Mann-Whitney U testi sayfasının kaynağını görüntüle

'''Mann-Whitney ''U'' testi''' niceliksel ölçekli gözlemleri verilen iki [[örneklem]]in aynı dağılımdan gelip gelmediğini incelemek kullanılan bir [[parametrik olmayan istatistik]] testdir. Aynı zamanda '''Wilcoxon sıralama toplamı testi''' veya '''Wilcoxon-Mann-Whitney''' testi) olarak da bilinmektedir. Bu testi ilk defa eşit hacimli iki örneklem verileri için [[Frank Wilcoxon|Wilcoxon]] (1945) ortaya atmıştır.<ref>Wilcoxon,F. (1945) "Individual comparisons by ranking methods". Biometrics Bulletin, C.1, say.80-83</ref> Sonradan, Mann and Whitney (1947) tarafından<ref>Mann,H.B. ve Whitney,D.R. (1947). "On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other". Annals of Mathematical Statistics, C.18 Say.50-60</ref> değişik büyüklükte iki örneklem problemleri analizleri için uygulanıp geliştirilmiştir.

== Değişik sıfır hipotezler ==

''Mann-Whitney U testi'' iki örneklem verilerini ele alıp bu verilerin aynı anakütleden mi yoksa değişik iki anakütleden mi geldiği sorununu inceler. Ama bu test için şeklen biraz değişik problem şartları ve on varsayımlar bulunması imkâni vardır.

Mann-Whitney testi için en geniş kullanışı için [[sıfır hipotez]]e veri olan iki örneklemin tek bir anakütleden geldiğidir ve bu nedenle bu anakütle tek bir eğilim gösterir veya dağılımlar aynen eşittir. Bu sınama için iki örneklemin istatistiksel olarak birbirinden bağımsız olması gerekir. Örneklem verileri için [[ölçme ölçeği]] en zayıf şekilde [[sırasal ölçekli]] ya da niceliksel olarak [[aralıklı ölçekli]] veya [[orantılı ölçekli]] olmalıdır. Bu varsayım yapılmasının nedeni hiç olmazsa iki gözlemin birbiriyle karşılaştırınca hangisinin daha büyük olduğunu bilmek mümkün olmasıdır. Bu şekilde ''parametrik olmayan istatistik'' sınamanın ''parametrik istatistik sınama'' analoğu iki ortalama arasındaki fark için t-sınamasıdır. Eğer bu t-sınaması için iki örneklem de sıralama şekilde ''sırasal ölçekli'' veri kullanılıyorsa Mann-Whitney testi ile parametrik ortalamalar arasındaki fark için t-sınaması arasında nerede ise hiç fark olmayacaktır.

Mann-Whitney sınaması biraz değişik problem için ve değişik [[sıfır hipotez]] için de uygulanabilir. Bu şekildeki ''sıfır hipotez'': bir anakütleden gelen örneklem veri ile ikinci anakütleden gelen bir başka veri arasındaki farkın 0,5 olmasıdır. Bu değişik hipotez sınaması için iki anakütlenin dağılımların bir sabit kayma haricinde aynı olduğu varsayılmaktadır. Yani eğer <math>f_1(x)</math> birinci anakütleden <math>f_2(x)</math> anakütleden gelirse bu iki değişik örneklem değeri arasındaki ilişki şu olduğu <math>f_1(x)=f_2(x+\delta)</math> varsayılmaktadır.

Üçüncü bir şekilde problem uygulaması ve değişik anlamlı bir [[sıfır hipotez]] sınamanın [[Hodges-Lehman kestirimi]] olan iki anakütlenin merkezsel konum ölçüleri arasındaki farkın sıfır olmasıdır. Bu türlü iki-örneklemli problem için Hodges-Lehman kestirimi birinci ve ikinci orbeklem arasındaki her bir veri gözlem farkının meydanıdır. Bu şekilde problem belirlenmesi halinde birçok kişi Mann-Whitney sınamasının medyanlar arasındaki farkı sınadığını önermektedirler; ancak bu kesin olarak doğru değildir.

