Fraksiyonel fourier dönüşümü sayfasının kaynağını görüntüle

{{kötü çeviri|tarih=Aralık 2020}}
{{düzenle|Aralık 2019}}
[[Matematik]]te, [[harmonik analiz]] alanında, '''kesirli Fourier dönüşümü (FRFT)''' [[Fourier dönüşümü]]ne genelleştirilecek [[doğrusal dönüşümler]]in bir ailesidir. Bu nedenle, -[[zaman]] ve [[frekans]]- arasında bir ara etki alanı için bir işlev dönüştürebilir - Fourier dönüşünde n'in bir [[tam sayı]] olması gerekmez n'inci kuvvet dönüşümü olarak da düşünülebilir. Onun uygulamaları faz [[geri alma]] ve [[örüntü tanıma]] için,[[filtre tasarımı]] ve [[sinyal analizi]] arasında değişir.

kesirli Fourier dönüşümü (FRFT) Fourier dönüşümüne genelleştirilecek lineer dönüşümlerin bir ailesidir.

FRFT  fraksiyonel [[konvolüsyon]], [[korelasyon]] ve diğer işlemleri tanımına kullanılabilir ve aynı zamanda [[lineer kanonik dönüşümler]](LCT) içine daha fazla genelleştirilebilir ve ayrıca Namias'ın.<ref>V. Namias, "The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics," ''J. Inst. Appl. Math.'' '''25''', 241–265 (1980).</ref>    [[Green fonksiyonları|Green fonksiyonu]] için çözümü yardımıyla [[faz uzayı]] rotasyonları için FRFT'nin bir erken tanımı [[Condon]]<ref>E. U. Condon, "Immersion of the Fourier transform in a continuous group of functional transformations", ''Proc. Nat. Acad. Sci. USA''  '''23''', (1937) 158–164.</ref> tarafından verildi, [[Hermit polinomları]] üzerinde [[Norbert Wiener|Wiener]]'in <ref>N. Wiener, "Hermitian Polynomials and Fourier Analysis", ''J. Mathematics and Physics'' '''8''' (1929) 70-73.</ref>   çalışması genelleştirildi.

Bağımsız birkaç araştırma grubu tarafından 1993 civarında yeniden icat edilene kadar ancak yaygın olarak kabul edilmemiştir.<ref>Luís B. Almeida, "The fractional Fourier transform and time-frequency representations," ''IEEE Trans. Sig. Processing'' '''42''' (11), 3084–3091 (1994).</ref> O zamandan beri, fraksiyonel fourier boyutunda sınırlı bant kabul edilen sinyalleri için, Shannon örnekleme teoremine<ref>Ran Tao, Bing Deng, Wei-Qiang Zhang and Yue Wang, "Sampling and sampling rate conversion of band limited signals in the fractional Fourier transform domain," ''IEEE Transactions on Signal Processing'', '''56''' (1), 158–171 (2008).</ref><ref>A. Bhandari and P. Marziliano, "Sampling and reconstruction of sparse signals in fractional Fourier domain," ''IEEE Signal Processing Letters'', '''17''' (3), 221–224 (2010).</ref>  olan ilgide büyük bir artış olmuştur.

"Kesirli Fourier dönüşümü" için tamamen farklı bir anlam frekansı alanı kesirli bir miktarda kaydırılarak ayrık bir Fourier dönüşümüne karşılık bir durumda  [[z-dönüşümü]] için aslında başka bir isim olarak ve özellikle Bailey ve Swartztrauber<ref>D. H. Bailey and P. N. Swarztrauber, "The fractional Fourier transform and applications," ''[[SIAM Review]]'' '''33''', 389-404 (1991). (Note that this article refers to the chirp-z transform variant, not the FRFT.)</ref>  tarafından tanıtıldı (bir doğrusal [[kesir]] tarafından giriş çarpılması) ve frekans noktalarının (örn. tayfı sadece küçük bir kısmı göz önünde bulundurarak) bir fraksiyonel kümesi de değerlendiriliyor. (Bu tür dönüşümler [[Bluestein FFT algoritması]] tarafından verimli bir şekilde değerlendirilebilir.) Bu terminoloji teknik edebiyatının en kullanım dışına çıkmış,yani, FRFT<ref>J. Shi, N.-T. Zhang, and X.-P. Liu, "A novel fractional wavelet transform and its applications," Sci. China Inf. Sci. vol. 55, no. 6, pp. 1270-1279, June 2012. URL: http://www.springerlink.com/content/q01np2848m388647/{{Ölü bağlantı|tarih=Mart 2020 }}</ref>  tercih edilecek Bu makalenin geri kalanında FRFT olarak geçecek. [[Fourier dönüşümü]]nün bir genelleştirmesi ile ilgili [[cıvıltı dönüşümü]]nede ayrıca bakılmalıdır.

