Dört boyutlu uzay sayfasının kaynağını görüntüle

{{Ek kaynak gerekli|tarih=Kasım 2022}}
[[Dosya:8-cell-simple.gif|alt=Animation of a transforming tesseract or 4-cube|çerçeveli| Bir [[Küp|kübün]] 4 boyutlu eşdeğeri, burada dört boyutlu uzayda dönerken görülen, ancak gösterim için iki boyuta yansıtılan bir [[tesseract]] olarak bilinir.]]
{{Geometri}}
'''Dört boyutlu uzay''' ('''4B'''), üç boyutlu veya 3 boyutlu uzay kavramının matematiksel bir uzantısıdır. [[Üç boyutlu uzay]], gündelik yaşamdaki nesnelerin boyutlarını veya [[konum]]larını tanımlamak için yalnızca ''[[boyut]]'' adı verilen üç sayıya ihtiyaç duyulduğu gözleminin mümkün olan en basit soyutlamasıdır. Örneğin, dikdörtgen bir kutunun [[Hacim|hacmi]], [[Uzunluk|uzunluğu]], [[Genişlik|genişliği]] ve [[Yükseklik|yüksekliği]] ölçülerek ve çarpılarak bulunur (genellikle ''x'', ''y'' ve ''z'' olarak etiketlenir).

Dördüncü bir boyut ekleme fikri, [[Jean le Rond d'Alembert|Jean le Rond d'Alembert'in]] "Boyutlar"ının 1754'te yayınlanmasıyla başladı,<ref>{{Akademik dergi kaynağı|url=https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00029890.1926.11986607|başlık=Origins of Fourth Dimension Concepts|erişimtarihi=10 Ekim 2022|yazarlar=Cajori|tarih=1926|sayı=8|sayfalar=397-406|çalışma=[[The American Mathematical Monthly]]|yayıntarihi=6 Mart 2018|cilt=33|issn=0002-9890|doi=10.1080/00029890.1926.11986607|ilk=Florian|arşivurl=https://web.archive.org/web/20221010151709/https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00029890.1926.11986607|arşivtarihi=10 Ekim 2022|ölüurl=hayır}}</ref><ref>{{Akademik dergi kaynağı|url=https://www.jstor.org/stable/pdf/2298325.pdf?casa_token=p8bQFJLHlu0AAAAA:dKW55_Jhzs8Gcw2nPaEg4JkOYbbwFh5qS77hZ5QM9B41nzZcT2lbCYxAl9UxOo9JKhqxkiDBZwS_JfS-wNHalEPR_T38qUi6-Q1GI_HMRjVa4RRCvNI|başlık=Origins of Fourth Dimension Concepts|yazarlar=Cajori|sayı=8|sayfalar=397-406|çalışma=The American Mathematical Monthly|yıl=1926|cilt=33|doi=10.1080/00029890.1926.11986607|erişimtarihi=29 Kasım 2022|arşivurl=https://web.archive.org/web/20221129131708/https://www.jstor.org/stable/pdf/2298325.pdf?casa_token=p8bQFJLHlu0AAAAA:dKW55_Jhzs8Gcw2nPaEg4JkOYbbwFh5qS77hZ5QM9B41nzZcT2lbCYxAl9UxOo9JKhqxkiDBZwS_JfS-wNHalEPR_T38qUi6-Q1GI_HMRjVa4RRCvNI|arşivtarihi=29 Kasım 2022|ölüurl=hayır}}</ref> 1700'lerin ortalarında [[Joseph-Louis Lagrange]] tarafından takip edildi ve [[Bernhard Riemann]] tarafından 1854 yılında kavramın kesin bir biçimselleştirmeyle sonuçlandı. 1880'de Charles Howard Hinton,  " [[Tesseract|dört boyutlu küp]] " kavramını çizgilerin, karelerin ve küplerin özelliklerinin genelleştirilmesiyle adım adım açıklayan [[wikisource:What is the Fourth Dimension?|"dördüncü Boyut Nedir?]] " başlıklı bir makalede popüler hale getirdi. Hinton'un yönteminin en basit biçimi, 2 boyutlu uzayda biri diğerini kapsayan, "görünmeyen" bir mesafeyle ayrılan iki sıradan 3 boyutlu küp çizmek ve ardından eşdeğer köşeleri arasında çizgiler çizmektir. Bu, daha büyük bir dış küpün içinde daha küçük bir iç küp gösterdiğinde, eşlik eden animasyonda görülebilir. Bu durumda iki küpün köşelerini birleştiren sekiz çizgi, "görünmeyen" dördüncü boyutta ''tek bir yönü'' temsil ediyor.

Daha yüksek boyutlu uzaylar (yani üçten büyük), o zamandan beri modern matematik ve fiziği resmi olarak ifade etmenin temellerinden biri haline geldi. Bu konuların büyük bir kısmı, bu tür boşluklar kullanılmadan mevcut formlarında var olamazdı. [[Albert Einstein|Einstein'ın]] uzay-zaman kavramı, [[Öklid geometrisi|Öklid]] 4B uzayından biraz daha karmaşık bir [[Minkowski uzayı|Minkowski yapısına]] sahip olmasına rağmen, böyle bir 4 boyutlu [[Uzayzaman|uzay]] kullanır.

4 boyutlu uzayda tek konumlar [[Vektör uzayı|vektörler]] veya ''[[Demet (matematik)|n-demetler]]'' olarak, yani {{Kayma|(''x'', ''y'', ''z'', ''w'')}} gibi sıralı sayı listeleri olarak verilebilir. Yüksek boyutlu alanların tüm zenginliği ve geometrik karmaşıklığı ancak bu tür konumlar daha karmaşık şekillerde birbirine bağlandığında ortaya çıkar. Bu karmaşıklığın bir ipucu, mümkün olan en basit 4 boyutlu  nesnelerden biri olan [[Tesseract|tesseract'ın]] (3 boyutlu [[Küp|kübe]] eşdeğer; ayrıca bkz. [[hiperküp]]) eşlik eden 2 boyutlu animasyonunda görülebilir.