Her ne şekilde problem belirlenirse belirlensin genellikle Mann-Whitney sınaması için hipotezler şöyle kurulur. Verileri elde bulunan iki örneklemin iki değişik anakütle A ve anakütle Bden geldiği düşünülsün. Bu sınama için [[sıfır hipotez]] (yani H0) A ve B anakütlerinin aynı dağılım gösterdiğidir. Karşıt hipotez H1 ise yönlü hipotez olan A anakütlesinin B anakütlesinden türel (en:stochastic) olarak daha büyük olduğudur. H1 kabul edilirse A'dan elde edilen puanlar B'den elde edilen puanlardan 1/2 değerinde daha büyüktür. (Yani matematiksel biçimle eğer a A'dan ve b B'den birer gözlem iseler p(a>b>)>(1/2)). Diğer bir yönlü H1 hipotezi de (yani B'nin türel olarak A'dan daha büyük olması da) sınanabilir. Çok kere hangi yönlü karşıt hipotez seçileceği sorunda belirlenmemiştir. Bu halde hacmi daha büyük olan ya da örneklem hacimleri aynı ise ortalaması daha büyük olan örneklemin diğer örneklemden daha büyük olduğu H1 olarak kabul edilir.

== Hesaplama yöntemleri ==

Bu sınama ''U'' adı verilen bir sınama istatistiğinin hesaplanmasını önerir. [[Sıfır hipotez]] altında ''U'' istatistiği için dağılım bilinmektedir. Küçük hacimli (yanı 20'den küçük verili) örneklemler için ''U'' dağılımı için bir tablo hazırlanmıştır. Fakat örneklem hacmi 20nin üzerinde ise [[normal dağılım]] kullanan çok iyi bir yaklaşım bulunmaktadır. Bazı istatistik kitapları ''U'' istatistiğinin analoğu olan (bir örneklemdeki sıralama numaraları toplamlarını gösteren) tablolar da vermektedirler.

''Mann-Whitney U sınaması'' modern kompüter istatistik paketlerinin çoğunda uygulandığı için, eğer bu paketlerden birisi el altında ise, hesaplamalara hiç hacet kalmadan sonuçlar alını tefsir edilebilir. Ancak bu sınamanın nasıl ve ne şeklide yapıldığı anlanmak istenirse, örneğin veri toplanıp elle hesapların yapılması en iyi öğretici alettir. Özellikle veri hacmi küçük ise, Mann-Whitney U değeri el hesapları ile kolayca bulunabilmektedir. Bu el hesabı ile Mann-Whitney U istatistiğini bulmak için iki biraz değişik yaklaşım gerektiren yöntem vardır:

Eğer örneklem hacmi küçükse (yani gözlem sayısı 20nın altında ise) bir direkt yöntem kullanılması çok hızlı sonuç verdiği ve hesaplar yapılırken ''U'' istatistiğin altında yatan prensiplerin hemen anlaşıldığı için, tavsiye edilir.
  
* Eldeki iki örneklemi acele olarak gözden geçirdikten sonra sıralamada genellikle daha küçük görünen örneklem baz örneklem olarak seçilir ve buna Örneklem 1 adı verilir ve diğer örneklem ise Örneklem 2 olarak adlandırılır. Bu seçimi yapmanın tek nedeni hesapların biraz daha kolaylaştırılmasını sağlamak içindir. 
* Örneklem 2'deki her bir veri tek başına alınır. Örneklem 1'de bulunan veriler bu veri değeri ile karşılaştırılır. Her daha büyük değere 1 puan ve her aynı değere 1/2 puan vererek, toplam puan sayısı kaydedilir. Bu işlem bütün Örneklem 2 elemanları için yapılır ve her eleman için toplam puan bulunur. 
* Bu her eleman için puanların tüm elamanlar için toplamı ''U'' istatistiği değeri olur.

