Hipokrat ayı sayfasının kaynağını görüntüle

[[Dosya:Lune.svg|küçükresim|upright=1.82|{{Ortala|Hipokrat ayı, sol üstteki gölgeli alandır ve sağ alttaki gölgeli üçgenle aynı alana sahiptir.}}]]

Geometride adını [[Sakız Adalı Hipokrat]]'tan sonra alan '''Hipokrat ayı''', iki çemberden oluşan yaylarla sınırlanmış bir aydır, daha küçük olanın çapı, daha büyük çember üzerinde dik bir açıyı kapsayan bir kirişe sahiptir.<ref name="postnikov">{{kaynak|başlık=The problem of squarable lunes|dergi=[[American Mathematical Monthly]]|cilt=107|sayı=7|yıl=2000|sayfalar=645-651|jstor=2589121|ad=M. M.|soyadı=Postnikov|authorlink=Mikhail Postnikov|doi=10.2307/2589121}}. Translated from Postnikov's 1963 Russian book on [[Galois teorisi|Galois theory]].</ref>

==Tarihçe==
Hipokrat, klasik [[çemberin kareleştirilmesi]] problemini, yani belirli [[Pergel ve çizgilik çizimleri|cetvel ve pergel]] vasıtasıyla bir [[daire]] ile aynı alana sahip olan bir kare çizme problemini çözmek istedi.<ref name="heath"/><ref name="eb"/> Hipokrat'ın bu sonucun ortaya çıktığı geometri üzerine kitabı olan ''Elemanlar'' adlı eseri kayboldu, ancak [[Öklid]]'in [[Öklid'in Elementler'i|''Elemanlar'']] adlı eseri için bu eser bir model oluşturmuş olabilir.<ref name="eb">{{kaynak|katkı=Hippocrates of Chios|yıl=2012|başlık=Encyclopædia Britannica|bölümurl=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/266646/Hippocrates-of-Chios|erişimtarihi=12 Ocak 2012}}.</ref>

Hipokrat'ın kanıtı, [[Rodoslu Eudemos|Rodoslu Eudemus]] tarafından derlenen, ancak günümüze ulaşmayan ''Geometri Tarihi (History of Geometry)'' adlı eserin, [[Kilikyalı Simplicius]] tarafından [[Aristotle]]'nin ''[[Fizik (Aristoteles)|Fizik]]'' adlı eseri hakkındaki yorumundaki alıntılar aracılığıyla korunmuştur.<ref name="heath">{{kaynak|ad=Thomas L.|soyadı=Heath|yazarbağı=Thomas L. Heath|başlık=A Manual of Greek Mathematics|yayıncı=Courier Dover Publications|yıl=2003|isbn=0-486-43231-9|sayfalar=121-132|url=https://books.google.com/books?id=_HZNr_mGFzQC&pg=PA121|erişimtarihi=18 Eylül 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20200830123223/https://books.google.com/books?id=_HZNr_mGFzQC&pg=PA121|arşivtarihi=30 Ağustos 2020|ölüurl=hayır}}.</ref><ref>{{MacTutor Biography|id=Hippocrates|title=Hippocrates of Chios}}</ref>

1882'ye kadar, [[Ferdinand von Lindemann]]'ın [[Pi sayısı|{{pi}}]]'nin [[Aşkın sayı|aşkın]]lığının kanıtıyla, [[çemberin kareleştirilmesi|Daireyi kareleştirme]] probleminin çözümünün imkansız olduğu bilinmiyordu.<ref>{{kaynak|başlık=Invitation to Mathematics|ad=Konrad|soyadı=Jacobs|yayıncı=Princeton University Press|yıl=1992|isbn=978-0-691-02528-5|katkı=2.1 Squaring the Circle|sayfalar=11-13|url=https://books.google.com/books?id=Mgajuf62voQC&pg=PA11}}.</ref>