== Tarihi ==
Lagrange, ''Mécanique analytique'' (1755 yıllarında yapılan çalışmalara dayanarak 1788 tarihinde yayınlandı) adlı eserinde [[mekanik]]lerin dört boyutlu bir uzayda çalıştığı görülebileceğini yazdı &#x2014; üç uzay boyutu ve bir zaman boyutu.<ref>Bell, E.T. (1965). ''Men of Mathematics'' (1st&nbsp;ed.). New York: Simon and Schuster. p.&nbsp;154. ISBN&nbsp;<bdi>978-0-671-62818-5</bdi>.</ref>  1827 yılında, [[Möbius]] dördüncü bir boyutun, üç boyutlu bir formun ayna görüntüsü üzerinde döndürülmesine izin vereceğini fark etti;<ref name=":0">Coxeter, H.S.M. (1973). ''Regular Polytopes'' (3rd&nbsp;ed.). New York: Dover Publishing. ISBN&nbsp;<bdi>978-0-486-61480-9</bdi>.</ref> 1853'te, [[Ludwig Schläfli]], [[Platonik cisim|platonik katıların]] [[dört boyutlu benzerleri]] de dahil olmak üzere, daha yüksek boyutlarda var olan tüm düzenli [[politop]]ları keşfetmişti, ancak çalışmaları, ölümünden sonrasına kadar yayınlanmadı.<ref name=":0" /> Yüksek boyutlar, [[Bernhard Riemann|Bernhard Riemann'ın]] herhangi bir koordinat dizisi (x<sub>1</sub>, ..., x<sub>''n''</sub>) olarak bir "nokta" olarak kabul ettiği 1854 tarihli ''Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen'' adlı tezi tarafından kısa süre sonra sağlam temellere oturtuldu. Yüksek boyutlarda geometri, özellikle dört boyut dahil, böylece kurulmuş oldu.

[[Dördey|Kuaternionlar]], bir dördüncü boyut aritmetiği, [[William Hamilton (matematikçi)|William Rowan Hamilton]] tarafından 1843 yılında tanımlandı. Bu [[çağrışımsal cebir]], ''Bir Vektör Analizinin Tarihi'' adlı eserde anlatılan üçüncü boyutta [[vektör analizi]] biliminin kaynağıydı. kısa bir süre sonra, [[Çifte karmaşık sayılar|tessarinler]] ve ortak [[kuaterniyon]]lar, R üzerinden diğer dört boyutlu cebirler olarak tanıtıldı.

Dördüncü boyutun ilk büyük yorumcularından biri, [[Howard Hilton|Howard Hinton]]'du. 1880 yılında ''Dördüncü Boyut Nedir?'' adlı makalesi [[Dublin Üniversitesi]] dergisinde yayınlandı.<ref>{{Kitap kaynağı|başlık=Speculations on the Fourth Dimension: Selected writings of Charles H. Hinton|url=https://archive.org/details/speculationsonfo0000hint|tarih=1980|sayfa=vii|yer=New York|yayıncı=[[Dover Publishing]]|isbn=978-0-486-23916-3|editör-ad=Rudolf v. B.|editör-soyadı=Rucker}}</ref> ''[[Yeni Bir Düşünce Çağı|A New Era of Thought]]'' adlı kitabında ''[[tesseract]]'', ''ana'' ve ''kata'' terimlerini türetti ve ''[[Fourth Dimension]]'' kitabında küpleri kullanarak dördüncü boyutu görselleştirmek için bir yöntem tanıttı.<ref name="Hinton">{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=_ZG3MA1wvjIC&pg=PA14|başlık=The Fourth Dimension|erişimtarihi=17 Şubat 2017|tarih=1993|dil=İngilizce|sayfa=14|yer=Pomeroy, Washington|yayıncı=Health Research|özgünyıl=1904|isbn=978-0-7873-0410-2}}</ref><ref>{{Kitap kaynağı|başlık=Mathematical Carnival: From Penny Puzzles. Card Shuffles and Tricks of Lightning Calculators to Roller Coaster Rides into the Fourth Dimension|tarih=1975|sayfalar=42, 52-53|yer=New York|yayıncı=[[Knopf Publishing|Knopf]]|seri=1st|isbn=978-0-394-49406-7}}</ref>

Hinton'un fikirleri, ''[[Scientific American|Scientific American'da]]'' Ocak 1962'de "[[Matematik Oyunları sütunu]]nda"  tarihinde Martin Gardner tarafından öne çıkarılan "Dördüncü Boyut Kilisesi" adında bir fanteziye ilham verdi. 1886'da [[Victor Schlegel]], dört boyutlu nesneleri [[Schlegel diyagramı|Schlegel diyagramlarıyla]] görselleştirme yöntemini açıkladı.<ref>{{Kitap kaynağı|başlık=Ueber Projectionsmodelle der regelmässigen vier-dimensionalen Körper|dil=de|çeviribaşlık=On projection models of regular four-dimensional bodies|yıl=1886|ilk=Victor}}</ref>

