Nusselt sayısı sayfasının kaynağını görüntüle

Termal akışkan dinamiği alanında, '''Nusselt sayısı''' ('''Nu'''), [[Wilhelm Nusselt]]'in adını taşıyan ve bir [[sınır tabakası]]ndaki toplam [[ısı transferi]]nin, [[ısı iletimi|kondüksiyon ısı transferine]] oranını ifade eden bir boyutsuz sayıdır. Toplam ısı transferi, kondüksiyon ve konveksiyonu içerir. Konveksiyon ise [[adveksiyon]] ve [[difüzyon]] bileşenlerinden oluşur. Kondüktif bileşen, konvektif koşullar altında ancak hareketsiz bir akışkan için varsayılarak ölçülür. Nusselt sayısı, akışkanın [[Rayleigh sayısı]] ile yakından ilişkilidir.<ref name="çengel">{{kitap kaynağı |soyadı1=Çengel |ad1=Yunus A. |başlık=Heat and Mass Transfer |url=https://archive.org/details/HeatAndMassTransferByCengel2ndEdition |tarih=2002 |yayıncı=McGraw-Hill |seri=2nd}}</ref>{{rp|466}}

Nusselt sayısının bir büyüklüğündeki mertebesi, saf kondüksiyonla ısı transferini temsil ederken, bir ile 10 arasındaki değerler [[tıkız akış]] (İng. ''slug flow'') veya [[laminer akış]]a özgüdür.<ref name=whiting>{{web kaynağı |başlık=The Nusselt Number |url=http://pages.jh.edu/~virtlab/heat/nusselt/nusselt.htm |website=Whiting School of Engineering |erişimtarihi=3 Nisan 2019 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20190401053755/http://pages.jh.edu/~virtlab/heat/nusselt/nusselt.htm |arşivtarihi=1 Nisan 2019 |ölüurl=hayır }}</ref> Daha yüksek Nusselt sayıları daha aktif konveksiyon anlamına gelir ve [[türbülanslı akış]] genellikle 100-1000 aralığında bulunur.<ref name=whiting/>

Benzer şekilde, [[Biot sayısı]] katı cisimler için ısı iletkenliğini ele alırken, Nusselt sayısının kütle transferi karşılığı [[Sherwood sayısı]]dır.

==Tanım==
Nusselt sayısı, bir sınır tabakası boyunca toplam ısı transferinin (kondüksiyon + konveksiyon) kondüksiyon ısı transferine oranıdır. Konveksiyon ve kondüksiyon ısı akışları, sınır tabakası yüzeyinin normaline paralel olup, ortalama akışkan akışına dik olarak gerçekleşir.

:<math>\mathrm{Nu}_L = \frac{\mbox{Toplam ısı transferi }}{\mbox{Kondüksiyon ısı transferi }} = \frac{h}{k/L} = \frac{hL}{k}</math>

Burada ''h'', akışın [[konvektif]] [[ısı transferi katsayısı]]nı, ''L'' [[karakteristik uzunluk|karakteristik uzunluğu]] ve ''k'' akışkanın [[ısı iletkenliği]]ni temsil eder.

* Karakteristik uzunluğun seçimi, sınır tabakasının büyüme veya kalınlık yönünde olmalıdır; karakteristik uzunluk örnekleri şunlardır: silindirin eksenine dik olarak [[çapraz akış]]ta (İng. ''cross flow'') bir silindirin dış çapı, [[doğal konveksiyon]]a maruz kalan dikey bir plakanın uzunluğu veya bir kürenin çapı. Karmaşık geometriler için uzunluk, akışkan cismin hacminin yüzey alanına bölünmesiyle tanımlanabilir.
* Akışkanın ısı iletkenliği genellikle [[film sıcaklığı]]nda değerlendirilir ve mühendislik uygulamaları için bu, yığın (İng. ''bulk'') akışkan sıcaklığı ile duvar yüzey sıcaklığının aritmetik ortalaması olarak hesaplanabilir.

