Mittag-Leffler teoremi sayfasının kaynağını görüntüle

[[Dosya:Gösta Mittag-Leffler x Brauer.jpg|küçükresim|Ünlü İsveçli matematikçi Gösta Mittag-Leffler'ın, sanatçı Carl Brauer tarafından yapılmış bir portresidir.]]
[[Matematik|Matematiğin]] bir alt dalı olan [[karmaşık analiz]]de, '''Mittag-Leffler teoremi''', önceden verilmiş ve belirli özellikleri sağlayan bir noktalar kümesinde [[Kutup (karmaşık analiz)|kutupları]] olan [[meromorf fonksiyon]]ların varlığıyla ilgili olan bir sonuçtur. Bu sonuç, önceden verilmiş ve yine bazı özellikleri sağlayan noktalar kümesinde [[Sıfır (karmaşık analiz)|sıfır]] değerleri alan [[holomorf fonksiyon]]ların varlığıyla ilgili olan [[Weierstrass çarpım teoremi]] ile parallellik taşımaktadır.

Teorem, 1876 ve 1884'te teoremi bugün halinden farklı şekilde yayınlayan İsveçli matematikçi [[Gösta Mittag-Leffler]]'in adını taşımaktadır.<ref>{{Dergi kaynağı |soyadı=Mittag-Leffler |tarih=1876 |başlık=En metod att analytiskt framställa en funktion af rational karakter, hvilken blir oändlig alltid och endast uti vissa föreskrifna oändlighetspunkter, hvilkas konstanter äro på förhand angifna |dergi=Öfversigt af Kongliga Vetenskaps-Akademiens förhandlingar Stockholm |cilt=33 |sayı=6 |sayfalar=3-16}}</ref><ref>{{Dergi kaynağı |soyadı=Mittag-Leffler |tarih=1884 |başlık=Sur la représentation analytique des fonctions monogènes uniformes dʼune variable indépendante |dergi=Acta Mathematica |cilt=4 |sayfalar=1-79|doi=10.1007/BF02418410 |s2cid=124051413 |doi-access=ücretsiz }}</ref><ref>{{Dergi kaynağı |soyadı=Turner |ad=Laura E. |tarih=1 Şubat 2013 |başlık=The Mittag-Leffler Theorem: The origin, evolution, and reception of a mathematical result, 1876–1884 |dergi=Historia Mathematica |dil=İngilizce|cilt=40 |sayı=1 |sayfalar=36-83|doi=10.1016/j.hm.2012.10.002 |issn=0315-0860|doi-access=ücretsiz }}</ref>

== Teoremin ifadesi ==
<math>U\subset\Complex </math> açık küme, <math>E \subset U</math> ise, eğer varsa, limit noktaları <math>U</math>'nun sınırında olan bir altküme olsun. <math>E</math>deki her <math>a</math> noktası için <math>p_a(z)</math> fonksiyonu  <math>1/(z-a)</math>'nın sabit katsayılı polinomu olsun; diğer deyişle, 
<math display="block">p_a(z) = \sum_{n=1}^{N_a} \frac{c_{a,n}}{(z-a)^n}, \quad c_{a,n}\in\Complex .</math>
O zaman, <math>U</math> üzerinde [[Meromorf fonksiyon|meromorf]] bir <math>f</math> fonksiyon vardır, <math>f</math> fonksiyonun [[Kutup (karmaşık analiz)|kutup noktaları]]nın kümesi <math>E</math> ile aynıdır ve <math>E</math>deki her <math>a</math> noktası için <math>f(z)-p_a(z)</math> fonksiyonun <math>a</math> noktasında sadece [[kaldırılabilir tekillik|kaldırılabilir tekilliği]] vardır. Ayrıca, <math>f</math>nin <math>a</math> noktasıdaki [[Laurent serisi]]nin negative üslü kısmı <math>p_a(z)</math>'ye eşittir. 
Eğer <math>f</math>den başka meromorf bir <math>g</math> fonksiyonu <math>U</math> üzerinde aynı özellikleri taşıyorsa, o zaman <math>f=g+h</math> yazılabilir ve burada <math>h</math> [[Holomorf fonksiyon|holomorf]] olur.