1908'de [[Hermann Minkowski]], [[Einstein]]'ın [[Özel görelilik|özel]] ve [[genel görelilik]] teorilerinin temeli olan [[Uzayzaman|uzay-zamanın]] dördüncü boyutu olarak [[zaman]]ın rolünü pekiştiren bir makale<ref>{{Akademik dergi kaynağı|url=https://en.wikisource.org/wiki/de:Raum_und_Zeit_(Minkowski)|başlık=Raum und Zeit|erişimtarihi=27 Ekim 2022|dil=de|sayfalar=75-88|dergi=Physikalische Zeitschrift|yayıncı=|çeviribaşlık=Space and Time|yıl=1909|ile=Wikisource|cilt=10|soyadı=Minkowski|ad=Hermann|yazarbağı=Hermann Minkowski}}</ref> sundu.<ref name="Møller">{{Kitap kaynağı|url=https://archive.org/details/theoryofrelativi0000mlle|başlık=The Theory of Relativity|tarih=1972|sayfa=[https://archive.org/details/theoryofrelativi0000mlle/page/93 93]|yer=Oxford|yayıncı=Clarendon Press|seri=2nd|isbn=978-0-19-851256-1}}</ref> Ancak, [[Öklid dışı geometri|öklitçi olmayan]] uzayzaman geometrisi, Schläfli ve Hinton tarafından yaygınlaştırılandan ettiğinden oldukça farklıdır. [[Minkowski uzayı]] çalışması, dört boyutlu öklit uzayından oldukça farklı bir matematik gerektiriyordu ve bundan dolayı oldukça farklı çizgiler boyunca gelişti. Bu ayrılma popüler hayal gücünde daha az belirgindi, ayrımı bulanıklaştıran kurgu ve [[felsefe]] eserleri ile, 1973'te H. S. M. Coxeter bunları yazma mecburiyetinde bulundu:
{{Blockquote|Dördüncü Öklid boyutunu "zaman" olarak temsil etmekle çok az şey kazanılır. Aslında, [[The Time Machine|H. G. Wells'in ''Zaman Makinesi'']] adlı eseri, [[Zamanla Bir Deney|John William Dunne (''Zamanla Bir Deney'')]] gibi yazarları Görelilik teorisi hakkında ciddi bir yanılgıya sürüklemiştir. Minkowski'nin uzayzaman geometrisi öklitçi "değildir" ve sonuç olarak bu araştırmayla hiçbir bağlantısı yoktur.|[[H. S. M. Coxeter]]|''Regular Polytopes''<ref name="Coxeter"/>{{rp|119}}}}

== Vektörler ==
Matematiksel olarak, dört boyutlu uzay, bir uzayın dört uzamsal boyutlu halidir, bir noktayı tanımlamak için dört parametreye gerek duyan bir uzaydır bu uzay. Örneğin, şuna eşit konum vektörü a'ya sahip olabilir:

: <math>\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{pmatrix}.</math>

Bu şekilde verilen dört [[standart temel]] vektör ('''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub>, '''e'''<sub>3</sub>, '''e'''<sub>4</sub>), şeklinde yazılabilir

: <math>\mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; \mathbf{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; \mathbf{e}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}; \mathbf{e}_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, </math>

o zaman genel vektör a şuna eşittir:

: <math> \mathbf{a} = a_1\mathbf{e}_1 + a_2\mathbf{e}_2 + a_3\mathbf{e}_3 + a_4\mathbf{e}_4.</math>

Vektörler, üç boyutta olduğu gibi toplar, çıkarır ve ölçeklendirir.

öklitçi üç boyutlu uzayın [[skaler çarpım]]ı dördüncü boyuta şu şekilde genelleşir:

: <math>\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + a_4 b_4.</math>

Bu, bir vektörün normunu ve [[Uzunluk|uzunluğunu]] hesaplamak için kullanılabilir:

: <math> \left| \mathbf{a} \right| = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} } = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + a_4^2},</math>

ve iki sıfır olmayan vektör arasındaki [[açı]] şu şekilde hesaplanabilir veya tanımlanabilir:

: <math> \theta = \arccos{\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\left|\mathbf{a}\right| \left|\mathbf{b}\right|}}.</math>

Minkowski uzayzamanı, skaler çarpımdan farklı, dejenere olmayan bir eşleştirme ile tanımlanan geometriye sahip dört boyutlu bir alandır:

: <math>\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 - a_4 b_4.</math>

Bir örnek olarak, öklitçi ve Minkowskici dört boyutlu uzayda (0,0,0,0) ve (1,1,1,0) noktalarının arası uzaklığın karesi 3'e eşit, aynı zamanda (1,1,1,1) ve (0,0,0,0) noktalarının arası uzaklığın karesi öklitçi uzayda 4 iken Minkowskici uzayda 2'dir; <math>b_4</math>'ü artırmak aslında metrik uzaklığı azaltmaktır. Bu, göreliliğin iyi bilinen görünür "paradokslarına" neden olur.

Skaler çarpım dördüncü boyutta tanımlı değildir. onun yerine [[vektörel çarpım]] bazı uygulamalarda kullanılır ve aşağıdaki gibi tanımlanır:

: <math> \begin{align}
\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{e}_{12} + (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{e}_{13} + (a_1b_4 - a_4b_1)\mathbf{e}_{14} + (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{e}_{23} \\
+ (a_2b_4 - a_4b_2)\mathbf{e}_{24} + (a_3b_4 - a_4b_3)\mathbf{e}_{34}. \end{align}</math>

Bu, temeli olan altı boyutlu bir [[lineer uzay]] oluşturan dört boyutlu [[bivektör]]lerle ('''e'''<sub>12</sub>, '''e'''<sub>13</sub>, '''e'''<sub>14</sub>, '''e'''<sub>23</sub>, '''e'''<sub>24</sub>, '''e'''<sub>34</sub>) bivektör değerlidir. Dördüncü boyutta dönüşler oluşturmak için kullanılabilirler.

== Ortogonallik (diklik) ve kelime dağarcığı ==
Günlük hayatın tanıdık üç boyutlu uzayında, üç [[Koordinat sistemi|koordinat ekseni]] —genelde x, y ve z olarak etiketlenir— vardır ve her biri diğer ikisine diktir (yani [[Dik|ortogonaldir]]). Uzayda altı önemli yön vardır ve bunlar ''kuzey'', ''güney'', ''doğu'', ''batı'', ''yukarı'' ve ''aşağı'' olarak adlandırılır. Bu eksenler boyunca konumlar ''yükseklik'', ''boylam'' ve ''enlem'' olarak adlandırılabilir. Bu eksenler boyunca ölçülen uzunluklar yükseklik, genişlik ve derinlik olarak adlandırılabilir.

