Dizi sayfasının kaynağını görüntüle

{{kaynaksız|tarih=Haziran 2016}}
{{Diğer anlamı2|Dizi}}
{{Fonksiyon}}
'''Dizi''', bir sıralı listedir. Bir [[küme]] gibi, [[öge]]lerden (bazen eleman veya terim de denir) oluşur. Sıralı ögelerin sayısına (sonsuz olabilir) dizinin ''uzunluğu'' denir. Kümenin aksine sıralı ve aynı ögeler dizide farklı konumlarda birkaç kez bulunabilir. Tam olarak bir dizi, [[tanım kümesi]] sayılabilen toplam sıralı kümelerden oluşan bir [[fonksiyon]] olarak tanımlanabilir. Örneğin [[doğal sayı]]lar gibi. Diziler bu örnekte olduğu gibi [[Sonlu küme|sonlu]] olabilir. Ya da (2, 4, 6, ...) tüm [[Çift ve tek sayılar|çift]] [[İşaret (matematik)|pozitif]] [[tam sayı]]lar gibi [[Sonsuz küme|sonsuz]] olabilir.

Örneğin, (K, İ, T, A, P), ilk [[harf]]i 'K' ve son harfi 'P' olan bir dizidir. Bu dizi, (P, A, T, İ, K) dizisinden farklıdır. Ayrıca (1, 1, 2, 3, 5, 8) dizisindeki [[1 (sayı)|1]] sayısı iki farklı konuma sahiptir. Böyle olması dizinin geçerliliğini değiştirmez. Dizi sonlu ya da sonsuz olabilir. Pozitif tam sayılar (1, 2, 3, 4, …) [[sonsuz dizi]]ye örnek verilebilir. (1, 2, 3, 4) dizisi ise sonlu bir dizidir.

[[Dosya:Cauchy sequence illustration2.svg|küçükresim|upright=1.59|Reel sayılarda sonsuz bir dizi (mavi çizgi). Bu dizi; artan, azalan, yakınsak bir dizi ya da [[Cauchy dizisi]] değildir. Ancak&nbsp;hem alttan hem de üstten sınırlıdır.]]

== Örnekler ve gösterim ==
Bir dizi rastgele sıralanmış ögeler listesi olarak düşünülebilir. [[Dizinin limiti|Dizi]]nin özellikleri kullanılarak, [[fonksiyon]]lar, [[Alan (matematik)|uzay]]lar ve diğer matematik yapıları ile çalışmak için diziler, matematik disiplinlerinde kullanılabilir. Özellikle diziler, [[diferansiyel denklemler]] ve [[Matematiksel analiz|analiz]]de önemli olan [[seri]]ler için temel teşkil eder.

Diziyi belirtmenin birkaç yöntemi vardır. Bunların bazıları özel dizi türleri için çok kullanışlıdır. Diziyi belirtmenin bir yöntemi de, ögeleri listelemektir. Örneğin; ilk dört tek sayı dizisi (1, 3, 5, 7) formundadır. Bu gösterim, sonsuz diziler için de kullanılabilir. Örneğin pozitif tek tam sayıların sonsuz dizisi, (1, 3, 5, 7, ...) formunda yazılabilir. Listeleme, sonsuz diziler için en kullanışlı yöntemdir. Burada bir [[örüntü]] kullanılır. Böylece ilk birkaç öge kolayca fark edilebilir. Diğer yöntemlerden örneklerden sonra bahsedilecektir.

=== Önemli örnekler ===
[[Dosya:FibonacciBlocks.svg|küçükresim|upright=1|sağ|{{ortala|Kenar uzunlukları ardışık [[Fibonacci sayıları]] olan kareler}}]]

Birçok önemli tam sayı dizisi vardır. [[Asal sayı]]lar, 1'den büyük fakat [[1 (sayı)|1]] ve kendilerinden başka [[Bölme|bölen]]leri olmayan [[doğal sayı]]lardır. Bunlar kendi sırasına göre dizilirse, (2,3,5,7,11,13,17,...) dizisi elde edilir. Asal sayılarla çalışmak, [[matematik]] ve özellikle [[sayılar teorisi]] için önemlidir.

