Hilbert'in uçlar aritmetiği sayfasının kaynağını görüntüle

{{matematik-taslak}}
Alman matematikçi [[David Hilbert]]'in 1871'deki bir makalesinde<ref>Hilbert, ''"A New Development of Bolyai-Lobachevskian Geometry"'' ([[Bolyai]]-[[Lobachevski]] Geometrisinin Yeni bir Gelişmesi), 1971.</ref> incelemiş olduğu [[hiperbolik geometri]]'nin [[Poincaré modeli]] için verdiği [[cebirsel geometri]]k yapı. [[Doğru]]ların [[uç]]larının oluşturduğu bir [[cisim]] ve bu cisim üzerinde tanımlı bir [[çarpımsal uzaklık fonksiyonu]] içeriyor. [[Öklit geometrisi]]ne ters olarak, doğruların [[koordinat]]ları ve [[nokta]]ların [[denklem]]leri bulunuyor.

Hiperbolik geometride her [[paralel]] [[ışın]], [[hiperbolik düzlem]]in dışında bulunan bir noktada kesişir (bknz. [[izdüşümsel geometri]]). Ayrıca her [[yakınsak paralel]] ışın [[sınır çember]] denilen [[ideal nokta]]larda kesişir. Bu yüzden Hilbert, her ışının barındırdığı ideal noktaya "uç" terimini kullanarak her doğrunun tam iki uç ile tanımlanmasını sağlar. Noktayı da bir [[doğru demeti]] denklemiyle elde eder.<ref>Robin Hartshorne, "''Geometry: Euclid and Beyond''", Springer-Verlag, 2000, 41. bölüm.</ref>

Bu şekilde yapılanmış cebirsel geometrinin üzerine bir [[hiperbolik analitik goemetri]] veya bir [[hiperbolik trigonometri]] inşa edilebilir. Böylece geometrik her problem uçların üzerine tanımlı bir cisim ile cebirsel bir probleme indirgenmiş olur.

== Uçlarda Toplama ==
Öncelikle, toplama tanımında toplamın varlığını veren ''üç yansıma teoremi''ni vermek gerekir.

;;Sav (üç yansıma teoremi).
:''Ortak uçları <math>\omega</math> olan üç tane ''m, n, p'' doğrusu verilsin. Ucu <math>\omega</math> olan öyle bir dördüncü ''r'' doğrusu vardır ki bu doğrudaki [[yansıma (geometri)|yansıma]], diğer üç doğrunun yansımalarının çarpımına eşittir.''
::<math>\sigma_r = \sigma_m \sigma_n \sigma_p</math>
:''ki burada <math>\sigma_d</math>, d doğrusundaki yansımayı ifade eder.''

Şimdi buna dayanarak bir toplama tanımı verilebilir. Eğer yukarıdaki savda <math>p=\alpha</math>, ''n=0'' ve <math>m=\beta</math> alınırsa <math>r=\alpha+\beta</math> olarak tanımlanabilir:
:<math>\sigma_{\alpha+\beta} = \sigma_\beta \sigma_0 \sigma_\alpha</math>
ki burada herhangi bir <math>\alpha</math> için, <math>\sigma_\alpha</math> o ucun <math>(\alpha,\infty)</math> doğrusundaki yansımasını ifade eder.
[[Dosya:Hiperbolik geometri uc toplama.png|sağ|küçükresim|Hilbert'in uçlar artimetiğinde toplama tanımı]]
;;Tanım.
:''<math>\infty</math> ucundan farklı herhangi iki <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> uçları ve <math>(0,\infty)</math> doğrusundaki bir ''C'' noktası verilsin. ''A'' noktası, ''C'' 'nin <math>(\alpha, \infty)</math> doğrusuna olan yansıması ve ''B'' noktası da ''C'' 'nin <math>(\beta, \infty)</math> doğrusuna olan yansıması olsun. O halde <math>\alpha+\beta</math> toplamı, <math>\infty</math> ucundan farklı ''AB'' doğrusuna dik gelen [[kenarortay]] olarak tanımlanır.''

Toplama, [[iyi tanımlı]]dır ve ''(H,+)'' kümesini [[birim öge]]si ''0'' olan [[Abelci]] bir [[öbek]] yapar. Eğer <math>H'=H \cup \infty</math> kümesi tanımlanırsa, her ''uç'' düzlemdeki yakınsak paralel ışınların bir [[denklik sınıfı]] olduğundan, bu küme düzlemdeki tüm uçların kümesi olacaktır. Bu kümedeki her iki uç bir doğruyu temsil ettiğinden, toplama için birim öge niyetine bir doğruyu sabitleyip onu <math>(0,\infty)</math> uçlarına eşleyebiliriz.

== Uçlarda Çarpma ==
Çarpmayı tanımlamak için öncelikle <math>(0,\infty)</math> doğrusuna ''O'' noktasında [[dik]], [[birim öge]] niyetine bir doğru çekilebilir. Bu doğrunun bir ucuna ''1'' ve diğer ucuna da ''-1'' denir. Bu şekilde <math>(0,\infty)</math> doğrusunu ''A'' ve ''B'' noktalarında dik kesen doğruların uçları çarpımı; Öklitçi [[doğru parçası|doğru parçaları]] cinsinden
:''OA+OB=OC''
eşitliğini sağlayan C noktasındaki dikmenin ucu olarak tanımlanır. Bu tanım aslında, paralel doğruların orijinle olan Öklitçi uzaklıklarının toplamı kadar uzaklıktaki paraleli üretmek sezgisidir. Daha matematiksel olarak,

;Tanım.
:<math>(0,\infty)</math> doğrusunu dik açıda ''A'' ve ''B'' noktalarında kesen <math>(\alpha,-\alpha)</math> ile <math>(\beta,-\beta)</math> doğruları için yine o doğruyu C noktasında kesen <math>(\alpha \beta, -\alpha\beta)</math> doğrusu; ''A' ''noktası ''A''nın [[bakışık|bakışığı]] olmak üzere,
::BA'=OC
:eşliğini sağlayan doğrudur.

Bu tanımın, <math>(H,\cdot)</math> kümesini birim ögesi ''1'' olan [[değişmeli öbek|değişmeli]] bir [[öbek (Matematik)|öbek]] yaptığı kanıtlanabilir. Artık bu iki işlemle birlikte <math>(H, +,\cdot)</math> kümesi, birimleri ''1'' ve ''0'' olan [[değişmeli cisim|değişmeli]] bir [[cisim (matematik)|cisim]] olur.

== Kaynakça ==
{{kaynakça}}

[[Kategori:Cebirsel geometri]]