Geometrik Brown hareketi sayfasının kaynağını görüntüle

[[Dosya:GeometrikBrownHareketi.png|küçükresim|upright=1.82|Simülasyon programlama detayları için aşağıya bakınız]]
[[Matematik]]te '''geometrik Brown hareketi''' ya da '''üstel Brown hareketi''' rassal değişen bir niceliğin [[logaritma]]sının [[Brown hareketi]]ni izlediği sürekli-zamanlı ve [[stokastik sürükleme|sürüklemeli]] bir [[stokastik süreç]]tir.<ref>{{kitap kaynağı |başlık=Introduction to Probability Models |ad=Sheldon M. |soyadı=Ross |yer=Amsterdam |yayıncı=Elsevier |seri=11th |yıl=2014 |kısım=Variations on Brownian Motion |sayfalar=612-14|isbn=978-0-12-407948-9 |bölümurl=https://books.google.com/books?id=A3YpAgAAQBAJ&pg=PA612 }}</ref> Geometrik Brown hareketi, belli bir [[stokastik diferansiyel denklem]]i sağlayan önemli bir stokastik süreçtir; özellikle, [[finansal matematik]]teki [[Black-Scholes modeli]]nde hisse senedi fiyatlarının modellenmesinde kullanılmaktadır.

== Tanımı ==
<math>W_t</math> [[Brown hareketi]], <math>\mu</math> [[stokastik sürükleme|sürükleme katsayısı]] ve <math>\sigma</math> [[volatilite]] katsayısı olmak üzere, bir <math>S_t</math> stokastik süreci 
:<math> dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t </math>
diferansiyel denklemini sağlıyorsa, o zaman <math>S_t</math>'nin '''geometrik Brown hareketini''' izlediği söylenir. Burada, <math>\mu</math> deterministik hareketleri belirleyen katsayı görevi görürken, <math>\sigma</math> ise hareket sırasındaki rassallığa katkıda bulunmaktadır.

== Stokastik diferansiyel denklemin çözümü ==
<math>S_0</math> pozitif olmak üzere herhangi bir gerçel sayı olsun. [[İto hesabı]] ile, denklemin çözümü aşağıdaki gibi verilir:
: <math> S_t = S_0 e^{\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} \right)t + \sigma W_t}.</math>

Bu çözüme ulaşmak için [[İto önsavı]]nı kullanmak gerekmektedir. <math>f(S_t)=\ln S_t</math> için İto formülünü kullanırsak
: <math>d(\ln S_t) =  \frac{d\ln x}{dx}\Bigg|_{x=S_t}  d S_t + \frac{1}{2}\frac{d^2 \ln x}{dx^2}\Bigg|_{x=S_t}\,dS_t \,dS_t
= \frac{d S_t}{S_t} -\frac{1}{2} \,\frac{1}{S_t^2} \, dS_t \, dS_t </math>
elde ederiz. Burada, <math> dS_t \, dS_t</math> ile bahsedilen [[kuadratik varyasyon]]dur ve şöyle hesaplanır:
:<math>  d S_t \, d S_t \, = \, \sigma^2 \, S_t^2 \, d W_t^2 + 2 \sigma S_t^2 \mu \, d W_t \, d t + \mu^2 S_t^2 \, d t^2. </math>
<math> d W_t^2 = O(d t) </math> olduğundan, <math> d t \to 0 </math> iken, <math> d t</math> sıfıra <math>d W_t</math>'den daha hızlı yakınsar. O zaman, yukarıdaki kuadratik varyasyon şu şekilde yazılabilir:
:<math>  d S_t \, d S_t \, = \, \sigma^2 \, S_t^2 \, dt .</math>
Bu ifâdeyi yukarıdaki denklemde kullanıp <math>dS_t</math> ifâdesini de yazarsak, 
: <math>\ln \frac{S_t}{S_0} = \left(\mu -\frac{\sigma^2}{2}\,\right) t + \sigma W_t\,</math>
elde ederiz. Her iki tarafın üstelini alıp, sonra da <math>S_0</math> ile çarparsak sonucu elde etmiş oluruz.