Hipokrat ayı, eğri çizgilerle sınırlanmış bir alanın kesin ölçümü ile ilgili ilk örnektir.<ref>{{Web kaynağı |url=https://proofwiki.org/wiki/Lune_of_Hippocrates |başlık=Lune of Hippocrates|erişimtarihi=18 Eylül 2020 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20120420154838/http://www.proofwiki.org/wiki/Lune_of_Hippocrates |arşivtarihi=20 Nisan 2012 |ölüurl=evet}}</ref>

==İspat==
Hipokrat'ın sonucu şu şekilde ispatlanabilir: <math>AEB</math> yayının bulunduğu dairenin merkezi, <math>\triangle ABO</math> ikizkenar dik üçgeninin hipotenüsünün orta noktası olan <math>D</math> noktasıdır. Bu nedenle, daha büyük <math>ABC</math> dairesinin <math>AC</math> çapı, <math>AEB</math> yayının üzerinde bulunduğu daha küçük dairenin çapının {{radic|2}} katıdır. Sonuç olarak, daha küçük daire, büyük dairenin yarı alanına sahiptir ve bu nedenle, çeyrek daire <math>AFBOA</math>, yarım daire <math>AEBDA</math>'ya eşittir. Hilal şeklindeki <math>AFBDA</math> alanını çeyrek daireden çıkarmak, <math>\triangle ABO</math> üçgenini verir ve aynı hilali yarım daireden çıkarmak Hipokrat ayının alanını verir. Üçgen ve Hipokrat ayı, eşit alandan eşit alanlar çıkarılarak oluşturulduğundan, alan olarak da eşittir.<ref name="heath"/><ref name="bjb">{{kaynak|ad1=Lucas Nicolaas Hendrik|soyadı1=Bunt|ad2=Phillip S.|soyadı2=Jones|ad3=Jack D.|soyadı3=Bedient|başlık=The Historical Roots of Elementary Mathematics|yayıncı=Courier Dover Publications|yıl=1988|isbn=0-486-25563-8|sayfalar=90-91|url=https://books.google.com/books?id=7xArILpcndYC&pg=PA90|katkı=4-2 Hippocrates of Chios and the quadrature of lunes|erişimtarihi=18 Eylül 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20200906025209/https://books.google.com/books?id=7xArILpcndYC&pg=PA90|arşivtarihi=6 Eylül 2020|ölüurl=hayır}}.</ref>

===Hipokrat ayının çizilmesi===
[[Dosya:hipokrat_ayinin_cizilmesi.png|küçükresim|upright=1.59|{{Ortala|Adım adım Hipokrat ayının çizilmesi.}}]]

# Bir <math>\triangle AOB</math> ikizkenar dik üçgeni çizin.
# Merkez <math>O</math> olmak üzere <math>A</math> ve <math>B</math> noktaları arasına bir yay çizin.
# <math>\triangle AOB</math> üçgeninin hipotenüsünün orta noktası olan <math>M</math> noktası merkez olacak şekilde, <math>A</math> ve <math>B</math> noktaları arasına başka bir yay çizin.

Dışarıda kalan {{renk|green|yeşil}} şekil, Hipokrat ayıdır.

:Ayın alanı = Yarım dairenin alanı - Dairesel dilimin alanı
:Ayın alanı = Yarım dairenin alanı - (sektörün alanı - üçgenin alanı)
:Ayın alanı = {{sfrac|πr<sup>2</sup>|2}} - {{sfrac|πr<sup>2</sup>180°|360°}} + üçgenin alanı
:Ayın alanı = Üçgenin alanı

==Genelleştirme==
[[Dosya:LunesOfAlhazen.svg|küçükresim|{{Ortala|İbn-i Heysem (Alhazen) ayları. İki {{renk|blue|mavi}} ay birlikte {{renk|green|yeşil}} dik üçgenle aynı alana sahiptir.}}]]