Yukarıda verilen tanımın aksine, "ortalama Nusselt sayısı" olarak bilinen yerel Nusselt sayısı, uzunluğun yüzey sınırından<ref name="çengel" /> ilgi noktasına olan mesafe olarak alınmasıyla tanımlanır.

:<math>\mathrm{Nu}_x = \frac{h_x x}{k}</math>

"Olağan" ya da "ortalama" Nusselt sayısı, ilgi alanı boyunca bu ifadenin entegrasyonu ile elde edilir, örneğin:<ref>{{dergi kaynağı|başlık=Transitional natural convection flow and heat transfer in an open channel|yıl=2012|author=E. Sanvicente|doi=10.1016/j.ijthermalsci.2012.07.004|cilt=63|sayfalar=87-104|dergi=International Journal of Thermal Sciences|yazarları-göster=etal}}</ref>

:<math>\overline{\mathrm{Nu}}=\frac{\frac{1}{L} \int_0^L h_x\ dx\ L}{k}=\frac{\overline{h} L}{k}</math>

==Bağlam==
Bir yüzey ile üzerinden akışkan akan bir akışkan arasında konvektif ısı transferini anlamak için konveksiyon sınır tabakalarının anlaşılması gereklidir. Akışkan serbest akım sıcaklığı ile yüzey sıcaklıkları farklı olduğunda bir termal sınır tabakası oluşur. Bu sıcaklık farkından kaynaklanan enerji değişimi nedeniyle bir sıcaklık profili ortaya çıkar.
[[Dosya:Thermal Boundary Layer.jpg|frame|right|Termal Sınır Tabakası]]

Isı transfer oranı, [[Newton soğuma yasası]] kullanılarak şu şekilde ifade edilebilir:

:<math>Q_y=hA\left( T_s-T_\infty \right)</math>,

burada ''h'' [[ısı transfer katsayısı]] ve ''A'' ısı transfer yüzey alanıdır. Yüzeydeki ısı transferi iletim yoluyla gerçekleştiğinden, aynı miktar [[ısı iletkenliği]] ''k'' cinsinden şu şekilde ifade edilebilir:

:<math>Q_y=-kA\frac{\partial }{\partial y}\left. \left( T-T_s \right) \right|_{y=0}</math>.

Bu iki terim eşittir ve bu nedenle

:<math>-kA\frac{\partial }{\partial y}\left. \left( T-T_s \right) \right|_{y=0}=hA\left( T_s-T_\infty \right)</math>.

Bu ifadeyi yeniden düzenleyerek,

:<math>\frac{h}{k}=\frac{\left. \frac{\partial \left( T_s-T \right)}{\partial y} \right|_{y=0}}{\left( T_s-T_\infty \right)}</math>.

Temsili bir uzunluk ''L'' ile çarptığımızda boyutsuz bir ifade elde ederiz:

:<math>\frac{hL}{k}=\frac{\left. \frac{\partial \left( T_s-T \right)}{\partial y} \right|_{y=0}}{\frac{\left( T_s-T_\infty \right)}{L}}</math>.

Sağ taraf artık yüzeydeki sıcaklık gradyanının referans sıcaklık gradyanına oranını temsil ederken, sol taraf Biot modülüne benzer. Bu ifade, iletken termal direncin, akışkanın konvektif termal direncine oranı olan Nusselt sayısı, Nu olarak bilinir.

:<math>\mathrm{Nu} = \frac{h}{k/L} = \frac{hL}{k}</math>.

==Türetme==
Nusselt sayısı, [[Isı iletimi#Fourier kanunu|Fourier kanunu]]nun boyutsuz bir analizi ile elde edilebilir çünkü bu sayı, yüzeydeki boyutsuz sıcaklık gradyanına eşittir:

:<math>q = -k A \nabla T</math>, burada ''q'' [[ısı akımı]], ''k'' sabit [[ısı iletkenliği]] ve ''T'' [[akışkan]] [[sıcaklık|sıcaklığıdır]].
Eğer: <math>\nabla' = L \nabla </math> ve <math>T' = \frac{T-T_h}{T_h-T_c}</math> olursa,

şuraya varırız:

:<math>-\nabla'T' = \frac{L}{kA(T_h-T_c)}q=\frac{hL}{k}</math>

sonra aşağıdaki tanımlamayı yapabiliriz:

:<math>\mathrm{Nu}_L=\frac{hL}{k}</math>

bu nedenle denklem şu hale gelir:

:<math>\mathrm{Nu}_L=-\nabla'T'</math>

Cismin yüzeyi üzerinde entegrasyon yaparak aşağıdaki sonucu elde edebiliriz:

<math>\overline{\mathrm{Nu}}=-{{1} \over {S'}} \int_{S'}^{} \mathrm{Nu} \, \mathrm{d}S'\!</math>,

burada <math>S' = \frac{S}{L^2}</math>'dir.

==Ampirik korelasyonlar==
Genellikle doğal konveksiyon (zorlanmamış konveksiyon; İng. ''free convection'') için, ortalama Nusselt sayısı [[Rayleigh sayısı]] ve [[Prandtl sayısı]]nın bir fonksiyonu olarak ifade edilir ve şu şekilde yazılır:

:<math>\mathrm{Nu} = f(\mathrm{Ra}, \mathrm{Pr})</math>

Zorlanmış konveksiyon durumunda ise, Nusselt sayısı genellikle [[Reynolds sayısı]] ve [[Prandtl sayısı]]nın bir fonksiyonu olarak ifade edilir:

:<math>\mathrm{Nu} = f(\mathrm{Re}, \mathrm{Pr})</math>

=== Doğal konveksiyon ===

====Dikey bir duvarda doğal konveksiyon====
Churchill ve Chu'dan alıntılanmıştır{{r|incropera|p=493}}:

:<math>\overline{\mathrm{Nu}}_L \ = 0.68 + \frac{0.663\, \mathrm{Ra}_L^{1/4}}{\left[1 + (0.492/\mathrm{Pr})^{9/16} \, \right]^{4/9} \,} \quad \mathrm{Ra}_L \le 10^8 </math>

====Yatay plakadan doğal konveksiyon====
Eğer karakteristik uzunluk şu şekilde tanımlanırsa

:<math>L \ = \frac{A_s}{P}</math>

burada <math>\mathrm{A}_s</math> plakanın yüzey alanı ve <math>P</math> çevresidir.

Daha soğuk bir ortamda sıcak bir cismin üst yüzeyi veya daha sıcak bir ortamda soğuk bir cismin alt yüzeyi için{{r|incropera|p=493}}

:<math>\overline{\mathrm{Nu}}_L \ = 0.54\, \mathrm{Ra}_L^{1/4} \, \quad 10^4 \le \mathrm{Ra}_L \le 10^7</math>

:<math>\overline{\mathrm{Nu}}_L \ = 0.15\, \mathrm{Ra}_L^{1/3} \, \quad 10^7 \le \mathrm{Ra}_L \le 10^{11}</math>

Daha soğuk bir ortamda sıcak bir cismin alt yüzeyi veya daha sıcak bir ortamda soğuk bir cismin üst yüzeyi için{{r|incropera|p=493}}

:<math>\overline{\mathrm{Nu}}_L \ = 0.52\, \mathrm{Ra}_L^{1/5} \, \quad 10^5 \le \mathrm{Ra}_L \le 10^{10}</math>

====Alttan ısıtılan bir muhafazadan doğal konveksiyon====
Bejan'dan alıntılanmıştır:<ref name="bejanauth">{{kitap kaynağı |yazarbağı=Adrian Bejan |soyadı1=Bejan |ad1=Adrian|başlık=Convection Heat Transfer |url=https://www.researchgate.net/profile/Gamal-Abdelaziz-2/post/How_to_calculate_Nusselt_number_if_an_enclosure_is_heated_from_two_sides_horizontally_and_vertically/attachment/5f511b80ed60840001ca5842/AS%3A931720878649344%401599150976439/download/Adrian+Bejan%28auth.%29-Convection+Heat+Transfer%2C+Fourth+Edition+%282013%29.pdf?_tp=eyJjb250ZXh0Ijp7ImZpcnN0UGFnZSI6InB1YmxpY2F0aW9uIiwicGFnZSI6InF1ZXN0aW9uIn19 |url-erişimi=kısıtlı |seri=4th |yayıncı=Wiley |yıl=2013 |isbn=978-0-470-90037-6 }}</ref>

