Pisagor teoremi sayfasının kaynağını görüntüle

{{Matematiksel ifade bilgi kutusu
| name = Pisagor teoremi
| image = Pythagorean.svg
| caption =
| type = [[Teorem]]
| field = [[Öklid geometrisi]]
| statement = Dik kenarlardaki (''a'' ve ''b'') iki karenin alanlarının toplamı, hipotenüs (''c'') üzerindeki karenin alanına eşittir.
| symbolic statement = <math>a^2 + b^2 = c^2</math>
| generalizations = {{Yalın liste|
* [[Kosinüs teoremi]]
* [[Uzay geometri]]
* [[Öklid dışı geometri]]
* [[Diferansiyel geometri]]
}}
| consequences = {{Yalın liste|
* [[Pisagor üçlüsü]]
* [[#Çarpımsal ters Pisagor teoremi|Çarpımsal ters Pisagor teoremi]]
* [[Karmaşık sayı]]
* [[Öklid uzaklığı]]
* [[Pisagor trigonometrik özdeşliği]]
}}
}}
{{geometri}}
'''Pisagor teoremi''' ({{dil|el|Πυθαγόρειο θεώρημα}}) veya '''Pisagor bağıntısı''', [[Öklid geometrisi]]nde üçgenin kenarları arasındaki temel ilişkiyi kuran ilk teoremlerden biridir. Teoreme gerçek hayattan örnek olarak [[telli çalgılar]]ı gösterilebilir; 'telin uzunluğu arttıkça [[titreşim]] artar' prensibine dayanır. '''Pisagor'un denklemi''' olarak da isimlendirilen bu teorem, ''a, b'' ve ''c'' kenarlarının arasındaki ilişkiyi şu şekilde açıklar:<ref name="Sally0">{{kitap kaynağı |başlık=Roots to research: a vertical development of mathematical problems |yazar1=Judith D. Sally |yazar2=Paul Sally |sayfa=63 |kısım=Chapter 3: Pythagorean triples |url=https://books.google.com/books?id=nHxBw-WlECUC&pg=PA63 |isbn=0-8218-4403-2 |yıl=2007 |yayıncı=American Mathematical Society Bookstore |erişimtarihi=16 Mayıs 2020 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20200819153108/https://books.google.com/books?id=nHxBw-WlECUC&pg=PA63 |arşivtarihi=19 Ağustos 2020 |ölüurl=hayır}}</ref>

:<math>a^2 + b^2 = c^2,</math>

burada ''c'' hipotenüsün uzunluğunu, ''a'' ve ''b'' üçgenin diğer iki tarafının uzunluklarını temsil eder. Tarihî anlamda çok tartışılan teorem, adını [[eski Yunan]] filozof ve matematikçi [[Pythagoras]]'dan <small>‪(Πυθαγόρας, MÖ 570 – MÖ 495)</small> almıştır.

Bu teorem, birçok matematiksel teoremin ispatlanmasını sağlamıştır. Binlerce yıl öncesine dayanan geometrik ispatlar ve cebirsel ispatlar da dahil olmak üzere bu, çok çeşitlidir. Bu teorem, yüksek boyutlu uzaylardan, Öklid olmayan uzaylara, doğru üçgen olmayan nesnelere ve aslında hiç üçgen olmayan nesnelere, n boyutlu katılara çeşitli şekillerle entegre edilip genelleştirilebilir. Pisagor teoremi, matematiksel soyutlamanın, mistik ya da entelektüel gücün sembolü olarak matematiğin ilgisini çekmiştir; [[edebiyat]], [[sinema]], [[müzik]]al, [[şarkı]] ve [[çizgi film]]lerde de popüler olmuştur.

==Yeniden düzenleme ispatı==
[[Dosya:Pythagoras-proof-anim.svg|küçükresim|Yeniden düzenleme ispatı (animasyonu görüntülemek için tıklayın)]]

Şekilde gösterilen iki büyük karenin her biri dört özdeş üçgen içerir ve iki büyük kare arasındaki tek fark, üçgenlerin farklı şekilde konumlandırılmasıdır. Bu nedenle, iki büyük karenin her birinin içindeki beyaz boşluk eşit alana sahip olmalıdır. Beyaz boşluğun alanını eşitlemek Pisagor teoremini verir, [[Quod erat demonstrandum|Q.E.D.]]<ref>Benson, Donald. ''[https://books.google.com/books?id=8_vbuzxrpfIC&pg=PA172 The Moment of Proof : Mathematical Epiphanies] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20200818210428/https://books.google.com/books?id=8_vbuzxrpfIC&pg=PA172 |tarih=18 Ağustos 2020 }}'', pp. 172–173 (Oxford University Press, 1999).</ref>

