Normlu vektör uzayı sayfasının kaynağını görüntüle

[[Matematik]]te '''normlu vektör uzayı''' [[Gerçel sayı|gerçel]] ya da [[Karmaşık sayı|karmaşık]] sayılar üzerinde tanımlanmış ve bir [[norm (matematik)|norm fonksiyonu]]na sahip olan vektör uzayıdır. [[Norm (matematik)|Norm fonksiyonu]] uzunluk kavramının genelleştirilmesi olarak düşünülebilir.

Normlu uzaylar ve normlu uzayların en temel örneklerinden biri olan [[Banach uzayı|Banach uzayları]], [[fonksiyonel analiz]]in yapı taşlarıdır.

== Tanım ==
Bir <math>\mathbb{K}</math> cismi (<math>\mathbb{R}</math> ya da <math>\mathbb{C}</math> olabilir) üzerinden tanımlanmış bir <math>V</math> vektör uzayı üzerinde tanımlanmış gerçel değerler alan bir <math>\lVert\cdot \rVert: V\to\mathbb R</math> fonksiyonuna aşağıdaki özellikleri sağladığı takdirde '''norm''' adı verilir:

#Negatif olmamalık özelliği: Her <math>x\in V</math> için, <math>\; \lVert x \rVert \ge 0</math>.
#Kesin pozitiflik özelliği: Bir <math>x \in V</math> için <math>\; \lVert x\rVert=0</math> ise, bu ancak ve ancak <math>x</math> sıfır vektörüyse olabilir.
# Mutlak homojenlik özelliği: <math>\lambda\in \mathbb{K}</math> ve <math>x\in V</math> ise, <math display="block">\lVert \lambda x \rVert = |\lambda|\, \lVert x\rVert </math>
# [[Üçgen eşitsizliği]]: Her <math>x, y\in V</math> için, <math display="block">\|x+y\| \leq \|x\| + \|y\|.</math>

O zaman, <math>V</math> vektör uzayı ve bu uzay üzerinde tanımlanmış bir norm fonksiyonu çiftine '''normlu vektör uzayı''' denir ve <math>(V,\lVert\cdot \rVert)</math> ile gösterilir. Sadece bir tane vektör uzayından bahsediliyorsa veya norma vurgu yapmaya gerek yoksa, <math>(V, \|\cdot\|)</math> yerine sadece ''<math>V</math> normlu vektör uzayıdır'' biçiminde kullanım da mevcuttur ve bu uzay sadece <math>V</math> ile gösterilir.

Norm fonksiyonu üzerinden <math>d(x,y) := \|y-x\|</math> biçiminde tanımlanan bir fonksiyon bir [[Metrik uzay|metrik]] olur. Bu metriğe, ''norm tarafından doğurulmuş metrik'' denir. Bu metrik sayesinde, her normlu vektör uzayı aynı zamanda bir [[metrik uzay]]ıdır ve yine bu yüzden [[topolojik vektör uzayı]]dır. Eğer bu metrik uzay üstelik [[Tam metrik uzay|tamsa]], o zaman bu normlu uzaya [[Banach uzayı]] adı verilir. Her Banach uzayı normlu bir uzaydır; ancak, bunun tersi doğru değildir. Yine de, normlu vektör uzayları bir Banach uzayına genişletilebilir. Genişletmeyle elde edilen Banach uzayı ise biriciktir.

[[Kategori:Normlu uzaylar]]