Nispeten, dört boyutlu uzay genellikle ''w'' ile etiketlenen ekstradan bir koordinat eksenine sahiptir ve diğer üç eksene diktir. İki ek ana yönü tanımlamak için, [[Charles Howard Hinton]] "yukarıya doğru " ve "aşağıya doğru " anlamına gelen [[Yunanca]] sözcüklerden ''ana'' ve ''kata'' terimlerini türetti."{{Kaynak belirt|date=September 2021}}

Yukarıda da belirtildiği gibi, [[Hermann Minkowski]], ışığın sonlu [[Işık hızı|hızı]] da dahil olmak üzere kozmolojiyi tartışmak için olan dördüncü boyut fikrini kullandı. üç boyutlu uzaya bir zaman boyutunu eklerken alternatif bir dikeylik, [[Hiperbolik ortogonallik|hiperbolik ortogonalliği]] belirtti. Bu kavram, onun dört boyutlu uzayına, kozmosundaki elektromanyetik ilişkilere uygun, değiştirilmiş bir [[eşzamanlılık]] sağladı. Minkowski'nin dünyası, daha önce üç uzay boyutundan ve bir zaman boyutundan oluşan bir evrende kullanılan geleneksel [[mutlak uzay ve zaman]] kozmolojisiyle ilgili sorunların üstesinden geldi.

== Geometri ==
{{Ek kaynak gerekli|tarih=Kasım 2022}}
Ekstra serbestlik derecesi nedeniyle dört boyutlu uzayın geometrisi üç boyutlu uzayın geometrisinden daha karmaşıktır.

Üç boyutta olduğu gibi burada da iki boyutlu poligonlardan oluşan [[polihedra]]lar vardır, dördüncü boyutta polihedralardan oluşan 4-politoplar vardır. Üç boyutta, platonik katılar olarak bilinen 5 düzenli polihedralar vardır. Dördüncü boyutta ise platonik katıların analogları olan 6 dışbükey düzenli 4-politoplar vardır. Düzenlilik koşullarının gevşetilmesi, üç boyutlu 13 yarı düzenli [[Arşimet katısı]]na benzer şekilde, 58 dışbükey [[tekdüze 4-politop]] daha üretir. Dışbükeylik koşullarını gevşetilmesi ise  10 tane daha dışbükey olmayan düzenli 4-politopları oluşturur.
{| class="wikitable"
|+dört boyuttaki düzenli politoplar<br /><br />(Her bir [[Coxeter simetri düzlemi]]nde ortogonal projeksiyonlar olarak görüntülendi)
!A<sub>4</sub>, [3,3,3]
! colspan="2" |B<sub>4</sub>, [4,3,3]
!F<sub>4</sub>, [3,4,3]
! colspan="2" |H<sub>4</sub>, [5,3,3]
|- align="center"
|[[Dosya:4-simplex_t0.svg|120x120pik|altN=4-simplex]]<br /><br />5-cell<br /><br />{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node}}<br /><br />{3,3,3}
|[[Dosya:4-cube_t0.svg|120x120pik|altN=4-cube]]<br /><br />[[tesseract]]<br /><br />{{CDD|node_1|4|node|3|node|3|node}}<br /><br />{4,3,3}
|[[Dosya:4-cube_t3.svg|120x120pik|altN=4-orthoplex]]<br /><br />16-cell<br /><br />{{CDD|node_1|3|node|3|node|4|node}}<br /><br />{3,3,4}
|[[Dosya:24-cell_graph.svg|120x120pik|altN=24-cell]]<br /><br />24-cell<br /><br />{{CDD|node_1|3|node|4|node|3|node}}<br /><br />{3,4,3}
|[[Dosya:600-cell_graph_H4.svg|120x120pik|altN=600-cell]]<br /><br />600-cell<br /><br />{{CDD|node_1|3|node|3|node|5|node}}<br /><br />{3,3,5}
|[[Dosya:120-cell_graph_H4.svg|120x120pik|altN=120-cell]]<br /><br />120-cell<br /><br />{{CDD|node_1|5|node|3|node|3|node}}<br /><br />{5,3,3}
|}
Üç boyutta, bir silindir oluşturmak için bir daire [[ekstrüde]] edilebilir. Dördüncü boyutta ise birkaç tane [[silindir]] benzeri yapılar vardır. Bir küre, bir küresel silindir elde etmek için ekstrüde edilebilir ([[spherinder]] olarak bilinen küresel "kapaklara" sahip bir silindir) ve bir silindir bir silindirik prizma ([[silindirik küp]]) elde etmek için ekstrüde edilebilinir.{{Kaynak belirt|date=March 2022}} İki çemberin [[kartezyen çarpımı]] bir [[Ikilisilindir|ikilisilindir]] oluşturabilir. Her üçü de, her biri kendi özelliklerine sahip olan dört boyutlu uzayda "yuvarlanabilir".

Üç boyutta, [[eğim]]ler [[düğüm]]lenebilir ancak [[yüzey]]ler düğümlenemez (kendi kendine kesişmedikçe). Dördüncü boyutta ise, halbuki, eğriler kullanılarak yapılan düğümler, dördüncü yönde yer değiştirilerek basit bir şekilde çözülebilir—ancak iki boyutlu yüzeyler önemsiz olmayan, kendisiyle kesişmeyen düğümleri dört boyutlu uzayda oluşturabilir.<ref>{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=TIGVq4GeEM4C|başlık=Knotted Surfaces and Their Diagrams|yayıncı=[[American Mathematical Society]]|isbn=978-0-8218-7491-2}}</ref>&nbsp; Çünkü bu yüzeyler iki boyutlu, üç boyutlu uzayın oluşturabileceği düğümlerden daha karmaşıklarını oluşturabilirler. [[Klein şişesi]] bu tür düğümlenmiş bir yüzey örneğidir.&nbsp;Bu türden başka bir yüzey, [[gerçek yansıtmalı düzlem]]dir.&nbsp;

=== Hiperküre ===
[[Dosya:Clifford-torus.gif|sağ|küçükresim|upright=1.16|Bir [[Clifford torusu]]nun [[Stereografik izdüşümü|stereografik iz düşümü]]: [[3-küre]]nin bir alt kümesi olan noktalar kümesi (cos(a), sin(a), cos(b), sin(b)).]]
Öklid [[4-uzayında]] sabit bir P<sub>0</sub> noktasına aynı R uzaklığına sahip noktalar kümesi, 3-küre olarak bilinen bir [[hiperyüzey]] oluşturur. Kapalı uzayın hiper-hacmi:

