Rasyonel sayılar sayfasının kaynağını görüntüle

[[Dosya:U%2B211A.svg|sağ|küçükresim|upright=0.55|Rasyonel sayılar kümesini temsil eden simge]]
[[Dosya:Number-systems_(NZQRC).svg|küçükresim|Rasyonel sayılar kümesi, {{tmath|\Q}}, reel sayılar kümesi, {{tmath|\R}}, içerisinde konumlanmaktadır ki bu reel sayılar kümesi de karmaşık sayılar kümesi, {{tmath|\C}}, tarafından kapsanmaktadır. Rasyonel sayılar kümesi, aynı zamanda, tam sayılar kümesi, {{tmath|\Z}}, içermekte olup, bu tam sayılar kümesi de doğal sayılar kümesi, {{tmath|\N}}, tarafından kapsanmaktadır.]]

'''Rasyonel sayılar''', iki [[tam sayı]] arasındaki oranı temsil eden, bir [[Kesir|pay]] {{mvar|p}} ve sıfırdan farklı bir [[Kesir|payda]] {{mvar|q}} olmak üzere, bir bölme işlemi veya [[kesir]] formunda ifade edilebilen [[sayı]]ları tanımlar.{{r|Rosen_2007}} Örneğin, {{tmath|\tfrac{3}{7} }} rasyonel bir sayı olarak kabul edilir, bu kapsamda her tam sayı da (mesela, {{nobr|<math>-5 = \tfrac{-5}{1}</math>}} gibi) rasyonel sayılar kategorisindedir. Rasyonel sayılar [[küme]]si, çoğunlukla [[vurgu|kalın harf]] biçimindeki '''Q''' veya [[karatahta vurgusu]] kullanılarak <math>\mathbb{Q}</math> şeklinde ifade edilir.{{efn|Bu kavram, ilk kez [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]] tarafından kaleme alınan ''Algèbre'' isimli çalışmada ele alınmıştır..}}

Rasyonel sayı, [[reel sayılar]] kümesine ait bir sayıdır. Bu sayılar, ondalık açılımlarının sonlu sayıda [[rakam]] içermesiyle karakterize edilir ve bu açılım ya bir noktadan sonra sonlanır (örneğin: {{math|1=3/4 = 0.75}}) ya da belirli bir [[dizi]]nin rakamlarının sürekli olarak tekrar edilmesiyle devam eder (örneğin: {{math|1=9/44 = 0.20454545...}}).{{r|Britannica_2020}} Bu özellik, yalnızca [[Onlu sayı sistemi|on tabanlı]] sistemde geçerli olmayıp, [[İkili sayı sistemi|ikili]], [[On altılı sayı sistemi|on altılı]] gibi diğer tüm tam sayı [[Taban (aritmetik)|taban]] sistemlerinde de geçerlidir.

Rasyonel olmayan bir [[reel sayı]], [[İrrasyonel sayılar|irrasyonel]] olarak tanımlanır.{{r|:0}} Bu kapsamda irrasyonel sayılara örnek olarak [[Karekök 2]] ({{tmath|\sqrt 2}}), [[Pi sayısı|π]], [[e sayısı|e]] ve [[altın oran]] ({{mvar|φ}}) gösterilebilir. Rasyonel sayılar kümesinin [[sayılabilir küme|sayılabilir]] bir yapıda olması ve reel sayılar kümesinin ise [[sayılamaz küme|sayılamaz]] bir yapıya sahip olması sebebiyle, reel sayıların büyük çoğunluğu irrasyoneldir.{{r|Rosen}}

Rasyonel sayılar, belirli tam sayı çiftleri olan {{math|(''p, q'')}} için, {{math|''q'' ≠ 0}} koşulu altında, [[eşdeğerlik sınıfı]] olarak formel bir şekilde ifade edilebilir. Bu çerçevede, [[eşdeğerlik ilişkisi]] şu şekilde tanımlanır:
: <math>( p_1, q_1) \sim ( p_2, q_2) \iff p_1 q_2 = p_2 q_1.</math>
Bu bağlamda, {{tmath|\tfrac p q}} kesri, belirtilen (''p, q'') çiftinin eşdeğerlik sınıfını temsil eder.{{r|:1}}

