Kuadratik formül sayfasının kaynağını görüntüle

[[Dosya:Quadratic_roots.svg|alt=Roots of a quadratic function|küçükresim|upright=1.05|{{ortala|<math>x_0 = 1</math> ve <math>x_1 = 4</math> köklerine sahip ikinci dereceden bir fonksiyon.}}]]
[[Temel cebir]]de, '''kuadratik formül''', bir [[İkinci dereceden denklemler|ikinci dereceden denklem]]in [[Kök (matematik)|kök]]lerini (çözümlerini) bulan bir formüldür. İkinci dereceden bir denklemi çözmek için ikinci dereceden formülü kullanmak yerine [[çarpanlara ayırma]] (doğrudan çarpanlara ayırma, gruplama, [[Çarpanlara ayırma#Kuadratic AC yöntemi|AC yöntemi]]), [[tam kareye tamamlama]], [[Fonksiyon grafiği|grafik]] çizme ve diğerleri gibi başka yollar da vardır.<ref>{{Web kaynağı | url = https://mathvault.ca/quadratic-factorisation/ | başlık = Quadratic Factorisation: The Complete Guide | erişimtarihi = 10 Kasım 2019 | tarih = 13 Mart 2016 | dil = en-US | çalışma = Math Vault | arşivurl = https://web.archive.org/web/20191110233755/https://mathvault.ca/quadratic-factorisation/ | arşivtarihi = 10 Kasım 2019}}</ref>

Genel forma sahip ikinci dereceden denklemi verildiğinde

: <math>ax^2 + bx + c = 0</math>

bilinmeyen {{Matematik|''x''}}; {{Matematik|''a''}}, {{Matematik|''b''}} ve {{Matematik|''c''}} [[sabit]]lerken {{Matematik|''a'' ≠ 0}} olmasıyla, kuadratik formül:<math display="block">x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a } </math>
buradaki [[artı eksi işareti]] "±" ikinci dereceden denklemin iki çözümü olduğunu gösterir.<ref>{{Kaynak|url=https://books.google.com/books?id=2toggaqJMzEC&pg=PA219&dq=quadratic+formula#v=onepage&q=quadratic%20formula&f=false|başlık=Algebra I For Dummies|sayfa=219|yayıncı=Wiley Publishing|yıl=2010|isbn=978-0-470-55964-2|soyadı=Sterling|ad=Mary Jane|erişim-tarihi=28 Mart 2021|arşiv-url=https://web.archive.org/web/20210208023934/https://books.google.com/books?id=2toggaqJMzEC&pg=PA219&dq=quadratic+formula#v=onepage&q=quadratic%20formula&f=false|arşiv-tarihi=8 Şubat 2021|ölüurl=hayır}}</ref> Formülden gelen çözümler (<math>x_1 \text{ ve } x_2</math>) ayrı yazıldığında:

: <math> x_1=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}\quad\text{ve}\quad x_2=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math>

Bu iki çözümün her birine ikinci dereceden denklemin [[Kök (matematik)|kökü (veya sıfırı)]] denir. Geometrik olarak, bu kökler {{Matematik|1=''y'' = ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}} olarak verilen [[parabol]]ün, {{Matematik|''x''}} ekseni üzerinden geçerinden geçtiği noktalar ve değerlerdirler.<ref>{{Web kaynağı | url = https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:quadratic-functions-equations/x2f8bb11595b61c86:quadratic-formula-a1/a/quadratic-formula-explained-article | başlık = Understanding the quadratic formula | erişimtarihi = 10 Kasım 2019 | dil = İngilizce | çalışma = Khan Academy | arşivurl = https://web.archive.org/web/20190913223831/https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:quadratic-functions-equations/x2f8bb11595b61c86:quadratic-formula-a1/a/quadratic-formula-explained-article | arşivtarihi = 13 Eylül 2019}}</ref>

Kuadratik formül, herhangi bir parabolün köklerini veren bir formül olmasının yanı sıra, parabolün simetri eksenini<ref>{{Web kaynağı | url = https://www.mathwarehouse.com/geometry/parabola/axis-of-symmetry.php | başlık = Axis of Symmetry of a Parabola. How to find axis from equation or from a graph. To find the axis of symmetry ... | erişimtarihi = 10 Kasım 2019 | çalışma = www.mathwarehouse.com | arşivurl = https://web.archive.org/web/20070322010812/https://www.mathwarehouse.com/geometry/parabola/axis-of-symmetry.php | arşivtarihi = 22 Mart 2007}}</ref> ve ikinci dereceden denklemin içerdiği [[Reel sayılar|gerçek]] köklerin sayısını, köklerin toplamlarını ve çarpımlarını, belirlemek için de kullanılabilir.<ref>{{Web kaynağı | url = https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:quadratic-functions-equations/x2f8bb11595b61c86:quadratic-formula-a1/a/discriminant-review | başlık = Discriminant review | erişimtarihi = 10 Kasım 2019 | dil = İngilizce | çalışma = Khan Academy | arşivurl = https://web.archive.org/web/20191110233752/https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:quadratic-functions-equations/x2f8bb11595b61c86:quadratic-formula-a1/a/discriminant-review | arşivtarihi = 10 Kasım 2019}}</ref>

== Eşdeğer formülasyonlar ==
Kuadratik formül şu şekilde de yazılabilir:

: <math>x = \frac{-b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \ \ ,</math>

ve bu da şu şekilde sadeleştirilebilir:

: <math>x = -\left(\frac{b}{2a}\right) \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}} \ \ .</math>

Formülün bu versiyonu, [[Karmaşık sayı|karmaşık]] kökler söz konusu olduğunda kullanışlıdır. Bu durumda, karekök dışındaki ifade [[Reel sayılar|gerçek (reel)]] kısım olacaktır ve karekökün içindeki ifade ise [[Sanal sayılar|sanal (imajiner)]] kısım olacaktır. Karekök içindeki ifade [[diskriminant]]tır.