: <math> \mathbf V = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \pi^2 R^4</math>

Bu, [[Genel görelilik]]te [[Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker metriği]]nin bir parçasıdır. burada R, R(t) fonksiyonu ile ikame edilir ve t, evrenin kozmolojik yaşı anlamına gelir. R'nin zamanla büyümesi veya küçülmesi, içindeki kütle yoğunluğuna bağlı olarak [[evrenin genişlemesi]] veya çökmesi anlamına gelir.<ref>{{Kitap kaynağı|başlık=Introducing Einstein's Relativity|url=https://archive.org/details/introducingeinst0000dinv|tarih=1998|sayfa=[https://archive.org/details/introducingeinst0000dinv/page/n334 319]|yer=Oxford|yayıncı=Clarendon Press|seri=Reprint|isbn=978-0-19-859653-0}}</ref>

== Biliş ==
[[Sanal gerçeklik|Sanal gerçekliği]] kullanan araştırmalar, insanların üç boyutlu bir dünyada yaşamalarına rağmen, özel bir uygulama olmaksızın, uzunluklarının (tek boyutlu) ve açılarının (iki boyutlu) arasında bağlı olarak dört boyutlu uzaya gömülü çizgi parçaları hakkında uzamsal yargılarda bulunabildiklerini ortaya koymaktadır.<ref name="Ambinder">{{Akademik dergi kaynağı|url=https://link.springer.com/article/10.3758/PBR.16.5.818|başlık=Human four-dimensional spatial intuition in virtual reality|yazarlar=Ambinder|tarih=October 2009|yazarlarıgöster=2|sayı=5|sayfalar=818-823|çalışma=[[Psychonomic Bulletin & Review]]|cilt=16|pmid=19815783|doi=10.3758/PBR.16.5.818|arşivurl=https://web.archive.org/web/20221027194729/https://link.springer.com/article/10.3758/PBR.16.5.818|arşivtarihi=27 Ekim 2022|ölüurl=hayır}}</ref> Araştırmacılar "çalışmamızdaki katılımcıların bu görevlerde çok az pratiği vardı ve dört boyutlu sanal ortamlarda artan algısal deneyimle daha sürdürülebilir, kesin ve daha zengin 4 boyutlu temsiller elde etmenin mümkün olup olmadığı açık bir soru olmaya devam ediyor" şeklinde not etti.<ref name="Ambinder" /> Bir diğer çalışmada,<ref name="Aflalo">{{Akademik dergi kaynağı|url=https://grazianolab.princeton.edu/sites/default/files/graziano/files/aflalo_08.pdf|başlık=Four-dimensional spatial reasoning in humans|erişimtarihi=20 Ağustos 2020|yazarlar=Aflalo|tarih=2008|sayı=5|sayfalar=1066-1077|çalışma=Journal of Experimental Psychology: Human Perception and Performance|cilt=34|pmid=18823195|doi=10.1037/0096-1523.34.5.1066|arşivurl=https://web.archive.org/web/20201009182018/https://grazianolab.princeton.edu/sites/default/files/graziano/files/aflalo_08.pdf|arşivtarihi=9 Ekim 2020|ölüurl=hayır}}</ref> insanların kendilerini yönlendirme yeteneği iki, üç ve dört boyutlu labirentlerde test edildi. Her labirent, rastgele uzunlukta dört yol parçasından oluşuyordu ve ortogonal rastgele virajlarla bağlanıyordu ama bu labirentlerde ayrılmalar veya döngüler yoktu (yani aslında [[labirent]]ler). Grafik arayüz [[John McIntosh|John McIntosh'un]] ücretsiz olan dört boyutlu labirent oyunundan baz alınmıştı.<ref name="McIntosh">{{Web kaynağı | url = https://www.urticator.net/maze/ | başlık = 4D Maze Game | erişimtarihi = 16 Aralık 2016 | tarih = November 2002 | çalışma = urticator.net | ilk = John | arşivurl = https://web.archive.org/web/20021214143943/https://www.urticator.net/maze/ | arşivtarihi = 14 Aralık 2002}}</ref> Katılan kişilerin yol boyunca ilerlemesi ve sonunda başlangıç &#8203;&#8203;noktasına geri giden doğrusal yönü tahmin etmesi gerekiyordu. Araştırmacılar, bazı katılımcıların 4 boyutta biraz uygulama yaptıktan sonra yollarını zihinsel olarak bütünleştirebildiklerini buldular (düşük boyutlu durumlar karşılaştırma içindi ve katılımcıların yöntemi öğrenmesi içindi).

== Boyutsal Benzeşim ==
[[Dosya:Tesseract_net.svg|küçükresim|Bir tesserakt ağı]]
Dört boyutsal uzayın doğasını anlamak için, ''boyutsal benzeşim'' adlı bir araç kullanılır. Boyutsal benzetme, (''n − 1'') boyutlarının ''n'' boyutlarıyla nasıl ilişkili olduğunun incelenmesi ve sonra ''n'' boyutlarının (''n + 1'') boyutlarıyla nasıl ilişkili olacağı konusunda çıkarım yapılmasıdır.<ref>{{Kitap kaynağı|başlık=Hyperspace: A Scientific Odyssey Through Parallel Universes, Time Warps, and the Tenth Dimension|tarih=1995|sayfalar=Part I, Chapter 3|yer=Oxford|yayıncı=[[Oxford University Press]]|seri=reissued|başlıkbağı=Hyperspace (book)|isbn=978-0-19-286189-4}}</ref>

Boyutsal benzeşim [[Edwin Abbot Abbott]] tarafından yüzeyi bir kağıt parçası gibi olan iki boyutta yaşayan bir karenin hikâyesini anlatan ''[[Flatland]]'' adlı kitapta kullanıldı. Bu karenin perspektifinden üçüncü boyutsal bir varlık, kasayı kırmadan objeleri çıkarabilmek (üçüncü boyut içerisinde hareket ettirerek) gibi tanrısal güçlere sahiptir, iki boyutlu perspektiften duvarların arasında kalan her şeyi görebilir ve üçüncü boyutta birkaç santim uzakta durarak tamamen görünmez kalabilir.