Yukarıdakine benzer bir kanıtı kullanarak, Arap matematikçi Hasan İbn-i Heysem (Avrupa'da Alhazen olarak bilinir, yaklaşık 965 - 1040), dış sınırları bir dik üçgenin iki kenarındaki yarım daire olan ve iç sınırları üçgenin çevresi tarafından oluşturulan, bu iki ayın birbirine eklenen alanları üçgenin alanına eşit olan iki ay olduğunu gösterdi. Dik üçgenden bu şekilde oluşan aylar, '''İbn-i Heysem (Alhazen) ayları''' olarak bilinir.<ref>{{Web kaynağı|url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PythagoreanLune.shtml|başlık=Hippocrates' Squaring of the Lune|arşivurl=https://web.archive.org/web/20200220110045/https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PythagoreanLune.shtml |arşivtarihi=20 Şubat 2020|yayıncı=[[Cut-the-Knot]]|erişimtarihi=12 Ocak 2012}}</ref><ref name="charming">{{kaynak|başlık=Charming Proofs: A Journey into Elegant Mathematics|cilt=42|seri=Dolciani mathematical expositions|ad1=Claudi|soyadı1=Alsina|ad2=Roger B.|soyadı2=Nelsen|yayıncı=Mathematical Association of America|yıl=2010|isbn=978-0-88385-348-1|katkı=9.1 Squarable lunes|sayfalar=137-144|url=https://books.google.com/books?id=mIT5-BN_L0oC&pg=PA137|erişimtarihi=18 Eylül 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20200923162254/https://books.google.com/books?id=mIT5-BN_L0oC&pg=PA137|arşivtarihi=23 Eylül 2020|ölüurl=hayır}}.</ref> Hipokrat ayının tümlevi, ikizkenar dik üçgen için bu sonucun özel halidir.<ref>{{kaynak|ad=W. S.|soyadı=Anglin|başlık=Mathematics, a Concise History and Philosophy|yayıncı=Springer|yıl=1994|isbn=0-387-94280-7|sayfalar=51-53|url=https://books.google.com/books?id=13dKav77vGsC&pg=PA51|katkı=Hippocrates and the Lunes|erişimtarihi=18 Eylül 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20200626094935/https://books.google.com/books?id=13dKav77vGsC&pg=PA51|arşivtarihi=26 Haziran 2020|ölüurl=hayır}}.</ref>

20. yüzyılın ortalarında, iki Rus matematikçi, [[Nikolai Chebotaryov]] ve öğrencisi [[Anatoly Dorodnov]], pergel ve cetvel ile çizilebilen ve belirli bir kareye eşit alana sahip olan ayları tamamen sınıflandırdılar. Tüm bu tür aylar, kendi daireleri üzerindeki iç ve dış yayların oluşturduğu iki açı ile belirlenebilir. Bu gösterimde, örneğin, Hipokrat'ın ayı, (90°, 180°) iç ve dış açılara sahip olacaktır. Hipokrat, yaklaşık olarak (107.2°, 160.9°) ve (68.5°, 205.6°) açıları olan iki tane daha kare şeklinde içbükey ay buldu. Yaklaşık (46.9°, 234.4°) ve (100.8°, 168.0°) açıları olan iki kare daha içbükey ay, 1766'da <!--[[Martin Johan Wallenius]]-->{{Diller arası bağlantı|Martin Johan Wallenius|ru|3=Валлениус, Мартин Йохан}} ve yine 1840'da [[Thomas Clausen]] tarafından bulundu. Chebotaryov ve Dorodnov'un gösterdiği gibi, bu beş çift açı, tek çizilebilir kare şeklinde ayları verir; özellikle çizilebilir kare biçimli dışbükey ay yoktur.<ref name="postnikov"/><ref name="charming"/>

==Kaynakça==
{{kaynakça}}

{{Yunan matematiği}}

[[Kategori:Çemberler]]
[[Kategori:Öklid geometrisi]]
[[Kategori:Yunan matematiği]]