Rasyonel sayılar [[tam sayılar]]ın bir genişlemesidir. <math>\mathbb{Q}</math> kümesi genelde şöyle tanımlanır:

<center ><math>\mathbb Q = \{ \frac{a}{b} | a,b \in \mathbb Z \land b \neq 0 \} </math><br />(a ve b tam sayı ve b sıfır olmamak üzere a/b şeklindeki sayılara rasyonel sayı denir) </center>

<math>\frac{2}{3}</math> ve <math>\frac{4}{6}</math> veya <math>\frac{6}{9}</math> eşdeğer rasyonel sayılardır. Dolayısıyla her rasyonel sayı sonsuz şekilde ifade edilebilir. Rasyonel [[sayı]]ların en basit biçimi <math>a\!</math> ve <math>b\!</math> tam sayılarının [[ortak bölen|ortak bölen']]inin olmadığı <math>a/b\!</math> ifadesidir.{{r|Robinson_1996}}

Her tam sayı rasyonel sayıdır. Çünkü <math>-3=\frac{-3}{1}</math> veya <math>0=\frac{0}{1}</math> veya <math>43=\frac{43}{1}</math> şeklinde yani rasyonel sayı tanımına uygun biçimde yazılabilirler. Rasyonel sayılar kümesi <math>\mathbb{Q}</math>, tam sayılar kümesi <math>\mathbb{Z}</math>'yi kapsar. Yani <math>\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}</math>.

Daha ince bir tanımı ise tam sayılar üzerinden tanımlanacak bir [[denklik bağıntısı]]yla yapılabilir. Böylece her denklik sınıfı bir rasyonel sayı olarak anılır. <math>\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}</math> kümesinden seçilmiş keyfi ''(a,b)'' ve ''(c,d)'' [[öge]]leri için "~" [[bağıntı]]sı <math>(a,b) \sim (c,d) \Leftrightarrow ad=bc, \quad b,d \not= 0</math> olarak tanımlansın. Bunun bir denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla kanıtlanabilir. Bu durumda, denklik sınıfları <math>\overline{(a,b)} = \{(a,b) | (a,b) \sim (c,d) \}</math> olurlar. Rasyonel sayı ise basitçe <math>\frac{a}{b} = \overline{(a,b)}</math> şeklinde tanımlanır. Tanımda paydanın sıfır olmama şartı <math>\frac{a}{0}</math> ifadesinin tanımlanmamış olmasındandır. Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.{{r|Lass_2009}}

Sıfırdan büyük olan rasyonel sayılara ''pozitif rasyonel sayılar'', sıfırdan küçük rasyonel sayılar da ''negatif rasyonel sayılar'' denir. Pozitif rasyonel sayılar kümesi <math>\mathbb Q^{+}</math>ile, negatif rasyonel sayılar kümesi <math>\mathbb Q^{-}</math>ile gösterilir.

[[Dosya:Cake quarters.svg|küçükresim|sağ|upright=1.23| Dörde bölünüp, dörtte biri kesilip alınmış ve geri kalan dörtte üçü gösterilen bir yuvarlak pasta]]

Yandaki şekilde, bir yuvarlak pasta 4 eş parçaya bölünmüş ve bu 4 eş parçalardan her birisi <math>\frac{1}{4}</math> olarak görülmektedir. Ancak bir parça alınmış olduğundan kalan eksikdir. Geriye kalan, dört eşit parçaya bölünmüş bütünün üç tane parçası (yani 3'te 4 oranı) veya (kesiri)dir. Bu <math>\frac{3}{4}</math> ifadesi şeklinde gösterilir. Burada ifadede kesir çizgisinin üstündeki değere (yani 3'e) pay, kesir çizgisinin altındaki değere (yani 4'e) payda denir. Bu kesir, “üç bölü dört” ya da “dörtte üç” diye okunur.

