Pergel ve çizgilik çizimleri sayfasının kaynağını görüntüle

[[Dosya:HexagonConstructionAni.gif|küçükresim|sağ|{{Ortala|Pergel ve çizgilik kullanarak altıgen çizimi}}]]
[[Dosya:Pentagon construct.gif|küçükresim|sağ|{{Ortala|Eşkenar beşgen çizimi}}]]
'''Pergel ve çizgilik çizimi''', belli uzunlukta doğrular, belli büyüklükte açılar ve diğer geometrik şekilleri çizmek için sadece ideal bir [[çizgilik]] (işaretsiz cetvel veya cetvel tahtası) ve [[pergel]] kullanılmasıdır.

Kullanılacak cetvelin sonsuz uzunlukta olduğu, üzerinde işaretleri olmadığı ve tek bir kenara sahip olduğu varsayılır, bu araç [[çizgilik]] olarak adlandırılır. Pergelin ise, sayfadan kaldırıldığı zaman kapandığı, yanı uzaklıkları doğrudan taşımak için kullanılamayacağı varsayılır. (Aslında bu önemsiz bir kısıtlamadır, çünkü [[pergel denklik teoremi]] ile bu amaca ulaşılabilir.)

Çizgilik ve pergel kullanılarak çizilebilcek her nokta, sadece pergel kullanılarak da elde edilebilir. [[Öklid geometrisi|Düzlem geometrisi]]ndeki bazı eski problemler bu kısıtlamayı getirirler.

Pergel ve çizgilik problemlerinin en meşhurlarından birkaçı, [[Pierre Wantzel]] tarafından, matematiksel [[Cisim (cebir)|alan teorisi]] kullanarak ispatlanmıştır. İmkânsızlık kanıtlarına rağmen bazı kişiler bu  problemleri çözmek için uğraşmaya devam etmektedir.<ref>{{Dergi kaynağı | başlık = What To Do When the Trisector Comes | yazar = Underwood Dudley | url = http://web.mst.edu/~lmhall/WhatToDoWhenTrisectorComes.pdf | dergi = The Mathematical Intelligencer | cilt = 5 | sayı = 1 | yıl = 1983 | sayfalar =20-25|erişimtarihi= 23 Aralık 2011 |arşivurl= https://web.archive.org/web/20180619190057/http://web.mst.edu/~lmhall/WhatToDoWhenTrisectorComes.pdf |arşivtarihi= 19 Haziran 2018 | ölüurl = hayır }}</ref> Bu problemlerin çoğu, başka geometrik dönüşümlere izin verilmesi hâlinde kolaylıkla çözülebilir: örneğin, [[Delos problemi|Küpü iki katına çıkarma]], geometrik inşaat yöntemleri ile mümkündür, ama sadece çizgilik ve pergelle yapılamaz.

Matematikçi [[Underwood Dudley]], çizgilik ve pergel çizimi için sahte kanıtları ve diğer matematiksel saçmalıkları toplamayı kendine hobi edinmiştir.

== Pergel ve çizgilik araçları ==
[[Dosya:Cyrkiel RB1.jpg|küçükresim|upright=0.5|sağ|{{Ortala|Bir pergel}}]]
Çizgilik ve pergel çizimlerindeki "çizgilik" ve "pergel", gerçek hayattaki çizgilik ve pergellerin bir idealizasyonudur.

*'''Pergel''' istenildiği kadar açılabilir, ama (gerçek pergellerden farklı olarak) üzerinde işaret yoktur. Çizimin daha evvelki adımlarında elde edilmiş genişlikler kadar açılabilir sadece. Çizim yapmak için kullanılmadığında kapanır (yani hafızası yoktur). 
*'''Çizgilik''' sonsuz uzunluktadır, üzerinde işaretler yoktur ve, adi cetvellerden farklı olarak, tek bir kenara sahiptir. Sadece iki nokta arasında bir doğru çizmek için veya mevcut bir çizgiyi uzatmak için kullanılabilir.

Her çizim ''tam'' olmalıdır. "Göz kararı" çizim yapmak, yani çizime bakarak onun doğruluğuna hüküm vermek veya ölçüm yaparak (bir cetveli kenarındaki işaretleri kullanmak gibi) yaklaşık bir sonuç bulmak, gerçek bir çözüm olarak sayılmaz.

