Diferansiyel denklem sayfasının kaynağını görüntüle

{{Kalkülüs}}
[[Matematik]]te, '''diferansiyel denklem''', bir ya da birden fazla [[fonksiyon]]u ve bunların [[türev]]lerini ilişkilendiren [[denklem]]dir.<ref name="Zill2012">{{Kitap kaynağı|yazar=Dennis G. Zill|başlık=A First Course in Differential Equations with Modeling Applications|url=https://books.google.com/books?id=pasKAAAAQBAJ&printsec=frontcover#v=snippet&q=%22ordinary%20differential%22&f=false|tarih=15 Mart 2012|yayıncı=Cengage Learning|isbn=1-285-40110-7|erişimtarihi=27 Ağustos 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20200117230630/https://books.google.com/books?id=pasKAAAAQBAJ&printsec=frontcover#v=snippet&q=%22ordinary%20differential%22&f=false|arşivtarihi=17 Ocak 2020|ölüurl=hayır}}</ref> [[Fizik]], [[kimya]], [[mühendislik]], [[biyoloji]] ve [[ekonomi]] alanlarında [[matematiksel model]]ler genellikle diferansiyel denklemler kullanılarak ifade edilirler. Bu denklemlerde, fonksiyonlar genellikle fiziksel ya da finansal değerlere, fonksiyon türevleriyse değerlerin değişim hızlarına denk gelir.

== Çeşitleri == 
Diferansiyel denklemler temel olarak iki kola ayrılırlar: 
# [[Normal diferansiyel denklemler]] (veya [[adi diferansiyel denklemler]])
# [[Kısmi diferansiyel denklemler]] .

Diferansiyel denklemler bilinmeyenlerin birbirleri ve katsayılarla ilgili konumlarına göre: [[Doğrusal diferansiyel denklemler]], [[Doğrusal olmayan diferansiyel denklemler]] olarak da gruplanmaktadır. Doğrusal denklemlerin teorisi gelişmiş olmasına rağmen doğrusal olmayan denklemlerin keyfiyet analizi zordur ve bazen mümkün değildir. Bu durumlarda [[sayısal analiz]] teknikleri uygulanır.

[[Kısmi diferansiyel denklemler]], [[katsayı]]ların durumlarına ve zamana ait [[türev]]in mevcudiyetine göre 
# [[Eliptik diferansiyel denklemler]] 
# [[Parabolik diferansiyel denklemler]] 
# [[Hiperbolik diferansiyel denklemler]] şeklinde alt gruplara ayrılırlar. 
Son iki tip denklem, zamana ait [[türev]]in mevcudiyetinden ötürü [[evrimsel]] olarak isimlendirilir.

Modern uygulamaların zorlaması ile ortaya çıkan: 
# [[Stokastik diferansiyel denklemler]]
# [[Gecikmeli diferansiyel denklemler]] 
tiplerindeki denklemler yukardakilerden farklı olarak değerlendirilebilirler.

Sabit ortamlarda denklemler verilere göre: 
# [[Başlangıç değer]] 
# [[Sınır değer problemi|Sınır değer]] 
şeklinde sınıflandırılırlar. Sabit olmayan bir ortamda tanımlı denklemlere [[Serbest sınır değer problemleri]] veya [[Hareketli sınır değer problemleri]] denir.

Birçok denklemden oluşan ilişkilere denklem sistemi adı verilir.

== Diferansiyel Denklemlerin Tarihi ==
Diferansiyel denklemler, [[Isaac Newton]] ve [[Gottfried Leibniz]]'in [[Kalkülüs]]'ü ortaya atması ile başlar. [[Isaac Newton]], 1671 yılında yayınlanan ''Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum''<ref>Newton, Isaac. (c.1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (The Method of Fluxions and Infinite Series), published in 1736 [Opuscula, 1744, Vol. I. p. 66].</ref> isimli kitabının ikinci bölümünde üç tip diferansiyel denklem tanımlamıştır:

* <math>\frac{dy}{dx} = f(x)
</math>
* <math>\frac{dy}{dx}=f(x,y)</math>
* <math>x_1 \frac{\partial y}{\partial x_1} + x_2 \frac{\partial y}{\partial x_2} = y</math>

Tüm durumlarda <math>y</math>, <math>x</math>'in bilinmeyen bir fonksiyonu (ya da <math>x_1
</math>ve <math>x_2

</math>'nin) ve <math>f

</math> verilmiş bir fonksiyondur.