: <math>x = -\frac{\ b}{2a} \pm i\sqrt{ \Big | \left(\frac{\ b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a} \Big |} \ \ .</math>

=== Muller'in yöntemi ===
Daha az bilinen, [[Muller yöntemi]]nde kullanılan ve [[Vieta formülleri]]nden bulunabilen, kuadratik formül, denklemi aracılığıyla aynı kökleri sağlar:

: <math>x=\frac{-2c}{b\pm\sqrt{b^2-4ac}} = \frac{2c}{-b \mp \sqrt {b^2-4ac\ }}\ \ .</math>

=== Alternatif parametrelendirmelere dayalı formülasyonlar ===
İkinci dereceden denklemin standart parametrizasyonu şöyledir:

: <math>ax^2+bx+c=0\ \ .</math>

Bazı kaynaklar, özellikle daha eski olanlar, ikinci dereceden denklemin şu şekilde olabilecek alternatif parametrelendirmelerini kullanır

<math>b_1 = -b/2</math> iken, <math>ax^2 - 2b_1 x + c = 0</math><ref name="kahan">{{Kaynak|url=http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/Qdrtcs.pdf|başlık=On the Cost of Floating-Point Computation Without Extra-Precise Arithmetic|erişimtarihi=25 Aralık 2012|tarih=20 Kasım 2004|arşiv-url=https://web.archive.org/web/20160318202918/http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/Qdrtcs.pdf|arşiv-tarihi=18 Mart 2016|ölüurl=hayır}}</ref>

veya

<math>b_2 = b/2</math> iken, <math>ax^2 + 2b_2 x + c = 0</math>.<ref>{{Kaynak|url=http://www.proofwiki.org/wiki/Quadratic_Formula|başlık=Quadratic Formula|erişimtarihi=8 Ekim 2016|çalışma=Proof Wiki|arşiv-url=https://web.archive.org/web/20210310021654/https://proofwiki.org/wiki/Quadratic_Formula|arşiv-tarihi=10 Mart 2021|ölüurl=hayır}}</ref>

Bu alternatif parametrelendirmeler, çözüm için biraz farklı formlarla sonuçlanır, ancak bunlar standart olan parametreleştirmeye eşdeğerdir.

== Formülün türetimi ==
Literatürde ikinci dereceden formülü türetmek için birçok farklı yöntem mevcuttur. Standart türetim, [[tam kareye tamamlama]] yönteminin basit bir uygulamasıdır.<ref>{{Kaynak|url=https://books.google.com/books?id=8PRU9cTKprsC|başlık=Schaum's Outline of Theory and Problems of Elementary Algebra|yayıncı=The McGraw–Hill Companies|yıl=2004|isbn=0-07-141083-X|erişim-tarihi=28 Mart 2021|arşiv-url=https://web.archive.org/web/20201231125136/https://books.google.com/books?id=8PRU9cTKprsC|arşiv-tarihi=31 Aralık 2020|ölüurl=hayır}}, [https://books.google.com/books?id=8PRU9cTKprsC&pg=PA291 Chapter 13 §4.4, p. 291] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20210205172120/https://books.google.com/books?id=8PRU9cTKprsC&pg=PA291 |tarih=5 Şubat 2021 }}</ref><ref>Li, Xuhui. ''An Investigation of Secondary School Algebra Teachers' Mathematical Knowledge for Teaching Algebraic Equation Solving'', p. 56 (ProQuest, 2007): "The quadratic formula is the most general method for solving quadratic equations and is derived from another general method: completing the square."</ref><ref>Rockswold, Gary. ''College algebra and trigonometry and precalculus'', p. 178 (Addison Wesley, 2002).</ref><ref>Beckenbach, Edwin et al. ''Modern college algebra and trigonometry'', p. 81 (Wadsworth Pub. Co., 1986).</ref> Alternatif yöntemler bazen tam kareye tamamlamaktan daha basittir ve [[Matematik|matematiğin]] diğer alanları üzerinde ilginç bir kavrayış sağlayabilir.

=== "Tam Kareye tamamlama" tekniğini kullanarak ===

==== Standart yöntem ====
İkinci dereceden denklemi <math>a</math>'ya bölün, buna izin verildiği için <math>a</math> sıfır olmayan bir sayı olmalıdır:

: <math>x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0\ \ .</math>
:iki taraftan da <math>\frac{c}{a }</math> çıkarın, böylece şu denklemi elde edersiniz:
<math>x^2 + \frac{b}{a} x= -\frac{c}{a}\ \ .</math>
Bu ikinci dereceden denklem şimdi [[Meydanın tamamlanması|tam kareye tamamlama]] yönteminin uygulanabileceği bir formdadır. Hatta, denklemin her iki tarafına, sol tarafı tam bir kare olacak şekilde bir sabit ekleyerek, ikinci dereceden denklem şu hale getirilebilir:

: <math>x^2+\frac{b}{a}x+\left( \frac{b}{2a} \right)^2 =-\frac{c}{a}+\left( \frac{b}{2a} \right)^2\ \ ,</math>

ve şu şekilde sadeleştirilebilir:

: <math>\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\ \ .</math>

Buna göre, sağ taraftaki terimleri ortak bir paydaya sahip olacak şekilde yeniden düzenledikten sonra elde edilen eşitlik şu hale gelir:

: <math>\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\ \ .</math>

Böylece [[tam kare]] tamamlanır. Eşitliğin her iki tarafının [[karekök]]ünü almak aşağıdaki denklemi verir:

: <math>x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}\ \ .</math>

Bu durumda, <math>x</math>'i tek başına bırakmak kuadratik formülü verir:

: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}\ \ .</math>

Bu türetmenin küçük farklılıklar içeren birçok alternatifi vardır, bunlar çoğunlukla <math>a</math> sabitinin manipülasyonunu ilgilendirir.

==== İkinci yöntem ====
Son birkaç on yılda yayınlanan cebir metinlerinin çoğu, daha önce sıralanmış basamakları kullanarak [[tam kareye tamamlama]]yı öğretir:

# Polinomu [[Monik polinom|monik]] yapmak için her iki tarafı da <math>a</math>'ya bölün.
# Eşitliği düzenleyin.
# Kareye tamamlamak için her iki tarafa <math>\textstyle \left( \frac{b}{2a} \right)^2</math> ekleyin.
# Sağ taraftaki terimleri ortak bir paydaya sahip olacak şekilde yeniden düzenleyin.
# Her iki tarafın da karekökünü alın.
# ''<math>x</math>''’i yalnız bırakın.

Karenin tamamlanması, bazen daha kısa ve basit bir sıralama ile de gerçekleştirilebilir:<ref name="Hoehn1975">{{Akademik dergi kaynağı|başlık=A More Elegant Method of Deriving the Quadratic Formula|url=https://archive.org/details/sim_mathematics-teacher_1975-05_68_5/page/442|yazarlar=Hoehn|sayı=5|sayfa=442&ndash;443|çalışma=The Mathematics Teacher|yıl=1975|cilt=68}}</ref>

# Her iki tarafı da ''<math>4a </math>''’yla çarpın,
# Eşitliği düzenleyin.
# Kareye tamamlamak için her iki tarafa ''<math>b^2 </math>'' ekleyin.
# Her iki tarafın karekökünü alın.
# ''<math>x</math>''’i yalnız bırakın.

Bu durumda, ikinci dereceden formül aşağıdaki gibi de türetilebilir:

<math>\begin{align}
ax^2+bx+c &= 0 \\
4 a^2 x^2 + 4abx + 4ac &= 0 \\
4 a^2 x^2 + 4abx &= -4ac \\
4 a^2 x^2 + 4abx + b^2 &= b^2 - 4ac \\
(2ax + b)^2 &= b^2 - 4ac \\
2ax + b &= \pm \sqrt{b^2-4ac} \\
2ax &= -b \pm \sqrt{b^2-4ac} \\ 
x &= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac }}{2a}\ \ .
\end{align}</math>

İkinci dereceden formülün bu türetimi antiktir ve Hindistan'da en geç 1025 yılından beri bilinmektedir.<ref name="Smith1958">{{Kitap kaynağı|başlık=History of Mathematics, Vol. II|sayfa=446|yayıncı=Dover Publications|yıl=1958|isbn=0486204308}}</ref> Standart yöntemin türetimiyle karşılaştırıldığında, bu alternatif türetim, son aşamaya kadar kesirleri ve karesi alınan kesirleri önler ve bu nedenle, sağ tarafta ortak bir payda elde etmek için üçüncü aşamadan sonra yeniden düzenleme gerektirmez.<ref name="Hoehn1975"/>

==== Üçüncü yöntem ====
Standart yönteme benzer olarak, eşitliğin sol tarafını bir [[monik polinom]] yapmak için (mesela, ''<math>x^2 </math>''’nin katsayısı <math>1  </math> olur) ikinci dereceden denklemin iki tarafını da <math>a</math> ile bölün.

: <math>x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0\ \ .</math>

Denklemi daha kompakt ve kolayca değiştirilebilir bir biçimde yazın:

: <math>x^2 + Bx + C = 0</math>

''<math>\textstyle B = \frac{b}{a}</math>'' ve ''<math>\textstyle C = \frac{c}{a}</math>'' iken.

İlk iki terime ''<math>\textstyle \frac{B^2}{4 }</math>'' ekleyin ve eşitliği korumak için son terimden ''<math>\textstyle \frac{B^2}{4}</math>'' çıkarın. Böylece, ilk iki terimle beraber olan ''<math>\textstyle \frac{B^2}{4}</math>'' bir kare olacaktır.