Rasyonel sayılar, [[toplama]] ve [[çarpma]] işlemleri ile birleştirildiğinde, tam sayıları barındıran ve aynı zamanda tam sayılar içeren herhangi bir matematiksel [[Cisim (cebir)|cismin]] (İng. ''field'') bir parçası olan bir cismi meydana getirir. Bu bağlamda, rasyonel sayılar cismi bir asal cisim niteliğindedir ve bir cismin sıfır karakteristiğe sahip olması, yalnızca o cismin rasyonel sayıları bir alt cisim olarak barındırması ile mümkündür. {{tmath|\Q}}'nun sonlu genişlemeleri cebirsel sayı cisimleri olarak isimlendirilir ve {{tmath|\Q}}'nun cebirsel kapanışı, cebirsel sayılar cismidir.{{r|Gilbert}}

[[Matematiksel analiz]] çerçevesinde, rasyonel sayılar, reel sayılar içerisinde [[Yoğun küme|yoğun bir alt küme]] teşkil eder. Reel sayıların tanımlanması, rasyonel sayılar baz alınarak, [[Cauchy dizisi|Cauchy dizileri]], [[Dedekind kesitleri]] veya sonsuz [[Onlu sayı sistemi|ondalık sayılar]] kullanılarak gerçekleştirilebilir.

== Terminoloji==

"Rasyonel" terimi, {{tmath|\Q}} kümesine yapılan atıflarda, bir rasyonel sayının iki tam sayının [[Rasyo|oranını]] temsil etmesi gerçeğine işaret eder. Matematik alanında "rasyonel", sıklıkla "rasyonel sayı" teriminin kısaltması olarak kullanılmaktadır. "Rasyonel" sıfatı, zaman zaman [[katsayı]]ların rasyonel sayılar olduğunu ifade eder. Mesela, rasyonel koordinatlara sahip bir nokta [[rasyonel nokta]] olarak adlandırılır; rasyonel sayılardan oluşan bir [[Matris (matematik)|matrise]] ''rasyonel matris'' denir; rasyonel katsayılara sahip bir [[polinom]]a ''rasyonel polinom'' denilebilir, ancak "rasyoneller üzerinde bir polinom" ifadesi, "rasyonel ifade" ile "rasyonel [[fonksiyon]]" arasındaki muhtemel karışıklıkları engellemek amacıyla genellikle tercih edilir. Bununla birlikte, ''rasyonel eğri'', rasyoneller üzerinde tanımlanmış bir eğri anlamına gelmez; bunun yerine rasyonel fonksiyonlarla parametrize edilebilen bir eğriyi ifade eder.

== Etimoloji ==

Günümüzdeki "rasyonel sayılar", "rasyo" ("oran") kavramları ile ilişkilendirilse de, "rasyonel" sözcüğü, "[[rasyo]]" teriminin bir [[Yapım eki|türevi]] olmayıp, tam tersine, "rasyo" sözcüğü "rasyonel"den kaynaklanmaktadır. "Rasyo" (İng. ''ratio'') teriminin çağdaş anlamda ilk kez kullanıldığı dönem [[İngilizce]]de yaklaşık olarak 1660 yılına dayanırken, "rasyonel" ifadesinin sayıları tanımlama amacıyla kullanımı bu tarihten yaklaşık bir yüzyıl önce, 1570 yılında meydana gelmiştir.{{r|Oxford_1989}} "Rasyonel" teriminin bu özel anlamı, "irrasyonel" teriminin matematiksel bağlamda ilk kullanımından, yani 1551 yılından türemiş olup, [[Öklit]]'in eserlerinin çevirilerinde özgün kullanımını izleyerek ({{dil|grc|ἄλογος}}) kullanılmıştır.{{r|Oxford_1989}}{{r|Shor_2017}}

Bu alışılmadık tarihi olgular zinciri, [[antik Yunan]] matematikçilerinin, kendilerini ''irrasyonel'' olarak nitelendirilen uzunlukları sayı olarak kabul etmekten çekinerek, böylece sapkınlıktan uzak durmayı tercih etmelerinden kaynaklanmaktadır.{{r|Coolman_2016}} Dolayısıyla, bu tür uzunluklar, konuşulmaması gereken, yani Yunancada ({{dil|grc|ἄλογος}}) ifade edilen ''mantıksız'' anlamına gelen ''irrasyonel'' kelimesi ile tanımlanmıştır.{{r|Kramer_1983}}

