <math>3+i \sqrt{2}</math> gibi sayılar çizilebilir olarak düşünülür.)
* Temel aritmetik işlemler ve [[n'inci kök|{{mvar|n}}'inci kök]] çıkarımı kullanılarak cebirsel sayılardan türetilen herhangi bir ifade, bir başka cebirsel sayıyı meydana getirir.
* Temel aritmetik işlemler ve {{mvar|n}}'inci kök çıkarımı aracılığıyla açıklanamayan polinom kökleri (mesela, {{math|''x''<sup>5</sup> − ''x'' + 1}} gibi polinomların kökleri) bulunmaktadır. [[Abel teoremi|Bu durum]], 5 veya daha yüksek dereceli pek çok polinom için mümkündür ancak tümü için geçerli değildir.
* {{pi}}'nin rasyonel çarpanları ile oluşturulan açıların [[trigonometrik fonksiyonlar]] değerleri (tanımsız oldukları durumlar hariç): örneğin, {{math|cos {{sfrac|{{math|π}}|7}}}}, {{math|cos {{sfrac|3{{math|π}}|7}}}} ve {{math|cos {{sfrac|5{{math|π}}|7}}}}, {{math|8''x''<sup>3</sup> − 4''x''<sup>2</sup> − 4''x'' + 1 {{=}} 0}} polinomunu karşılar. Bu polinom, rasyonel sayılar üzerinde [[indirgenemez polinom|indirgenemezdir]] ve dolayısıyla söz konusu üç kosinüs, ''eşlenik'' cebirsel sayılar olarak nitelendirilir. Aynı şekilde, {{math|tan {{sfrac|3{{math|π}}|16}}}}, {{math|tan {{sfrac|7{{math|π}}|16}}}}, {{math|tan {{sfrac|11{{math|π}}|16}}}} ve {{math|tan {{sfrac|15{{math|π}}|16}}}} sayıları, indirgenemez {{math|''x''<sup>4</sup> − 4''x''<sup>3</sup> − 6''x''<sup>2</sup> + 4''x'' + 1 {{=}} 0}} polinomunu sağladığı için, eşlenik [[cebirsel tam sayılar]]dır. Bu, derecelerle ölçüldüğünde rasyonel sayılara denk gelen açıların bir eşdeğeridir.
* İrrasyonel sayıların bir kısmı cebirsel olabilirken, bir kısmı cebirsel olmayabilir:
** Örneğin, <math>\sqrt{2}</math> ve <math>\frac{ \sqrt[3]{3} }{ 2 }</math> sayıları, sırasıyla {{math|''x''<sup>2</sup> − 2}} ve {{math|8''x''<sup>3</sup> − 3}} polinomlarının kökü oldukları için cebirsel sayılar kategorisindedir.
** {{mvar|φ}} simgesi ile gösterilen [[altın oran]], {{math|''x''<sup>2</sup> − ''x'' − 1}} polinomunun bir kökü olması nedeniyle cebirsel bir sayıdır.
** [[pi|{{pi}}]] ve [[e sayısı|e]] gibi sayılar, cebirsel sayılar kategorisinde yer almazlar (bu konu hakkında daha fazla bilgi için [[Lindemann–Weierstrass teoremi]]ne bakınız).<ref>Bununla birlikte, [[Liouville sayısı|Liouville teoremi]] kullanılarak "dilediğimiz kadar çok transandantal sayı elde etmek" mümkündür, bkz. {{harvtxt|Hardy|Wright|1972|s=161 ve sonrası}}</ref>