: <math>\left(x+\frac{B}{2}\right)^2 + \left( C - \frac{B^2}{4}\right) = 0</math>

Sol tarafı [[İki tam kare sayının farkı|iki kare farkı]] haline gelecek şekilde yeniden düzenleyin:

: <math>\left(x+\frac{B}{2}\right)^2 - \left( \sqrt{\frac{B^2}{4} - C}\right)^2 = 0</math>

çarpanlarına ayırın:

: <math>\left(x+\frac{B}{2} + \sqrt{\frac{B^2}{4} - C}\right) \left(x+\frac{B}{2} - \sqrt{\frac{B^2}{4} - C}\right) = 0</math>

bu durumdan da anlaşılacaktır ki, ya

: <math>x+\frac{B}{2} + \sqrt{\frac{B^2}{4} - C} = 0</math>

ya da

: <math>x+\frac{B}{2} - \sqrt{\frac{B^2}{4} - C} = 0</math>

Elde edilen bu iki lineer denklem, ''<math>x</math>'' tek başına bırakılarak, ''<math>x</math>'' için şu şekilde çözülebilir:<blockquote><math>x = -\frac{B}{2} - \sqrt{\frac{B^2}{4} - C}</math>  veya <math>x = -\frac{B}{2} + \sqrt{\frac{B^2}{4} - C}</math></blockquote>''<math>B</math>'' ve ''<math>C </math>''’yi, sırasıyla ''<math>\textstyle\frac{b}{a}</math>'' ve ''<math>\textstyle\frac{c}{a}</math>'' olarak, yeniden ifade ederek ikinci dereceden formül elde edilebilir. Bu değerler, aynı sırada, köklerin toplamının negatifi ve diğerinin de köklerin çarpımına eşit olmasıyla kolaylı sağlayabilir.

=== Yerine koyma tekniğini kullanarak ===
Diğer bir teknik, [[yerine koyma yöntemi]]yle çözümdür.<ref>Joseph J. Rotman. (2010). Advanced modern algebra (Vol. 114). American Mathematical Soc. Section 1.1</ref> Bu teknikle ''<math>x = y+m</math>'' eşitliğini kullanarak, ikinci dereceden denklemdeki ''<math>x</math>'' değişkeninin yerine ''<math>y+m </math>''  ifadesi koyulur:

: <math>a(y+m)^2 + b(y+m) + c =0\ \ .</math>

Sonuç genişletilip, terimler ''<math>y</math>''’nin kuvvetlerine göre sıralandığında:

: <math>ay^2 + y(2am + b) + \left(am^2+bm+c\right) = 0\ \ .</math>

''<math>y </math>'' ve ''<math>m </math>'' üzerine henüz ikinci bir şart koyulmadığından, üstteki denklemin orta terimi yok edecek şekilde bir ''<math>m </math>'' değeri seçilmelidir. Bu değer, ''<math>2am + b = 0</math>'' veya ''<math>\textstyle m = \frac{-b}{2a}</math>''’dır. Sabit terim (sağ tarafa taşınması için) denklemin her iki tarafından çıkarılıp iki taraf da ''<math>a</math>'' ile bölünür:

: <math>y^2=\frac{-\left(am^2+bm+c\right)}{a}\ \ .</math>

''<math>m </math>'' değeri yerine koyulduğunda:

: <math>y^2=\frac{-\left(\frac{b^2}{4a}+\frac{-b^2}{2a}+c\right)}{a}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\ \ .</math>

Böylece,

: <math>y=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>

''<math> y </math>''’yi, ''<math>x</math>'' bakımından, ''<math>\textstyle x = y + m = y - \frac{b}{2a}</math>'' eşitliği kullanılarak, ifade edildiğinde, standart kuadratik formül tekrar elde edilebilir:

: <math>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ .</math>

=== Cebirsel eşitlikleri kullanarak ===
Bu yöntem tarihteki birçok matematikçi tarafından kullanılmıştır:<ref>{{Akademik dergi kaynağı|başlık=The legacy of Leonhard Euler – a tricentennial tribute|yazarlar=Debnath|sayı=3|sayfalar=353-388|çalışma=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology|yıl=2009|cilt=40|doi=10.1080/00207390802642237}}</ref>

[[İkinci dereceden denklemler|İkinci dereceden denklem]]in kökleri {{Matematik|''r''<sub>1</sub>}} ve {{Matematik|''r''<sub>2</sub>}} olsun, türetme şu eşitlik üzerinden başlar:

: <math>(r_1 - r_2)^2 = (r_1 + r_2)^2 - 4r_1r_2\ \ .</math>

Her iki tarafın da karekökü alındığında şu elde edilir:

: <math>r_1 - r_2 = \pm\sqrt{(r_1 + r_2)^2 - 4r_1r_2}\ \ .</math>

Standart formdaki ikinci dereceden, denklemin baş katsayısı, {{Matematik|''a'' ≠ 0}} olduğundan, aynı köklere sahip ikinci dereceden bir polinom elde etmek için standart denklemi {{Matematik|''a''}} ile bölebiliriz. Yani,

: <math> x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = (x - r_1)(x-r_2) = x^2 - (r_1 + r_2)x + r_1 r_2\ \ .</math>

Buradan da görülebileceği gibi standart ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamının {{Matematik|−{{sfrac|''b''|''a''}}}} ile verildiğini ve bu köklerin çarpımının {{Matematik|{{sfrac|''c''|''a''}}}} ile verildiğini görebiliriz. Dolayısıyla eşitlik şu şekilde tekrar yazılabilir:

: <math>r_1 - r_2 = \pm\sqrt{\left(-\frac{b}{a}\right)^2-4\frac{c}{a}} = \pm\sqrt{\frac{b^2}{a^2} - \frac{4ac}{a^2}} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}\ \ .</math>

Şimdi,

: <math>r_1 = \frac{(r_1 + r_2) + (r_1 - r_2)}{2} = \frac{-\frac{b}{a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a}}{2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ .</math>