== Aritmetik Brown hareketi ==
<math>m</math> herhangi bir gerçel sayı, <math>\sigma</math> ise pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, bir <math>X_t</math> stokastik süreci 
: <math>d X_t  = m\, dt + v\, dW_t\, ,</math>
diferansiyel denklemini sağlıyorsa, <math>X_t</math>'nin '''aritmetik Brown hareketini''' izlediği söylenir.
Yukarıdaki stokastik diferansiyelin çözümünde karşımıza çıkan <math>X_t:=\ln \frac{S_t}{S_0}</math> stokastik süreci bu tanıma göre [[aritmetik]] Brown hareketini izlemektedir. Artimetik Brown hareketini ilk defa [[Louis Bachelier]] 1900 yılında hisse senedi fiyatlarını modellemek için kullanmıştır ve bu model bugün [[Bachelier modeli]] olarak bilinmektedir. Yukarıda gösterildiği gibi, aritmetik Brown hareketinin stokastik diferansiyel denklemi, yine Itô formülünün bir geometrik Brown hareketinin logaritması aracılığıyla elde edilebilir.

== Geometrik Brown hareketinin özellikleri ==
=== Beklenen değer ve varyans ===
<math>S_t</math> nin yukarıda verilen çözümü [[log-normal dağılım]]a sahip bir rassal değişkendir. Bu durumda, [[beklenen değer]] ve [[varyans]] aşağıdaki gibi verilmektedir:<ref>{{Kaynak
 | başlık = Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications
 |yayıncı=Springer
 |yazar = Øksendal, Bernt K.
 | yıl = 2002
 | sayfalar =326| isbn = 3-540-63720-6
}}</ref>
:<math>\operatorname{E}(S_t)= S_0e^{\mu  t},</math>
:<math>\operatorname{Var}(S_t)= S_0^2e^{2\mu t} \left( e^{\sigma^2 t}-1\right).</math>
Bu değerleri hesaplamanın yollarından biri, bir <math>\alpha\in \R</math> için <math> Z_t = e^{\alpha W_t - \frac{1}{2}\alpha^2 t} </math> olarak tanımlanan sürecin bir [[Martingal (olasılık teorisi)|martingal]] olduğunu bilmekten geçmektedir. Bu durumda, <math>0 \leq s < t</math> koşulunu sağlayan her <math>s</math> için,
:<math> \operatorname{E}\left[ S_t | \mathcal{F}_s\right]=S_0\operatorname{E}\left[e^{\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} \right)t + \sigma W_t}| \mathcal{F}_s\right]=S_0 e^{\mu t}\operatorname{E}\left[e^{- \frac{\sigma^2}{2} t + \sigma W_t}| \mathcal{F}_s\right]=S_0e^{\mu t} e^{-\frac{\sigma^2}{2}s + \sigma W_s}</math>
:<math> \operatorname{Var}\left[ S_t | \mathcal{F}_s\right]=\operatorname{E}\left[ S_t^2 | \mathcal{F}_s\right]-\left(\operatorname{E}\left[ S_t | \mathcal{F}_s\right]\right)^2=S_0^2 \operatorname{E}\left[e^{\left(2\mu - \sigma^2 \right)t + 2\sigma W_t}| \mathcal{F}_s\right]-S_0^2 e^{2\mu t} e^{-\sigma^2 s + 2\sigma W_s}= S_0^2e^{2\mu t}e^{-\sigma^2 s + 2\sigma W_s}\left[ e^{\sigma^2(t-s)}-1\right]</math>
elde edilir. <math>s=0</math> alınarak yukarıdaki verilen değerler elde edilir.

=== Olasılık yoğunluk fonksiyonu ===
<math> S_t </math> nin yukarıda verilen çözümünün [[olasılık yoğunluk fonksiyonu|olasılık dağılım fonksiyonu]] aşağıdaki gibi verilmektedir.
:<math>f_{S_t}(s; \mu, \sigma, t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\, \frac{1}{s \sigma \sqrt{t}}\, e^{ -\frac{ \left( \ln s - \ln S_0 - \left( \mu - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) t \right)^2}{2\sigma^2 t}}.</math>

