Gama fonksiyonu sayfasının kaynağını görüntüle

{{Dipnotsuz|tarih=Ağustos 2016}}
{{Matematiksel fonksiyon bilgi kutusu
| name = Gamma
| image = Gamma plot.svg
| imagesize = 325px
| caption = Reel eksen boyunca gama fonksiyonu
| general_definition = <math>\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,dt</math>
| fields_of_application = [[Kalkülüs]], [[matematiksel analiz]], [[istatistik]], [[fizik]] 
}}
'''Gama fonksiyonu''', [[matematik]]te [[faktöriyel]] fonksiyonunun [[karmaşık sayılar]] ve [[tam sayılar|tam sayı]] olmayan [[reel sayı]]lar için genellenmesi olan bir [[fonksiyon]]dur. Г simgesiyle gösterilir.

:<math>
\Gamma(z) = \int_0^\infty  \, t^{z-1} \, e^{-t} dt
</math>
:<math> \Gamma(n) = (n-1)! </math>
Kompleks düzlemde Analitik devamlılık için n negatif tam sayı olmamalıdır, pozitif tam sayı olmalıdır.

== Alıştırma ==
Öncelikle;
:<math> (n+1)n! = (n+1)!</math> eşitliğini ele alalım.
:<math>n =0</math> alırsak; <math> 1.0! = 1!=1</math> olur.
Bu durumda "Aynı işlem kesirli sayılarla da yapılabilir mi?" diye bir soru akla gelir.
:<math>n =1/2</math> alırsak;
:<math> (3/2)(1/2)! = (3/2)!</math> olması gerekir. Yani

:<math> (3/2)(1/2)! = (3/2)!</math>→<math> (3/2)!/(1/2)! = 3/2</math> olmalıdır.
:<math> \Gamma(n) = (n-1)! </math>' olduğundan;
:<math> \Gamma(5/2)</math>→<math>(3/2)!</math> 'e karşılık gelmelidir(eşittir demiyoruz) ve yine

:<math> \Gamma(3/2)</math>→<math>(1/2)!</math> işlemine karşılık gelmelidir.

:<math>\begin{array}{lll}
\Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329 \\
\Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886 \\\end{array}</math>
:<math> \Gamma(5/2)/\Gamma(3/2)=3/2</math>
Bu da
:<math> \Gamma(5/2)/\Gamma(3/2)=3/2</math>→<math> (3/2)!/(1/2)! = 3/2</math> varsayımımızı doğrular. Denenirse diğer sayılar için de bunun doğruluğu görülebilir.

== Tanım ==
=== Ana Tanım ===
[[Dosya:Complex_gamma.jpg|küçükresim|sağ|karmaşık düzlemle genişletilmiş Gama fonksiyonu]]

Bu çift <math>\Gamma(z)</math> gösterim [[Legendre]] tarafından yapılmıştır. Kompleks sayı ''z'''nin gerçel kısmı (Re[''z'']&nbsp;>&nbsp;0) şeklindedir. [[integral]]'i

:<math>\Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1} e^{-t}\,dt</math>

Burada [[kısmi integrasyon]] kullanarak, [[absolute convergence|mutlak yakınsaklık]] gösterilebilir.

:<math>\Gamma(z+1)=z \, \Gamma(z) \qquad \text{(1)}</math>
&nbsp;''n''&nbsp;<nowiki>!</nowiki> =&nbsp;''n''&nbsp;·&nbsp;(''n''&nbsp;−&nbsp;1)&nbsp;<nowiki>!</nowiki> faktoriyel fonksiyonunun genel kimliği/tanımı Bu [[fonksiyonel denklem]]dir.
:<math> \Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t} dt = \lim_{k \rightarrow \infty} -e^{-t} |_0^k = -0 - (-1) = 1 \qquad\text{(2)}</math>
Bu iki sonuç bize faktöriyel fonksiyonun gama fonksiyonun özel bir durumu olduğunu gösteriyor.
Bütün ''n'' [[Doğal sayılar]]'ı için . 
:<math>\Gamma(n+1) = n \, \Gamma(n) = n \, (n-1) \, \Gamma(n-1) = \cdots = n! \, \Gamma(1) = n!\,</math>
[[Dosya:GammaAbsSmallPlot.svg|küçükresim|sağ|Karmaşık düzlem üzerinde Gama fonksiyonu'nun [[mutlak değer]]i.]]