Şartlar bu şekilde ifade edilince, çizgilik ve pergel çizimleri bir salon oyunu gibi görünebilir, ciddi bir pratik problemden çok; ama bu kısıtlamaların amacı, çizimin ''tam'' olarak doğru olduğunun ''kanıtlanmasını'' sağlamaktır. Yunan matematikçilerinin ana amaçlarından biri belli uzunluklara karşılık gelen hatasız çizim yöntemleri bulmaktı; örneğin, verilen bir çemberin içine teğet bir beşgenin bir kenarı gibi. Yunanlar üç problem için çizim yöntemi bulamamışlardır:

* '''[[Çemberin kareleştirilmesi|Daireyi kareleştirme]]''': Verilen bir çember ile aynı alana sahip bir kare çizimi.
* '''[[Küpü iki katına çıkarma]]''': Verilen bir küpün iki katı hacme sahip bir küpün kenar uzunluğunun çizimi.
* '''[[Açıyı üçe bölme]]''': Verilen bir açıyı birbirine eşit üç küçük açıya bölme.

2000 yıl boyunca, yukarıda belirtilen kuralların dahilinde bu problemleri çözecek çizimleri bulmak için çeşitli kişiler uğraş verdiler. Her üç problemin de genel olarak imkânsız olduğu artık kanıtlanmıştır. (Bazı değerlere sahip açılar üçe bölünebilir ama her [[açı]] üçe bölünemez.)

== Temel çizimler ==
[[Dosya:Basic-construction-demo vector.svg|küçükresim|upright=2.73|{{Ortala|Temel çizimler}}]]
Tüm pergel ve çizgilik çizimleri, daha evvel çizilmiş olan nokta, çizgi ve çemberler kullanılarak yapılan beş temel çizim yönteminin gerektikçe uygulanmasıyla elde edilir. Bunlar:

* İki nokta kullanarak bir çizgi elde edilmesi.
* Bir noktadan geçen ve başka bir noktayı merkez alan bir çember çizilmesi.
* Mevcut, paralel olmayan, iki doğrunun kesişimi olan bir noktanın bulunması.
* Bir doğru ve bir çemberin kesiştiği bir veya iki kesişim noktasının bulunması (eğer kesişiyorlarsa).
* İki çemberin kesişim noktalarının bulunması (eğer kesişiyorlarsa).

Örneğin, bir çizimin en basit hâli olan iki ayrık noktadan başlanarak, bir doğru veya iki çember çizebiliriz. İki çemberin kesişim yerleri ile iki yeni nokta meydana gelir. Bu iki notadan biri ve başlangıçtaki iki nokta arasında doğrular çizerek, bir eşkenar üçgenin çizimi tamamlanır.

Dolayısıyla, herhangi bir geometrik problemde semboller (nokta ve doğrular) içeren bir başlangıç kümesi, bir [[algoritma]] ve bir sonuç vardır. Bu bakış açısıyla, geometri, aksiyomatik bir [[soyut cebir|cebir]]e denktir, cebirsel elemanlar yerine semboller kullanır. Muhtemelen [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] bunu ilk fark eden kişi olmuştur ve bazı çizimlerin imkânsızlığını kanıtlamak için bu yaklaşımı kullanmıştır. Çok sonraları [[David Hilbert]], [[Hilbert aksiyomları|geometri aksiyomlarının]] tam kümesini bulmuştur.

== Çizim noktaları ve uzunluklar ==
[[Dosya:Trisectsegment.gif|küçükresim|upright=1.82|sağ|{{Ortala|Bir doğru parçasının çizgilik ve pergel kullanarak üç eşit parçaya bölünmesi.}}]]

=== Biçimsel kanıt ===
Bir şeyin imkânsız olduğunu kanıtlamanın çeşitli yolları vardır. Güçlü bir kanıt, olabilirin sınırlarını belirleyip, bu problemleri çözmek için bu sınırı aşmak gerektiğini göstermektir. Çizilebilen şeylerin çoğu [[Thales]]'in [[Kesişme teoremi|kesişim kuramı]] kapsamındadır.

Geometrimiz ile bir cebir arasında bir ilişki kurabiliriz: iki doğrudan oluşan bir [[Kartezyen koordinat sistemi]] içinde noktalar sıralı ikililer ([[vektör]]ler) şeklinde gösterilebilir. Bu vektörler [[karmaşık sayı]]lar olarak da yazılabilir.