==== Kanıt ====
Bu fonksiyonu hesaplamak için [[Fokker-Planck denklemi]]nin kullanılması gerekir.  <math>\delta(.)</math>  [[Dirac delta fonksiyonu]] olmak üzere, 
:<math>{\partial p\over{\partial t}} + {\partial\over{\partial S}}[\mu(t,S)p(t,S)] = {1\over{2}}{\partial^{2}\over{\partial S^{2}}}[\sigma^{2}(t,S)p(t,S)], \quad p(0,S) = \delta(S)</math>.
Hesabı sadeleştirmek için <math>x = \log (S/S_{0})</math> alınırsa, 
:<math>dx = \left(\mu - {1\over{2}}\sigma^{2}\right)dt + \sigma dW</math>
elde edilir ki bu durumda olasılık [[yoğunluk]] fonksiyonu için daha önce yazılmış olan [[Fokker-Planck denklemi]] 
:<math>{\partial p\over{\partial t}} + \left(\mu - {1\over{2}}\sigma^{2}\right){\partial p\over{\partial x}} = {1\over{2}}\sigma^{2}{\partial^{2}p\over{\partial x^{2}}}, \quad p(0,x) = \delta(x) </math>
hâline dönüşür.

<math>V=\mu-\sigma^{2}/2</math> ve <math>D=\sigma^{2}/2</math> tanımlanıp, <math>\xi = x-Vt</math> ve <math>\tau = Dt</math> değişkenleri tanımlanırsa, Fokker-Planck denklemindeki türevlerle bu yeni değişkenler üzerinden tanımlanan türevler arasında şöyle bir bağıntı ortaya çıkar:

:<math>\begin{aligned}\partial_{t}p &= D\partial_{\tau}p - V\partial_{\xi}p \\ \partial_{x}p &= \partial_{\xi}p \\ \partial_{x}^{2}p &= \partial_{\xi}^{2}p. \end{aligned}</math>
Böylece, 
:<math>{\partial p\over{\partial\tau}} = {\partial^{2}p\over{\partial \xi^{2}}}, \quad p(0,\xi) = \delta(\xi)</math>
olur ki bu da [[ısı denklemi]]nin doğal hâlidir. Isı denkleminin [[ısı çekirdeği]] tarafından 
:<math>p(\tau,\xi) = {1\over{\sqrt{4\pi \tau}}}e^{-{\xi^{2}\over{4\tau}}}</math>
olarak verilen bir çözümü vardır. Daha önce tanımlanan değişkenler yerine konulduğunda 
:<math>p(t,S) = {1\over{S\sqrt{2\pi \sigma^{2}t}}}e^{-{\left[\log(S/S_{0})-\left( \mu - {1\over{2}}\sigma^{2}\right)t \right]^{2}\over{2\sigma^{2}t}}}</math>
elde edilir.

=== Logaritmik getiri süreci ===
Geometrik Brown hareketinin diğer özelliklerini türetirken, geometrik Brown hareketinin çözümü olduğu stokastik diferansiyel denklemden yararlanılabilir veya yukarıda verilen açık çözüm kullanılabilir. Örneğin, stokastik süreç <math>\log(S_t)</math>'yi ele alalım. Bu ilginç bir süreçtir; çünkü teorikte [[nicel finans]]ta ve uygulamada finansal kurumlarda çalışılan birçok [[Türev (finans)|türev ürünü]]nde ve özellikle [[Black-Scholes modeli]]nde hisse senedi fiyatının logaritmik getirisiyle alâkası vardır. <math>f(S)=\log(S)</math> ile [[Itô önsavı]]nı kullanarak 
:<math>
\begin{alignat}{2}
d\log(S) & = f'(S)\,dS + \frac{1}{2} f'' (S)S^2\sigma^2 \, dt \\[6pt]
& = \frac{1}{S} \left( \sigma S\,dW_t + \mu S\,dt\right) - \frac{1}{2}\sigma^2\,dt \\[6pt]
&= \sigma\,dW_t +(\mu-\sigma^2/2)\,dt.
\end{alignat}
</math>
elde edilir. Buradan, <math>\operatorname{E} \log(S_t)=\log(S_0)+(\mu-\sigma^2/2)t</math> olduğu çıkar. Diğer taraftan, daha önce elde edilmiş açık çözüme logaritma uygulayarak da aynı sonuç elde edilebilir:
:<math>
\begin{alignat}{2}
\log(S_t) &=\log\left(S_0\exp\left(\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} \right)t + \sigma W_t\right)\right)\\[6pt]
& =\log(S_0) +\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} \right)t + \sigma W_t.
\end{alignat}
</math>
Her iki tarafın beklenen değeri alınırsa, <math>\operatorname{E} \log(S_t)=\log(S_0)+(\mu-\sigma^2/2)t </math> elde edilir.