[[Fibonacci dizisi]], her sayının kendinden önceki sayı ile [[Toplama|toplanması]] sonucu oluşan bir sayı dizisidir. İlk iki öge ya 0 ile 1 ya da 1 ile 1'dir. Böylece (0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,...) dizisi elde edilir.

Dizilere diğer önemli örnekleri, [[rasyonel sayılar]], [[reel sayı]]lar ve [[karmaşık sayı]]lar verilebilir. (.9,.99,.999,.9999,...) dizisi 1'e yaklaşır. Her reel sayı, rasyonel sayılar [[Dizinin limiti|dizisinin limiti]] olarak yazılabilir. Örneğin, (3,3.1,3.14,3.141,3.1415,...) dizisinin limiti, [[pi sayısı|π]] olarak yazılabilir. Daha genel bir ifade ile herhangi bir reel sayı [[ondalık]]lar dizisinin [[limit]]i olarak yazılabilir. π için, (0.9,0.99,...) dizisinde olduğu gibi herhangi bir ondalık [[örüntü]]sü yoktur.

=== İndisleme ===
Örüntünün kolayca gösterilemediği durumlarda veya pi sayısında olduğu gibi rakamlarında herhangi bir örüntü yoksa, diziler için başka gösterimler kullanılabilir. Bu bölümde [[doğal sayılar]] alt kümesinde bulunan diziler için kullanılan gösterimlerden bahsedilmiştir. Diğer [[sayılabilir]] [[indis kümesi|indis kümeleri]]nin genelleştirmeleri için [[#Tanım ve temel özellikler|aşağıdaki bölüme]] bakın.

Bir dizinin terimleri (veya ögeleri) genellikle tek bir [[değişken]]le ifade edilir. Dizideki herhangi bir ''a<sub>n</sub>'' ögesindeki ''n'' ''indisi'', dizinin ''n.'' ögesidir.

:<math>\begin{align} a_1   &\leftrightarrow&   \text{  1. terim} \\
a_2   &\leftrightarrow &\text{  2. terim } \\
a_3   &\leftrightarrow &\text{  3. terim } \\
\vdots& &\vdots \\
a_{n-1}   &\leftrightarrow &\text{  (n-1). terim} \\
a_n   &\leftrightarrow &\text{  n. terim} \\
a_{n+1}   &\leftrightarrow &\text{  (n+1). terim} \\
\vdots& &\vdots
 \end{align}</math>

İndisleme gösterimi, bir diziyi soyut olarak ifade etmek için kullanılır. Ayrıca (terimin konumunu belirten) ''n'' indisli terimlerden oluşan diziler için bu, doğal bir gösterimdir. Örneğin ilk on [[tam kare]] olan sayılar için dizi şöyle yazılabilir:
:<math>(a_1,a_2,...,a_{10}), \qquad a_k = k^2.</math>
Bu, (1,4,9,...100) dizisini ifade eder. Bunun daha da basit gösterimi şöyledir:
:<math>(a_k)_{k=1}^{10}, \qquad a_k = k^2.</math>

Burada {k=1} alt indisi ve 10 üst indisi, ''k'' = 1, 2, ..., 10 için bu dizinin terimlerinin ''a<sub>k</sub>'' olduğunu ifade eder.