Doğru ve çember denklemleri kullanarak, kesişimlerindeki noktaların bir ''F'' alanının [[Kummer teorisi|kuadratik genişlemesi]] olduğu gösterilebilir. Bu [[alan (matematik)|alan]], doğru üzerindeki iki nokta, çemberin merkezi ve çemberin yarıçapından oluşur. Yani <math>x + y{\sqrt{k}}</math> biçimindedirler, burada ''x'', ''y'' ve ''k'' ''F''{{'}}ye aittir.

Çizilebilir noktalar alanı, ''[[karekök]]'' fonksiyonu içinde kapalı olduğu için, rasyonel katsayılı karmaşık sayılar alanının kadratik uzantılarının sonlu bir dizisinden elde edilebilecek tüm noktaları içerir. Yukarıdaki paragraf gereği, çizilebilecek her bir noktanın, bir uzantılar dizisi ile elde edilebileceği gösterilebilir. Bu önermenin doğal bir sonucu, çizilebilir bir nokta için (ve dolayısıyla herhangi uzunlukta bir doğru parçası için) en düşük polinomiyalin derecesinin 2'nin bir üssü olduğu bulunur. Özellikle, herhangi bir çizilebilir nokta, (veya uzunluk) bir [[cebirsel sayı]]dır, ama her cebirsel sayı (örneğin <math>\sqrt[3] 2</math>) çizilebilir değildir (yani, çizilebilir uzunluklar ile cebirsel sayılar arasındaki ilişki [[Birebir fonksiyon|birebir]] değildir)

== Çizilebilir açılar ==
çizilebilir açılar ile, çizilebilir bir halkanın üzerinde çizilebilen noktalar arasında birebir ilişki vardır. Çizilebilen açılar [[Modulo işlemi|modulo]] 2{{pi}} toplaması için (ki bu işlem birim halka üzerinde karmaşık sayılar olarak görünen noktaların çarpımına karşılık gelir) bir [[Abel grubu]] oluşturur. Çizilebilen açılar, [[tanjant]]ı (veya, buna denk olarak, [[sinüs]] ve [[kosinüs]]ü) bir sayı olarak çizilebilen sayılara tam olarak karşılık gelir. Örneğin, düzgün on yedigen çizilebilir, [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] tarafından keşfedildiği üzere:<ref>{{MathWorld | urlname=TrigonometryAnglesPi17 | title=Trigonometry Angles--Pi/17}}</ref><math>\cos{\left(\frac{2\pi}{17}\right)} = -\frac{1}{16} \; + \; \frac{1}{16} \sqrt{17} \;+\; \frac{1}{16} \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} \;+\; \frac{1}{8} \sqrt{ 17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} - 2 \sqrt{34 + 2 \sqrt{17}} }</math>

Çizilebilir açılar [[Grup (matematik)|grubu]], açıların yarısını elde etme işlemi için (ki bu karekök almaya karşılık gelir) kapalı bir [[grup (matematik)|grup]]tur. İki noktadan başlanarak çizilebilen, sonlu mertebeye (''finite order'') sahip açılar, ya ikinin katına sahip olanlar ya da ikinin bir katı ile bazı [[Fermat sayıları]]nın çarpımı olanlardır. Bunlara ilaveten, sonsuz mertebeli, yoğun bir çizilebilir açılar kümesi de mevcuttur.

== Karmaşık aritmetik olarak pergel ve çizgilik çizimleri ==
Öklid düzleminde bir noktalar kümesi verilirse, bunlardan biri '''0''', bir diğeri '''1''' olarak adlandırmak için seçilirse, ayrıca bir de herhangi bir [[doğrultu]] seçilirse, kümedeki diğer noktalar bir [[karmaşık sayılar]] kümesi olarak değerlendirilebilir.

Bir noktalar kümesinin bu şekilde bir karmaşık sayılar kümesi olarak yorumlarsak, sadece pergel ve çizgilik ile çizilebilen noktaların kümesi, orijinal noktaları da kapsayan ve, [[karmaşık eşlenik]] ve [[karekök]] işlemleri için kapalı olan, en küçük [[alan (matematik)|alan]]dır (anlamda muğlaklık olmaması için, [[argüman|karmaşık argümanı]] π'den küçük olan karekök kastedilir). Bu alanın üyeleri, orijinal noktalar için [[toplama]], [[çıkarma]], [[çarpma]], [[bölme]], [[argüman|kompleks argüman]] ve [[karekök]] işlemleri ile ifade edilebilecek bir formüle karşılık gelir; bunların düzlemdeki noktaların yoğun, ama sonlu sayılı bir alt kümesi olduğu görülebilir. Bu altı işlemin her biri bir pergel ve çizgilik işlemine karşılık gelir. Böylesi bir formülden yola çıkarak, her bir aritmetik işleme karşılık gelen çizim işlemini kullanarak, her bir noktayı elde etmek için gereken çizim adımları belirlenebilir. Bazı noktaları elde etmek için bilinen daha kestirme çim yöntemleri, aritmetik işlemlerdeki kestirmelere (kısa yollara) karşılık gelir.