<math>\Gamma(z)</math> genellemesi analitik devamlılık için gereklidir. ''z'' böylece 0 ve negatif değerler hariç bütün kompleks sayıları [[meromorfik fonksiyon]] olarak tanımlar. (''z''.&nbsp;=&nbsp;−''n''basit kutbu ile [[Residue (complex analysis)|rezidü]] (−1)<sup>&nbsp;''n''</sup>/''n''&nbsp;<nowiki>!</nowiki>).<ref>George Allen, and Unwin, Ltd., ''The Universal Encyclopedia of Mathematics''. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Forward by [[James R. Newman]])</ref>

=== Alternatif tanımlamalar ===
0 ve negatif tam sayılar dışında bütün kompleks sayılar ''z'' için tanım [[sonsuz sayıda]] Gama fonksiyonu için, sırasıyla [[Leonhard Euler|Euler]] ve [[Karl Weierstrass|Weierstrass]] çifti tarafından
:<math>
\begin{align}
\Gamma(z) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)} 
= \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^z}{1+\frac{z}{n}}
\\
\Gamma(z) &= \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n} \\
\end{align}
</math>

burada γ, [[Euler-Mascheroni sabiti]]'dir.

yukarıdaki ''z'' nin 0,-1,-2,-3..dışındaki değerleri için Euler tanımı [[fonksiyonel denklemi]]
basitleştirilmiş şekli, 
:<math>
\begin{align}
\Gamma(z+1) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; (n)^{z+1}}{(z+1) \; (z+2)\cdots(z+n+1)} \\
&= \lim_{n \to \infty} \left( z \; \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1) \; (z+2)\cdots(z+n)} \; \frac{(n)}{(z+n+1)}\right) \\
&= z \; \Gamma(z) \; \lim_{n \to \infty} \frac{(n)}{(z+n+1)} \\
&= z \; \Gamma(z). \\
\end{align}
</math>

değişik bir gösterim...

:<math>
\Gamma(z+1) = \int_0^\infty  e^{-t^{1/z}}\,dt. \,\!
</math>

Bazen Gamma fonksiyonu'nun parametrik şekli [[Laguerre polinomları]]'nın
terimleri içinde verilir;
:<math>\Gamma(z)=t^z \cdot \sum_{n=0} \frac{L_n^{(z)}(t)}{z+n}</math> &nbsp;, &nbsp; yakınsaklık için <math>\Re (z) < \frac{1}{2}</math> olmalıdır.

<gallery>
Image:Complex gamma function abs.png | Mutlak değer
Image:Complex gamma function Re.png | Gerçel kısım
Image:Complex gamma function Im.png | Sanal kısım
</gallery>

==Özellikler==
[[Dosya:GammaAbsSmallPlot.png|küçükresim|Mathematica'da kendi kendine yapılan Γ fonksiyonunun mutlak değerinin 3B grafiği (mupad'deki önceki sürümler)]]

===Pi fonksiyonu===
Bir alternatif gösterimde [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] tarafından girilmişti. ve bazen '''Pi fonksiyonu''' deniyor, gama fonksiyonu terimleri yardımıyla

:<math>\Pi(z) = \Gamma(z+1) = z \Gamma(z)  = \int_0^\infty  e^{-t} t^z\,{\rm d}t,</math>

böylece

her negatif olmayan ''n'' için.

:<math>\Pi(n) = n!,</math>
Pi fonksiyonunu kullanarak yansıma formülü formunu alır

:<math>\Pi(z)  \Pi(-z) = \frac{\pi z}{\sin( \pi z)} = \frac{1}{\operatorname{sinc}(z)}</math>

burada sinc normalize [[sinc fonksiyonu]]dur, eğer çarpım teoremi formu alınırsa

:<math>\Pi\left(\frac{z}{m}\right) \, \Pi\left(\frac{z-1}{m}\right) \cdots \Pi\left(\frac{z-m+1}{m}\right) = (2 \pi)^{\frac{m-1}{2}} m^{-z-\frac{1}{2}} \Pi(z).</math>

ayrıca bazen

:<math>\pi(z) = \frac{1}{\Pi(z)},</math>
bulunur.

yukardaki bir [[Tam fonksiyon]]'dur, çünkü karmaşık sayılar içinde tanımlıdır. Burada π(''z'') hiçbir kutuba sahip değildir, Π(''z'')de, &Gamma;(''z'') gibi,[[zero (complex analysis)|sıfır]] yok idi.

ilgilenenler için, yarıçap <math>r_1,...,r_n</math> ile [[Volume of an n-ball|bir n-ellipsoidin hacmi]]  gösterilebilir.

:<math>V_n(r_1,...,r_n)=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Pi(\frac{n}{2})}\prod_{k=1}^{n}r_k</math>

== Özel değerler ==
{{Ana| Gama fonksiyon'unun özel değerleri}}

:<math>
\begin{array}{lll}
\Gamma(-3/2) &= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} &\approx 2.363 \\
\Gamma(-1/2) &= -2\sqrt{\pi} &\approx -3.545 \\
\Gamma(1/2) &= \sqrt{\pi} &\approx 1.772 \\
\Gamma(1) &= 0! &= 1 \\
\Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886 \\
\Gamma(2) &= 1! &= 1 \\
\Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329 \\
\Gamma(3) &= 2! &= 2 \\
\Gamma(7/2) &= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} &\approx 3.323 \\
\Gamma(4) &= 3! &= 6 \\
\end{array}
</math>
===Raabe formülü===

1840 yılında [[Joseph Ludwig Raabe|Raabe]] şunu kanıtladı,

::<math>\int\limits_a^{a+1}\log\Gamma(t)\,\mathrm dt = \tfrac12\log2\pi + a\log a - a,\quad a\ge0.</math>