Eğer örneklem hacmi büyük ise bir [[sıralama düzeni]] kurulması ve bir formül kullanımı gereklidir.
* Tüm gözlemleri bir araya alarak (iki değişik örneklem olduğunu bu hesap için unutarak) bir [[sıralama düzeni]] elde edilir. Eğer beraberlik varsa her bereaber değere ortalama sıralama numarası verme (yani (1 2,5 2,5 4)) stratejisi uygulanır.
* Örneklemlerden biri keyfi olarak Örneklem 1 olarak seçilir. Örneklem 1deki sıralama numaralarının toplamı (<math>R_1</math> olarak) bulunur. Beraberlik için özel (1 2.5 2.5 4) stratejisi uygulandığı için her iki örneklem için sıralama numaralarının toplamının N (iki örneklemdeki toplam gözlem sayısı) olduğu bilinmektedir. N eksi Örneklem 1 sıralama numaraları toplamı Örneklem 2 sıralama numaraları toplamını (yani <math>R_2 = n - R_1</math>) verir. 
* İki tane formül kullanılarak iki U-istatistik adayı hesaplanır. Bunlardan <math>U_1</math> Örneklem 1 için gözlem sayısını ve toplam sıralama numarası sayısını; <math>U_2</math> ise Örneklem 2 için gözlem sayısını ve toplam sıralama numarası sayısını kullanır. Formüller şudur:
::<math>U_1=R_1 -  {n_1(n_1+1) \over 2}  \,\!</math>
::<math>U_2=R_2 - {n_2(n_2+1) \over 2}. \,\!</math>
Burada 
''n''<sub>1</sub> Örneklem 1 için örneklem hacmi; 
''R''<sub>1</sub> Örneklem 1 için sıralama numaraları toplamı; 
''n''<sub>2</sub> Örneklem 2 için örneklem hacmi; 
''R''<sub>2</sub> Örneklem 2 için sıralama numaraları toplamı 
olur. Kontrol için ''U''<sub>1</sub> ile ''U''<sub>2</sub> için toplam alınır. Bu değer iki örneklem hacim sayılarının çarpımına eşit olmalıdır; yani
::<math>U_1 + U_2 = n_1 n_2. \,\!</math>
* Bulunan ''U''<sub>1</sub> ve ''U''<sub>2</sub> değerlerinden küçüğü hazırlanmış olan U-istatistiği anlamlılık tablosunda kullanılır.

== Normal yaklaşım ==

Eğer örneklem hacimleri büyükse, anlamlılık düzeyini bulmak için şu [[standart normal dağılım]] yaklaşımı kullanılır:
:<math>z=(U-m_U)/\sigma_{U}\,\!</math>
Burada ''z'' standart normal dağılım tablolarında kullanılan z-puanı; <math>m_U</math> ve <math>\sigma_U</math> ise, eğer sıfır hipotez doğruysa ''U'' için ortalama ve [[standart sapma]] olup şu formüllerle bulunurlar: 
:<math>m_U=n_1 \cdot n_2 /2.\,\!</math>
:<math>\sigma_U=\sqrt{n_1 n_2 (n_1+n_2+1) \over 12}.\,\!</math>
Ancak örneklem verileri için sıralamada beraberlikler varsa bu değerlerin beraberlikler için düzeltilmesi gerekir. Fakat el hesaplanmalarında bu düzeltmeler çok defa kullanılmamaktadır; istatistik paket programları ise bu düzeltmeleri hemen rutin olarak yapmaktadırlar.

== Diğer sınamalara ilişki ==

''U'' test iki bağımsız örneklem için [[ortalamalar farkı için Student'in t-testi]] ile çok benzer şartlar bulunduğu zaman kullanılır. Bunlardan hangi sınamanın ne zaman kullanılması gerektiği sorusu hemen ortaya çıkmaktadır. Eğer veriler ''sırasal ölçekli'' ise ''U''' testi, eğer örneklem verileri ''aralıksal veya oransal ölçekli'' ise genel olarak t-testi tercih edilmelidir. Ancak ''aralıksal veya oransal ölçekli'' veriler halinde, eğer örneklem verileri içinde bir veya ikiden çok '[[aykırı değer]] varsa veya eğer anakütle dağılımlarının normal olmaktan çok uzak ve örneklem hacimlerinin yeter derecede büyük olduğu biliniyor ise yine parametrik olmayan ''U'' testi tercih edilir.

Diğer taraftan bazı istatistikçiler, eğer iki örneklem birbirinden çok değişikse, ''U-testi''nin tercih edilmesi gerektiğini bildirirler. Ancak ''U-sınaması'' sıfır hipotez doğru ise iki örneklemin aynı dağılımdan geldiğini varsaymaktadır. Eğer iki örneklem değişik iki anakütle dağılımından gelmekte ise bu varsayıma göre hazırlanmış özel yaklaşımlı serbestlik dereceli ''t-testi''nın daha uygun sonuçlar vereceği ispat edilmiştir. Bu halde bazı istatistikçiler (örneğin Conover (1999)<ref>Conover,W.J. (1999), ''Practical Nonparametric Statistics (3ncu Ed.)'', New York: Wiley.</ref>) verilerin [[sıralama düzeni]]ne koyulup sıralama numaraları için t-testi uygulanmasını tavsiye etmektedirler.

''U-testi'' diğer bazı [[parametrik olmayan istatistik]] analiz yöntemleri ile ilişkili bulunmaktadır. Eğer veriler iki değer (0-1)-alan ''isimsel ölçekli'' iseler, ''U'' istatistiği ve [[Kendall sıralamalı korelasyon katsayısı]] teorik olarak aynıdır.