Buna denk olarak (ve herhangi iki noktanın seçilmesine gerek olmadan), herhangi bir doğrultu seçilirse, bir noktalar kümesinde herhangi iki çift nokta arasındaki farklar oranına karşılık gelen karmaşık oranlar, bu noktalar kümesi tarafından belirlenir. Pergel ve çizgilik tarafından bu oranlar kümesi kullanılarak çizilebilen oranların kümesi, orijinal oranları içeren, karmaşık eşlenikler ve karekökler için kapalı olan, en küçük alan ile tıpatıp aynıdır.

Örneğin, bir ''z'' noktası veya oranının (yukarıda belirtilen iki bakış açısı da kullanılabilir) gerçel kısmı, sanal kısmı ve modulusu çizimle elde edilebilir, çünkü bunlar şu şekilde ifade edilebilir:

:<math>\mathrm{Re}(z)=\frac{z+\bar z}{2}\;</math>
:<math>\mathrm{Im}(z)=\frac{z-\bar z}{2i}\;</math>
:<math>\left | z \right | = \sqrt{z \bar z}.\;</math>

Küpün iki katına çıkarılması ve açının üçe bölünmesi için [[Üçüncü dereceden denklemler|kübik denklemlerin]] çözümü olan oranlar gerekir. "Çemberin karesinin bulunması" ise bir [[Aşkın sayı|aşkın]] oran gerektirmektedir. Bunlar, yukarıda tanımlanan alanlar içinde yer almamaktadır, dolayısıyla pergel ve çizgilik ile bunların çizimi için bir çözüm mevcut değildir. (Bir ''φ'' açısının üçte birinin bulunması probleminin istisnası, ''φ''/6{{pi}}'nın bir [[Rasyonel sayılar|rasyonel sayı]] olması ve bu rasyonel sayının paydasının, ikinin bir katı ile bazı Fermat sayılarından birinin çarpımı olmasıdır).

== İmkansız çizimler ==
=== Çemberin karesinin bulunması ===
{{Ana|Çemberin kareleştirilmesi}}
[[Dosya:Cuadratura-circulo-02.png|küçükresim|sağ|{{Ortala|Çemberin karesinin bulunması}}]]
Bu problemlerin en meşhuru olan ''[[Çemberin kareleştirilmesi|Daireyi kareleştirme]]'', verilen bir çember ile aynı alana sahip olan bir karenin çizimidir, sadece pergel ve çizgilik kullanarak.

Çemberin karesinin bulunmasının imkânsızlığı kanıtlanmıştır, çünkü bu problem [[aşkın sayı|aşkın]] bir oran, yani <math>1/{\sqrt{\pi}}</math>, üretilmesine karşılık gelir. Çizgilik ve pergel kullanılarak sadece bazı [[cebirsel sayı|cebirsel]] oranlar
üretilebilir. Bunlar tam sayılardan başlanarak sonlu sayıda toplam, çıkarma, çarpma, bölme ve karekök işlemiyle elde edilenlerdir. Bu yüzden "çemberi karelemek" terimi, "imkansızı yapmak" anlamında kullanılır.

Çizgilik ve pergel kullanma sınırlaması olmazsa, çeşitli geometrik ve cebirsel yöntemlerle problem kolaylıkla çözülebilir, nitekim antik çağlarda birçok kere çözülmüştür.

=== Küpün iki katına çıkarılması ===
{{Ana|Küpü iki katına çıkarma}}
'''Küpün iki katına çıkarılması''': sadece pergel ve çizgilik kullanarak, kenar uzunluğu verilen bir küpün iki katı hacimli başka bir küpün kenarını çizilmesi problemidir. Bu problemin çözümü imkânsızdır, çünkü 2'nin küp kökü, cebirsel olmakla birlikte, tam sayılardan başlanarak toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve karekök alma yoluyla hesaplanamaz. Rasyonel sayılar üzerinden 2'nin küpköküne karşılık gelen minimal [[polinom]] denklem 3. derecedendir. Ancak, pergel ve üzerinde iki işaret olan bir cetvel kullanılarak bu problem çözülebilir.