{{Matematik|''r''{{sub|2}} {{=}} −''r''{{sub|1}} − {{sfrac|''b''|''a''}}}} olduğundan, eğer:

: <math>r_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>

ise, o zaman bunu elde ederiz:

: <math>r_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ ;</math>

ve eğer onun yerine

: <math>r_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>

olarak alırsak, o zaman da bunu elde ederiz:

: <math>r_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ .</math>

Elde ettiğimiz sonuçları standart ± kısaltmasıyla birleştirebiliriz. Böylece, ikinci dereceden denklemin çözümleri:

: <math> x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ .</math>

=== Lagrange çözücülerini kullanarak ===
İkinci dereceden formülü elde etmenin başka bir yolu, [[Galois teorisi]]nin erken bir parçası olan [[Lagrange çözücüleri]]<ref name="Clark">Clark, A. (1984). ''Elements of abstract algebra''. Courier Corporation. p. 146.</ref> yöntemidir.<ref name="efei">{{Kaynak|url=https://books.google.com/books?id=fcp9IiZd3tQC|başlık=Elliptic functions and elliptic integrals|yayıncı=AMS Bookstore|yıl=1997|isbn=978-0-8218-0587-9|erişim-tarihi=28 Mart 2021|arşiv-url=https://web.archive.org/web/20170412231035/https://books.google.com/books?id=fcp9IiZd3tQC|arşiv-tarihi=12 Nisan 2017|ölüurl=hayır}}, [https://books.google.com/books?id=fcp9IiZd3tQC&pg=PA134#PPA134,M1 §6.2, p. 134] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20180604184351/https://books.google.com/books?id=fcp9IiZd3tQC&pg=PA134#PPA134,M1 |tarih=4 Haziran 2018 }}</ref> Bu yöntem, [[Üçüncü dereceden denklemler|kübik polinom]]ların ve [[kuartik polinom]]ların köklerini vermek için de genelleştirilebilir ve herhangi bir derecedeki cebirsel denklemlerin çözümünü, köklerinin [[simetri grubu]] olan [[Galois grubu]] açısından anlaşılmasını sağlayan Galois teorisine götürür.

Bu yaklaşım, orijinal denklemi yeniden düzenlemekten çok ''köklere'' odaklanır. İkinci dereceden bir [[monik polinom]] verildiğinde;

: <math>x^2+px+q\ \ ,</math>

çarpanlarına ayrıldığını varsayalım

: <math>x^2+px+q=(x-\alpha)(x-\beta)\ \ ,</math>

parantezleri açarsak

: <math>x^2+px+q=x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha \beta\ \ ,</math>

bu da bize şu eşitlikleri sağlayacaktır: {{Matematik|''p'' {{=}} −(''α'' + ''β'')}} ve {{Matematik|''q'' {{=}} ''αβ''}} .

Çarpmanın değişme özelliğinden dolayı, <math display="inline">p</math> ve <math>q</math> değerleri değişmezken <math>\alpha</math> ve <math>\beta</math> 'nın yerleri değiştirebilir ve: <math display="inline">p</math> ve <math>q</math>'nun  <math>\alpha </math> ve <math>\beta</math> içinde [[simetrik polinomlar]] olduğu söylenebilir. Aslında, bunlar [[Temel simetrik polinomlar|temel simetrik polinom]]durlar - herhangi bir simetrik polinom içinde <math>\alpha</math> ve <math>\beta</math>, <math>\alpha + \beta</math> ve <math>\alpha \beta </math> cinsinden ifade edilir. Galois teorisinin polinomları çöze ve analiz etme yaklaşımı şudur: kat sayıları verilen bir polinomun ki bunlar köklerin içinde simetrik fonksiyonlardır, bir şekilde "simetriyi kırıp" kökler bulunabilir mi? Bu nedenle, {{Matematik|''n''}} dereceli bir polinomun çözülmesi, n harfin üzerindeki [[Simetrik grup|simetrik grubu]] olarak adlandırılan ve {{Matematik|''S{{sub|n}}''}} ile gösterilen {{Matematik|''n''}} tane terimin yeniden düzenleme ("[[permütasyon]]") yollarıyla ilgilidir. Kuadratik polinom için, iki terimi yeniden düzenlemenin tek yolu onların yerini değiştirmektir (onları "[[Transpozisyon (matematik)|transpoze]] etmektir") ve böylece ikinci dereceden bir polinomu çözmek basittir.

<math>\alpha</math> ve <math>\beta</math> köklerini bulmak için toplamlarını ve farklarını ele alalım:

: <math>\begin{align}
r_1 &= \alpha + \beta\\
r_2 &= \alpha - \beta\ \ .
\end{align}</math>

Bunlar polinomun ''Lagrange çözücüleri'' olarak adlandırılır; bunlardan birinin köklerin sırasına bağlı olduğuna dikkat edin, bu kilit bir noktadır. Yukarıdaki denklemleri ters çevirerek çözücülerden kökler de çıkarılabilir:

: <math>\begin{align}
\alpha &= \textstyle{\frac{1}{2}}\left(r_1+r_2\right)\\
\beta &= \textstyle{\frac{1}{2}}\left(r_1-r_2\right)\ \ .
\end{align}</math>

Böylece, çözücüleri çözmek orijinal kökleri verir.