Diziler herhangi bir tam sayıdan başlayacak veya bitecek şekilde indislenebilir. Belirli bir ''k'' değerinden başlayarak tüm tam sayıları kapsayan diziyi ifade etmek için [[sonsuz]] sembolü (<big>∞</big>) üst indis olarak çok sık kullanılır. Tüm pozitif tam kareler şöyle ifade edilebilir:
:<math>(a_k)_{k=1}^\infty, \qquad a_k = k^2.</math>

Bunun gibi indisleme sayıları kümesinin anlaşılması için [[matematiksel analiz|analizde]] alt indisler ve üst indisler sıkça kullanılır. Bir keyfi dizi için ''a<sub>k</sub>'' basit yazımı kullanılabilir. Analizde ''k'' 1'den ∞'a kadar olan dizi ele alınarak ''k'' anlaşılabilir. Fakat dizi çoğunlukla sıfırdan başlayarak indislenir, şöyle ki:
:<math>(a_k)_{k=0}^\infty = ( a_0, a_1, a_2,... ).</math>
Bazı durumlarda dizinin terimleri, örüntüsü kolayca anlaşılabilen bir tam sayılar dizisi ile ilgilidir. Bu durumda, ilk birkaç soyut terim listelenerek [[indis kümesi]]nin geri kalan terimlerinin ne olduğu anlaşılabilir. Örneğin, [[Çift ve tek sayılar|tek sayılar]] aşağıdaki gösterimlerden herhangi biriyle ifade edilebilir.

# <math>(1,9,25,...)</math>
# <math>(a_1,a_3,a_5,...), \qquad a_k = k^2</math>
# <math>(a_{2k-1})_{k=1}^\infty, \qquad a_k = k^2</math> 
# <math>(a_{k})_{k=1}^\infty, \qquad a_k = (2k-1)^2</math>
# <math>((2k-1)^2)_{k=1}^\infty</math>

Diğer taraftan, eğer 3., 4 ve 5. gösterimlerdeki indisleme kümesinin [[doğal sayılar]] olduğu anlaşılabilirse alt indisler ve üst indisler gösterilmeyebilir.

Sonuçta diziler, bir [[küme]] alt indisle birlikte yazmayı en genel biçimde ifade edebilir, şöyle ki:
:<math>(a_k)_{k \in \mathbf{N}}</math>
İndisle ifade edilen değerler kümesine '''[[indis kümesi]]''' denir. Genellikle ''a<sub>k</sub>'' ögelerinin dizilişi, indisleme kümesindeki terimlerin dizilişi ile belirtilir. ''N'' indis kümesi olursa, ''a<sub>k''+1</sub> terimi, ''a<sub>k</sub>'' teriminden sonra dizilir. Dolayısıyla (''k''+1) alt indisi, doğrudan ''k'' alt indisinden sonra gelir.

== Tanım ve temel özellikler ==
Matematikte diziler çok farklı yöntemlerle (örn; [[tam dizi]]) gösterilebilir. Aşağıda sadece bazı gösterimlerden bahsedilmiştir.

=== Tanım ===
Bir dizi genellikle [[tanım kümesi]] sayılabilen toplam sıralı kümelerden oluşan bir [[fonksiyon]] olarak tanımlanabilir. [[Gerçel analiz|Reel analiz]]de bir dizi, '''N''' (veya <math>\scriptstyle\mathbb{N}</math>) [[doğal sayı]]larından '''R''' (veya <math>\scriptstyle\mathbb{R}</math>) [[reel sayı]]larına kadar olan [[alt küme]]deki bir fonksiyondur. Başka bir ifade ile dizi, ''f''(''n''): '''N''' → '''R''' haritasıdır. Daha önce ifade edilen gösterimleri doğrulamak için, ''a<sub>n</sub>'' = ''f''(''n'') {{pad|.5em}} veya yalnızca ''a<sub>n</sub>'': '''N''' → '''R''' yazılabilir.

[[Karmaşık analiz]]de dizi, '''N''' doğal sayılarından <math>\mathbf{C}</math> (veya {{Matematik|ℂ}} veya <math>\scriptstyle\mathbb{C}</math>) [[karmaşık sayı]]larına kadar olan bir harita olarak tanımlanır. [[Topoloji]]de dizi, genellikle doğal sayılar alt kümesinden [[topolojik uzay]]ına kadar olan fonksiyonları tanımlar.

=== Sonlu ve sonsuz ===
Bir dizinin '''uzunluğu''', dizideki terimlerin sayısı ile belirlenir.