== Kanıtın taslağı ==
Olası bir kanıt taslağı şu şekildedir. Eğer <math>E</math> sonlu bir küme ise <math>p_a(z)</math> almak yeterldir.  <math>E</math> sonlu bir küme değilse, <math>E</math>'nin altkümesi olan sonlu bir <math>F</math> kümesi için <math display="inline"> S_F(z) = \sum_{a \in F} p_a(z)</math> fonksiyonunu ele alalım. <math>F</math> kümesi <math>E</math> kümesine yaklaşırken <math>S_F(z)</math> yakınsamayabilir. Ancak, [[Runge teoremi]] vasıtasıyla  kutupları <math>U</math>'nun dışında kalacak şekilde iyi seçilmiş fonksiyonları <math>S_F(z)</math> fonksiyondan çıkarıp hem Laurent serisindeki negatif üslü terimleri koruyabiliriz hem de yakınsaklığı güvence altına almış oluruz.

== Örnek ==
Diyelim ki bütün pozitif tam sayılarda kalıntısı 1 olan basit kutuplu bir meromorf fonksiyon bulmak istiyoruz. O zaman, <math>E = \mathbb{Z}^+</math> ve <math>k\in E</math> için <math>p_k(z) = \frac{1}{z-k}</math>.  Mittag-Leffler teoremi sayesinde <math>z=k</math> noktasindak' Laurent serisinin negati üslü kısmının <math> p_k(z) </math>'ye eşit olduğu meromorf bir <math>f</math> fonksiyonu vardır. Hatta, bu fonksiyonu, 
<math display="block">f(z) = z\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(z-k)} </math>
olarak alabiliriz. Bu seri, <math> \Complex \smallsetminus \mathbb{Z}^+ </math> kümesinin herhangi bir [[Tıkızlık|tıkız]] altkümesi üzerinde istediğimiz özelliklere sahip meromorf bir fonksiyona [[normal yakınsaklık|normal yakınsaktır]].

== Bazı meromorf fonksiyonların kutup açılımları==

<math display="block"> \tan(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{8z}{(2n+1)^2\pi^2-4z^2} </math>
<math display="block"> \csc(z)
= \sum_{n \in \Z} \frac{(-1)^n}{z-n\pi}
= \frac{1}{z} + 2z\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{z^2 - (n\,\pi)^2}</math>
<math display="block"> \sec(z)
\equiv -\csc\left(z-\frac{\pi}{2}\right)
= \sum_{n \in \Z} \frac{(-1)^{n-1}}{z-\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi}
= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n+1)\pi}{(n+\frac{1}{2})^2\pi^2-z^2}
</math>
<math display="block"> \cot(z)
\equiv \frac{\cos (z)}{\sin (z)}
= \lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^N \frac{1}{z-n\pi}
= \frac{1}{z} + 2z\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{z^2 - (k\,\pi)^2}</math>
<math display="block"> \csc^2(z) = \sum_{n \in \Z} \frac{1}{(z-n\,\pi)^2} </math>
<math display="block"> \sec^2(z) = \frac{d}{dz}\tan(z)
= \sum_{n=0}^\infty \frac{8((2n+1)^2\pi^2+4z^2)}{((2n+1)^2\pi^2-4z^2)^2}</math>
<math display="block"> \frac{1}{z \sin(z)}
= \frac{1}{z^2} + \sum_{n \neq 0} \frac{(-1)^n}{\pi n(z-\pi n)}
= \frac{1}{z^2} + \sum_{n=1}^\infty {(-1)^n} \frac{2}{z^2 - (n\,\pi)^2}</math>

== Kaynakça ==
{{Kaynakça}}
*{{kaynak|ad=Lars|soyadı=Ahlfors|authorlink=Lars Ahlfors|başlık=Complex analysis|yayıncı=McGraw Hill|yıl=1953|yayıntarihi=1979|seri=3rd|isbn=0-07-000657-1}}.
*{{kaynak|ad=John B.|soyadı=Conway|başlık=Functions of One Complex Variable I|yayıncı=Springer-Verlag|yıl=1978|yayıntarihi=1978|seri=2nd|isbn=0-387-90328-3}}.

== Ayrıca bakınız ==
* [[Riemann-Roch teoremi]]
* [[Weierstrass çarpım teoremi]]

==Dış bağlantılar==
* {{springer|title=Mittag-Leffler theorem|id=p/m064170}}

[[Kategori:Karmaşık analiz teoremleri]]