D'Agostino'nun K-kare sınaması sayfasının kaynağını görüntüle

[[İstatistik]] bilim dalında '''D'Agostino'nun K<sup>2</sup> sınaması''' normal dağılımdan ayrılmayı ölçmek için kullanılan bir [[uygulama iyiliği]] ölçüsüdür. Örneklem [[basıklık]] ve [[çarpıklık]] ölçülerinin dönüşümlerinden elde edilmiştir. K<sup>2</sup> istatistiği şöyle elde edilir:

''n'' değerinin gözlem sayısı ve böylelikle genellikle serbestlik derecesi olduğu bilinmektedir. Örneklem [[çarpıklık]] ölçüsü, <math>\sqrt{b_1}</math>, şöyle tanımlanır:
:<math>
\sqrt{ b_1 } = \frac{ \mu_3 }{ \sigma^3 } = \frac{ \mu_3 }{ \left( \sigma^2 \right)^{3/2} } = \frac{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x - \bar{x} \right)^3}{ \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x - \bar{x} \right)^2 \right)^{3/2}}
</math>
  
Örneklem [[basıklık]] ölçüsü, <math>\sqrt{b_2}</math> ise şöyle tanimlanır:
:<math>
b_2 = \frac{ \mu_4 }{ \sigma^4 } = \frac{ \mu_4 }{ \left( \sigma^2 \right)^{2} } = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x - \bar{x} \right)^4}{\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x - \bar{x} \right)^2 \right)^2}
</math>

Burada <math>\bar{x}</math> örneklem [[ortalama]]sı, σ<sup>2</sup> ikinci merkezsel moment veya [[varyans]] ve sırasiyla μ<sub>3</sub> ve μ<sub>4</sub> üçüncü ve dördüncü [[merkezsel moment]] lerdir.

== Dönüştürülmüş çarpıklık ==

Önce, çarpıklık ölçüsü <math>\sqrt{b_1}</math> 'nin bir dönüşümü olan 
:<math>Z\left(\sqrt{b_1}\right)</math>
hesaplanır. Verinin [[normal dağılım]] gösterdiğine dair [[sıfır hipotez]] geçerli ise, bu ifade yaklaşık olarak normal dağılım gösterir:

:<math>
Y = \sqrt{b_1} \cdot \sqrt{\frac{(n+1)(n+3)}{6(n-2)}}
</math>
:<math>
\beta_2\left(\sqrt{b_1}\right) = \frac{3(n^2+27n-70)(n+1)(n+3)}{(n-2)(n+5)(n+7)(n+9)}
</math>
:<math>
W^2 = -1 + \sqrt{2 (\beta_2\left(\sqrt{b_1}\right) - 1)}
</math>
:<math>
\delta = 1/\sqrt{ln(W)}
</math>
:<math>
\alpha = \sqrt{\frac{2}{W^2-1}}
</math>
:<math>
Z\left(\sqrt{b_1}\right) = \delta ln\left(Y/\alpha + \sqrt{(Y/\alpha)^2 + 1}\right)
</math>

== Dönüştürülmüş Basıklık ==

Sonra, basıklık ölçüsü olan <math>b_2</math> 'in bir dönüşümü olan <math>Z\left(b_2\right)</math> 
hesaplanır. Verinin normal dağılım gösterdiğine dair sıfır hipotez geçerli ise, bu ifade de yaklaşık olarak normal dağılım gösterir:

:<math>
E\left(b_2\right) = \frac{3(n-1)}{n+1}
</math>
:<math>
\sigma^2_{b_2} = \frac{24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^2(n+3)(n+5)}
</math>
:<math>
x = \frac{b_2 - E\left(b_2\right)}{\sigma_{b_2}}
</math>

Bundan sonra ise, basıklık ifadesinin çaprazlığı bulunur:

:<math>
\sqrt{\beta_1\left(b_2\right)} = \frac{6(n^2-5n+2)}{(n+7)(n+9)} \sqrt{\frac{6(n+3)(n+5)}{n(n-2)(n-3)}}
</math>
:<math>
A = 6 + \frac{8}{\sqrt{\beta_1\left(b_2\right)}} \left[ \frac{2}{\sqrt{\beta_1\left(b_2\right)}} + \sqrt{1+\frac{4}{\beta_1\left(b_2\right)}}\right]
</math>
:<math>
Z\left(b_2\right) = \left(\left(1 - \frac{2}{9A}\right) - \sqrt[3]{\frac{1-2/A}{1+x\sqrt{2/(A-4)}}}\right)\sqrt{\frac{9A}{2}}
</math>

== İçerikli K<sup>2</sup> istatistiği ==

Şimdi, bu <math>Z\left(\sqrt{b_1}\right)</math> ile <math>Z\left(b_2\right)</math> ifadelerini birleştirip normallik sınaması için D'Agustino'nun sınama istatistiği şöyle tanımlanır:

:<math>
K^2 = \left(Z\left(\sqrt{b_1}\right)\right)^2 + \left(Z\left(b_2\right)\right)^2
</math>

<math>K^2</math> istatistiği yaklaşık olarak serbestlik derecesi 2 olan bir <math>\chi^2</math>
ile dağılım gösterir.

== İç bağlantılar ==
* [[Normallik sınamaları]]
* [[Kolmogorov-Smirnov sınaması]]
* [[Shapiro-Wilk sınaması]]
* [[Cramér-von-Mises kriteri|Smirnov-Cramér-von-Mises sınaması]]
* [[Jarque-Bera sınaması]]

== Kaynakça ==
* D'Agostino, Ralph B., Albert Belanger, and Ralph B. D'Agostino, Jr. "A Suggestion for Using Powerful and Informative Tests of Normality", ''The American Statistician'', Cilt. 44, No. 4. (Kasım., 1990), say. 316-321.

[[Kategori:Normallik sınamaları]]
[[Kategori:Parametrik istatistikler]]
[[Kategori:İstatistiksel sınamalar]]
[[Kategori:Hipotez sınamaları]]
[[Kategori:İstatistiksel yayılma ve sapma]]