Şimdi <math>\alpha</math> ve <math>\beta</math>'ya göre <math>r_1=\alpha + \beta</math> simetrik bir fonksiyondur, bu nedenle <math display="inline">p</math> ve <math>q</math> cinsinden ifade edilebilir ve aslında önceki <math>x^2+px+q</math> notasyonunda belirtildiği gibi {{Matematik|''r''{{sub|1}} {{=}} −''p''}} olacaktır. Ancak <math>\alpha</math> ve <math>\beta</math>, yerleri değiştirildiğinde farklı bir sonuç olarak {{Matematik|−''r''{{sub|2}} {{=}} ''β'' − ''α''}}  verdiğinden  <math>r_2= \alpha - \beta</math> simetrik değildir (formal olarak bu, köklerin simetrik grubunun bir [[Grup eylemi (matematik)|grup hareketi]] olarak adlandırılır). {{Matematik|''r''{{sub|2}}}} simetrik olmadığından, <math display="inline">p</math> ve <math>q</math> katsayılarıyla ifade edilemez, çünkü bunlar simetriktir ve dolayısıyla onları içeren herhangi bir polinom ifadesi de öyle olmalıdır. Köklerin sırasını değiştirmek sadece {{Matematik|''r''{{sub|2}}}}'yi -1 faktörüyle değiştirir ve böylece  {{Matematik|''r''{{sub|2}}{{sup|2}} {{=}} (''α'' − ''β''){{sup|2}}}} şeklinde yazılan bir eşitlik köklerde simetriktir ve bu nedenle <math display="inline">p</math> ve <math>q</math> cinsinden ifade edilebilir. Denklemi kullanarak aşağıdakiler çıkarılabilir:

: <math>(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta\ \ </math>

bu eşitliği yukarıda bulduklarımızla sadeleştirirsek

: <math>r_2^2 = p^2 - 4q\ \ </math>

olacaktır ve böylece

: <math>r_2 = \pm \sqrt{p^2 - 4q}\ \ </math>

Pozitif kökün alınacağını var sayıp, simetriyi bozarsak, şu elde edilir:

: <math>\begin{align}
r_1 &= -p\\
r_2 &= \sqrt{p^2 - 4q}
\end{align}</math>

ve böylece

: <math>\begin{align}
\alpha &= \tfrac12\left(-p+\sqrt{p^2 - 4q}\right)\\
\beta &= \tfrac12\left(-p-\sqrt{p^2 - 4q}\right)\ \ .
\end{align}</math>

Böylece kökler

: <math>\textstyle{\frac{1}{2}}\left(-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}\right)</math>

olacaktır, bu ikinci dereceden formüldür. {{Matematik|''p'' {{=}} {{sfrac|''b''|''a''}}, ''q'' {{=}} {{sfrac|''c''|''a''}}}} eşitlikleri kullanılarak monic monik olmayan kuadratiklerin genel olarak bilinen hali tekrar elde edilebilir. Çözücüler şu şekilde tanınabilir: {{Matematik|{{sfrac|''r''{{sub|1}}|2}} {{=}} {{sfrac|−''p''|2}} {{=}} {{sfrac|−''b''|2''a''}}}} tepe noktasıdır ve {{Matematik|''r''{{sub|2}}{{sup|2}} {{=}} ''p''{{sup|2}} − 4''q''}} ayırt edici, yani [[diskriminant]]tır (monik bir polinomun).

Benzer ancak daha karmaşık bir yöntem [[Üçüncü dereceden denklemler|kübik denklemler]] için de vardır, üç çözücü ve {{Matematik|''r''{{sub|2}}}} ve {{Matematik|''r''{{sub|3}}}} ile ilgili ikinci dereceden bir denklemle (buna "çözüm polinomu" denir) çözülebilir ve benzer şekilde bir [[kuartik denklem]] (4.dereceden denklem) için, çözüm polinomu kübiktir ve bu da çözülebilir.<ref name="Clark"/> [[Beşinci dereceden denklem]] için aynı yöntem, problemi basitleştirmeyen 24 dereceli bir polinom verir ki aslında da beşinci dereceden denklemlerin çözümleri genel olarak yalnızca kökler kullanılarak ifade edilemez.

== Tarihsel gelişim ==
[[Dosya:Scuola di atene 07.jpg|küçükresim|Atina Okulu]]
İkinci dereceden denklemleri çözmek için üretilen en eski yöntemler geometriktir. Babil [[çivi yazısı]] tabletleri, ikinci dereceden denklemleri çözmeye indirgenebilen problemler içerir.<ref>{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=CV_UInCRO38C&pg=PA39|başlık=Beyond the Quadratic Formula|sayfa=34|yayıncı=MAA|yıl=2013|isbn=978-0-88385-783-0|erişim-tarihi=28 Mart 2021|arşiv-url=https://web.archive.org/web/20180412204330/https://books.google.com/books?id=CV_UInCRO38C&pg=PA39|arşiv-tarihi=12 Nisan 2018|ölüurl=hayır}}</ref> [[Orta Krallık]]'a (MÖ 2050 - MÖ 1650) dayanan Mısır [[Berlin Papirüsü 6619|Papirüsü]], iki terimli ikinci dereceden bir denklemin çözümünü içerir.<ref>{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=slR7SFScEnwC&pg=PA530|başlık=The Cambridge Ancient History Part 2 Early History of the Middle East|sayfa=530|yayıncı=Cambridge University Press|yıl=1971|isbn=978-0-521-07791-0|erişim-tarihi=28 Mart 2021|arşiv-url=https://web.archive.org/web/20140630040142/http://books.google.com/books?id=slR7SFScEnwC&pg=PA530|arşiv-tarihi=30 Haziran 2014|ölüurl=hayır}}</ref>