Heath, [[Öklid'in Elementler'i]]'ndeki ''Önerme I.47'' üzerine yaptığı yorumda bu kanıtı verir ve Bretschneider ve Hankel'in, Pisagor'un bu ispatı biliyor olabileceğine dair önerilerinden bahseder. Heath, Pisagor teoreminin ispatı için farklı bir öneriyi destekliyordu, ancak tartışmasının başlangıcından itibaren şunu kabul ediyor: "Pisagor'dan sonraki ilk beş yüzyıla ait olan [[Yunan edebiyatı]], bu veya buna benzer herhangi büyük bir keşfi belirten hiçbir ifade içermiyor."<ref>{{harvtxt|Euclid|1956}}, pp. 351–352</ref> Son araştırmalar Pisagor'un, matematiğin babası olma rolünde yüksek [[olasılık]] gösterdi ancak bu konudaki tartışmalar devam ediyor.<ref>{{Ansiklopedi kaynağı | soyadı=Huffman | ad=Carl | başlık=Pythagoras | ansiklopedi=The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2018 Edition) | editör-soyadı=Zalta | editör-ad=Edward N. | editör-bağ=Edward N. Zalta | url=https://plato.stanford.edu/archives/win2018/entries/pythagoras/ |erişimtarihi=25 Ağustos 2020 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20210308025807/https://plato.stanford.edu/archives/win2018/entries/pythagoras/ |arşivtarihi=8 Mart 2021 | ölüurl=hayır }}, "It should now be clear that decisions about sources are crucial in addressing the question of whether Pythagoras was a mathematician and scientist. The view of Pythagoras' cosmos sketched in the first five paragraphs of this section, according to which he was neither a mathematician nor a scientist, remains the consensus."</ref>

==Teoremin diğer biçimleri==
Eğer ''c'' [[hipotenüs]] uzunluğunu, ''a'' ve ''b'' diğer iki tarafın uzunluğunu gösteriyorsa Pisagor teoremi, cebirsel olarak şöyle ifade edilir:
:<math>a^2 + b^2 = c^2 .</math>
Hem ''a'' hem de ''b''{{'}}nin uzunlukları biliniyorsa, ''c'' şu şekilde hesaplanır:
:<math> c = \sqrt{a^2 + b^2}. </math>
Hipotenüs ''c''{{'}}nin ve en az bir tarafın (''a'' veya ''b'') uzunluğu biliniyorsa, diğer tarafın uzunluğu şu şekilde hesaplanır:
:<math>a = \sqrt{c^2 - b^2} </math>
veya
:<math>b = \sqrt{c^2 - a^2}. </math>
Pisagor denklemi, dik üçgenin kenarlarını basit bir şekilde ilişkilendirir. Böylece herhangi bir iki tarafın uzunluğu biliniyorsa üçüncü tarafın uzunluğu bulunabilir. Teoremin başka bir sonucu, herhangi bir dik üçgende hipotenüsün diğer taraflardan herhangi birinden daha büyük, ancak toplamlarından daha az olmasıdır.

Bu teoremin genelleştirilmesi, diğer iki tarafın uzunlukları ve aralarındaki [[açı]] göz önüne alındığında, herhangi bir üçgenin herhangi bir tarafının uzunluğunun hesaplanmasını sağlayan kosinüs yasasıdır. Diğer taraflar arasındaki açı dikaçı ise, kosinüs yasası Pisagor denklemine indirgenir. Matematikte Pisagor teoremi, [[Öklid geometrisi]]nde bir dik üçgenin 3 kenarı için bir bağıntıdır. Bilinen en eski matematiksel [[teorem]]lerden biridir. Teorem sonradan MÖ 6. yüzyılda [[Yunanlar|Yunan]] filozof ve matematikçi [[Pisagor]]'a atfen isimlendirilmiş ise de, [[Hindu]], [[Yunan]], [[Çinliler|Çinli]] ve [[Babil]]li matematikçiler teoremin unsurlarını, o yaşamadan önce bilmekteydiler. Pisagor teoreminin bilinen ilk ispatı [[Elementler Öklid|Öklid'in Elementler]] eserinde bulunabilir.