== Aritmetik ==
{{Ayrıca bakınız|Kesir#Kesirlerle_işlemler}}

<math>a, b, c, d  \in \mathbb{Q}</math> olmak üzere:

===İndirgenemez kesir===

Her bir rasyonel sayı, {{tmath|\tfrac a b,}} şeklinde, {{mvar|a}} ve {{mvar|b}} [[Aralarında asal|aralarında asal tam sayılar]] olmak üzere ve {{math|''b'' > 0}} koşuluyla, [[indirgenemez kesir]] olarak eşsiz bir biçimde gösterilebilir. Bu durum, genellikle rasyonel sayının [[kanonik formu]] olarak isimlendirilir.

Bir rasyonel sayının {{tmath|\tfrac a b,}} başlangıç noktasından kanonik formuna ulaşılması, {{mvar|a}} ve {{mvar|b}}'yi onların [[Ortak bölen|en büyük ortak böleni]]ne bölerek ve eğer {{math|''b'' < 0}} ise, elde edilen pay ve paydanın işaretinin değiştirilmesi işlemiyle mümkün olmaktadır.

===Tam sayı ifadelendirme ===
Her bir tam sayı {{mvar|n}}, rasyonel bir sayı biçiminde {{tmath|\tfrac n 1,}} olarak gösterilebilir ki bu, rasyonel sayılar bağlamında onun kanonik formunu temsil eder.

===Eşitlik ilkesi===
:<math>\frac{a}{b} = \frac{c}{d}</math> ifadesi, [[ancak ve ancak]]  <math>ad = bc</math> olduğunda doğrudur.

Her iki kesir de kanonik forma sahip olduğunda:
:<math>\frac{a}{b} = \frac{c}{d}</math>, ancak ve ancak <math>a = c</math> ve <math>b = d</math> eşitlikleri sağlandığında geçerli olur.{{r|:1}}

İki rasyonel sayının eşitliği, o sayıların pay ve paydalarının rasyonel olmasıyla anlaşılır. <math>a,b,c,d \in \mathbb{Z}</math> olmak üzere <math>\frac{a}{b}</math> ve <math>\frac{c}{d}</math> iki rasyonel sayı ise bu iki sayı ancak <math>ad=bc\!</math> olduğunda eşittir.

Bu koşul, yukarıdaki tanımdan çıkartılabilir. İki rasyonel sayı aynı denklik sınıfındaysa birbirine eşittir, Denklik bağıntısı da zaten <math>ad=bc\!</math> koşulunu içermekteydi.

=== Sıralama ===
Eğer her iki paydanın da pozitif olduğu durumlar (özellikle her iki kesirin kanonik formda olduğu durumlar) göz önüne alınırsa:
:<math>\frac{a}{b} < \frac{c}{d}</math> ancak ve ancak <math>ad < bc.</math> şeklinde olur.

Diğer yandan, paydalardan biri negatifse, negatif paydaya sahip her kesirin önce pozitif bir paydaya sahip eşdeğer bir forma dönüştürülmesi gerekir-bunun için hem payının hem de paydasının işaretinin değiştirilmesi gerekir.{{r|:1}}

==== Paydaları eşit olan rasyonel sayılar ====
:Paydaları eşit olan rasyonel oranlar için payı büyük olan daha büyük, payı küçük olan daha küçüktür.

:;Örneğin:
:<math>\frac{7}{20} > \frac{3}{20} </math>

:Burada paydalar eşit ve yirmidir. Pay değerleri karşılaştırılınca soldaki pay 7 sağdaki pay 3'ten daha büyük olduğu için, soldaki rasyonel oran daha büyüktür.