Yunan matematikçi [[Öklid]] ({{yaklaşık}} MÖ 300), etkili bir matematiksel inceleme olan [[Öklid'in Elementleri|Elementler Kitabı]]nın ikincisinde ikinci dereceden denklemleri çözmek için geometrik yöntemler kullanmıştır. İkinci dereceden denklemler için kurallar MÖ 200 dolaylarında Çin'de [[Matematik Sanatı Üzerine Dokuz Bölüm|''"Matematik Sanatı Üzerine Dokuz Bölüm"'']]de görünür.<ref name="Aitken">{{Web kaynağı | url = http://public.csusm.edu/aitken_html/m330/china/ninechapters.pdf | başlık = A Chinese Classic: The Nine Chapters | erişimtarihi = 28 Nisan 2013 | yayıncı = Mathematics Department, California State University | arşivurl = https://web.archive.org/web/20141006111149/http://public.csusm.edu/aitken_html/m330/china/ninechapters.pdf | arşivtarihi = 6 Ekim 2014}}</ref><ref>{{Kitap kaynağı|url=https://archive.org/details/historyofmathema0002smit|başlık=History of Mathematics|sayfa=[https://archive.org/details/historyofmathema0002smit/page/380 380]|yayıncı=Courier Dover Publications|yıl=1958|isbn=978-0-486-20430-7}}</ref> Yunan matematikçi [[Diophantus]] (MS 250 civarı) [[Arithmetika|''Arithmetica'']] adlı çalışmasında, ikinci dereceden denklemleri Öklid'in geometrik cebirinden daha tanınabilir cebirsel bir yöntemle çözdü.<ref name="quad">{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=CV_UInCRO38C&pg=PA39|başlık=Beyond the Quadratic Formula|sayfa=39|yayıncı=MAA|yıl=2013|isbn=978-0-88385-783-0|erişim-tarihi=28 Mart 2021|arşiv-url=https://web.archive.org/web/20180412204330/https://books.google.com/books?id=CV_UInCRO38C&pg=PA39|arşiv-tarihi=12 Nisan 2018|ölüurl=hayır}}</ref> Çözümü, her iki kök de pozitif olsa bile yalnızca bir kök verir.<ref>{{Kitap kaynağı|url=https://archive.org/details/historyofmathema0002smit|başlık=History of Mathematics|sayfa=[https://archive.org/details/historyofmathema0002smit/page/134 134]|yayıncı=Courier Dover Publications|yıl=1958|isbn=0-486-20429-4}}</ref>

Hint matematikçi [[Brahmagupta]] ''(MS 597-668), MS 628'de'' yayınlanan [[Brāhmasphuṭasiddhānta]] eserinde<ref name="Bradley">Bradley, Michael. ''The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300'', p. 86 (Infobase Publishing 2006).</ref> ikinci dereceden formülü açık bir şekilde tanımlamıştır, ancak semboller yerine kelimelerle yazılmıştır.<ref>Mackenzie, Dana. ''The Universe in Zero Words: The Story of Mathematics as Told through Equations'', p. 61 (Princeton University Press, 2012).</ref> Brahmagupta'nın ikinci dereceden denklem {{Matematik|1=''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' = ''c''}}'ye çözümü şöyleydi: "Karenin [katsayısının] dört katı ile çarpılan mutlak [sabit terim olan] sayıya [orta terimin katsayısı] karesini ekleyin; aynı, orta terimin [katsayısı] eksi, karenin [katsayısı] iki katına bölünmesi değerdir [çözümdür]."<ref name="Stillwell2004">{{Kitap kaynağı|başlık=Mathematics and Its History (2nd ed.)|sayfa=87|yayıncı=Springer|yıl=2004|isbn=0-387-95336-1}}</ref> Bu şuna eşdeğerdir:

: <math>x = \frac{\sqrt{4ac+b^2}-b}{2a}\ \ .</math>

9. yüzyılda İranlı matematikçi [[Hârizmî|Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī]], ikinci dereceden denklemleri cebirsel olarak çözdü.<ref>{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=CV_UInCRO38C&pg=PA39|başlık=Beyond the Quadratic Formula|sayfa=42|yayıncı=MAA|yıl=2013|isbn=978-0-88385-783-0|erişim-tarihi=28 Mart 2021|arşiv-url=https://web.archive.org/web/20180412204330/https://books.google.com/books?id=CV_UInCRO38C&pg=PA39|arşiv-tarihi=12 Nisan 2018|ölüurl=hayır}}</ref> Tüm vakaları kapsayan ikinci dereceden formül ilk olarak 1594'te [[Simon Stevin]]<ref>{{Kaynak|url=http://www.dwc.knaw.nl/pub/bronnen/Simon_Stevin-%5bII_B%5d_The_Principal_Works_of_Simon_Stevin,_Mathematics.pdf|başlık=The Principal Works of Simon Stevin, Mathematics|sayfa=470|yayıncı=C. V. Swets & Zeitlinger|yıl=1958|cilt=II-B|erişim-tarihi=28 Mart 2021|arşiv-url=https://web.archive.org/web/20210224142514/https://www.dwc.knaw.nl/pub/bronnen/Simon_Stevin-%5bII_B%5d_The_Principal_Works_of_Simon_Stevin,_Mathematics.pdf|arşiv-tarihi=24 Şubat 2021|ölüurl=hayır}}</ref> tarafından bulundu. 1637'de [[René Descartes]], bugün bildiğimiz formdaki ikinci dereceden formülün özel durumlarını içeren ''[[La Géométrie]]''’yi yayınladı.<ref>{{Kitap kaynağı|url=http://archive.org/details/TheGeometry|başlık=The Geometry|dil=İngilizce|yazar=[[Rene Descartes]]}}</ref>