=== Açının üçe bölünmesi ===
{{Ana|Açının üçe bölünmesi}}
'''Açının üçe bölünmesi''': sadece pergel ve çizgilik kullanarak, verilen herhangi bir açının üçte biri olan bir açı çizilmesi problemidir. Genel hâliyle bu problem imkânsızdır. Örneğin, {{pi}}/3 [[radyan]] (60[[Derece (birim)|°]]) bölünemez ama 2{{pi}}/5 radyan (72° = 360°/5) üçe bölünebilir.

== Düzgün çokgenlerin çizimi ==
{{Ana|Düzgün çokgen çizimi}}
[[Dosya:Straight Square Inscribed in a Circle 240px.gif|küçükresim|sağ|{{Ortala|Bir karenin çizimi.}}]]
[[Dosya:Approximated Heptagon Inscribed in a Circle.gif|küçükresim|sağ|{{Ortala|[[Yedigen]] çizimi}}]]
Bazı [[düzgün çokgen]]ler (örneğin bir düzgün [[beşgen]]) pergel ve çizgilikle kolayca çizilebilir; diğerleri kolayca çizilemez. Bu durumdan şu soru ortaya çıkar: bütün düzgün çokgenler pergel ve çizgilik ile çizilebilir mi?

[[Carl Friedrich Gauss]] 1796'da düzgün bir n-gen'in pergel ve çizgilik ile çizilebilmesi için ''n''{{'}}nin tek sayılı asal çarpanların ayrık [[Fermat sayıları]] gerektiğini gösterdi. Gauss bu şartın ayrıca [[gerek şart]] olduğunu da öne sürdü ama buna bir kanıt göstermedi. Gereklilik 1837'de [[Pierre Wantzel]] tarafından kanıtlandı.<ref>{{Kitap kaynağı|soyadı=Kazarinoff|ad=Nicholas D.|başlık=Ruler and the Round|url=https://archive.org/details/rulerroundclassi0000kaza|yıl=2003|yayıncı=Dover|yer=Mineola, N.Y.|isbn=0-486-42515-0|sayfalar=[https://archive.org/details/rulerroundclassi0000kaza/page/29 29]-30}}</ref>

== Yaklaşık çizimler ==
Pergel ve çizgilikle çizimi çok karmaşık veya imkânsız olan şekiller için yaklaşık çizim yolları mevcuttur. Bu çizimler, amaçlanan çizimin yaklaştırımlarıdır. Bu tür çizimlerin örnekleri arasında, [[pi sayısı|{{pi}} sayısı]]nın yaklaşık çizimi, çemberin yaklaşık karelenmesi, düzgün [[yedigen]]in yaklaşık çizimi ve düzgün dokuzgenin yaklaşık çizimi sayilabilir.

== Sadece çizgilik veya sadece pergelle çizim ==
[[Mohr–Mascheroni teorem]]ine göre, eğer bir şey çizgilik ve pergelle çizilebilirse, sadece pergelle de çizilebilir, eğer verilen ve elde edilecek bilgiler ayrık noktalardan oluşuyorsa (yani çizgi ve çember değil). Sadece çizgilik kullanarak karekök almak mümkün değildir, bu yüzden çizgilikle çizilemeyen bazı şeyler pergelle çizilebilir. Ama ([[Poncelet–Steiner teoremi]]ne göre) pergel ve çizgilik ile çizilebilen her şey, eğer bir çember ve merkezi verilirse, sadece bir çizgilik kullanılarak da çizilebilir.