== Tanım ==
Sürekli Fourier fonksiyonu bir <math>f(t)</math> dönüşümü halinde <math>\mathcal{F}(f)</math> ile gösterilir, <math>\mathcal{F}^2(f)=\mathcal{F}(\mathcal{F}(f))</math>, daha sonra, genel olarak, benzer şekilde, <math>\mathcal{F}^{(n+1)}(f)=\mathcal{F}(\mathcal{F}^n(f))</math>;benzer şekilde, <math>\mathcal{F}^{-n}(F)</math> dönüşümü ters n'inci gücü gösterir.FRFT ile gösterilen tam sayı olmayan herhangi bir gerçek sayı için <math>n=2\alpha/\pi</math> herhangi [[Reel sayılar|gerçel sayı]] <math>\alpha</math> üslerin idare ve özelliklerine sahip su tanıma uzanır:
:<math>\mathcal{F}_\alpha(f) = \mathcal{F}^{2\alpha/\pi}(f)</math>

olduğunda, bir tam sayıdır, ve:

 
Daha spesifik olarak,<math>\mathcal{F}_\alpha(f)</math> 
denklemi ile ifade edilir:
:<math>\mathcal{F}_\alpha(f)(\omega) = 
\sqrt{\frac{1-i\cot(\alpha)}{2\pi}} 
e^{i \cot(\alpha) \omega^2/2} 
\int_{-\infty}^\infty 
e^{-i\csc(\alpha) \omega t + i \cot(\alpha) t^2/2}
f(t)\, dt. 
</math>
unutmadan, bu tam olarak sürekli bir Fourier dönüşümü tanımı haline gelir ve bunun tersi  <math>\alpha=-\pi/2</math> sürekli bir Fourier dönüşümü tanımına dikkat edilmelidir.
çünkü yukarıda ayrışan kotanjant ve cosekant fonksiyonlarına bakılırsa bu ifade daha sonra, katlı bir tam sayı olmaktadır. Bununla birlikte, bu [[limit of a function|limit]] alınabilir ve bu integral [[Dirac delta fonksiyonu]]'na neden olabilir, kolayca ve sırasıyla, <math>\mathcal{F}^2(f)=f(-t)</math>, <math>\mathcal{F}_\alpha(f)</math>
veya basitçe <math>f(t)</math> veya <math>f(-t)</math> için <math>\alpha</math> bir [[Even and odd numbers|çift veya tek]] katlı <math>\pi</math>, olarak sayılmalıdır.
=== İlgili dönüşümler ===
Yine benzer dönüşümler için [[ayrık Fourier dönüşümü]] veya '''ayrık fraksiyonal Fourier dönüşümü''' ile ilgili
[[Zeev zalevsky|Zeev Zalevsky]] tarafından tanımlanan fraksiyonel genellemeler vardır.

=== Özellikler ===
<math>\mathcal{F}_\alpha</math> operatörünün özellikleri var:
*FT kuvvetleri ile '''uyum''' : Eğer <math>\alpha \equiv \pi k\, [2\pi]</math> ise, burada ''k''  bir tam sayı ise
:<math>\mathcal{F}_\alpha = \mathcal{F}^{k}</math>
=== Genelleme ===
Fourier dönüşümü aslında [[bozon]]ik'tir; çünkü bu üstüstelik kuralları ve ilişkili girişim desenleri ile çalışır, ayrıca bir [[fermiyonik]] Fourier dönüşümüdür.<ref name = "xyz">Hendrik De Bie, ''Fourier transform and related integral transforms in superspace (2008)'', 
http://www.arxiv.org/abs/0805.1918 {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20181111000330/https://arxiv.org/abs/0805.1918 |tarih=11 Kasım 2018 }}</ref>  Burada  bir [[süpersimetrik]] FRFT içinde genelleştirme ve bir süpersimetrik [[Radon dönüşümü]]<ref name = "xyz" />,ayrıca bir fraksiyonel Radon dönüşümü, bir [[time-frequency analysis|simplektik]] FRFT ve bir simplektik [[dalgacık dönüşümü]]dür.<ref>Hong-yi Fan and Li-yun Hu, ''Optical transformation from chirplet to fractional Fourier transformation kernel (2009)'', http://www.arxiv.org/abs/0902.1800 {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20181111000341/https://arxiv.org/abs/0902.1800 |tarih=11 Kasım 2018 }}</ref> Çünkü [[kuantum devreleri]] [[birim işlemci]] üzerinde temellidir, ayrıca ikinci olarak [[integral dönüşüm]]lerini hesaplamak için kullanılan bir [[fonksiyon uzayı]] üzerinde birim işlemcidir. Bir kuantum devresi FRFT uygulamak için tasarlanmıştır.<ref>Andreas Klappenecker and Martin Roetteler, ''Engineering Functional Quantum Algorithms (2002)'', http://www.arxiv.org/abs/quant-ph/0208130 {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20171105154305/https://arxiv.org/abs/quant-ph/0208130 |tarih=5 Kasım 2017 }}</ref>