== Örnek simulasyon yolakları yaratma  ==

<syntaxhighlight lang="numpy" line>
#Grafik için Python kodu
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# sabitleri tanımlama
mu = 0.8
sigma = np.arange(0.8, 2, 0.2)
n = 50
dt = 0.02
x0 = 100
np.random.seed(1)

#simülasyon
x = np.exp(
    (mu - sigma ** 2 / 2) * dt
    + sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(len(sigma), n)).T)
x = np.vstack([np.ones(len(sigma)), x])
x = x0 * x.cumprod(axis=0)

#grafik
plt.plot(x)
plt.legend(np.round(sigma, 2))
plt.xlabel("$t$")
plt.ylabel("$x$")
plt.title(
    r"Geometrik Brown hareketinin farklı varyanslar ve $\mu=$ {} altındaki gerçekleşmesi".format(mu), fontsize='small')
plt.show()
</syntaxhighlight>

== Çok boyutlu hâli ==
Geometrik Brown hareketinin birbiriyle korelasyonu olan süreçlerden oluşan çok boyulu hâli de vardır.<ref name="musielarutkowski">Musiela, M., and Rutkowski, M. (2004), Martingale Methods in Financial Modelling, 2nd Edition, Springer Verlag, Berlin.</ref> Bu durumda,
<math>i=1, \cdots,n</math> olmak üzere
:<math>dS_t^i = \mu_i S_t^i\,dt + \sigma_i S_t^i\,dW_t^i</math>
alınır ve Brown hareketlerinin korelasyonu <math>\rho_{i,i} = 1</math> olmak üzere her <math>i,j=1, \cdots,n</math> için <math> \operatorname{E}(dW_{t}^i \,dW_{t}^j) = \rho_{i,j} \, dt</math> olarak verilir.
O zaman, 
:<math>\operatorname{Cov}(S_t^i, S_t^j) = S_0^i S_0^j e^{(\mu_i + \mu_j) t }\left(e^{\rho_{i,j} \sigma_i \sigma_j t}-1\right)</math>
olur.

Brown hareketlerinin bağımsız olduğu başka bir formülasyon da şu şekilde verilebilir:
:<math>dS_t^i = \mu_i S_t^i\,dt + \sum_{j=1}^d \sigma_{i,j} S_t^i\,dW_t^j,</math>
<math>S_t^i</math> ve <math>S_t^j</math> arasındaki [[korelasyon]] bu sefer <math>\sigma_{i,j} = \rho_{i,j}\, \sigma_i\, \sigma_j</math> tarafından ifâde edilir.

== Finansta kullanımı ==
{{Ana|Black-Scholes modeli}}
Geometrik Brown hareketi, Black-Scholes modelinde hisse senedi fiyatlarını modellemek için kullanılır ve hisse senedi fiyat davranışının en yaygın kullanılan modelidir.<ref name="Hull">{{kitap kaynağı|başlık=Options, Futures, and other Derivatives|seri=7|ad=John|soyadı=Hull|yıl=2009|kısım=12.3}}</ref> 
Hisse senedi fiyatlarını modellemek için geometrik Brown hareketinin kullanılmasına yönelik bazı argümanlar şunlardır:
* geometrik Brown hareketinin beklenen getirileri, sürecin değerinden (hisse senedi fiyatı) bağımsızdır; bu da gerçekte bekleyeceğimizle örtüşmektedir.<ref name="Hull" />
* geometrik Brown hareketi süreci tıpkı gerçek hisse senedi fiyatları gibi sadece pozitif değerler varsayar.
* geometrik Brown hareketi süreci, gerçek hisse senedi fiyatlarında gördüğümüz türden bir ''pürüzlülüğü'' ve ''tırtırlığı'' yolaklarında göstermektedir.
* geometrik Brown hareketi süreçlerinde hesaplamalar nispeten kolaydır.