''n'' sonlu uzunluklu bir dizi, ''n'' [[Demet (matematik)|demet]]li olarak da adlandırılır. Hiçbir ögesi olmayan&nbsp;(&nbsp;) '''boş dizi''' de bir sonlu dizidir. 
Normalde ''sonsuz dizi'' kavramı, bir yönde sonsuz olan bir diziyi ifade ederken; ''sonlu dizi'', diğer yönde birinci ögesi olan, fakat son ögesi olmayan bir dizidir. Her iki yönde de ya birinci ya da sonuncu ögesi olan sonsuz dizi, ''çift sonsuz dizi'' veya ''iki yönlü sonsuz dizi'' olarak adlandırılır. Örneğin; '''tüm''' [[tam sayı]]lardan oluşan bir kümedeki fonksiyonun dizisinin tüm (…, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8…) [[Çift ve tek sayılar|çift]] tam sayıları, çift sonsuzdur. Bu dizi, <math>(2n)_{n=-\infty}^{\infty}</math> olarak ifade edilemez. Sonuçta, bir çift sonsuz dizi '''Z''' deki bir harita olarak tanımlanabilir.

Tek sonsuz dizi, ''R''['''N'''] doğal sayılarının [[Grup halka|yarıgrup halkası]]nın; çift sonsuz dizi ise, ''R''['''Z'''] tam sayılarının [[Grup halka]]sının ögeleri  olarak ifade edilebilir. Bu görüş, dizilerin [[Cauchy çarpımı]]nda kullanılır.

=== Artma ve azalma ===
Bir dizinin her bir terimi, bir önceki terimden büyük eşitse, buna ''[[Monotonik fonksiyon|monotonik artma]]'' denir. <math>(a_n)_{n=1}^{\infty} </math> dizisinde tüm ''n'' ∈ '''N''' oluyorsa, dizi şöyle yazılabilir: ''a''<sub>''n''</sub> ≤ ''a''<sub>''n''+1</sub> {{pad|.5em}}. Eğer peşpeşe gelen terimlerin her biri, önceki terimden büyükse (>), "dizi '''tam monotonik artıyor'" denir. Eğer peşpeşe gelen terimlerin her biri, önceki terimden küçük eşit ise, "dizi '''monotonik azalıyor'"  denir. Eğer peşpeşe gelen terimlerin her biri, önceki terimden küçükse "dizi '''tam monotonik azalıyor'" denir. Eğer bir dizi ya artıyor ya da azalıyorsa, "dizi '''monotondur'" denir. Bu monotonik fonksiyonun genel kavramının özel durumudur.

'''Azalmıyor''' ve '''artmıyor''' kavramları sırasıyla ''tam artıyor'' ve ''tam azalıyor'' kavramları ile karışmaması için, bunlar yerine sırasıyla ''artıyor'' ve ''azalıyor'' kavramları sıkça kullanılır.

=== Sınırlar ===
Eğer (''a<sub>n</sub>'') reel sayılar dizisi, belirli bir terimden sonraki tüm terimleri ''M'' reel sayısından daha küçük ise, "'üstten sınırlı''' dizi" denir. Bunun anlamı, s, tüm ''n'' büyüktür ''N'' ve bazı ''M'' ve ''N'' çiftleri için, ''a<sub>n</sub>'' ≤ ''M''{{pad|2em}} olur. Burada ''M'', ''üst sınır'' olarak adlandırılır. Benzer şekilde, tüm ''n'' büyüktür ''n'' için bazı reel sayılar ''m'', ''a<sub>n</sub>'' ≥ ''m'' olur. Buna "'alttan sınırlı''' dizi" denir. Burada ''m'' ''alt sınır'' olarak adlandırılır. Eğer dizi hem alttan sınırlı hem de üstten sınırlı ise diziye '''sınırlı''' denir.