:Unutmamalıdır ki negatif paylar karşılaştırılırken sadece mutlak değerlerin karşılaştırılması hatalı olup negatif işaretlerinin de ele alınması ve :negatif sayılı pay değerlerde mutlak değeri büyük görünen sayının daha küçük olduğu hatırlanmalıdır:

:Payda 20'ye eşit olup sağdaki negatif pay değeri -3, soldaki negatif pay değeri olan -7'den daha büyük olduğu için sağdaki oran daha büyüktür.

==== Payları eşit olan rasyonel sayılar ====
:Payı eşit olan rasyonel sayılar için ise paydaları eşit olanın tam tersi bir kural uygulanır:
:<math>\frac {5}{6} > \frac {5}{10}</math>

:Paylar eşit olduğunda bölünen parça sayısı yani payda büyüdükçe oluşan parça boyutları daha küçük olacaktır.

==== Payları ya da paydaları  eşit olmayan rasyonel sayılar ====
:<math>\frac {3}{4} > \frac {2}{10} </math>

:Bu şekildeki durumlarda karşılaştırmadan evvel paydaların eşitlenmesi veya içler dışlar çarpımı yapılmasını gerektirir.

::'''Paydaların eşitlenmesi''' 
:::Her iki rasyonel sayının da birbirlerinin paydalarıyla genişletilmesini gerektirir.

:::<math>\frac {3}{4} > \frac {2}{10} \mbox{ ise } \frac {3\cdot10}{4\cdot10} > \frac {2\cdot4}{10\cdot4}</math>

:::Yukarıda görüldüğü gibi genişletme işleminden sonra oluşan paydaların ikisi de '''<math>10\cdot4</math>''' yani 40'tır. Yukarıda görüldüğü gibi karşılaştırılabilir.

::'''İçler dışlar çarpımı'''
:::Birinci rasyonel sayının payının ikincinin paydasına, ikincinin paydasının ise birincinin payıyla çarpılmasıdır:

:::<math>\frac {3}{4} \cdot \frac {2}{10} \mbox{ ise } 3 \cdot 10 = 4 \cdot 2 \mbox { buna göre } 30 > 8</math>.

===Toplama===
İki kesrin toplanması şu şekilde gerçekleştirilir:<math>\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}.</math>

Eğer her iki kesir de kanonik formdaysa, sonuç ancak ve ancak {{mvar|b, d}} [[Aralarında asal|aralarında asal tam sayılar]] olması durumunda kanonik formda olacaktır.{{r|:1}}{{r|:2}}

===Çıkarma===
:<math>\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad-bc}{bd}.</math>

Eğer her iki kesir de kanonik formdaysa, sonuç ancak ve ancak {{mvar|b, d}} [[Aralarında asal|aralarında asal tam sayılar]] ise kanonik formdadır.{{r|:2}}

===Çarpma===
[[Çarpma kuralı]] şu şekildedir:
:<math>\frac{a}{b} \cdot\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.</math>

burada sonuç, her iki orijinal kesir de kanonik formda olsa bile, bir [[indirgenebilir kesir]] olabilir.{{r|:1}}{{r|:2}}

===Tersi===
Herhangi bir rasyonel sayı {{tmath|\tfrac a b}}, sıklıkla ''tersi'' olarak ifade edilen bir [[Toplamaya göre ters|toplamın tersi]]ne sahiptir,
:<math>- \left( \frac{a}{b} \right) = \frac {-a}{b} = \frac {a}{-b} \quad\mbox{ve}\quad \left( \frac{a}{b} \right)^{-1} = \frac {b}{a} \quad\mbox{eğer}\quad a \neq 0, b \neq 0 </math>.

{{tmath|\tfrac a b}} kanonik formda ise, onun karşıtının da kanonik formda olması aynı şekilde geçerlidir.

Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı {{tmath|\tfrac a b}}, ''tersi'' olarak da adlandırılan bir [[çarpımın tersi]]ne sahiptir,
:<math> \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}. </math>
{{tmath|\tfrac a b}} kanonik formda bulunuyorsa, onun tersinin kanonik formu, {{mvar|a}} değerinin işaretine göre ya {{tmath|\tfrac b a}} ya da {{tmath|\tfrac {-b} {-a} }} şeklinde olur.