:<math>\overline{\mathrm{Nu}}_L \ = 0.069\, \mathrm{Ra}_L^{1/3}Pr^{0.074} \, \quad 3 * 10^5 \le \mathrm{Ra}_L \le 7 * 10^{9}</math>

Bu denklem ''"yatay tabakanın yeterince geniş olduğu durumlarda, kısa dikey kenarların etkisinin minimal olması durumunda geçerlidir."''

Bu, 1959'da Globe ve Dropkin tarafından ampirik olarak belirlenmiştir:<ref>{{Dergi kaynağı |soyadı=Globe |ad=Samuel |soyadı2=Dropkin |ad2=David |tarih=1959 |başlık=Natural-Convection Heat Transfer in Liquids Confined by Two Horizontal Plates and Heated From Below |url=https://asmedigitalcollection.asme.org/heattransfer/article-abstract/81/1/24/397579/Natural-Convection-Heat-Transfer-in-Liquids?redirectedFrom=fulltext |dergi=J. Heat Transfer |cilt=81 |sayı=1 |sayfalar=24-28 |ile=ASME Digital Collection |erişim-tarihi=7 Haziran 2024 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20240325235001/https://asmedigitalcollection.asme.org/heattransfer/article-abstract/81/1/24/397579/Natural-Convection-Heat-Transfer-in-Liquids?redirectedFrom=fulltext |arşivtarihi=25 Mart 2024 |ölüurl=hayır }}</ref> ''"Testler, bakır üst ve alt kısımları olan ve yalıtımlı duvarlara sahip silindirik kaplarda yapılmıştır."'' Kullanılan kaplar yaklaşık 5 inç çapında ve 2 inç yüksekliğindeydi.

===Laminer akışta düz plaka===

Bir düz plaka üzerinde laminer akış için yerel Nusselt sayısı, plakanın kenarından aşağı yönde <math>x</math> mesafesinde şu şekilde verilir{{r|incropera|p=490}}:

:<math>\mathrm{Nu}_x\ = 0.332\, \mathrm{Re}_x^{1/2}\, \mathrm{Pr}^{1/3}, (\mathrm{Pr} > 0.6) </math>

Bir düz plaka üzerinde laminer akış için ortalama Nusselt sayısı, plakanın kenarından aşağı yönde <math>x</math> mesafesine kadar şu şekilde verilir{{r|incropera|p=490}}:

:<math>\overline{\mathrm{Nu}}_x \ = {2} \cdot 0.332\, \mathrm{Re}_x^{1/2}\, \mathrm{Pr}^{1/3}\ = 0.664\, \mathrm{Re}_x^{1/2}\, \mathrm{Pr}^{1/3}, (\mathrm{Pr} > 0.6) </math>

===Konvektif akışta küre===

Bazı uygulamalarda, örneğin hava içindeki küresel sıvı damlacıklarının buharlaşması gibi, şu [[korelasyon]] kullanılır:<ref>{{kitap kaynağı |soyadı1=McAllister |ad1=Sara |soyadı2=Chen |ad2=Jyh-Yuan |soyadı3=Fernández Pello |ad3=Carlos |başlık=Fundamentals of combustion processes |url=https://archive.org/details/fundamentalsofco0000mcal |tarih=2011 |yayıncı=Springer |yer=New York |isbn=978-1-4419-7942-1 |sayfa=[https://archive.org/details/fundamentalsofco0000mcal/page/159 159] |kısım=Droplet Vaporization in Convective Flow |doi=10.1007/978-1-4419-7943-8 |lccn=2011925371 |seri=Mechanical Engineering}}</ref>
:<math>\mathrm{Nu}_D \ = {2} + 0.4\, \mathrm{Re}_D^{1/2}\, \mathrm{Pr}^{1/3}\, </math>

===Türbülanslı boru akışında zorlanmış konveksiyon===
====Gnielinski korelasyonu====

