Hasse-Arf teoremi sayfasının kaynağını görüntüle

[[Matematik]]te, özellikle de [[yerel sınıf cismi teorisinde]], '''Hasse-Arf teoremi''', sonlu bir [[Galois grubu|Galois]] genişlemesinin [[Galois grubu]]nun [[üstten numaralandırma]] filtrelemesindeki sıçramalarla ilgili bir sonuçtur. [[Rezidü cismi|Rezidü cisim]]lerinin sonlu olduğu özel bir durumda [[Helmut Hasse]] tarafından<ref>{{Akademik dergi kaynağı |soyadı=Hasse |ad=Helmut |yazarbağı=Helmut Hasse |yıl=1930 |başlık=Führer, Diskriminante und Verzweigungskörper relativ-Abelscher Zahlkörper |dil=de |url=https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/crll.1930.162.169/html |dergi=[[Crelle's Journal|J. Reine Angew. Math.]] |cilt=162 |sayfalar=169-184 |doi=10.1515/crll.1930.162.169 |mr=1581221 |erişim-tarihi=5 Aralık 2024 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20241207073229/https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/crll.1930.162.169/html |arşivtarihi=7 Aralık 2024 |ölüurl=hayır }}</ref><ref>H. Hasse, ''Normenresttheorie galoisscher Zahlkörper mit Anwendungen auf Führer und Diskriminante abelscher Zahlkörper'', J. Fac. Sci. Tokyo '''2''' (1934), pp.477&ndash;498.</ref> ve genel çözümü de [[Cahit Arf]] tarafından kanıtlanmıştır.<ref>{{Akademik dergi kaynağı |ad=Cahit |soyadı=Arf |yazarbağı=Cahit Arf |başlık=Untersuchungen über reinverzweigte Erweiterungen diskret bewerteter perfekter Körper |dergi=[[Crelle's Journal|J. Reine Angew. Math.]] |cilt=181 |yıl=1939 |sayfalar=1-44| zbl=0021.20201 |dil=Almanca|doi=10.1515/crll.1940.181.1 |mr=0000018}}</ref><ref name=S76>{{Kaynak |soyadı=Serre |ad=Jean-Pierre | authorlink=Jean-Pierre Serre |başlık=[[Local Fields]] |translator-last=Greenberg|translator-first= Marvin Jay|translator-link1= Marvin Greenberg |seri=Graduate Texts in Mathematics |cilt=67 |yayıncı=[[Springer-Verlag]] |yıl=1979 | isbn=0-387-90424-7 | zbl=0423.12016 | mr=554237}}--> IV.3, s.76</ref>

== Açıklama ==
=== Yüksek dallanma grupları ===
{{Ana|Dallanma Grupları}}

Teorem, sonlu bir [[Abel genişlemesi]] <math>{\displaystyle L/K}</math>nin üstten numaralandırılmış yüksek dallanma gruplarıyla ilgilidir. Diyelim ki 
* <math>{\displaystyle L/K}</math> sonlu bir Galois genişlemesi, 
* <math>{\displaystyle v_{K}},</math> ''K'' 'nin, 
**rezidü cismi karakteristiği <math> p > 0</math> olan ve 
**[[ayrık değerleme|ayrık birimleştirilmiş bir değerlemesi]] 
olsun. Bu değerlemenin, ''L''<nowiki/>'ye biricik bir şekilde genişlemesi olsun ve bu genişlemeye ''w'' diyelim.
* ''L''<nowiki/>'nin ilişkin birimleştirilmiş değerlemesi ''ew'', <math>{\displaystyle v_{L}}</math> ile 
* ''L''<nowiki/>'nin  <math>{\displaystyle v_{L}}</math> altındaki [[değerleme halkası]], <math>\mathcal {O}</math> ile
gösterilsin. <math>{\displaystyle L/K}</math>'nin [[Galois grubu]] ''G'' olsun ve <math>{\displaystyle L/K}</math>'nin herhangi bir s≥−1 için s-inci dallanma grubunu şu şekilde tanımlayalım:
:<math display="inline">{\displaystyle G_{s}(L/K)=\{\sigma \in G\,:\,v_{L}(\sigma a-a)\geq s+1\  \text{ her } a \in {\mathcal {O}}\text{ için}\}.}</math>
Örneğin, <math> G_{-1},</math> Galois grubu <math>G</math>'dir. Daha yukarı numaralandırmaya geçmek için, öncelikle  ''ψ<sub>L</sub>''<sub>/''K''</sub> fonksiyonu tanımlanmalıdır ki bu [[fonksiyon]] da aşağıda tanımlanmış ''η''<sub>''L''/''K''</sub> fonksiyonunun tersidir:.
:<math>{\displaystyle \eta _{L/K}(s)=\int _{0}^{s}{\frac {dx}{|G_{0}:G_{x}|}}.}</math>
[[Dallanma grubu|Üst numaralandırmalı dallanma grupları]], ''s'' = ''ψ<sub>L</sub>''<sub>/''K''</sub>(''t'') olacak şekilde  ''G<sup>t</sup>''(''L''/''K'') = ''G<sub>s</sub>''(''L''/''K'') ile tanımlanır.