* '''Toplamsallık''':herhangi gerçek açılar α, β,için
:<math>\mathcal{F}_{\alpha+\beta} = \mathcal{F}_\alpha \circ \mathcal{F}_\beta = \mathcal{F}_\beta \circ \mathcal{F}_\alpha.</math>

=== Fraksiyonel çekirdek ===
FrFT  bir [[integral dönüşümü]]dür
:<math>\mathcal{F}_\alpha f (u) = \int K_\alpha (u, x) f(x)\, \mathrm{d}x</math>
burada α-açı çekirdektir
:<math>K_\alpha (u, x) = \begin{cases}\sqrt{1-i\cot(\alpha)} \exp \left(i \pi (\cot(\alpha)(x^2+ u^2) -2 \csc(\alpha) u x) \right) & \mbox{ eğer } \alpha \mbox{ bir çoğulu değil ise }\pi, \\
\delta (u - x) & \mbox{ eğer } \alpha \mbox{ bir çoğulu ise } 2\pi, \\
\delta (u + x) & \mbox{ eğer } \alpha+\pi \mbox{ bir çoğulu ise } 2\pi, \\
\end{cases}</math>

(karekök <math>[-\pi/2, \pi/2]</math> aralığı içinde yer alan sonuçların bileşenleri böyle tanımlanır).

burada yine özel durum eğer α yaklaşıklığı  π'nin birçoğul [[limit]] davranış ile oluşturuluyor ise,

FrFT'de  bazı çekirdek özellikleri olarak şunlar var:
* [[simetri]]: <math>K_\alpha (u, u') = K_\alpha (u', u)</math>
* ters eleman: <math>K_\alpha^{-1} (u, u') = K_\alpha^* (u, u') = K_{-\alpha} (u', u) </math>
* toplam: <math>K_{\alpha+\beta} (u,u') = \int K_\alpha (u, u'') K_\beta (u'', u')\,\mathrm{d}u''.</math>

== Kesirli Fourier dönüşümünün Yorumlanması ==
{{further2|[[Lineer kanonik dönüşümler]]}}
Fourier dönüşümünün herzamanki kullanılan şekli bir zaman domeni sinyalinin bir frekans domeni sinyaline dönüşümüdür. Diğer taraftan, ters Fourier dönüşümü ise frekans domeni sinyalini zaman domeni sinyaline dönüştürür. Görünen o ki, Kesirli Fourier dönüşümü bir sinyale (ya zaman ya da frekans domeni) sürekli zaman ve frekans domenine dönüştürülebilir, [[zaman-frekans domeni]] içinde bu bir döngüdür. [[Lineer kanonik dönüşüm]] tarafından genelleştirilen bir bakış açısıdır, bu kesirli Fourier dönüşümü  genelleştirilerek dönme dışındada frekans-zaman domeni, doğrusal dönüşümlerini sağlar.

Bir örnek olarak aşağıda Şekil alalım:sinyal zaman domeninde [[dörtgen]] ise(aşağıda), frekans domeni içinde bir [[sinc fonksiyon]] alınacak. Ancak kesirli Fourier dikdörtgen sinyaline dönüştürme uygularsanız, dönüşüm çıkış zaman ve frekans arasındaki bir domen olacaktır.

Aslında, kesirli Fourier dönüşümü zaman frekans dağılımı üzerine bir dönme işlemdir. Yukarıdaki tanımından ''α''&nbsp;=&nbsp;0 için, burada kesirli Fourier Dönüşümü uyguladıktan sonra herhangi bir değişiklik olmayacak ve bir Fourier dönüşümüne ''α''&nbsp;=&nbsp;''π''/2 için, kesirli Fourier dönüşümü alınıyor. Buradaki zaman frekans dağılımını &nbsp;''π''/2 ile döndürülür.&nbsp;''α'' için diğer değer,α nın zaman frekans dağılımına göre kesirli Fourier dönüşümünün döngüsüdür. Aşağıdaki resim &nbsp;''α''nın değişik değerleri ile birlikte kesirli Fourier'e dönüştüren sonuçları gösterir.

