Eğim sayfasının kaynağını görüntüle

[[Dosya:Slope picture.svg|sağ|küçükresim|Bir doğrunun eğimi ''m'' = Δ''y''/Δ''x'' şeklinde tanımlanır.]]
[[Matematik]]te bir [[doğru (geometri)|doğru]]nun '''eğim'''i ya da '''gradyan'''ı o doğrunun dikliğini, eğimliliğini belirtir. Daha büyük eğim, daha dik bir doğru demektir.

Eğim, bir doğrunun herhangi iki noktası arasındaki dikey değişimin yatay değişime oranı olarak tanımlanabilir. Bir doğru üzerinde (''x''<sub>1</sub>,''y''<sub>1</sub>) ve (''x''<sub>2</sub>,''y''<sub>2</sub>) koordinatlarında iki nokta verildiğinde doğrunun eğimi m, <math>m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math> formülüyle bulunabilir.

[[Diferansiyel kalkülüs]] ile, bir [[teğet]]in, bir [[eğri]]nin herhangi bir noktasındaki eğimi hesaplanabilir.

Eğim kavramı, [[coğrafya]] ve [[inşaat mühendisliği]]ndeki [[grad (eğim)|grad]] ve [[gradyan]]larda doğrudan kullanılmaktadır. [[Trigonometri]] açısından bir yolun gradı ''m'' ile diklik açısı ''θ'' arasındaki ilişki; <math>m = \tan \theta\!</math>'dır.

== Tanımı ==
<!--[[Dosya:Slope of lines illustrated.jpg|küçükresim|upright=1.82|sağ|Slope illustrated for ''y''&nbsp;=&nbsp;(3/2)''x''&nbsp;&minus;&nbsp;1. Click on to enlarge]]-->

Koordinat düzlemindeki bir doğrunun eğimi çoğunlukla ''m'' harfiyle ifade edilir ve doğru üzerindeki iki noktadan ''y'' koordinatındaki değişimin ''x'' koordinatındaki değişime oranı olarak hesaplanabilir. Denklem olarak şu şekilde yazılır:

:<math>m = \frac{\Delta y}{\Delta x}</math>

(''x''<sub>1</sub>,''y''<sub>1</sub>) ve (''x''<sub>2</sub>,''y''<sub>2</sub>) şeklinde iki nokta verildiğinde, değişkenleri yerine yazarak şu elde edilir:

:<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math>

=== Örnekler ===
Bir doğru ''P''&nbsp;=&nbsp;(1, 2) ve ''Q''&nbsp;=&nbsp;(13,8) noktalarından geçiyor olsun. ''y'' koordinatlarındaki değişimi ''x'' koordinatlarındaki değişime oranlayarak eğimi şu şekilde bulunabilir:
:<math>m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{8 - 2}{13 - 1} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}</math>

Bir başka örnek vermek gerekirse, (4,15) ve (3,21) noktalarından geçen doğrunun eğimi şu şekilde hesaplanır:
:<math>m = \frac{ 21 - 15}{3 - 4} = \frac{6}{-1} = -6</math>

== Geometri ==
Eğimin mutlak değeri arttıkça, doğrunun dikliği artar. Yatay bir doğrunun eğimi 0 iken, pozitif yönde 45° [[açı]] yapan bir doğrunun eğimi +1, negatif yönde 45° açı yapan bir doğrunun eğimi ise -1'dir. Dikey bir doğrunun eğimi tanımsızdır, dolayısıyla eğimi yoktur.

Bir doğrunun pozitif ''x'' aksisiyle yaptığı θ açısı, [[Trigonometrik fonksiyonlar|tanjant fonksiyonu]] aracılığıyla ''m'' eğimiyle yakından ilgilidir:
:<math>m = \tan\,\theta</math>
ve
:<math>\theta = \arctan\,m</math>

İki doğru, [[ancak ve ancak]] eğimleri eşitse ya da ikisi de dikey ve eğimleri tanımsızsa paralel ve çakışmazdır. İki doğrunun eğimleri çarpımı -1 ise ya da doğrulardan biri yatay, biri dikeyse (eğimleri 0 ve tanımsızsa) doğrular birbirine [[dik]]tir. 
<!--
Madde ile direk ilgili olmadığı ve ana sayfalar açılmamış olduğu için bu kısmı çevirmedim. Dileyen çevirebilir. Onun için silmeden bu şekilde bırakıyorum.
===Slope of a road or railway===
:''Main articles: [[Grade (slope)]], [[Grade separation]]''
There are two common ways to describe how steep a [[road]] or [[Rail tracks|railroad]] is. One is by the angle in degrees, and the other is by the slope in a percentage. See also [[mountain railway]] and [[rack railway]]. The formulae for converting a slope as a percentage into an angle in degrees and vice versa are: 
:<math>\text{angle} = \arctan \frac{\text{slope}}{100} ,</math>
and
:<math>\mbox{slope} = 100 \tan( \mbox{angle}),\, </math>
where ''angle'' is in degrees and the trigonometric functions operate in degrees. For example, a 100[[Percent sign|%]] or 1000[[Per mil|‰]] slope is 45°.