==Özellikler==
[[Dosya:Algebraicszoom.png|küçükresim|[[Karmaşık düzlem]]deki cebirsel sayılar, derecelerine göre renklendirilmiş (açık turuncu/kırmızı = 1. derece, yeşil = 2. derece, mavi = 3. derece, sarı = 4. derece)]]
*Eğer rasyonel katsayılar içeren bir polinom, [[en küçük ortak kat]] ile çarpılırsa, sonuç olarak tam sayı katsayıları olan ve aynı köklere sahip bir polinom elde edilir. Bu durum, bir cebirsel sayının, tam sayı veya rasyonel katsayılar içeren bir polinomun kökü olarak eş değer şekilde tanımlanabileceğini ortaya koyar.
*Herhangi bir cebirsel sayı için, bu sayının bir kökü olduğu ve en düşük [[polinomun derecesi|dereceye]] sahip rasyonel katsayılı monik polinom tek ve benzersizdir. Bu polinom, [[minimal polinom (alan teorisi)|minimal polinom]] olarak adlandırılır. Minimal polinomun derecesi {{mvar|n}} ise, bu cebirsel sayının '''derecesinin {{mvar|n}}''' olduğu söylenir. Mesela, tüm [[rasyonel sayılar]]ın derecesi bir olup, 2. dereceye sahip bir cebirsel sayı [[kuadratik irrasyonel]] olarak nitelendirilir.
*Cebirsel sayılar, [[reel sayılar]] alanında [[yoğun küme|yoğun bir yapı]] sergiler. Bu durum, içlerinde rasyonel sayıların da bulunması ve rasyonel sayıların reel sayılar içerisinde yoğun bir dağılım göstermesi gerçeği ile doğrudan ilişkilidir.
*Cebirsel sayılar kümesi, sayılabilir (enumerate edilebilir) niteliktedir,{{sfn|Hardy|Wright|1972|s=160|yer=2008:205}}{{sfn|Niven|1956|yer=Teorem 7.5.}} bu nedenle karmaşık sayılar içerisinde bir [[alt küme]] olarak kabul edildiklerinde [[Lebesgue ölçümü]] sıfırdır (temelde, cebirsel sayılar karmaşık sayılar içinde herhangi bir yer kaplamaz). Bu, [[neredeyse her yerde|"neredeyse tüm"]] reel ve karmaşık sayıların transandantal olduğunu ifade eder.
*Cebirsel sayılar, [[hesaplanabilir sayı|hesaplanabilir]], aynı zamanda [[tanımlanabilir sayı|tanımlanabilir]] ve [[aritmetik sayılar|aritmetik]] özellikler taşırlar.
*Gerçek sayılar {{math|''a''}} ve {{math|''b''}} için, {{math|''a'' + ''bi''}} biçimindeki karmaşık sayı, yalnızca {{math|''a''}} ve {{math|''b''}} ikilisi cebirsel olduğunda cebirsel karakterdedir.{{sfn|Niven|1956|yer=Corollary 7.3.}}

==Alan==
[[Dosya:Algebraic number in the complex plane.png|küçükresim|Derecelerine göre renklendirilmiş cebirsel sayılar (mavi = 4, camgöbeği = 3, kırmızı = 2, yeşil = 1). Birim daire siyahtır.]]
İki cebirsel sayının toplamı, farkı, çarpımı ve (payda sıfırdan farklı olduğunda) bölünmesi sonucunda elde edilen sayılar da cebirsel niteliktedir. Bu, [[kalan]] yardımıyla kanıtlanabilir ve sonuç olarak cebirsel sayılar, bir [[alan (matematik)|alan]] teşkil eder{{sfn|Niven|1956|s=92}} <math>\overline{\mathbb{Q}}</math> (ara sıra <math>\mathbb A</math> ile temsil edilir, fakat bu genellikle [[adele halkası]] için kullanılır). ''Cebirsel sayılar'' olarak katsayılara sahip bir polinom denkleminin tüm kökleri tekrar cebirsel sayılardır. Bu, cebirsel sayılar alanının [[cebirsel olarak kapalı alan|cebirsel olarak kapalı]] olduğunu belirtmekle yeniden formüle edilebilir. Gerçekte, bu alan, rasyonelleri içeren en küçük cebirsel olarak kapalı alandır ve bu sebepten dolayı rasyonellerin [[cebirsel kapanışı]] olarak isimlendirilir.

==İlgili konular==

===Kökler aracılığıyla tanımlanan sayılar===
Tam sayılar başlangıç noktası alınarak, sonlu sayıda toplama, çıkarma, çarpma, bölme işlemleri ve (mümkünse karmaşık olabilecek) {{mvar|n}}'inci kök alma işlemleri ile elde edilebilen her sayı cebirseldir. Bununla birlikte, bu durumun tersi geçerli değildir: Bu yöntemle elde edilemeyen cebirsel sayılar mevcuttur. Bu tür sayılar, genellikle derecesi 5 veya daha yüksek olan polinomların kökleridir ve bu, [[Galois teorisi]]nin bir sonucudur (örneğin, [[beşinci dereceden denklemler]] ve [[Abel teoremi]]ne bakınız). Örnek olarak, aşağıdaki denklem:

:<math>x^5-x-1=0</math>

yalnızca radikaller ve temel aritmetik işlemler kullanılarak ifade edilemeyen eşsiz bir reel köke sahiptir.

===Kapalı biçimli sayılar===
Cebirsel sayılar, rasyonel sayılar temel alınarak polinomlar yardımıyla açık ya da dolaylı bir şekilde ifade edilebilen tüm sayılardır. Bu tanım, "[[kapalı form sayı]]ları" kavramına genişletilebilir ki bu sayılar farklı yollarla tanımlanabilir. En kapsamlı tanımıyla, polinomlar, üstel işlevler ve logaritmalar yardımıyla açıkça ya da dolaylı olarak ifade edilebilen tüm sayılar "[[temel sayı]]lar" olarak adlandırılır ve bu kategoriye cebirsel sayılarla birlikte bazı transandantal sayılar da dahildir. En dar tanımıyla ise, polinomlar, üstel işlevler ve logaritmalar yardımıyla ''açıkça'' ifade edilen sayılar ele alınır – bu, tüm cebirsel sayıları kapsamaz ancak {{mvar|e}} veya [[Doğal Logaritma 2|ln 2]] gibi bazı sade transandantal sayıları içerir.