[[Isaac Newton]] bu ve diğer örnekleri kitabında [[Sonsuz seriler]] yöntemini kullanarak çözer ve çözümlerin yalnız bir tane olup olmadığını sorgular.

[[Jakob Bernoulli|Jakob Bernouilli]] 1695 yılında [[Bernoulli diferansiyel denklemi]]'ni ortaya attı<ref>Bernoulli, Jacob (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", ''Acta Eruditorum''</ref> ve bu denklem şu formda bir [[Adi diferansiyel denklemler|Adi diferansiyel denklem]]dir:

<math>y \prime + P(x)y= Q(x)y^n</math>

Sonraki yıllarda [[Gottfried Leibniz]] bu denklemin çözümünü, denklemi basitleştirerek bulmuştur.<ref>Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), ''Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems'', Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0</ref>

[[Dosya:Elmer-pump-heatequation.png|küçükresim|upright=1.59|[[Isı denklemi]] çözülerek oluşturulan bir pompa gövdesindeki ısı transferinin görselleştirilmesi.]]

[[Isı]] gövdenin içinde üretilir ve sınırda soğutularak sabit durumlu bir sıcaklık dağılımı sağlanır.

==Uygulamalar==
Diferansiyel denklemlerin etüdü, [[Soyut matematik|soyut]] ve [[uygulamalı matematik]], [[fizik]] ve [[mühendislik]]te geniş bir alandır. Bu bilim dallarınının tümü, çeşitli türlerdeki diferansiyel denklemlerin özellikleri ile ilgilidir.

Soyut matematik, çözümlerin varlığına ve benzersizliğine odaklanırken, uygulamalı matematik, çözümlere yaklaşım yöntemlerinin kesin gerekçesini vurgular.

Diferansiyel denklemler, göksel hareketten köprü tasarımına ve nöronlar arasındaki etkileşimlere kadar neredeyse her fiziksel, teknik veya biyolojik sürecin modellenmesinde önemli bir rol oynar.

Gerçek hayat problemlerini çözmek için kullanılanlar gibi diferansiyel denklemler, mutlaka doğrudan çözülebilir olmayabilir, yani kapalı biçimli çözümleri yoktur. Bunun yerine, çözümler sayısal yöntemler kullanılarak yaklaşık olarak bulunabilir.

[[Fizik]] ve [[kimya]] ile ilgili birçok temel yasa diferansiyel denklemlerle formülleştirilebilir. [[Biyoloji]] ve [[Ekonomi (bilim dalı)|ekonomi]]'de karmaşık sistemlerin davranışını [[Matematiksel model|model]] için diferansiyel denklemler kullanılır.

Diferansiyel denklemlerin matematiksel teorisi, ilk olarak denklemlerin ortaya çıktığı ve sonuçların uygulama bulduğu bilimlerle birlikte gelişti. Ancak, bazen oldukça farklı bilimsel alanlardan kaynaklanan çeşitli problemler, aynı diferansiyel denklemlere yol açabilir. Bu olduğunda, denklemlerin arkasındaki matematiksel teori, çeşitli doğa olaylarının arkasındaki birleştirici bir ilke olarak görülebilir. Örneğin atmosferdeki ışık ve sesin ve bir havuz yüzeyinde dalgaların yayılmasını düşünün. Hepsi aynı ikinci dereceden [[kısmi diferansiyel denklem]] olan [[dalga denklemi]] ile tanımlanabilir, bu ise ışık ve sesin dalga şekillerini sudaki bilinen dalgalar gibi düşünmemizi sağlar. Teorisi [[Jean-Baptiste Joseph Fourier|Joseph Fourier]] tarafından geliştirilen ısı iletimi, başka bir ikinci dereceden kısmi diferansiyel denklem olan [[ısı denklemi]] ile ifade edilir. Görünüşe göre farklı görünen birçok [[difüzyon]] işleminin aynı denklemle tanımlandığı ortaya çıkmıştır örn. finanstaki [[Black-Scholes eşitliği|Black–Scholes]] denklemi, ısı denklemi ile ilişkilidir.