Gnielinski'nin türbülanslı boru akışı için korelasyonu:<ref name="incropera">{{kitap kaynağı |yazarbağı=Frank P. Incropera |soyadı1=Incropera |ad1=Frank P. |soyadı2=DeWitt |ad2=David P. |başlık=Fundamentals of Heat and Mass Transfer |url=https://archive.org/details/fundamentalsheat00incr_617 |url-erişimi=kısıtlı |seri=6th |yer=Hoboken |yayıncı=Wiley |yıl=2007 |isbn=978-0-471-45728-2 }}</ref>{{rp|pp=490,515}}<ref name="Gnielinski1975">{{dergi kaynağı |soyadı=Gnielinski |ad=Volker |başlık=Neue Gleichungen für den Wärme- und den Stoffübergang in turbulent durchströmten Rohren und Kanälen |sayfalar=8-16|yıl=1975 |dergi=Forsch. Ing.-Wes. |cilt=41 |sayı=1|doi=10.1007/BF02559682 |s2cid=124105274 }}</ref>

:<math>\mathrm{Nu}_D = \frac{ \left( f/8 \right) \left( \mathrm{Re}_D - 1000 \right) \mathrm{Pr} } {1 + 12.7(f/8)^{1/2} \left( \mathrm{Pr}^{2/3} - 1 \right)}</math>

Burada f, [[Darcy-Weisbach eşitliği|Darcy sürtünme faktörü]]dür ve [[Moody çizelgesi]]nden veya Petukhov tarafından geliştirilen korelasyondan elde edilebilir:{{r|incropera|p=490}}

:<math>f= \left( 0.79 \ln \left(\mathrm{Re}_D \right)-1.64 \right)^{-2}</math>

Gnielinski Korelasyonu şu durumlar için geçerlidir:{{r|incropera|p=490}}

:<math>0.5 \le \mathrm{Pr} \le 2000</math>
:<math>3000 \le \mathrm{Re}_D \le 5 \times 10^{6}</math>

====Dittus–Boelter denklemi====

W.H. McAdams tarafından tanıtılan Dittus–Boelter denklemi (türbülanslı akış için) Nusselt sayısını hesaplamak için bir [[belirtik fonksiyon]]dur (İng. ''explicit''). Çözülmesi kolaydır ancak akışkan boyunca büyük sıcaklık farkları olduğunda daha az doğrudur. Dittus–Boelter denklemi pürüzsüz borular için uyarlanmıştır, bu nedenle pürüzlü borular (çoğu ticari uygulamada) için dikkatli kullanılmalıdır. Dittus–Boelter denklemi aşağıdaki gibidir:

:<math>\mathrm{Nu}_D = 0.023\, \mathrm{Re}_D^{4/5}\, \mathrm{Pr}^{n}</math>

Burada:
:<math>D</math> dairesel kanalın iç çapıdır
:<math>\mathrm{Pr}</math> [[Prandtl sayısı]]dır
:<math>n = 0.4</math> akışkan ısıtıldığında ve <math>n = 0.3</math> akışkan soğutulduğunda kullanılır.{{r|incropera|p=493}}

Dittus–Boelter denklemi şu durumlar için geçerlidir{{r|incropera|p=514}}
:<math>0.6 \le \mathrm{Pr} \le 160</math>
:<math>\mathrm{Re}_D \gtrsim 10,000</math>
:<math>\frac{L}{D} \gtrsim 10</math>

Dittus–Boelter denklemi, kütlesel akışkan ile ısı transfer yüzeyi arasındaki sıcaklık farklarının minimal olduğu durumlarda iyi bir yaklaşımdır ve denklem karmaşıklığından ve yinelemeli çözümden kaçınır. Ortalama kütlesel akışkan sıcaklığı {{cvt|20|C}} olan suyu, viskozite {{val|10.07e-4|u=Pa.s}} ve ısı transfer yüzey sıcaklığı {{cvt|40|C}} olan bir durumda (viskozite {{val|6.96e-4|u=Pa.s}}, viskozite düzeltme faktörü <math>({\mu} / {\mu_s})</math> olarak 1.45 elde edilebilir. Bu, ısı transfer yüzey sıcaklığı {{cvt|100|C}} olduğunda (viskozite {{val|2.82e-4|u=Pa.s}}) 3.57'ye çıkarak Nusselt sayısı ve ısı transfer katsayısı üzerinde önemli bir fark yaratır.