== Geniş kapsamlı çizimler ==
=== İşaretli cetveller ===
[[Dosya:Neusis-trisection.svg|sağ|küçükresim|{{Ortala|Neusis yöntemiyle bir açının üçe bölünmesi. Sadece cetvelin uzunluğu kullanılarak, <math>\theta > 135^{{\circ}}</math> bir açı için <math>\phi = \frac{\theta}{3}</math> bulunur. Yayın yarıçapı cetvelin uzunluğuna eşittir. <math>\theta < 135^{{\circ}}</math> olan açılar için de aynı çizim uygulanır ama <math>P</math>, <math>[AB]</math>'nin dışında yer alır.}}]]
[[Arşimet]] ve [[Pergeli Apollonius]] çizgilik (işaretsiz cetvel) yerine, üzeri işaretli cetvel kullanarak yapılabilecek çizimleri gösterdiler. Bir doğru parçası, iki doğru (veya çember) ve bir noktadan başlayarak, bu yolla, verilen noktadan geçen ve her iki doğruyu kesen ve kesim noktaları arasındaki uzaklığın verilen doğru parçasına eşit olan bir dogru çizmek mümkündür. Yunanlar buna [[neusis]] ("eğilim", "temayül", "sınırında olmak") adını vermiştir, çünkü çizilen doğru, noktaya ''temayül'' eder. İşaretli cetvelli çizimlerde, bulunacak bir uzaklığın verilen bir uzaklığa oranı eğer üçüncü veya dördüncü dereceden bir denklemin çözümü ise, bu uzaklık çizim yoluyla bulunabilir. Dolayısıyla, eğer işaretli cetvel ve neusis'e izin verilirse, açını üçe bölünmesi (bakınız Arşimet'in üçe bölme yöntemi) ve küpün iki katına çıkarılması mümkündür. ancak çemberin karelenmesi hâlâ imkânsızdır. Bazı düzgün çokgenler, örneğin yedigen, bu yöntemle çizilebilir ve [[John Horton Conway|John H. Conway]] bunların bazılarının çizimini nasıl yapıldığını göstermiştir<ref>Conway, John H. and Richard Guy: ''The Book of Numbers''</ref> ancak 11-gen ve sonsuz sayıda başka düzgün çokgen hâlâ imkânsızdır.

Eğer bir açıyı üçe bölücü sanal bir aracın olduğu varsayılır ve kullanımına izin verilirse, çizilebilecek tüm çokgenlerin bir listesi verilmiştir (bunların arasında yedigen, 13-gen ve 19-gen vardır).<ref>[[Andrew Gleason|Gleason, Andrew]]:
"Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon",
''Amer. Math. Monthly'' '''95''' (1988), no. 3, 185-194.</ref>  Bir açı-üçe-bölücüsü, çizgilik ve pergel kullanarak çizilebilecek  '''p'''-genlerin sayısının sonsuz olup olmadığı, p'nin [[asal sayı]] olması hâlinde, henüz cevabı bilinmeyen bir sorudur.

=== Origami ===
{{Ana|Huzita–Hatori aksiyomları}}

[[Kağıt katlamanın matematiği|Origaminin matematiksel kuramı]], pergel ve çizgilik çizimlerinden  daha güçlüdür. Huzita–Hatori aksiyomlarını tatmin eden katlamalar ile bulunabilen noktaların kümesi ile, pergel ve işaretli cetvel kullanılarak bulunabilecek noktalar kümesi aynıdır. Dolayısıyla, [[origami]] ile üçüncü ve dördüncü dereceden denklemlerin çözümünü bulmak ve klasik problemlerden ikisini çözmek mümkündür.<ref>{{Kitap kaynağı|soyadı=Row|ad=T. Sundara|başlık=Geometric Exercises in Paper Folding|url=https://archive.org/details/geometricexercis0000sund|yıl=1966|yayıncı=Dover|yer=New York}}</ref>

=== Uzantı alanı ===
İşaretli cetvele dayanan ''neusis'' yöntemi veya origami yöntemi, çizilebilir sayılar alanını genişletir. Bu genişlemiş alanda, karmaşık sayıların sadece karekökleri değil, küpkökleri de bulunur. Yukarıda bahsedilen, çizilebilir noktalara karşılık gelen aritmetik formüllerin bu genişlemiş alanda karşılıkları vardır, böylece formüllerde küpkökler de yer alır. Bu genişlemiş alanda çizilebilen yeni noktaların oluşturduğu alan genişlemesindeki noktaların derecesi, ikinin bir kuvveti ile üçün bir kuvvetinin çarpımıdır.

== İkili sayı sistemiyle ilişki ==
[[Simon Plouffe]], çizgilik ve pergel kullanarak bazı sayıların [[ikili sayı sistemi]]ndeki bitlerinin hesaplanmasının mümkün olduğunu göstermiştir.<ref name="Plouffe1998">{{Dergi kaynağı|başlık=The Computation of Certain Numbers Using a Ruler and Compass|yazar=Simon Plouffe|dergi=Journal of Integer Sequences|yıl=1998|issn=1530-7638|cilt=1|url=http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/compass.html|erişimtarihi=23 Aralık 2011|arşivurl=https://web.archive.org/web/20120229145104/http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/compass.html|arşivtarihi=29 Şubat 2012|ölüurl=hayır}}</ref>