Boyutsal benzetme detaylarından, üç boyutlu bir perspektiften bakıldığında, dört boyutlu bir varlığın benzer yeteneklere sahip olabileceği sonucuna varılabilir. Rudy Rucker, ana kahramanın bu tür güçler sergileyen dört boyutlu varlıklarla karşılaştığı ''[[Spaceland]]'' adlı romanında bunu konu alıyor.

=== Kesitler ===
Üç boyutlu bir nesne iki boyutlu bir düzlemden geçerken, bu düzlemdeki iki boyutlu varlıklar bu düzlemdeki üç boyutlu nesnenin yalnızca bir enine [[kesit]]ini gözlemleyeceklerdir. Örneğin, eğer bir küre bir kağıdının içinden geçerse, kağıt düzlemindeki varlıklar ilk başta sadece bir nokta görürdü, sonra bu nokta, kürenin yarıçapına ulaşana kadar büyürdü ve en sonunda bir noktaya dönüşüp yok olana kadar yeniden küçülürdü. İki boyutlu varlıklar, üç boyutlu varlıkların gördüğü gibi bir küre görmezlerdi; onun yerine, bir boyutlu "retinalarından" çemberin bir boyutlu yansımasını görürlerdi. Benzer bir şekilde, eğer dört boyutlu bir nesne üç boyutlu bir (hiper) yüzeyden geçecek olursa, dört boyutlu bir objenin üç boyutlu bir kesiti gözlemlenebilir. Örneğin, bir [[hiperküre]] ilk başta bir nokta olarak ortaya çıkardı, daha sonra bir (hiperkürenin hiperçapına ulaşana dek) küre olarak büyürdü, en sonunda küçülerek bir nokta olarak yok olurdu.<ref>{{Kitap kaynağı|başlık=The Fourth Dimension: A Guided Tour of the Higher Universe|tarih=1996|sayfa=18|yer=Boston|yayıncı=[[Houghton Mifflin]]|isbn=978-0-395-39388-8}}</ref> Dördüncü boyutun yönlerini görselleştirmenin bu yolu, ''Flatland'' romanında ve [[Charles Howard Hinton]]'ın bazı çalışmalarında kullanıldı.<ref name="Hinton"/>{{Rp|11–14}} Aynı zamanda, üç boyutlu varlıklar (örneğin iki boyutlu retinaya sahip bir insan) iki boyutlu bir nesnenin içini ve bütün etrafını aynı anda görebilir, bir dört boyutlu varlık da üç boyutlu bir nesnenin içini ve bütün etrafını üç boyutlu retinalarıyla aynı anda görebilir.

=== Yansıtmalar ===
Daha yüksek boyutları görselleştirmede boyutsal benzeşimin (analojinin) yararlı bir uygulaması [[projeksiyon]]dadır (iz düşümündedir). iz düşümü, ''n'' boyutlu bir nesneyi {{math|''n'' − 1}} boyutlarda temsil etmenin bir yoludur. Örneğin, bilgisayar ekranları iki boyutludur, üç boyutlu insanların, yerlerin ve varlıkların bütün fotoğrafları düz bir yüzeye yansıtılarak iki boyutlu olarak temsil edilir. Bunu yaparak, ekrana dik olan boyut (''derinlik'') silinir ve dolaylı bilgi ile değiştirilir. [[Göz]] [[retina]]sı aynı zamanda [[Reseptör (biyoloji)|reseptörlerin]] iki boyutlu bir dizisidir ancak beyin, üç boyutlu nesnelerin doğasını dolaylı bilgilerden ([[gölgeleme]], önceden kısaltma, [[binoküler görüş]] vb.) algılayabilme kabiliyetine sahiptir. [[Artist|Sanatçılar]] genellikle iki boyutlu resimlere üç boyutlu derinlik yanılsaması vermek için [[perspektif]] kullanırlar. Şekillerde gösterildiği gibi, düz bir yüzey üzerinde dönen bir tesseract'ın hayali bir ızgara modeli tarafından oluşturulan gölge, aynı zamanda projeksiyonların sonucudur.

Benzer şekilde, dördüncü boyuttaki nesneler, daha uygun bir şekilde incelenebilecekleri tanıdık üç boyuta matematiksel olarak yansıtılabilir. Bu durumda, dört boyutlu bir gözün 'retina'sı, üç boyutlu bir reseptör dizisidir. Böyle bir göze sahip varsayımsal bir varlık, retinasındaki üç boyutlu görüntülerdeki dolaylı bilgilerden dört boyutlu derinliği çıkarsayarak dört boyutlu nesnelerin doğasını algılayacaktır.

Üç boyutlu nesnelerin gözün retinasına perspektif projeksiyonu, beynin üçüncü boyutta derinlik olarak yorumladığı, önceden kısaltma gibi eserler ortaya çıkarır. Aynı şekilde, dördüncü boyutlardan olan perspektif iz düşümü, önceden kısaltmalı benzer efektler üretir. Boyutsal benzeşim uygulayarak, bu etkilerden dört boyutlu "derinlik" çıkarılabilir.

Bu ilkenin bir örneği olarak, aşağıdaki görüntü dizisi, üç boyutlu [[küp]]ün çeşitli görünümlerini dört boyutlu tesseract'ın üç boyutlu uzaya benzer iz düşümleriyle karşılaştırır.
{| class="wikitable"
!Küp
!Tesseract
!Açıklama
|-
|[[Dosya:Cube-face-first.png|160x160pik]]
|[[Dosya:Tesseract-perspective-cell-first.png|160x160pik]]
|Soldaki görsel, önden bakıldığında bir küptür. Tesseract'ın 4 boyutlu benzer bakış açısı, sağda gösterilen hücre öncelikli perspektif iz düşümüdür. İkisi arasında bir benzetme yapılabilir: Küpün bir kareye yansıması gibi, tesseract da bir kübe yansır.