====Sieder–Tate korelasyonu====

Sieder–Tate korelasyonu türbülanslı akış için bir [[örtük fonksiyon]]dur (İng. ''implicit''), çünkü sistemi doğrusal olmayan bir [[sınır değer problemi]] olarak analiz eder. Sieder–Tate sonucu, kütlesel akışkan ortalama sıcaklığı ile ısı transfer yüzey sıcaklığı arasındaki sıcaklık değişiminden dolayı [[viskozite]]deki (<math>\mu</math> ve <math>\mu_s</math>) değişikliği dikkate aldığı için daha doğru olabilir. Sieder–Tate korelasyonu normalde yinelemeli bir süreçle çözülür, çünkü Nusselt sayısı değiştikçe viskozite faktörü de değişir.<ref>{{web kaynağı |url=http://www.profjrwhite.com/math_methods/pdf_files_hw/sgtm3.pdf |başlık=Temperature Profile in Steam Generator Tube Metal |erişimtarihi=23 Eylül 2009 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20160303224930/http://www.profjrwhite.com/math_methods/pdf_files_hw/sgtm3.pdf |arşivtarihi=3 Mart 2016 |ölüurl=evet }}</ref>

:<math>\mathrm{Nu}_D = 0.027\,\mathrm{Re}_D^{4/5}\, \mathrm{Pr}^{1/3}\left(\frac{\mu}{\mu_s}\right)^{0.14}</math>{{r|incropera|p=493}}

Burada:
:<math>\mu</math> kütlesel akışkan sıcaklığındaki akışkan viskozitesidir
:<math>\mu_s</math> ısı transfer sınır yüzey sıcaklığındaki akışkan viskozitesidir

Sieder–Tate korelasyonu şu durumlar için geçerlidir{{r|incropera|p=493}}

:<math>0.7 \le \mathrm{Pr} \le 16,700</math>
:<math>\mathrm{Re}_D \ge 10,000</math>
:<math>\frac{L}{D} \gtrsim 10</math>

===Tam gelişmiş laminer boru akışında zorlanmış konveksiyon===

Tam gelişmiş iç laminer akışlı uzun borular için Nusselt sayıları sabit bir değere eğilim gösterir.

İç akış için:

:<math>\mathrm{Nu} = \frac{h D_h}{k_f}</math>

Burada:

:''D<sub>h</sub>'' = [[Hidrolik çap]]
:''k<sub>f</sub>'' = akışkanın [[ısı iletkenliği]]
:''h'' = [[konvektif]] [[ısı transfer katsayısı]]dır.

====Dairesel borular için sabit sıcaklık ile konveksiyon====

Incropera & DeWitt'e göre,{{r|incropera|pp=486-487}}

:<math>\mathrm{Nu}_D = 3.66</math>

OEIS dizisi bu değeri şu şekilde verir: <math>\mathrm{Nu}_D = 3.6567934577632923619...</math>.

====Dairesel borular için sabit ısı akısı ile konveksiyon====

Sabit yüzey ısı akısı durumu için,{{r|incropera|pp=486-487}}

:<math>\mathrm{Nu}_D = 4.36</math>

==Ayrıca bakınız==

* [[Sherwood sayısı]] (kütle transferi Nusselt sayısı)
* [[Churchill–Bernstein denklemi]]
* [[Biot sayısı]]
* [[Reynolds sayısı]]
* [[Konveksiyon (ısı transferi)|Konvektif ısı transferi]]
* [[Isı transfer katsayısı]]
* [[Isı iletkenliği]]

==Kaynakça==
{{Kaynakça}}

{{Akışkanlar mekaniğindeki boyutsuz sayılar}}

{{Otorite kontrolü}}

[[Kategori:Akışkanlar mekaniği boyutsuz sayıları]]
[[Kategori:Akışkanlar mekaniği]]