===Bölme===
Eğer {{mvar|b, c, d}} sıfırdan farklıysa, [[bölme kuralı]] şu şekildedir:
:<math>\frac{\,\dfrac{a}{b}\,} {\dfrac{c}{d}} = \frac{ad}{bc}.</math>
:<math>\frac {a}{b} \div \frac {c}{d} = \frac {ad}{bc}</math>

Böylece, {{tmath|\tfrac a b}}'yi {{tmath|\tfrac c d}} ile bölmek, {{tmath|\tfrac a b}}'yi {{tmath|\tfrac c d:}}'nin [[çarpımın tersi|tersi]] ile çarpmakla eşdeğerdir:{{r|:2}}
:<math>\frac{ad}{bc} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}.</math>

===Tam sayı kuvvetine üs alma===
{{mvar|n}} negatif olmayan bir tam sayı olduğunda,
:<math>\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}.</math>
Sonuç, {{tmath|\tfrac a b}} için aynı şekilde kanonik formda bulunuyorsa, kanonik formdadır. Belirli bir durum olarak,
:<math>\left(\frac{a}{b}\right)^0 = 1.</math>

Eğer {{math|''a'' ≠ 0}}, o zaman
:<math>\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{b^n}{a^n}.</math>
Eğer {{tmath|\tfrac a b}} kanonik formdaysa, sonucun kanonik formu {{math|''a'' > 0}} veya {{mvar|n}} çift ise {{tmath|\tfrac{b^n}{a^n} }} olacaktır. Aksi takdirde, sonucun kanonik formu {{tmath|\tfrac{-b^n}{-a^n},}} olur.

==Sürekli kesir gösterimi==
{{Ana|Sürekli kesir}}
Bir '''sonlu sürekli kesir''' ifadesi, aşağıdaki formda gösterilebilir:
:<math>a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{ \ddots + \cfrac{1}{a_n} }}},</math>
bu ifadede, {{mvar|a{{sub|n}}}} tam sayıları temsil eder. Herhangi bir rasyonel sayı {{tmath|\tfrac a b}}, [[katsayı]]ları {{mvar|a{{sub|n}}}}, {{math|(''a, b'')}} çifti üzerine [[Öklid algoritması]] uygulanarak elde edilebilen bir sonlu sürekli kesir olarak gösterilebilir.

== Diğer gösterimler ==

* [[Kesir|Bayağı kesir]]: {{tmath|\tfrac 8 3}}
* [[Karmaşık sayı]]: {{tmath|2\tfrac 2 3}}
* Bir [[bağ çizgisi]] kullanılarak [[devirli sayı]] ile: <math>2.\overline 6</math>
* Parantez kullanılarak devirli sayı ile: <math>2.(6)</math>
* Geleneksel tipografi kullanılarak [[sürekli kesir]]: <math>2 + \tfrac 1 {1 + \tfrac 1 2}</math>
* kısaltılmış notasyon ile sürekli kesir: <math>[2; 1, 2]</math>
* [[Mısır kesri]]: <math>2 + \tfrac 1 2 + \tfrac 1 6</math>
* [[Aritmetiğin Temel Teoremi#Pozitif bir tam sayının Kanonik temsili|Asal üs ayrışımı]]: <math>2^3 \times 3^{-1}</math>
* [[Tırnak notasyonu]]: <math>3'6</math>

aynı rasyonel değeri temsil etmenin farklı yollarıdır.

==Tanım==
[[Dosya:Rational Representation.svg|küçükresim|right|upright=1.36|Tam sayı çiftlerinin denklik sınıflarının gösterimini sunan bir diyagram]]
Rasyonel sayılar, tam sayıların sıralı çiftlerine dayanan denklik sınıfları biçiminde kurulabilir.{{r|:1}}{{r|:2}}

Daha kesin bir ifadeyle, {{tmath|(\Z \times (\Z \setminus {0}))}} kümesi, {{math|''n'' ≠ 0}} olacak şekilde tam sayıların {{math|(''m, n'')}} çiftlerinin kümesi olarak alınsın. Bu küme üzerinde bir [[denklik bağıntısı]]
: <math>(m_1, n_1) \sim (m_2, n_2) \iff m_1 n_2 = m_2 n_1,</math> ile tanımlanmıştır.{{r|:1}}{{r|:2}}