Küpün diğer 5 yüzünün burada görülmediğine dikkat edin. Görünen yüz tarafından gizlenmiş durumdalar. Benzer olarak, tesseract'ın diğer 7 hücresi de burada gözükmemektedir çünkü görünen hücre tarafından gizlenmiş durumdadır
|-
|[[Dosya:Cube-edge-first.png|160x160pik]]
|[[Dosya:Tesseract-perspective-face-first.png|160x160pik]]
|Soldaki görsel, aynı kübün yandan bakılmış halidir. Bir tesseract'ın benzer bakış açısı, sağda gösterilen '''ilk yüz perspektif iz düşümüdür'''. Küpün önce kenar iz düşümünün iki [[yamuk]]tan oluştuğu gibi, tesseract'ın yüz ilk iz düşümü de iki [[frustum]]dan oluşmuştur.
Bu görüntüde, küpün en yakın kenarı, kırmızı ve yeşil yüzler arasında kalan kenardır. Aynı şekilde, tesseract'ın en yakın yüzü kırmızı ve yeşil hücreler arasında yer alan yüzüdür.
|-
|[[Dosya:Cube-vertex-first.png|160x160pik]]
|[[Dosya:Tesseract-perspective-edge-first.png|160x160pik]]
|Solda, köşeleri öncelikli görüntülenen bir küp var. Bu, sağda gösterilen tesseract'ın '''birinci kenar perspektif iz düşümüne''' benzer. Küpün birinci köşe iz düşümünün bir tepe noktasını çevreleyen 3 deltoidden oluşması gibi, tesseract'ın birinci kenar iz düşümünde de bir kenarı çevreleyen 3 altı yüzlü hacim bulunur. Küpün en yakın tepe noktasının üç yüzün birleştiği nokta olması gibi, tesseract'ın en yakın kenarı da projeksiyon hacminin merkezinde, üç hücrenin buluştuğu noktadır.
|-
|[[Dosya:Cube-edge-first.png|160x160pik]]
|[[Dosya:Tesseract-perspective-edge-first.png|160x160pik]]
|Tesseract'ın birinci kenar projeksiyonu ile küpün birinci kenar projeksiyonu arasında farklı bir benzeşim çizilebilir. Küpün birinci kenar iz düşümünde bir kenarı çevreleyen iki [[yamuk]] bulunurken, tesseract'ta bir kenarı çevreleyen üç altı yüzlü hacim bulunur
|-
|[[Dosya:Cube-vertex-first.png|160x160pik]]
|[[Dosya:Tesseract-perspective-vertex-first.png|160x160pik]]
|Solda küpün köşe ağırlıklı görseli bulunmaktadır Tesseract'ın '''köşe ağırlıklı perspektif iz düşümü''' sağda gösterilmiştir. Küpüm köşe ağırlıklı iz düşümü, bir köşenin etrafını saran üç dörtgene sahiptir ancak tesseract'ın köşe ağırlıklı iz düşümü ise bir köşeyi saran dört tane altı yüzlüye sahiptir. Nasıl küpün en yakın köşesi görüntünün merkezinde yer alıyorsa, tesseract'ın en yakın köşesi de yansıtılan hacmin sınırında değil, iç merkezinde, dört hücrenin hepsinin birleştiği yerde bulunur.
Burada küpün 6 &#8203;&#8203;yüzünün yalnızca üçünün görülebildiğine dikkat edin, çünkü diğer 3 yüzü bu üç yüzün arkasında, küpün karşı tarafında yer alır. Benzer şekilde, burada tesseract'ın 8 hücresinden sadece 4'ü görülebilmektedir; kalan 4 tanesi, tesseract'ın uzak tarafında, dördüncü yönde bu 4'ün arkasında yer alır.
|}

=== Gölgeler ===
iz düşümüyle yakından ilgili bir kavram, gölgelerin dökümüdür.
[[Dosya:Schlegel_wireframe_8-cell.png|sağ|200x200pik]]
Eğer üç boyutlu bir nesneye ışık düşerse, iki boyutlu bir gölge oluşur. Boyutsal benzeşimle, iki boyutlu bir uzayda iki boyutlu bir nesneye ışık düşerse bir boyutlu bir gölge oluşur ve tek boyutlu bir uzayda tek boyutlu bir nesneye ışık düşerse sıfır boyutlu bir gölge oluşturur, bu da ışığın olmadığı bir nokta anlamına gelir. Öte yandan, dört boyutlu bir nesneye ışık düşerse üç boyutlu bir gölge oluşabileceği çıkarımında bulunulabilir.

Eğer bir küpün telden bir kafesi üstten aydınlatılırsa bu kafesin iki boyutlu bir düzlemde oluşan gölgesi, iç içe geçmiş ve karşılık gelen köşeleri bağlı olan bir kare içinde kare şeklinde görünür. Benzer olarak, eğer bir tesseract'ın telden bir kafesi "üst"ten (dördüncü boyutta) aydınlatılırsa, gölgesi havada asılı duran üç boyutlu bir küpün içinde üç boyutlu bir küp olurdu. (dört boyutsal perspektiften bir "düz" yüzey). (Teknik olarak, burada gösterilen görsel temsilin aslında dört boyutlu tel kafes şeklinin üç boyutlu gölgesinin iki boyutlu bir görüntüsü olduğuna dikkat edin.)

=== Sınırlayıcı Hacimler ===
Boyutsal benzeşim aynı zamanda daha yüksek boyutlardaki nesnelerin temel özelliklerini çıkarmaya yardımcı olur. Örneğin, iki boyutlu nesneler tek boyutlu sınırlarla sınırlanmıştır: bir kare dört kenar ile sınırlıdır. Üç boyutlu nesneler ise iki boyutlu sınırlarla sınırlanmıştır: bir küp 6 eş kare yüz ile sınırlıdır. boyutsal benzeşim uygulayarak, dört boyutlu küp olarak da tanımlanan [[tesseract]], üç boyutlu hacimlerle sınırlı olduğu sonucuna varılabilir. Aslında, bu durumda: matematik bir tesseract'ın 8 küp tarafından sınırlandığını gösterir. Bunu bilmek, tesseract'ın üç boyutlu projeksiyonunun nasıl yorumlanacağını anlamanın anahtarıdır. Tesseract'ın sınırları, yalnızca iki boyutlu yüzeylere değil, görüntüdeki hacimlere yansıtılır.