:özel olarak, eğer <math>a=0</math> ise

::<math>\int\limits_0^1\log\Gamma(t)\,\mathrm dt = \tfrac12\log2\pi.</math>

==Ayrıca bakınız==
<div style="-moz-column-count:3; column-count:3;">
* [[Matematiksel fonksiyonların listesi]]
* [[Beta fonksiyonu]]
* [[Bohr–Mollerup teoremi]]
* [[n-küre hacminin türevi]] (görünüşte ilgisiz olan problemden Gama fonksiyonunun türetilmesi)
* [[Digama fonksiyonu]]
* [[Elliptik gama fonksiyonu]]
* [[Faktöriyel]]
* [[Gamma dağılımı]]
* [[Gauss sabiti]]
* [[Gauss toplamı]]
* [[Lanczos yaklaşıklığı]]
* [[Multivariate gamma function|Çokdeğişkenli Gama fonksiyonu]]
* [[Pochhammer k-sembolü]]
* [[Poligama fonksiyonu]]
* [[Ters Gama fonksiyonu]]
* [[Trigama fonksiyonu]]
</div>
== Notlar ==
{{kaynakça}}
== Kaynakça ==

* {{Citizendium}}
* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. ''[[Handbook of Mathematical Functions]] with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.'' New York: Dover, 1972. ''[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_253.htm (See Chapter 6)] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20090217220227/http://math.sfu.ca/~cbm/aands/page_253.htm |tarih=17 Şubat 2009 }}''
* Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) ''Exposition by Emil Artin: a selection''; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).
* Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," ''Am. Math. Monthly'' '''66''', 849-869 (1959)
* Julian Havil, ''Gamma, Exploring Euler's Constant", ISBN 0-691-09983-9 (c) 2003''
* W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. ''[[Numerical Recipes|Numerical Recipes in C]]''. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. ''(See Section 6.1.)''
* Pascal Sebah and Xavier Gourdon. ''Introduction to the Gamma Function''. In [http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/gammaFunction.ps PostScript]{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20120204044719/http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/gammaFunction.ps |tarih=4 Şubat 2012 }} and [http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/gammaFunction.html HTML]{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20120204043904/http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/gammaFunction.html |tarih=4 Şubat 2012 }} formats.
== Dış bağlantılar ==
{{Commons kategori|Gamma and related functions}}
* {{dlmf|authorlink=Richard Askey|first=R. A.|last= Askey|first2= R.|last2= Roy |id=5 }}
* [http://www.moshier.net/#Cephes Cephes]{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20091208100839/http://www.moshier.net/#Cephes |tarih=8 Aralık 2009 }} - C and C++ language special functions math library
* Examples of problems involving the Gamma function can be found at [https://web.archive.org/web/20161002083601/http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php?title=Special_Functions Exampleproblems.com].
* [https://web.archive.org/web/20100924080547/http://www.danielsoper.com/statcalc/calc30.aspx Gamma function calculator]
* [http://functions.wolfram.com/webMathematica/FunctionEvaluation.jsp?name=Gamma Wolfram gamma function evaluator (arbitrary precision)]{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20191028215555/http://functions.wolfram.com/webMathematica/FunctionEvaluation.jsp?name=Gamma |tarih=28 Ekim 2019 }}
* {{WolframFunctionsSite | urlname=GammaBetaErf/Gamma | title=Gamma}}
* [http://www.mathpages.com/home/kmath163/kmath163.htm Volume of n-Spheres and the Gamma Function]{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20120305105345/http://www.mathpages.com/home/kmath163/kmath163.htm |tarih=5 Mart 2012 }} at MathPages
* [http://www.rskey.org/gamma.htm Computing the Gamma function]{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20051231063913/http://www.rskey.org/gamma.htm |tarih=31 Aralık 2005 }} - various algorithms
* [https://web.archive.org/web/20101130023249/http://sporkforge.com/math/fcn_graph_eval.php Online tool to graph functions which contain the Gamma function]
* {{mathworld|urlname=GammaFunction |title=Gamma function}}
* [http://www.docstoc.com/docs/3507375/500-Integrals-of-Elementary-and-Special-Functions, "Elementary Proofs and Derivations"] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20230726133916/http://www.docstoc.com/docs/3507375/500-Integrals-of-Elementary-and-Special-Functions, |tarih=26 Temmuz 2023 }}
* [http://www.docstoc.com/docs/5836783/Selected-Transformations-Identities--and-Special-Values--for-the-Gamma-Function, "Transformations, Identities and Special Values"] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20230726133831/http://www.docstoc.com/docs/5836783/Selected-Transformations-Identities--and-Special-Values--for-the-Gamma-Function, |tarih=26 Temmuz 2023 }}
{{Otorite kontrolü}}

[[Kategori:Gama ve ilişik fonksiyonlar]]
[[Kategori:Özel fonksiyonlar]]
[[Kategori:Faktöriyel ve binomi konuları]]
[[Kategori:Meromorf fonksiyonlar]]