== Sanat ==
[[Dosya:Page 42.GIF|frame|none|{{Ortala|'D' harfi için tasarım, Felice Feliciano, Alphabetum Romanum [Codex Vaticanus 6852].}}]]
[[Felice Feliciano]] pergel ve çizgilik ile harf tasarımı yapan ilk kişi olmuştur. 1463'te, Roma yazıtlarındaki alfabeyi geomterik olarak yaratılabileceğini göstermiştir. Latin alfabesindeki aş harflerin bir kare ve çember kullanılarak çizilebildiğini gösteren yapıtı Vatikan Kütüphanesinde bulunmaktadır. Pergel ve çizgiliği tipografiye uygulayan diğer Rönesans sanatçıları arasında [[Francesco Torniello]] ve [[Luca Pacioli]] sayılabilir.

[[Luca Pacioli]] sanatta altın oranın kullanımı üzerine ''De Divina Proportione (İlahi Oran)'' adlı eserini yayımlamıştır (1509); altın oran pergel ve çizgilik ile elde edilebilen bir oranıdır.

[[Albrecht Dürer]] İtalya'da [[perspektif]] konusunu çalıştıktan sonra "Pergel ve Çizgilik ile Çizim Hakkında İnceleme" (''Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt'') adlı eseri yazmıştır. "Insan orantıları Hakkında Dört Kitap" (1532-1534) adlı eserinde geometrinin insan bedeninini çizimine uygulamıştır.<ref>{{Web kaynağı | başlık = Albrecht Dürer | url = http://www.uh.edu/engines/epi138.htm | yazar = John H. Lienhard | erişimtarihi = 1 Ocak 2012 | arşivurl = https://web.archive.org/web/20151109231605/http://www.uh.edu/engines/epi138.htm | arşivtarihi = 9 Kasım 2015 | ölüurl = hayır }}</ref> ''Adem ve Havva'' adlı tablosundaki insan figürlerinin oranlarının estetik mükemelliğini sağlamak için pergel ve çizgilik kullandığını belirtmiştir.<ref>{{Kitap kaynağı| başlık=The Essential Dürer |
yazar= Albrecht Dürer, Larry Silver, Jeffrey Chipps Smith |
yayımcı= University of Pennsylvania Press| yıl= 2010 | isbn= 9780812241877 | url= http://books.google.com/books?id=zY3kCPEJ22IC&pg=PA28 | sayfa=28 }}</ref>

== Mimaride==
[[Dosya:Architectes.medievaux.png|küçükresim|Pergel ve çizgilik kullanarak yapılan hassas çizimler, mimari projelerin temelini oluşturur ve tasarım sürecinde büyük önem taşır.]]
[[Platon|Eflatun]], diğer sanatlar arasında inşaat zanaatının yerinin ayrı olduğunu belirtmiştir, çünkü kullanılan araçların (pergel, düzkenar, gönye, çekül ve ip-ve-kazık) ölçümlerde bilimsel bir doğruluğa olanak vermektedir.<ref>{{Kitap kaynağı| başlık=The Art of Building in the Classical World: Vision, Craftsmanship, and Linear Perspective in Greek and Roman Architecture |yazar= John R. Senseney |yayımcı= Cambridge University Press | yıl= 2011 | isbn= 9781107002357| url= http://books.google.com/books?id=FcqkVF_QCoQC&pg=PA59 | sayfa=112 }}</ref>