ρ adı verilen bir istatistik ''U'' istatistiği ile doğrusal olarak bağımlıdır. ρ
iki dağılım için birbirine ne kısımda çakıştıklarını ölçen bir [[parametrik olmayan istatistik]] olup 0 ile 1 arasında değişmektedir. Eğer ρ=0,5 ise iki dağılım tam olarak birbirleri ile çakışmaktadır. Uç değerlerde, yani ρ=0 veya ρ=1 olursa, iki dağılım birbirine hiç dokunmamaktadır. ρ değeri ''U''nun ''n''<sub>1</sub>&nbsp;×&nbsp;''n''<sub>2</sub> ile bölünmesi sonucu elde edilmektedir.

== Örneğin ve sonuçlar ==

<!--
Suppose that [[Aesop]] is dissatisfied with his [[The Tortoise and the Hare|classic experiment]] in which one [[tortoise]] was found to beat one [[hare]] in a race, and decides to carry out a significance test to discover whether the results could be extended to tortoises and hares in general.  He collects a sample of 6 tortoises and 6 hares, and makes them all run his race.  The order in which they reach the finishing post (their rank order) is as follows, writing T for a tortoise and H for a hare:
:T H H H H H T T T T T H
What is the value of ''U''?
* Using the direct method, we take each tortoise in turn, and count the number of hares it beats, getting 6, 1, 1, 1, 1, 1.  So ''U'' = 6 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 11.  Alternatively, we could take each hare in turn, and count the number of tortoises it beats.  In this case, we get 5, 5, 5, 5, 5, 0, which means ''U'' = 25.  Note that the sum of these two values for "U" is 36, which is 6&nbsp;×&nbsp;6.
* Using the indirect method:
:: the sum of the ranks achieved by the tortoises is 1 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 46.
:: Therefore ''U'' = 46 − 6×7/2 = 46 − 21 = 25.
:: the sum of the ranks achieved by the hares is 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 12 = 32, leading to ''U'' = 32 - 21 = 11.

Outcomes of the two treatments were compared using the Wilcoxon-Mann-Whitney two-sample rank-sum test.
The treatment effect (difference between treatments) was quantified using the Hodges-Lehmann (HL) estimator, which is consistent with the Wilcoxon test (ref. 5 below).  This estimator (HLΔ) is the median of all possible differences in outcomes between a subject in group B and a subject in group A.  A non-parametric 0.95 confidence interval for HLΔ accompanies these estimates as does ρ, an estimate of the probability that a randomly chosen subject from population B has a higher weight than a randomly chosen subject from population A.

The median [quartiles] weight for subjects on treatment A and B respectively are 147 [121, 177] and 151 [130, 180] pounds.  Treatment A decreased weight by HLΔ = 5 lbs. (0.95 CL [2, 9] lbs., 2''P'' = 0.02, ρ = 0.58).
-->

== İçsel kaynaklar ==

* [[Wilcoxon işaretli-sıralama sınaması]]

== Kaynakça ==

{{Kaynakça}}

== Dışsal kaynaklar ==

* [http://www.alglib.net/statistics/hypothesistesting/mannwhitneyu.php] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20080615035416/http://www.alglib.net/statistics/hypothesistesting/mannwhitneyu.php |tarih=15 Haziran 2008 }} ALGLIB C++, C#, Delphi, Visual Basic, vb. yazılımlı Mann-Whitney U sınaması uygulamasını kapsayan programlar kitaplığı.
* Hollander,M. ve Wolfe,D.A. (1999), ''Nonparametric Statistical Methods (2. Ed.)'', New York: Wiley.
* Lehmann,E.L. (2006). ''Nonparametrics: Statistical Methods Based On Ranks'', New York, Springer.
* [http://msu.edu/course/sw/430/2005/tables/wmw.pdf]{{Ölü bağlantı}} Mann-Whitney U dağılımı için kritik değerler tablosu (pdf)
*  [[R (program yazılımı)|R]] istatistiksel program paketi Wilcoxon iki-örneklem sınaması adı altında <code>wilcox.test</code> bu sınamanın uygulamasıni kapsar.
* Siegel,S. ve Castellan,N.J. (1988) ''Nonparametric Statistics for Behavioural Science (2. rev.ed.)'', Nre York: McGraw Hill

{{İstatistik}}

[[Kategori:İstatistiksel sınamalar]]
[[Kategori:Parametrik olmayan istatistik]]