Toplama ve çarpma işlemleri aşağıdaki kurallarla tanımlanabilir:
:<math>(m_1, n_1) + (m_2, n_2) \equiv (m_1n_2 + n_1m_2, n_1n_2),</math>
:<math>(m_1, n_1) \times (m_2, n_2) \equiv (m_1m_2, n_1n_2).</math>{{r|:1}}

Bu denklik ilişkisi, daha önce tanımlanmış toplama ve çarpma işlemleriyle uyumlu bir [[kongrüans ilişkisi]] olarak işlev görür; böylece rasyonel sayılar kümesi {{tmath|\Q}}, bu denklik ilişkisine göre tanımlanan [[bölüm kümesi]], {{tmath|(\Z \times (\Z \backslash {0})) / \sim,}} formunda, söz konusu işlemler aracılığıyla türetilmiş toplama ve çarpma işlemleriyle zenginleştirilmiştir. (Bu yapı, herhangi bir [[Tamlık bölgesi|tam bölge]] kullanılarak oluşturulabilir ve söz konusu bölgenin [[kesirler cismi]]ni meydana getirir.){{r|:1}}

Bir {{math|(''m, n'')}} çiftinin denklik sınıfı, {{tmath|\tfrac m n}} şeklinde ifade edilir.
{{math|(''m''{{sub|1}}, ''n''{{sub|1}})}} ve {{math|(''m''{{sub|2}}, ''n''{{sub|2}})}} çiftleri, ancak ve ancak eğer
:<math>m_1n_2 = m_2n_1.</math>
ise aynı denklik sınıfına dahildir (yani eşdeğerdirler). Bu durum,
:<math>\frac{m_1}{n_1} = \frac{m_2}{n_2}</math>
ancak ve ancak{{r|:1}}{{r|:2}}
:<math>m_1n_2 = m_2n_1,</math> olduğunda mümkündür.

Her denklik sınıfı {{tmath|\tfrac m n}}, sonsuz sayıda çift tarafından temsil edilebilir, çünkü
:<math>\cdots = \frac{-2m}{-2n} = \frac{-m}{-n} = \frac{m}{n} = \frac{2m}{2n} = \cdots.</math>

Her denklık sınıfı, benzersiz bir ''kanonik temsilci elemanı'' içerir. Kanonik temsilci, denklik sınıfındaki {{math|(''m, n'')}} benzersiz çiftidir öyle ki {{mvar|m}} ve {{mvar|n}} [[aralarında asal]]dır ve {{math|''n'' > 0}}. Bu, rasyonel sayının [[indirgenemez kesir|en düşük terimlerle temsili]] olarak adlandırılır.

Tam sayılar, tam sayı {{mvar|n}}'yi rasyonel sayı {{tmath|\tfrac n 1}} ile özdeşleştirerek rasyonel sayılar olarak düşünülebilir.

Rasyonel sayılar üzerinde, tam sayıların doğal sıralamasını genişleten bir [[tam sıra]]lama tanımlanabilir. Buna göre
:<math>\frac{m_1}{n_1} \le \frac{m_2}{n_2}</math>
Eğer
:<math>\begin{align}
& (n_1n_2 > 0 \quad \text{ve} \quad m_1n_2 \le n_1m_2) \\
& \qquad \text{veya} \\
& (n_1n_2 < 0 \quad \text{ve} \quad m_1n_2 \ge n_1m_2).
\end{align}</math>

== Özellikler ==
Yukarıda gösterilen toplama ve çarpma işlemleriyle birlikte, tüm rasyonel sayıların kümesi {{tmath|\Q}}, bir [[alan (matematik)|alan]] oluşturur.{{r|:1}}

{{tmath|\Q}}, [[özdeşlik]] dışında hiçbir ''alan otomorfizmi''ne sahip değildir. (Bir alan otomorfizmi 0 ve 1'i sabit tutmalıdır; iki sabit elemanın toplamını ve farkını sabit tutmak zorunda olduğundan, her tam sayıyı sabit tutmalıdır; iki sabit elemanın bölümünü sabit tutmak zorunda olduğundan, her rasyonel sayıyı sabit tutmalı ve dolayısıyla [[özdeşlik|özdeş]] olmalıdır.)