== Uygulama ==

Fraksiyonel Fourier dönüşümü zaman frekans analizi ve [[Digital signal processing|DSP]]'de kullanılabilir. Bu gürültüyü filtrelemek için yararlıdır, ama zaman-frekans domeninde istenen sinyalin örtüşmemesi koşulu ile. Aşağıdaki örneği inceleyelim. Gürültüyü ortadan kaldırmak için doğrudan bir filtre uygulayamayız, ancak kesirli Fourier dönüşümü yardımıyla, öncelikle (istenilen sinyal ve gürültü dahil) sinyal döndürebiliriz. O halde sadece istenilen sinyali geçmesine izin verecek özel bir filtre uygulayabiliriz. Böylece gürültü tamamen kaldırılır. Sonra biz geri sinyale döndürmek için tekrar kesirli Fourier dönüşümünü kullanıyoruz ve istenilen sinyal alabiliyoruz.

Böylece, sadece zaman alanında  kesilme kullanılarak veya  eşdeğeri frekans domenindeki [[alçak geçiren filtre]]'lerle, herhangi bir [[konveks küme]] zaman-frekans alanını kesebilirsiniz;kesirli Fourier kullanılarak zaman domeni veya frekans domeninde yöntemleri kullanılarak sadece eksene paralel dikdörtgenler dışındaki kesimin dönüşümüne izin verir.
<!--
I have read this artical a few times and this graphic is confusing. the top left pane shows the spectrum of signal with noise (how can you know that the noise is a nice diagonal line in that rep anyhow? what would generate this?) then rotated until the noise is vertical in the graph. I does not indicate why the original frequency rep cant be filtered directly in either the freq or time domain. Call me stupid if you like but one sentence could clear this up. Chris Dow-->

== Ayrıca bakınız ==

Diğer zaman-frekans dönüşümleri:
* [[Lineer kanonik dönüşümler]]
* [[kısa-süreli Fourier dönüşümü]]
* [[Dalgacık dönüşümü]]
* [[Chirplet dönüşümü]]

== Kaynakça ==
{{kaynakça}}

== Dış bağlantılar ==
* [http://tfd.sourceforge.net/ DiscreteTFDs -- software for computing the fractional Fourier transform and time-frequency distributions]{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20140116131707/http://tfd.sourceforge.net/ |tarih=16 Ocak 2014 }}
*"[http://demonstrations.wolfram.com/FractionalFourierTransform/ Fractional Fourier Transform]{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20120211120002/http://demonstrations.wolfram.com/FractionalFourierTransform/ |tarih=11 Şubat 2012 }}" by Enrique Zeleny, [[The Wolfram Demonstrations Project]].
* [https://web.archive.org/web/20090215081459/http://mechatronics.ece.usu.edu/foc/FRFT/ Dr YangQuan Chen's FRFT (Fractional Fourier Transform) Webpages]

== Kaynakça ==

* {{Kaynak
|ad1=Haldun M.
|soyadı1=Ozaktas
|ad2=Zeev
|soyadı2=Zalevsky
|ad3=M. Alper
|soyadı3=Kutay
|başlık=The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing
|yayıncı=John Wiley & Sons
|yıl=2001
|seri=Series in Pure and Applied Optics
|url=http://www.ee.bilkent.edu.tr/~haldun/wileybook.html <!-- support page-->
|isbn=0-471-96346-1
|erişimtarihi=12 Haziran 2012
|arşivurl=https://web.archive.org/web/20090223020612/http://www.ee.bilkent.edu.tr/~haldun/wileybook.html
|arşivtarihi=23 Şubat 2009
|ölüurl=evet}}
* {{Kaynak
|başlık=The discrete fractional Fourier transform
|soyadı1=Candan
|ad1=C.
|soyadı2=Kutay
|ad2=M.A.
|soyadı3=Ozaktas
|ad3=H.M.
|dergi=IEEE Transactions on Signal Processing
|cilt=48
|sayı=5
|ay=Mayıs|yıl=2000
|sayfalar=1329-1337|doi=10.1109/78.839980
}}
* A. W. Lohmann, "Image rotation, Wigner rotation and the fractional Fourier transform," ''J. Opt. Soc. Am.'' '''A 10''', 2181–2186 (1993).
* Soo-Chang Pei and Jian-Jiun Ding, "Relations between fractional operations and time-frequency distributions, and their applications," ''IEEE Trans. Sig. Processing'' '''49''' (8), 1638–1655 (2001).
* Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), [[Taipei]], Taiwan, 2007.
* Saxena, R., Singh, K., (2005) ''Fractional Fourier transform: A novel tool for signal processing'', J. Indian Inst. Sci., Jan.–Feb. 2005, 85, 11–26. https://web.archive.org/web/20110716112239/http://journal.library.iisc.ernet.in/vol200501/paper2/11.pdf.

{{DEFAULTSORT:Fractional Fourier Transform}}
[[Kategori:Fourier dönüşümü]]
[[Kategori:Fonksiyonlar]]
[[Kategori:Fourier analizi]]
[[Kategori:Zaman-frekans analizi]]
[[Kategori:İntegral dönüşümler]]