Einstein ilişkisi (kinetik teori) sayfasının kaynağını görüntüle

[[Fizik]]te (özellikle [[Kinetik teori|gazların kinetik teorisinde]]) '''Einstein ilişkisi'''; 1904'te [[William Sutherland]]'in,<ref>[http://www.ph.unimelb.edu.au/~dnj/wyop/wyop2005-sutherland-essay.html World Year of Physics – William Sutherland at the University of Melbourne] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20210629013436/https://www.ph.unimelb.edu.au/~dnj/wyop/wyop2005-sutherland-essay.html |tarih=29 Haziran 2021 }}. Essay by Prof. R Home (with contributions from Prof B. McKellar and A./Prof D. Jamieson) dated 2005. Accessed 2017-04-28.</ref><ref>{{Akademik dergi kaynağı|url=https://zenodo.org/record/1430774|başlık=LXXV. A dynamical theory of diffusion for non-electrolytes and the molecular mass of albumin|sayı=54|sayfalar=781-785|dergi=Philosophical Magazine|seri=Series 6|yıl=1905|cilt=9|doi=10.1080/14786440509463331|author=Sutherland William|erişimtarihi=24 Haziran 2021|arşivurl=https://web.archive.org/web/20210624211900/https://zenodo.org/record/1430774|arşivtarihi=24 Haziran 2021|ölüurl=hayır}}</ref><ref>P. Hänggi, [http://www.physik.uni-augsburg.de/theo1/hanggi/History/Robert_Brown_Vortrag.pdf "Stokes–Einstein–Sutherland equation"] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20210624204555/http://www.physik.uni-augsburg.de/theo1/hanggi/History/Robert_Brown_Vortrag.pdf |tarih=24 Haziran 2021 }}.</ref> 1905'te [[Albert Einstein]]'ın<ref>{{Akademik dergi kaynağı|url=http://sedici.unlp.edu.ar/handle/10915/2785|başlık=Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen|sayı=8|dil=de|sayfalar=549-560|dergi=Annalen der Physik|yıl=1905|cilt=322|doi=10.1002/andp.19053220806|author=Einstein, A.|bibcode=1905AnP...322..549E|erişimtarihi=23 Haziran 2021|arşivurl=https://web.archive.org/web/20210510164421/http://sedici.unlp.edu.ar/handle/10915/2785|arşivtarihi=10 Mayıs 2021|ölüurl=hayır}}</ref> ve 1906'da [[Marian Smoluchowski]]'nin<ref>{{Akademik dergi kaynağı|url=https://zenodo.org/record/1424073|başlık=Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen|sayı=14|dil=de|sayfalar=756-780|dergi=Annalen der Physik|yıl=1906|cilt=326|doi=10.1002/andp.19063261405|author=von Smoluchowski, M.|bibcode=1906AnP...326..756V|erişimtarihi=23 Haziran 2021|arşivurl=https://web.archive.org/web/20210624212219/https://zenodo.org/record/1424073|arşivtarihi=24 Haziran 2021|ölüurl=hayır}}</ref> [[Brown hareketi]] üzerine yaptıkları çalışmalarında bağımsız olarak ortaya koydukları önceden beklenmedik bir bağlantıdır. Denklemin daha genel biçimi:<ref>{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=hdeODhjp1bUC&pg=PA327|başlık=Molecular Driving Forces: Statistical Thermodynamics in Chemistry and Biology|tarih=2003|dil=İngilizce|sayfalar=327|yayıncı=Garland Science|isbn=9780815320517|soyadı1=Dill|ad1=Ken A.|soyadı2=Bromberg|ad2=Sarina|erişimtarihi=23 Haziran 2021|arşivurl=https://web.archive.org/web/20210624213023/https://books.google.com/books?id=hdeODhjp1bUC&pg=PA327|arşivtarihi=24 Haziran 2021|ölüurl=hayır}}</ref>

: <math> D = \mu \, k_\text{B} T, </math>

burada;

: ''D'' [[Fick'in difüzyon yasası|difüzyon katsayısıdır]];
: ''μ'', "hareketlilik" veya parçacığın terminal [[sürüklenme hızı]]nın uygulanan bir [[kuvvet]]e oranıdır, ''μ'' = ''v''<sub>d</sub>/''F'';
: ''k''<sub>B</sub>, [[Boltzmann sabiti]]dir;
: ''T'' [[mutlak sıcaklık]]tır.