Bu yüksek dallanma grupları ''G<sup>t</sup>''(''L''/''K''), herhangi gerçel ''t ≥−1'' için tanımlıdır, ancak <math>{\displaystyle v_{L}},</math> ayrık bir değerleme olduğundan, bu gruplar sürekli olarak değil, ayrık sıçramalarla değişir. Bu nedenle, herhangi bir ''u'' > ''t'' için  ''G<sup>t</sup>''(''L''/''K'') ≠ ''G<sup>u</sup>''(''L''/''K'') ise,
''t''<nowiki/>'nin, {''G<sup>t</sup>''(''L''/''K'') : ''t'' ≥ −1} filtrelemesinde bir sıçrama olduğunu söyleriz. '''Hasse–Arf Teoremi''', bu sıçramaların [[aritmetik]] doğası hakkında bilgi verir.

== Teoremin ifadesi ==
Yukarıdaki tanımlar ışığında, teorem, {''G''<sup>''t''</sup>(''L''/''K'')&nbsp;:&nbsp;''t''&nbsp;≥&nbsp;&minus;1} filtrelemesindeki sıçramaların hepsinin [[Tam sayı|rasyonel tam sayı]]<ref group=not>"Rasyonel" kelimesi bazen siklotomik tam sayılar, Eisenstein tam sayıları, Gauss tam sayıları ve Hamilton tam sayıları gibi diğer "tam sayı" türlerinden ayırt etmek için vurgu amacıyla kullanılır.</ref> olduğunu ifade eder.<ref name=S76/><ref name=Neu68>{{Kaynak |soyadı=Serre |ad=Jean-Pierre | authorlink=Jean-Pierre Serre |başlık=[[Local Fields]] |translator-last=Greenberg|translator-first= Marvin Jay|translator-link1= Marvin Greenberg |seri=Graduate Texts in Mathematics |cilt=67 |yayıncı=[[Springer-Verlag]] |yıl=1979 | isbn=0-387-90424-7 | zbl=0423.12016 | mr=554237}} Theorem 8.9, p.68</ref>

== Abel olmayan genişlemeler ==
Abel olmayan genişlemeler için sıçramalar tam sayılarda olmak zorunda değildir. Serre, Galois groubunun mertebesi 8 olan <math>Q_8</math> of order 8 kuaterniyon grubu olan tamamen dallanmış bir genişlemenin örneğini aşağıdaki gibi vermiştir:
*<math>G_0 = Q_8</math>
*<math>G_1 = Q_8</math>
*<math>G_2 = \Z/2\Z</math>
*<math>G_3 = \Z/2\Z</math>
*<math>G_4 = 1</math>
Üst numaralandırma o zaman
*<math> n \leq 1 </math> için <math>G^n = Q_8 </math> &nbsp; 
* <math> 1 < n\leq 3/2 </math> için <math>G^n = \Z/2\Z </math> &nbsp;
*<math> 3/2 < n </math> için <math>G^n = 1 </math> &nbsp; 
biçiminde olur. Bu yüzden, <math>n=3/2</math> iken, yani, tam sayı olmayan bir değerde sıçrama olduğu görülür.

== Notlar ==
<references group=not/>

==Kaynakça==
{{kaynakça}}

[[Kategori:Galois teorisi]]
[[Kategori:Türk icatları]]