== Önemli kullanımlar ==

=== Geometrik önemi ===
[[Dosya:Quadratic function graph key values.svg|küçükresim|300pik|{{ortala|<math>y = ax^2+bx+c</math> eşitliğinin <math>a</math> katsayısı ve diskriminantı olan <math>b^2 - 4ac</math>'nin pozitifken,}}
{{*}} Kökleri ve <math display="inline">y</math> ekseniyle kesiştiği noktaların {{renk|red|kırmızı}}yla{{kır}}
{{*}} Tepe noktası ve simetri ekseninin {{renk|blue|mavi}}yle{{kır}}
{{*}} Odak ve doğrultman doğrularının {{renk|pink|pembe}}yle{{kır}}
gösterildiği grafiği]]
Koordinat geometrisi açısından, bir parabol, {{Matematik|(''x'', ''y'')}} koordinatları ikinci derece bir polinom ile tanımlanan bir eğridir, yani formun herhangi bir denklemi:

: <math>y =p(x) = a_2x^2 + a_1x +a_0\ \ ,</math>

burada <math>p</math>, ikinci dereceden bir polinomunu temsil eder ve {{Matematik|''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>,}} ve {{Matematik|''a''<sub>2</sub> ≠ 0}} olmak üzere alt indis ilgili terimin derecesine karşılık gelen sabit katsayılardır. Çözüm olarak çözdüğü ikinci dereceden formülün parabolünün <math>x</math> ekseninden geçeceği yeri vermesidir. Ek olarak, kuadratik formüle iki terimli olarak bakıldığında,

: <math>x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}=-\frac{b}{2a} \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}</math>

böylelikle [[Dönel simetri|simetri ekseni]], {{Matematik|1=''x'' = −{{sfrac|''b''|2''a''}}}} doğrusu olarak görünür. Diğer terim, {{Matematik|{{sfrac|{{sqrt|''b''{{sup|2}} − 4''ac''}}|2''a''}}}}, köklerin simetri ekseninden uzaklığını verir, burada artı işareti sağdaki mesafeyi ve eksi işareti soldaki mesafeyi temsil eder.

Bu mesafe terimi sıfıra düşürülürse simetri ekseni kökün {{Matematik|''x''}} değeri olacaktır, yani ikinci dereceden denklemin tek bir olası çözümü olacaktır. Cebirsel olarak bu, {{Matematik|{{sqrt|''b''{{sup|2}} − 4''ac''}} {{=}} 0}} veya basitçe {{Matematik|''b''{{sup|2}} − 4''ac'' {{=}} 0}} (burada sol taraf ''diskriminant'' olarak adlandırılır). Bu, parabolün diskriminantının, parabolün kaç sıfıra sahip olacağını gösterdiği üç durumdan biridir. Diskriminant pozitifse, mesafe sıfır olmayacak ve iki çözüm olacaktır. Bununla birlikte, diskriminantın sıfırdan küçük olduğu bir durum da vardır ve bu, mesafenin imajiner olacağını gösterir.{{snd}}veya karmaşık birim {{Matematik|''i''}}'nin bir katı olarak, burada {{Matematik|''i'' {{=}} {{sqrt|−1}}}}{{snd}}ve parabolün sıfırları [[karmaşık sayı]] olacaklardır. Karmaşık kökler, [[Karmaşık eşlenik|karmaşık olarak eşlenik]] olacaktır ve burada karmaşık köklerin gerçek kısmı simetri ekseninin değeri olacaktır. Parabolün {{Matematik|''x''}} ekseniyle kesiştiği yerde {{Matematik|''x''}} gerçek değerleri olmayacaktır.

{{Matematik|''a''}}, {{Matematik|''b''}} ve/veya {{Matematik|''c''}} sabitleri [[Boyutsuz nicelik|birimsiz]] değilse, o zaman <math>x</math>'in biriminin <math display="inline">\frac{b}{a}</math>'nın birimine eşit olması gerekir, bu gerekliliğin sebebi {{Matematik|''ax''{{sup|2}}}} ve {{Matematik|''bx''}} birimleri üzerinde uyumlu olmasıdır. Ayrıca, aynı mantıkla, {{Matematik|''c''}}'nin birimi şu birime eşit olmalıdır: <math display="inline">\frac{b^2}{a}</math> için çözmeden doğrulanabilir. Bu, [[Fiziksel nicelik|fiziksel büyüklük]]lerin ikinci dereceden ifadesini çözmeden önce, doğru bir şekilde kurulduğunu doğrulamak için güçlü bir araç olabilir.

== Ayrıca bakınız ==
* [[Cebirin temel teoremi]]
* [[Vieta formülleri]]

== Kaynakça==
{{kaynakça|2}}

[[Kategori:Denklemler]]
[[Kategori:Temel cebir]]