Bu denklem, bir [[Dalgalanma yayılım teoremi|dalgalanma-dağılım teoreminin]] erken bir örneğidir.<ref>Umberto Marini Bettolo Marconi, Andrea Puglisi, Lamberto Rondoni, Angelo Vulpiani, [[arxiv:0803.0719|"Fluctuation-Dissipation: Response Theory in Statistical Physics"]].</ref>

İlişkinin sık kullanılan iki önemli özel biçimi şunlardır:

: <math>D = \frac{\mu_q \, k_\text{B} T}{q}</math> ('''elektriksel hareketlilik denklemi''', [[Elektrik yükü|yüklü]] parçacıkların difüzyonu için<ref>Van Zeghbroeck, "Principles of Semiconductor Devices", [http://ecee.colorado.edu/~bart/book/book/chapter2/ch2_7.htm Chapter 2.7] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20210506163214/https://ecee.colorado.edu/~bart/book/book/chapter2/ch2_7.htm |tarih=6 Mayıs 2021 }}.</ref>
: <math>D = \frac{k_\text{B} T}{6\pi\,\eta\,r} </math> ('''Stokes-Einstein denklemi''', küresel parçacıkların düşük [[Reynolds sayısı|Reynolds sayılı]] bir sıvıdan difüzyonu için)

burada;

: ''q'', bir parçacığın [[Elektrik yükü|elektrik yüküdür;]]
: ''μ<sub>q</sub>'', yüklü parçacığın [[Elektriksel hareketlilik|elektriksel hareketliliğidir;]]
: ''η'' dinamik [[viskozite]]dir;
: ''r'', küresel parçacığın yarıçapıdır.

== Özel durumlar ==

=== Elektriksel hareketlilik denklemi ===
Elektrik yükü ''q'' olan bir parçacık için, elektriksel hareketliliği ''μ<sub>q</sub>'', genelleştirilmiş hareketliliği ''μ'' ile ''μ'' = ''μ<sub>q</sub>''/''q'' denklemiyle ilişkilidir. ''μ<sub>q</sub>'' parametresi, parçacığın terminal [[sürüklenme hızı]]nın uygulanan bir [[elektrik alanı]]na oranıdır. Bu nedenle, yüklü bir parçacık durumunda denklem şu şekilde verilir:

: <math>D = \frac{\mu_q \, k_\text{B} T}{q},</math>

burada;

* <math>D</math> difüzyon katsayısıdır (<math>\mathrm{m^2s^{-1}}</math>).
* <math>\mu_q</math> [[elektriksel hareketlilik]]tir (<math>\mathrm{m^2V^{-1}s^{-1}}</math>).
* <math>q</math> parçacığın [[elektrik yükü]]dür (C, [[coulomb]])
* <math>T</math> plazmadaki elektron sıcaklığı veya iyon sıcaklığıdır (K).<ref>{{Kitap kaynağı|başlık=Gas Discharge Physics|url=https://archive.org/details/gasdischargephys0000raiz|sayfalar=[https://archive.org/details/gasdischargephys0000raiz/page/n35 20]-28|yayıncı=Springer|yıl=2001|isbn=978-3540194620}}</ref>

Sıcaklık, plazma için daha yaygın olan [[Volt]] cinsinden verilirse:

: <math>D = \frac{\mu_q \, T}{Z},</math>

burada;

* <math>Z</math> parçacığın [[Görev numarası|yük sayısıdır]] (birimsiz)
* <math>T</math> plazmadaki elektron sıcaklığı veya iyon sıcaklığıdır (V).

=== Stokes-Einstein denklemi ===
Düşük [[Reynolds sayısı]] sınırında; hareketlilik μ, [[Sürtünme kuvveti|sürtünme]] katsayısı <math>\zeta</math>'nın tersidir. Yayılan nesnenin ters [[momentum]] gevşeme süresi (atalet momentumunun rastgele momente kıyasla ihmal edilebilir hale gelmesi için gereken süre) için bir sönüm sabiti <math>\gamma = \zeta / m</math> sıklıkla kullanılır. Yarıçapı r olan küresel parçacıklar için [[Stokes yasası]]:

: <math>\zeta = 6 \pi \, \eta \, r,</math>

burada <math>\eta</math> ortamın [[viskozite]]sidir. Böylece Einstein-Smoluchowski ilişkisi Stokes-Einstein ilişkisi ile sonuçlanır:

: <math>D = \frac{k_\text{B} T}{6\pi\,\eta\,r}.</math>

Bu, sıvılarda öz-difüzyon katsayısını tahmin etmek için uzun yıllar boyunca uygulandı ve izomorf teorisi ile tutarlı bir versiyon, [[Lennard-Jones potansiyeli|Lennard-Jones]] sisteminin bilgisayar simülasyonları ile doğrulandı.<ref>{{Dergi kaynağı|url=https://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.5080662|başlık=Revisiting the Stokes-Einstein relation without a hydrodynamic diameter|tarih=14 Ocak 2019|sayı=2|dil=İngilizce|sayfalar=021101|dergi=[[The Journal of Chemical Physics]]|cilt=150|issn=0021-9606|pmid=30646717|ad1=Lorenzo|ad4=Jeppe C.|soyadı4=Dyre|ad3=Thomas B.|soyadı3=Schrøder|ad2=David M.|soyadı2=Heyes|soyadı1=Costigliola|erişimtarihi=24 Haziran 2021|arşivurl=https://web.archive.org/web/20210624203506/https://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.5080662|arşivtarihi=24 Haziran 2021|ölüurl=hayır}}</ref>

[[rotasyonel difüzyon|Dönel difüzyon]] durumunda, sürtünme <math>\zeta_\text{r} = 8 \pi \eta r^3</math> ve [[rotasyonel]] difüzyon sabiti <math>D_\text{r}</math>:

: <math>D_\text{r} = \frac{k_\text{B} T}{8\pi\,\eta\,r^3}.</math>

=== Yarı iletken ===
Rastgele bir [[durum yoğunluğu]]na sahip bir [[yarı iletken]]de, yani deliklerin veya elektronların yoğunluğu <math>p</math> ve karşılık gelen [[yarı Fermi seviyesi]] (veya elektrokimyasal potansiyel) <math>\varphi</math> arasındaki <math>p = p(\varphi)</math> formunun bir ilişkisi, Einstein ilişkisi şöyledir:<ref>{{kitap kaynağı|başlık=Solid State Physics|sayfalar=826|yer=New York (USA)|yayıncı=Holt, Rineheart and Winston|yıl=1988|yazar1=Ashcroft, N. W.|yazar2=Mermin, N. D.}}</ref><ref>{{kitap kaynağı|başlık=Composants à semiconducteurs|dil=fr|sayfalar=78|yer=Paris (France)|yayıncı=Ellipses|yıl=2006|author=Bonnaud, Olivier}}</ref>

: <math>D = \frac{\mu_q p}{q \frac{dp}{d\varphi}},</math>

burada <math>\mu_q</math> [[elektriksel hareketlilik]]tir. Durumların yoğunluğu için parabolik bir dağılım ilişkisini varsayan bir örnek ve genellikle [[İnorganik bileşik|inorganik]] [[yarı iletken]] malzemeleri tanımlamak için kullanılan [[Maxwell-Boltzmann istatistikleri]] hesaplanabilir:

: <math>p(\varphi) = N_0 e^{\frac{q \varphi}{k_\text{B} T}},</math>

burada<math>N_0</math> <math>N_0</math>, basitleştirilmiş ilişkiyi veren mevcut enerji durumlarının toplam yoğunluğudur:

: <math>D = \mu_q \frac{k_\text{B} T}{q}.</math>

=== Nernst-Einstein denklemi ===
Bir elektrolitin [[Molar iletkenlik|eşdeğer iletkenliğinin]] ifadelerinden katyonların ve anyonların elektrik iyonik hareketlilik ifadelerindeki difüziviteleri değiştirerek, Nernst-Einstein denklemi türetilir:

: <math>\Lambda_e = \frac{z_i^2 F^2}{RT}(D_+ + D_-).</math>

== Genel durumun kanıtı ==
Einstein ilişkisinin kanıtı birçok referansta bulunabilir, örneğin bkz. Kubo.<ref>{{Akademik dergi kaynağı|başlık=The fluctuation-dissipation theorem|sayı=1|sayfalar=255-284|dergi=[[Rep. Prog. Phys.]]|yıl=1966|cilt=29|doi=10.1088/0034-4885/29/1/306|author=Kubo, R.|bibcode=1966RPPh...29..255K}}</ref>