==Teoremin diğer ispatları==
[[Dosya:Pythagoras-2a-tr.gif|küçükresim|sağ|Pisagor teoreminin animasyonlu geometrik kanıtı]]
Bu teoremin, diğer birçok teoremden daha fazla ispatı olabilir (ikinci dereceden karşılıklılık yasası, bu ayrım için başka bir rakiptir); sadece ''The Pythagorean Proposition'' kitabı 370 ispat içeriyor.<ref>{{Harv|Loomis|1968}}</ref>

===Üçgende benzerliği kullanarak ispat===
{{Ayrıca bakınız|Benzerlik (geometri)|label 1=Benzerlik}}
[[Dosya:Pythagoras similar triangles simplified.svg|upright=1.14|küçükresim|Benzer üçgenleri kullanarak ispat]]

Bu [[Matematiksel ispat|ispat]], benzer iki [[üçgen]]in kenar oranlarına, yani benzer üçgenlere karşılık gelen herhangi iki [[Kenar (geometri)|kenar]]ın birbirine oranına, üçgenlerin boyutuna bakılmaksızın aynı olmasına dayanmaktadır.

''ABC'', şekilde gösterildiği gibi ''C''{{'}}ye uzanan dik açılı bir [[dik üçgen]]i temsil etsin. [[Yükseklik (üçgen)|Yüksekliği]], ''C'' noktasından olsun ve ''H'' ile, ''AB'' doğrusu üzerinde kesişsin. ''H'', hipotenüs ''c''{{'}}nin uzunluğunu ''d'' ve ''e''{{'}}ye bölsün. Yeni ''ACH'' üçgeni, ''ABC'' üçgeni ile benzer olsun, çünkü her ikisi de bir dik açıya sahip (yükseklik tanımına göre) ve açıyı ''A''{{'}}da paylaşsınlar (bu, üçüncü açı ''θ''{{'}}nın her iki üçgende de aynı olacağı anlamına gelir). Üçgenlerin benzerliğinin ispatı, üçgen varsayımını gerektirir: "Bir üçgendeki açıların toplamı iki dik açıya eşit ve [[paralel]] postülata eşdeğerdir" varsayımla eşdeğerdir. Üçgenlerin benzerliği, karşılık gelen tarafların oranlarının eşitliğine yol açar:
:<math> \frac{BC}{AB}=\frac{BH}{BC} \text{ ve } \frac{AC}{AB}=\frac{AH}{AC}.</math>
İlk sonuç ''θ'' açısının kosinüslerine eşittir, ikinci sonuç ise sinüslerine eşittir.
:<math>BC^2 = AB \times BH \text{ ve } AC^2=AB \times AH. </math>
Bu iki eşitliğin toplanması,
:<math>BC^2+AC^2=AB\times BH+AB\times AH=AB\times(AH+BH)=AB^2,</math>
birkaç basitleştirmeden sonra, Pisagor teoremini şöyle ifade eder:
:<math>BC^2+AC^2=AB^2 \ .</math>

==Sayısal örnekler==

En yaygın olarak karşılaşılan örneklerden biri "3-4-5" üçgenidir. <math>(3^2+4^2=5^2)\!\,</math>

Bu, komşu kenarları sırasıyla 3 birim, 4 birim ve karşı kenarı 5 birim olan bir dik üçgeni temsil eder.

Diğer örnekleri ise:
* 5-12-13 
* 8-15-17 
* 7-24-25
* 9-40-41 
* 11-60-61
* 12-35-37
* 20-21-29
* ...

==Ayrıca bakınız==
{{div sütunu|colwidth=20em}}
* [[İngiliz bayrağı teoremi]]
* [[Fermat'nın son teoremi]]
* [[Ters Pisagor teoremi]]
* [[Kepler üçgeni]]
* [[Doğrusal cebir]]
* [[Üçgen konuları listesi]]
* [[Lp uzayı|L<sup>''p''</sup> uzayı]]
* [[Paralelkenar yasası]]
* [[Batlamyus teoremi]]
* [[Thales teoremi (çember)|Thales teoremi]]
{{div sütunu-son}}

==Notlar==
{{Kaynakça}}

{{Üçgen}}
{{Yunan matematiği}}

{{Otorite kontrolü}}

[[Kategori:Pisagor|Teorem]]
[[Kategori:Öklid geometrisi teoremleri]]
[[Kategori:Yunan icatları]]
[[Kategori:Kanıt içeren maddeler]]
[[Kategori:Geometri tarihi]]