=== Diğer dizi türleri ===
Verilen bir dizinin bazı terimlerinin silinmesi, geri kalan terimlerin konumlarını dağıtmayacak forma dönüştüren diziye 
'''[[altdizi]]''' denir. Örneğin (2, 4, 6, ...) çift tam sayılar dizisi, (1, 2, 3,4, ...) pozitif tam sayılar dizisinin bir altdizisidir. Diğer terimleri silindiğinde, geri kalanları konumları değişmiş, fakat öncelik sıraları değişmemiştir.

Bazı diğer dizi türlerini şu şekilde kolayca tanımlanabilir:
*Bir '''[[tam sayı dizisi]]''', terimleri tam sayı olan bir dizidir.
*Bir '''[[polinom dizi]]''', terimleri [[polinom]] olan bir dizidir. 
*Eğer ''n'' ve ''m'' [[aralarında asal]] ise, tüm ''n'' ve ''m'' çiftleri için ''a''<sub>''nm''</sub> = ''a''<sub>''n''</sub> ''a''<sub>''m''</sub> oluyorsa, pozitif tam sayı dizisine, çarpan olarak adlandırılır. Başka bir ifade ile tüm ''n'' için eğer ''a''<sub>''n''</sub> = ''na''<sub>1</sub> oluyorsa, çarpan dizidir. Ayrıca [[gecikmeli Fibonacci üreteci|''çarpanlı'' Fibonacci dizisi]]nin tekrarlı ilişkisi de bir dizidir, şöyle ki: ''a''<sub>''n''</sub> = ''a''<sub>''n''−1</sub> ''a''<sub>''n''−2</sub>.

== Limitler ve yakınsaklık ==
{{Ana|Dizinin limiti}}

[[Dosya:Converging Sequence example.svg|upright=1.45|küçükresim|(''a<sub>n</sub>'') yakınsak dizisinin grafiği mavi ile gösteriliyor. ''n'' artarken dizinin limitinin sıfıra yaklaştığı görülebiliyor.]]

Dizinin en önemli özelliklerinden biri de ''yakınsaklık''tır. En basit anlamda eğer bir [[dizinin limiti]] varsa, "dizi yakınsaktır" denir. Yani bir ([[Dizi#Sonlu ve sonsuz|tek sonlu dizi]]nde ''n'' çok çok büyük olduğunda ''L'' limite yaklaşırsa, "dizinin limiti vardır" denir. Bir (''a''<sub>''n''</sub>) soyut dizisinde ''n'' → ∞ (''n'' sonsuza giderken) ''a''<sub>''n''</sub>, ''L'' ye yakınsar.
:<math>\lim_{n\to\infty} a_n = L.</math>

Bunun tam ifadesi, eğer bir ''L'' limiti varsa dizi yakınsaktır. ''L'' yeterince büyük olursa, geri kalan a<sub>n</sub>'ler ''L'' ye yakınsar.

Bir dizi eğer bazı limitlere yakınsıyorsa, dizi '''yakınsaktır''', aksi takdirde '''ıraksaktır'''.

Bir <math>(x_n)</math> dizisi '''sonsuza yaklaşıyorsa''', <math>x_n \to \infty</math> veya <math>\lim_{n\to\infty}x_n = \infty</math> şeklinde yazılır.

Eğer bir dizi sonsuza yaklaşıyorsa veya eksi sonsuz ise, dizi ıraksaktır ve <math>\lim_{n\to\infty}a_n = -\infty</math> şeklinde yazılır.

=== Yakınsaklığın tanımı ===
''a''<sub>''n''</sub> ∈ [[Rasyonel sayı|'''R''']] olursa ve <math>(a_n)_{n=1}^\infty</math> dizi formunda yazılabiliyorsa, bu diziyi [[Doğal sayı|'''N''']] [[indis kümesi]] ile şöyle yazabiliriz: (''a<sub>n</sub>''). Bu diziler [[gerçel analiz]]de sıkça kullanılır.