Doğada ve teknolojide çok sayıda doğa olayı, diferansiyel denklemler ve bunlara dayalı matematiksel modeller ile tanımlanabilir. Bazı tipik örnekler şunlardır:

* Birçok [[fizik]]sel teori, diferansiyel denklemlere dayanır: [[Klasik mekanik|Newton mekaniği]]'nde [[Hareket (fizik)|hareket denklemleri]] veya [[salınım]]lar, yük bileşenlerinin davranışı, [[Klasik elektromanyetizma|elektrodinamik]], [[Maxwell denklemleri]], [[kuantum mekaniği]] [[Schrödinger denklemi]] ile ifade edilir.
* [[Astronomi]]'de gök cisimlerinin [[Gök mekaniği|yörüngeleri]] ve güneşin içindeki [[türbülans]],
* [[Biyoloji]]'de büyüme, [[Akışkanlar mekaniği|akışkanlar]] veya [[Kas sistemi|kas]]lar veya Evrim teorisindeki süreçler.
* [[Kimya]]'da [[Kimyasal kinetik|reaksiyonların kinetiği]],
* [[Elektrik mühendisliği]]'nde [[Elektrik devresi|elektrik devreleri]]'nin enerji depolama elemanlarıyla davranışı,
* [[Diferansiyel geometri]]'de yüzeylerin davranışı,
* [[Akışkanlar mekaniği]]'nde bu akışların davranışı,
* [[Ekonomi (bilim dalı)|Ekonomi]]'de ekonomik büyüme süreçlerinin analizi.
* [[Bilgisayar bilimi|Bilişim]]'de, resim-restorasyonu (resimlerden yazı veya logoların hesaplanması)<ref>{{Akademik dergi kaynağı
 |author= Peterson, Ivars
 |yıl= 2002
 |başlık= Filling in Blanks
 |dergi= Science News
 |cilt= 161
 |sayı= 19
 |sayfalar= 299-300
 |url= http://findarticles.com/p/articles/mi_m1200/is_19_161/ai_104730239/
 |erişimtarihi= 11 Mayıs 2008
 |doi= 10.2307/4013521
 |yayıncı= Society for Science &#38
 |arşivurl= https://web.archive.org/web/20090627135955/http://findarticles.com/p/articles/mi_m1200/is_19_161/ai_104730239/
 |arşivtarihi= 27 Haziran 2009
 |ölüurl= hayır
 }}</ref>

Diferansiyel denklemler alanı matematiğe belirleyici bir ivme kazandırdı. Güncel matematik araştırmalarının birçok bölümü farklı türdeki diferansiyel denklemlerin varlığı, tekliği ve kararlılık teorisi üzerinedir.

== Yazılım ==
Maple:<ref>{{Web kaynağı | url = https://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=dsolve | başlık = dsolve | erişimtarihi =  | tarih =  | çalışma =  | yayıncı =  | arşivurl = https://web.archive.org/web/20131123035246/https://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=dsolve | arşivtarihi = 23 Kasım 2013 | ölüurl =evet}}</ref> dsolve

[[Xcas]]:<ref>{{Web kaynağı | url = http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf | başlık = Symbolic algebra and Mathematics with Xcas | erişimtarihi =  | tarih =  | çalışma =  | yayıncı =  | arşivurl = https://web.archive.org/web/20140729133558/http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf | arşivtarihi = 29 Temmuz 2014 | ölüurl = hayır }}</ref> desolve(y'=k*y, y)

== Dış bağlantılar ==
{{Vikikitap|Linear Algebra}}
* [http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03-differential-equations-spring-2010/ MIT Professor Arthur Mattuck's Differential Equations Course Homepage] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20160102032202/http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03-differential-equations-spring-2010/ |tarih=2 Ocak 2016 }}: MIT Course Website Kursu ve [http://sayilarvekuramlar.blogspot.com/2015/12/diferansiyel-denklemler.html Türkçe tercümesi] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20160305105258/http://sayilarvekuramlar.blogspot.com/2015/12/diferansiyel-denklemler.html |tarih=5 Mart 2016 }}.

== Kaynakça ==
{{kaynakça}}

{{Diferansiyel denklemler konuları}}
{{Matematik-altdal}}
{{Otorite kontrolü}}

[[Kategori:Diferansiyel denklemler| ]]