Bazı sabit, harici [[potansiyel enerji]] <math>U</math>'nun, belirli bir <math>\mathbf{x}</math> konumunda bulunan bir parçacık üzerinde [[Korunumlu kuvvet|korunumlu]] bir <math>F(\mathbf{x})=-\nabla U(\mathbf{x})</math> kuvveti (örneğin, bir elektrik kuvveti) oluşturduğunu varsayalım. Parçacığın <math>v(\mathbf{x})=\mu(\mathbf{x}) F(\mathbf{x})</math> hızıyla hareket ederek tepki vereceğini varsayıyoruz. Şimdi konumun bir fonksiyonu olarak yerel derişim <math>\rho(\mathbf{x})</math> olan çok sayıda böyle parçacık olduğunu varsayalım. Bir süre sonra denge kurulacaktır: parçacıklar en düşük potansiyel enerji <math>U</math>'ya sahip alanların etrafında yığılacaktır, ancak yine de [[difüzyon]] nedeniyle bir dereceye kadar yayılacaktır. Dengede, parçacıkların net akışı yoktur: parçacıkların sürüklenme akımı olarak adlandırılan daha düşük <math>U</math>'ya doğru çekilme eğilimi, parçacıkların difüzyon nedeniyle yayılma eğilimini mükemmel bir şekilde dengeler ve buna difüzyon akımı denir (bkz. [[sürüklenme-difüzyon denklemi]]).

Sürüklenme akımı nedeniyle parçacıkların net akışı:

: <math>\mathbf{J}_\mathrm{drift}(\mathbf{x}) = \mu(\mathbf{x}) F(\mathbf{x}) \rho(\mathbf{x}) = -\rho(\mathbf{x}) \mu(\mathbf{x}) \nabla U(\mathbf{x}),</math>

yani, belirli bir konumdan geçen parçacıkların sayısı, parçacık konsantrasyonu çarpı ortalama hıza eşittir.

Difüzyon akımı nedeniyle parçacıkların akışı, [[Fick yasası]]na göre,

: <math>\mathbf{J}_\mathrm{diffusion}(\mathbf{x})=-D(\mathbf{x}) \nabla \rho(\mathbf{x}),</math>

burada eksi işareti, parçacıkların daha yüksek derişimden daha düşük derişime aktığı anlamına gelir.

Şimdi denge durumunu düşünün. İlk olarak, net akış yoktur, yani <math>\mathbf{J}_\mathrm{drift} + \mathbf{J}_\mathrm{diffusion} = 0</math>. İkincisi, etkileşmeyen nokta parçacıklar için, denge yoğunluğu <math>\rho</math> yalnızca yerel potansiyel enerji <math>U</math>'nin bir fonksiyonudur, yani iki konum aynı <math>U</math>'ya sahipse, o zaman aynı <math>\rho</math>'ye de sahip olacaklardır (örneğin aşağıda tartışıldığı gibi [[Maxwell-Boltzmann istatistikleri]]ne bakınız). Bunun anlamı, [[zincir kuralı]]nın uygulanması,

: <math>\nabla\rho = \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d} U} \nabla U.</math>

Bu nedenle, dengede:

: <math>0 = \mathbf{J}_\mathrm{drift} + \mathbf{J}_\mathrm{diffusion} = -\mu \rho \nabla U - D \nabla \rho = \left(-\mu \rho - D \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d} U}\right)\nabla U.</math>

Bu ifade her <math>\mathbf{x}</math> konumunda geçerli olduğundan, Einstein ilişkisinin genel biçimini ifade eder:

: <math>D = -\mu \frac{\rho}{\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d} U}}.</math>

[[Klasik fizik|Klasik parçacıklar]] için <math>\rho</math> ve <math>U</math> arasındaki ilişki [[Maxwell-Boltzmann istatistikleri]]yle modellenebilir:

: <math>\rho(\mathbf{x}) = A e^{-\frac{U(\mathbf{x})}{k_{\rm B} T}},</math>

burada <math>A</math> toplam parçacık sayısıyla ilgili bir sabittir. Bu nedenle:

: <math>\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d} U} = -\frac{1}{k_{\rm B} T}\rho.</math>

Bu varsayım altında, bu denklemi genel Einstein ilişkisine dahil etmek şunları verir:

: <math>D = -\mu \frac{\rho}{\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d} U}} = \mu k_{\rm B} T,</math>

ki bu klasik Einstein ilişkisine karşılık gelir.

== Ayrıca bakınız ==

* [[Smoluchowski faktörü]]
* [[İletkenlik (elektrolitik)]]
* [[Stokes yarıçapı]]
* [[İyon taşıma numarası]]

== Kaynakça ==
{{Kaynakça}}

== Dış bağlantılar ==

* [http://www.fxsolver.com/solve/share/uyEYxNc6Ov3g4Z5PMQ45lQ==/ Einstein ilişki hesaplayıcıları]
* [https://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/ja981997x İyon yayılımı] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20210624210350/https://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/ja981997x |tarih=24 Haziran 2021 }}

[[Kategori:İstatistiksel mekanik]]
[[Kategori:Albert Einstein]]