=== görsel kapsam ===
İnsanlar, üç boyutlu bir uzayda varlıklar olarak mekânsal bir benlik algısına sahiptir, ancak görsel olarak bir boyut daha az sınırlıdır: gözler, retina yüzeyinde dünyayı iki boyutlu bir iz düşümü olarak görür. Dört boyutlu bir varlığın dünyayı bir hiperyüzey iz düşümlerinde görebildiği varsayarsak, aynı zamanda sadece bir boyuttan az olan, yani üç boyuttan, örneğin opak bir kutunun altı yüzünün hepsini aynı anda ve aslında içinde ne olduğunu görebilecekti. Tıpkı insanların bir kağıt parçası üzerindeki dikdörtgenin içini ve dört kenarını aynı anda görebilmesi gibi.{{Kaynak belirt|date=September 2020}} Varlık, katı 3 boyutlu nesnelerin iç yapısı da dahil olmak üzere 3 boyutlu bir alt uzaydaki tüm noktaları, iki boyutlu projeksiyonlarda üç boyutlu insan bakış açılarından gizlenen şeyleri aynı anda ayırt edebilecektir. Beyin, iki boyutlu görüntüleri alır ve üç boyutlu nesneleri resmetmeye yardımcı olmak için akıl yürütmeyi kullanır.

=== Sınırlamalar ===
Benzer alt boyutlardan benzeşim yoluyla akıl yürütme, mükemmel bir sezgisel rehber olabilir ancak daha titiz bir şekilde test edilmemiş sonuçları kabul etmemeye özen gösterilmelidir. Örneğin, çemberin alanını veren formülü (<math>A = \pi r^2</math>) ve bir kürenin hacmini veren formülü (<math display="inline">V = \frac{4}{3}\pi r^3</math>) ele alalım. Dört boyutlu uzayda 3-kürenin hacminin <math>V=6\pi r^3</math> olduğu tahmin edilebilir ya da belki<math>V=8\pi r^3</math>, ancak ikisi de doğru değildir. Asıl formül <math>V=2\pi^2 r^3</math>formülüdür.<ref name="Coxeter">{{Kitap kaynağı|url=https://archive.org/details/regularpolytopes0000coxe|başlık=Regular Polytopes|tarih=1973|yer=New York|yayıncı=Dover Publishing|seri=3rd|isbn=978-0-486-61480-9}}</ref>&hairsp;119&hairsp;

== Ayrıca bakınız ==
{{Div sütunu}}
*[[4-politop]]
*[[4-manifold]]
*[[Egzotik R4|Egzotik '''R'''<sup>4</sup>]]
*[[Dördüncü boyutizm]]
*[[Sanatta dördüncü boyut]]
*[[Edebiyatta dördüncü boyut]]
*[[Dört boyutlu oyunların listesi]]
*[[cip Eugene]]
*[[Fizikte zaman]]
*[[Uzayzaman]]
{{Div sütunu-son}}

== Kaynakça ==
<references responsive="0"></references>

== Konuyla ilgili yayınlar ==

* {{Akademik dergi kaynağı|url=https://www.ams.org/journals/bull/1914-20-08/S0002-9904-1914-02511-X/S0002-9904-1914-02511-X.pdf|başlık=Time as a Fourth Dimension|sayfalar=409-412|çalışma=Bulletin of the American Mathematical Society|yıl=1914|erişimtarihi=29 Kasım 2022|arşivurl=https://web.archive.org/web/20221129131708/https://www.ams.org/journals/bull/1914-20-08/S0002-9904-1914-02511-X/S0002-9904-1914-02511-X.pdf|arşivtarihi=29 Kasım 2022|ölüurl=hayır}}
* Andrew Forsyth (1930) [[iarchive:geometryoffourdi032760mbp|Geometry of Four Dimensions]], link from [[Internet Archive]].
* {{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=EZbcwk6SkhcC|başlık=One Two Three . . . Infinity: Facts and Speculations of Science|sayfa=68|yayıncı=Courier Dover Publications|seri=3rd|yıl=1988|isbn=978-0-486-25664-1}} [https://books.google.com/books?id=EZbcwk6SkhcC&pg=PA68 Extract of page 68]
* E. H. Neville (1921) [http://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/ABR2619.0001.001?rgn=works;view=toc;rgn1=author;q1=Neville ''The Fourth Dimension''] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20221129131710/https://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/ABR2619.0001.001?rgn=works;view=toc;rgn1=author;q1=Neville |tarih=29 Kasım 2022 }}, [[Cambridge University Press]], link from [[Michigan Üniversitesi|University of Michigan]] Historical Math Collection.

== Dış Bağlantılar ==

* [http://www.dimensions-math.org "Dimensions" videos, showing several different ways to visualize four dimensional objects] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20090919135359/http://www.dimensions-math.org/ |tarih=19 Eylül 2009 }}
* [http://www.sciencenews.org/index/generic/activity/view/id/35740/title/Math_Trek__Seeing_in_four_dimensions ''Science News'' article summarizing the "Dimensions" videos, with clips] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20120929062930/http://www.sciencenews.org/index/generic/activity/view/id/35740/title/Math_Trek__Seeing_in_four_dimensions |tarih=29 Eylül 2012 }}
* [[wikisource:Flatland (second edition)|''Flatland: a Romance of Many Dimensions'' (second edition)]]
* [http://www.math.union.edu/~dpvc/math/4D/welcome.html Frame-by-frame animations of 4D - 3D analogies] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20160702213817/http://www.math.union.edu/~dpvc/math/4D/welcome.html |tarih=2 Temmuz 2016 }}
{{Dimension topics}}
{{Otorite kontrolü}}

[[Kategori:4 (sayı)]]
[[Kategori:Özel görelilik]]
[[Kategori:Çok boyutlu geometri]]
[[Kategori:Boyut]]
[[Kategori:Dört boyutsal geometri]]