==Cebirsel tam sayılar==
[[Dosya:Leadingcoeff.png|küçükresim|Baş katsayılarına göre renk kodlanmış cebirsel sayılar (kırmızı, bir cebirsel tam sayının 1 olan baş katsayısını simgeler.)]]
{{Ana|Cebirsel tam sayılar}}
Bir ''cebirsel tam sayı'', tam sayı katsayıları bulunan ve baş katsayısı 1 olan (bir [[monik polinom]]) bir polinomun kökü olarak tanımlanabilen bir cebirsel sayıdır. Cebirsel tam sayı örnekleri arasında <math>5 + 13 \sqrt{2},</math> <math>2 - 6i,</math> ve <math display=inline>\frac{1}{2}(1+i\sqrt{3}).</math> yer alır. Böylece, cebirsel tam sayılar, her <math>k \in \mathbb{Z}</math> için monik polinomlar {{math|''x'' − ''k''}}'ın kökleri olan [[tam sayı]]ları da içeren, [[tam sayı]]ların bir üst kümesini teşkil eder. Bu anlamda, cebirsel tam sayılar, cebirsel sayılara için ne ise, [[tam sayı]]lar da [[rasyonel sayı]]lara odur.

Cebirsel tam sayıların toplamları, farkları ve çarpımları da cebirsel tam sayıları oluşturur, bu da cebirsel tam sayıların bir [[Halka (matematik)|halka]] yapısı oluşturduğunu gösterir. ''Cebirsel tam sayı'' teriminin kökeni, cebirsel tam sayı olabilen rasyonel sayıların yalnızca tam sayılar olması gerçeğinden ve herhangi bir [[cebirsel sayı cismi|sayı cismi]]ndeki cebirsel tam sayıların, birçok açıdan tam sayılara benzer özellikler göstermesinden kaynaklanır. {{math|''K''}} bir sayı alanı ise, bu alanın [[tam sayılar halkası]], {{math|''K''}} içerisindeki cebirsel tam sayıları içeren alt halkadır ve genellikle {{math|''O<sub>K</sub>''}} ile ifade edilir. Bu yapılar, [[Dedekind bölgesi]]nin örnek teşkil eden temel örnekleridir.

==Ayrıca bakınız==
{{Sayıların sınıflandırması}}

==Notlar==
{{Kaynakça}}

==Kaynakça==
*{{kaynak |soyadı=Artin |ad=Michael |yazarbağı=Michael Artin |yıl=1991 |başlık=Algebra |yayıncı=Prentice Hall |isbn=0-13-004763-5 |mr=1129886 |url=https://archive.org/details/algebra0000arti_x4a1/}}
*{{kaynak |soyadı1=Hardy |ad1=Godfrey Harold |yazarbağı1=G. H. Hardy |soyadı2=Wright |ad2=Edward M. |yazarbağı2=E. M. Wright |tarih=1972 |başlık=An introduction to the theory of numbers |seri=5th  |yer=Oxford |yayıncı=Clarendon|isbn=0-19-853171-0}}
*{{kaynak |soyadı1=Ireland |ad1=Kenneth |soyadı2=Rosen |ad2=Michael |yıl=1990 |özgünyıl=1st ed. 1982 |başlık=A Classical Introduction to Modern Number Theory |seri=2nd |yer=Berlin |yayıncı=Springer |isbn=0-387-97329-X |mr=1070716 |doi=10.1007/978-1-4757-2103-4}}
*{{kaynak |soyadı=Lang |ad=Serge |yıl=2002 |özgünyıl=1st ed. 1965 |başlık=Algebra |seri=3rd |yer=New York |yayıncı=Springer |isbn=978-0-387-95385-4 |mr=1878556 |url=https://archive.org/details/algebra-serge-lang/ }}
*{{kaynak |soyadı=Niven |ad=Ivan M. |yazarbağı=Ivan M. Niven |yıl=1956 |başlık=Irrational Numbers |yayıncı=[[Mathematical Association of America]] |url=https://archive.org/details/irrationalnumber00nive/ }}
*{{kaynak|soyadı=Ore |ad=Øystein |yazarbağı=Øystein Ore |yıl=1948 |başlık=Number Theory and Its History |yayıncı=McGraw-Hill |yer=New York |url=https://archive.org/details/numbertheoryitsh00ore/ }}

{{Sayılar}}
{{Sayılar teorisi}}

{{Otorite kontrolü}}

[[Kategori:Cebir]]
[[Kategori:Sayılar]]
[[Kategori:Cebirsel sayılar]]