A third way is to give one unit of rise in say 10, 20, 50 or 100 horizontal units, e.g. 1:10. 1:20, 1:50 or 1:100 (etc.).
<gallery>
File:Nederlands verkeersbord J6.svg|Slope warning sign in the [[Netherlands]]
File:Znak_A-23.svg|Slope warning sign in [[Poland]]
File:Skloník-klesání.jpg|A 1371-meter distance of a railroad with a 20[[Per mil|‰]] slope. [[Czech Republic]]
File:Railway gradient post.jpg|Steam-age railway gradient post indicating a slope in both directions at [[Meols railway station]], [[United Kingdom]]
</gallery>
-->

== Cebir ==
Eğer ''y'', ''x''`in [[doğrusal fonksiyon]]uysa, ''x''`in katsayısı fonksiyon doğrusunun eğimini verir. Doğrunun denklemi aşağıdaki gibi verilirse,
:<math>y = mx + b \,</math>
''m'' eğim olur.

Eğer doğrunun eğimi ''m'' ve doğru üzerindeki bir nokta (''x''<sub>1</sub>,''y''<sub>1</sub>) biliniyorsa, doğrunun denklemi aşağıdaki gibi bulunabilir:
:<math>y - y_1 = m(x - x_1)\!</math>

Örneğin, (2,8) ve (3,20) noktalarından geçen bir doğru ele alındığında, eğim ''m'' şuna eşittir:
:<math>\frac {(20 - 8)}{(3 - 2)} \; = 12 \,</math>

Doğrunun denklemi de şu şekilde:
:<math>y - 8 = 12(x - 2) = 12x - 24 \,</math>
ya da şu şekilde: 
:<math>y = 12x - 16. \,</math>
yazılabilir.

:<math>ax + by +c = 0 \,</math> şeklinde tanımlanan bir fonksiyonun eğimi <math>-\frac {a}{b} \;</math>'ye eşittir.

== Kalkülüs ==
[[Dosya:Graph of sliding derivative line.gif|sağ|frame|Her bir noktada fonksiyonun [[türev]]i, [[Eğri (geometri)|eğri]]ye [[teğet]] olan [[Doğru (geometri)|doğru]]nun eğimini verir. Doğru her zaman mavi eğriye teğettir ve eğimi onun türevine eşittir. Doğrunun yeşil olduğu noktalarda türev pozitif, kırmızı olduğunda negatif, siyah olduğunda ise sıfırdır.]]
Eğim kavramı [[diferansiyel kalkülüs]]te çok kullanılmaktadır. Doğrusal olmayan fonksiyonlarda, değişim oranı eğri boyunca değişir. Bir noktada fonksiyonun [[türev]]i, o noktada eğriye teğet olan doğrunun eğimini (o noktadaki değişim oranını) verir.

Δ''x'' ve Δ''y'' eğri üzerindeki iki noktanın uzaklıklarıysa, yukarıdaki tanıma uygun olarak,

:<math>m = \frac{\Delta y}{\Delta x}</math>,

formülü eğriyi kesen bir doğrunun eğimini verir. Diğer eğrilerden farklı olarak, doğru üzerindeki herhangi iki noktadan geçen bir ''kesen'' doğrunun kendisidir. Örneğin, ''y'' = ''x''<sup>2</sup> eğrisini (0,0) ve (3,9) noktalarında kesen doğrunun eğimi 3'tür. ({{Kayma|1=x = {{frac|3|2}}}}'daki teğetin eğimi de 3'tür-[[ortalama değer teoremi]]nin bir tesadüfü.)

İki nokta Δ''y'' ve Δ''x'' küçülecek şekilde birbirine yakınlaştırıldığına, ''kesen'', gittikçe teğet doğrusuna yaklaşır. Dolayısıyla ''kesen''in eğimi de teğetin eğimine yaklaşır. [[Diferansiyel kalkülüs]] kullanılarak, [[limit]]i bulunabilir ya da Δ''y'' ve Δ''x'' sıfıra yaklaşırken Δ''y''/Δ''x''`in değeri hesaplanabilir. Eğer ''y'', ''x''`e bağlıysa, sadece Δ''x''in sıfıra yaklaşırken limiti almak yeterlidir. Teğet doğrusunun eğimi, Δ''x'' sıfıra yaklaşırken Δ''y''/Δ''x''`in limitine eşittir. Bu limit [[türev]] olarak adlandırılır.

== Ayrıca bakınız ==
* [[Gradyan]], birden fazla değişken alan fonksiyonlar için eğim kavramının genelleştirilmesidir.
* [[Öklid uzaklığı]]

== Dış bağlantılar ==
{{Vikisözlük|eğim}}

[[Kategori:Analitik geometri]]
[[Kategori:Temel matematik]]
[[Kategori:Rasyolar]]