Ancak, geometrik Brown hareketi tam anlamıyla gerçekçi bir model değildir. Özellikle, aşağıdaki noktalarda gerçeklikten uzak kalmaktadır:
* Gerçek hisse senedi fiyatlarında oynaklık zamanla (muhtemelen [[stokastik volatilite|stokastik olarak]]) değişir, ancak geometrik Brown hareketinde oynaklığın sabit olduğu varsayılır.
* Gerçek hayatta hisse senedi fiyatlarında öngörülemeyen olaylar veya haberler nedeniyle sık sık sıçramalar görülür, ancak GBM'de yolaklar süreklidir ve sıçramalar yoktur.

Hisse senedi fiyatlarının modellenmesinin yanı sıra, geometrik Brown hareketi aynı zamanda alım-satım stratejilerinin izlenmesinde de uygulamalar bulmuştur.<ref>{{dergi kaynağı |soyadı1=Rej |ad1=A. |soyadı2=Seager |ad2=P. |soyadı3=Bouchaud |ad3=J.-P. |başlık=You are in a drawdown. When should you start worrying? |dergi=Wilmott |tarih=January 2018 |cilt=2018 |sayı=93 |sayfalar=56-59 |doi=10.1002/wilm.10646 |arxiv=1707.01457 |s2cid=157827746 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/wilm.10646 |erişim-tarihi=21 Kasım 2024 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20221213083221/https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/wilm.10646 |arşivtarihi=13 Aralık 2022 |ölüurl=hayır }}</ref>

== Uzantıları ==
Geometrik Brown hareketini hisse senedi fiyatları için bir model olarak daha gerçekçi hale getirmek amacıyla ve aynı zamanda [[volatilite gülüşü]] sorunuyla da ilişkili olarak, oynaklığın sabitliği varsayımından vazgeçilebilir. Eğer volatilite, hisse senedi fiyatının ve zamanın [[Deterministik sistem|deterministik]] (belirlenimci) fonksiyonu olarak alınırsa, bu sefer ortaya çıkan modele [[yerel volatilite modeli]] denilir.
Black-Scholes modelindeki geometrik Brown hareketinin basit bir uzantısı yerel volatilite stokastik diferansityel denklemleridir. Bu uzantıdaki dağılımı lognormal karışım dinamiği denilen ve aslında geometrik Brown hareketlerinin bir karışımından meydana gelen dağılımlardır. Sonuç olarak, bu uzantıda, opsiyon fiyatları Black-Scholes opsiyon fiyatlarının [[Dışbükey küme|dışbükey bir kombinasyonuyla]] elde edilir.<ref name="musielarutkowski"/><ref>Fengler, M. R. (2005), Semiparametric modeling of implied volatility, Springer Verlag, Berlin. DOI https://doi.org/10.1007/3-540-30591-2</ref><ref>{{dergi kaynağı | başlık = Lognormal-mixture dynamics and calibration to market volatility smiles | ad1 = Damiano | soyadı1 = Brigo | yazarbağı1 = Damiano Brigo | ad2 = Fabio | soyadı2 = Mercurio | yazarbağı2 = Fabio Mercurio | sayfalar =427-446| dergi = International Journal of Theoretical and Applied Finance | cilt = 5 | yıl = 2002 | sayı = 4 |doi= 10.1142/S0219024902001511 }}</ref><ref>Brigo, D, Mercurio, F, Sartorelli, G. (2003). Alternative asset-price dynamics and volatility smile, QUANT FINANC, 2003, Vol: 3, Pages: 173 - 183, {{ISSN|1469-7688}}</ref>
Bunun yerine, oynaklığın kendi başına bir rassallığına sahip olduğunu varsayarsak, modele [[stokastik volatilite modeli]] denir. Bu modeller, genellikle farklı bir Brown Hareketi tarafından yönlendirilen ayrı bir denklemle tanımlanır. [[Heston modeli]] bu modellerin en ünlü örneklerindendir.<ref>{{dergi kaynağı | başlık = A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options | url = https://archive.org/details/sim_review-of-financial-studies_1993_6_2/page/n98 | ad = Steven L. | soyadı = Heston | yazarbağı1 = Steven L. Heston | sayfalar =327-343| dergi = Review of Financial Studies | cilt = 6 | sayı = 2  | yıl = 1993 | jstor = 2962057 |doi= 10.1093/rfs/6.2.327| s2cid = 16091300 }}</ref>

== Kaynakça ==
{{Kaynakça}}

[[Kategori:Stokastik süreçler]]
[[Kategori:Finansal matematik]]