Roma mimarisinde bazı yapılarını planlarının pergel ve çizgilik olmadan çizilememiş olduğu barizdir.<ref>{{Kitap kaynağı | başlık= Principles of Roman Architecture | yazar= Mark Wilson Jones | yayımcı= Yale University Press | yıl= 2003 | isbn= 9780300102024 | url= http://books.google.com/books?id=lq8Pz4Ga7OwC&pg=PA94 | sayfa= 94 |erişimtarihi= 2 Ocak 2012 |arşivurl= https://web.archive.org/web/20131231215054/http://books.google.com/books?id=lq8Pz4Ga7OwC |arşivtarihi= 31 Aralık 2013 | ölüurl=hayır}}</ref> Günümüze yazılı eseri kalmış ilk Romalı mimar, MÖ 1. yüzyılda yaşayan, ''De Architectura''{{'}}nın yazarı [[Vitruvius]]'dır. Vitruvius, bu eserinin birinci cildinde, pergel ve düz çizgilerin doğru kullanımı sayısinde boş bir sahanın toprağının üzerine şekillerin çizilebildiğini belirtmiştir.<ref>{{Kitap kaynağı| başlık= Vitruvius: writing the body of architecture |yazar= Indra Kagis McEwen |yayımcı= MIT Press | yıl= 2004 | isbn= 9780262633062 | url = http://books.google.com/books?id=py5-XdtZQK4C&pg=PA181 | sayfa=181}}</ref> Pergel ve çizgilik [[Orta Çağ]] mimarları tarafından da kullanılırdı. 13. yüzyıl Fransız mimarı [[Villard de Honnecourt]]'ın pergel ve çizgilik kullandığı bilinmektedir.<ref>{{Kitap kaynağı| başlık=The portfolio of Villard de Honnecourt (Paris, Bibliothèque nationale de France, MS Fr 19093): a new critical edition and color facsimile |yazar= Carl F. Barnes |yayımcı= Ashgate Publishing, Ltd.| yıl= 2009 | isbn= 9780754651024 | url= http://books.google.com/books?id=SJ0YkdmqRMcC&pg=PA20 | sayfa=20 }}</ref>

Günümüzde [[CAD|bilgisayar destekli tasarım]] programlarının yaygınlaşmadan evvel, teknik çizim için pergel ve çizgilik tekniklerinin temel bir yeri vardı.

== Matematik eğitimi ==
Okullarda geometri kavramlarının pergel ve çizgilik çizimleri ile öğretilmesi gelenekseldir.

== Kaynakça ==
{{Kaynakça}}

== Ayrıca bakınız ==
*[[İnteraktif geometri yazılımı]] kullanıcılara pergel ve çizgilik inşaatları yapmalarını sağlar.
*[[İnteraktif geometri yazılımları listesi]], çoğu pergel ve çizgilik çizimleri gösterir

== Dış bağlantılar ==
*[https://web.archive.org/web/20070625162103/http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=268&bodyId=163 Van Schooten's Ruler Constructions] at [http://mathdl.maa.org/convergence/1/ Convergence]{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20070625162103/http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=268&bodyId=163 |tarih=25 Haziran 2007 }}
*[https://web.archive.org/web/20031206134736/http://wims.unice.fr/%7Ewims/en_tool%7Egeometry%7Erulecomp.en.phtml Çevrimiçi pergel ve çizgilik çizim aracı]
*[https://web.archive.org/web/20160501165951/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Squaring_the_circle.html Çemberi karelemek]
*[https://web.archive.org/web/20020810213910/http://www.geom.umn.edu/docs/forum/square_circle/ Çemberi karelemek imkansızlılğı]
*[https://web.archive.org/web/20041016073455/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Doubling_the_cube.html Küpü iki katına çıkarmak]
*[https://web.archive.org/web/20030212051111/http://www.geom.umn.edu/docs/forum/angtri/ Açıyı üçe bölmek]
*[https://web.archive.org/web/20070625162103/http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=1207&bodyId=1351 Tarihi geometrik çizimlerin araştırması]{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20070625162103/http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=1207&bodyId=1351 |tarih=25 Haziran 2007 }}}nt&sa=viewDocument&nodeId=1056&bodyId=1245 Rönesans artistleri tarafından düzgün poligonların çizimi] ([http://mathdl.maa.org/convergence/1/ Convergence] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20060212072618/http://mathdl.maa.org/convergence/1/ |tarih=12 Şubat 2006 }}{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20070625162103/http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=1207&bodyId=1351 |tarih=25 Haziran 2007 }}{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20070625162103/http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=1207&bodyId=1351 |tarih=25 Haziran 2007 }})
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Hippocrates.shtml Hippokrat tarafından açının üçe bölünmesi]{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20080514115344/http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Hippocrates.shtml |tarih=14 Mayıs 2008 }}
* {{MathWorld | urlname=AngleTrisection | title=Açının üçe bölünmesi}}
*[http://www.mathopenref.com/tocs/constructionstoc.html pergel ve çizgilik ile çeşitli çizimler]{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20100621013225/http://www.mathopenref.com/tocs/constructionstoc.html |tarih=21 Haziran 2010 }} adım adım animasyonlu talimatlarla

{{Yunan matematiği}}

{{Otorite kontrolü}}

[[Kategori:Öklid geometrisi|*]]
[[Kategori:Pergel ve çizgilik çizimleri]]
[[Kategori:Geometri tarihi]]