=== Uygulamalar ve özellikler ===
Reel sayılardaki dizilerin yakınsaklığı ve [[tek taraflı limit]] önemli sonuçlar aşağıda gösterilmiştir:

Reel dizilerin limitlerinin diğer bazı önemli özellikleri şunlardır:

*Bir dizinin limiti eşsizdir.
*<math>\lim_{n\to\infty} (a_n \pm b_n) =  \lim_{n\to\infty} a_n \pm \lim_{n\to\infty} b_n</math>
*<math>\lim_{n\to\infty} c a_n =  c \lim_{n\to\infty} a_n</math>
*<math>\lim_{n\to\infty} (a_n b_n) =  (\lim_{n\to\infty} a_n)( \lim_{n\to\infty} b_n)</math>
*<math>\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}  {b_n} = \frac{ \lim_{n\to\infty} a_n}{ \lim_{n\to\infty} b_n}</math> (Eğer <math>\lim_{n\to\infty} b_n \ne 0</math> ise)
*<math>\lim_{n\to\infty} a_n^p =  \left[ \lim_{n\to\infty} a_n \right]^p</math>
*Tüm <math>n</math>'ler bazı <math>N</math>'lerden daha büyük ise ve <math>a_n \leq b_n</math> oluyorsa, <math>\lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} b_n </math> olur
*([[Sıkıştırma teoremi]]) Tüm <math>n > N</math> için <math>a_n \leq c_n \leq b_n</math> oluyorsa ve <math>\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = L</math> ise, <math>\lim_{n\to\infty} c_n = L</math> olur.
*Eğer bir dizi sınırlandırılmış  ve [[Monotonik fonksiyon|monotonik]] ise dizi yakınsaktır. 
*Bir dizi yakınsak ise [[ancak ve ancak]] tüm alt dizileri de yakınsaktır.

=== Cauchy dizileri ===
{{Ana|Cauchy dizisi}}

[[Dosya:Cauchy sequence illustration.svg|upright=1.59|küçükresim| Bir (''x<sub>n</sub>'') Cauchy dizisinin  grafiği mavi ile gösteriliyor. ''x<sub>n</sub>'', ''n'' ye karşıdır. Dizi bir limit noktasına yakınsıyor. Reel sayılarda her Cauchy dizisi bazı limitlere yakınsar.]]

Cauchy dizisi, terimleri rastgele yakın olan bir dizidir. Cauchy dizisi kavramı, [[metrik uzay]]ında, özellikle [[Gerçel analiz|reel analizde]] ortaya çıkar.

:Bir dizi yakınsıyorsa [[ancak ve ancak]] Cauchy dizisidir.

== Seriler ==
{{Ana|Seri}}
'''Seri''', bir dizinin terimlerinin toplamıdır. Bir tek taraflı dizinin ilk ''N'' terimi toplamı, başka bir dizinin ''N.'' terimi olan forma ''seri'' denir. Burada  (a<sub>n</sub>) dizisinin ''N'' serisi, (''S''<sub>''N''</sub>) dizisini oluşturur, şöyle ki:

:<math>\begin{align} S_1 &=& a_1& & &\\
S_2 &=& a_1& {}+ a_2& &\\
S_3 &= &a_1& {}+ a_2& {}+ a_3&\\
\vdots & &\vdots & & &\\
S_N &=& a_1& {}+ a_2& {}+ a_3& {}+ \cdots \\
\vdots & &\vdots & & &\end{align}</math>

Serinin ''n.'' terimini şöyle yazabiliriz:

:<math>S_N = \sum_{n=1}^N a_n.</math>

Yakınsaklık, seriye aktarmak (kısmi toplamlar dizisi) ve özellikler gibi kavramları kullanırken asıl bahsedilmek istenen dizilerin karakterleridir (son örnekteki (''a''<sub>''n''</sub>) gibi). Sonsuz bir diziden elde edilen bir sonsuz serinin eğer limiti varsa, şöyle ifade edilir:

:<math>\lim_{N\to\infty}S_N = \sum_{n=1}^{\infty} a_n.</math>

{{Otorite kontrolü}}

[[Kategori:Diziler ve seriler| ]]
[[Kategori:Temel matematik]]