{{tmath|\Q}}, kendisi dışında alt alanı olmayan bir [[asal alan]]dır.{{r|Sugakkai_1993}} Rasyoneller, sıfır [[karakteristik (cebir)|karakteristiğe]] sahip en küçük alandır. Sıfır karakteristiğe sahip her alan, {{tmath|\Q}} ile izomorfik benzersiz bir alt alana sahiptir.

Yukarıda tanımlanan sırayla, {{tmath|\Q}}, kendisi dışında alt alanı olmayan bir [[sıralı alan]]dır ve her sıralı alanın, {{tmath|\Q}} ile [[izomorfizm|izomorfik]] benzersiz bir alt alanı içerdiği anlamında en küçük sıralı alandır.{{r|:2}}

{{tmath|\Q}}, tam sayıların {{tmath|\Z}} [[kesirler alanı]]dır. {{tmath|\Q}}'nun [[cebirsel kapanış]]ı, yani rasyonel polinomların köklerinin alanı, [[cebirsel sayılar]] alanıdır.

Rasyonel sayılar, [[yoğun sıralama|yoğun sıralanmış]] bir kümedir: herhangi iki rasyonel sayı arasında başka bir rasyonel sayı bulunur ve dolayısıyla sonsuz sayıda başka rasyonel sayı bulunur. Örneğin,
:<math>\frac{a}{b} < \frac{c}{d}</math>
(<math>b,d</math> pozitif olmak üzere) şeklindeki herhangi iki kesir için,
:<math>\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + d} < \frac{c}{d}.</math>
En küçük veya en büyük elemanı olmayan, sayılabilir, yoğun (yukarıdaki anlamda) ve tamamen sıralı bir küme, rasyonel sayılarla [[sıra izomorfizmi|sıra izomorfiktir]].{{r|Giese_1995}}

=== Sayılabilirlik ===
[[Dosya:Diagonal argument.svg|küçükresim|right|upright=0.91|Pozitif rasyonel sayıların sayılabilirliğini gösteren bir gösterims]]
Tüm rasyonel sayılar kümesinin [[sayılabilir küme|sayılabilir]] olduğu, sağ tarafta yer alan gösterim ile açıklanmıştır. Her bir rasyonel sayının, iki tam sayının oranı şeklinde ifade edilebilme özelliği göz önünde bulundurulduğunda, [[kare kafes]] üzerindeki her bir noktaya, bir [[Kartezyen koordinat sistemi]] benzeri bir yaklaşımla, iki tam sayı atanması mümkündür; böylelikle her bir kafes noktası bir rasyonel sayı ile ilişkilendirilebilir. Bu yöntem, sağlanan grafikte kırmızı ile işaretlenmiş olan, birçok farklı kafes noktasının aynı rasyonel sayıyı temsil etmesi gibi bir fazlalığın ortaya çıkmasına neden olmaktadır. Bu fazlalığın bir örneği, sağ alt köşeye doğru diagonal bir hat üzerinde gözlemlenebilir; bu tür oranlar, herhangi bir [[Sıfıra bölme|sıfırdan farklı]] sayının kendisi ile bölünmesi durumunda daima bir değerini alacaktır.

Bu tür fazlalıklar olmadan tüm rasyonel sayıların tanımı mümkündür: örnekler arasında [[Calkin-Wilf ağacı]] ve [[Stern-Brocot ağacı]] bulunmaktadır.

Tüm rasyonel sayılar kümesi sayılabilir olduğu ve tüm reel sayılar kümesi (aynı zamanda tüm irrasyonel sayılar kümesi) sayılamaz olduğu için, rasyonel sayılar kümesi bir [[null kümesi]]dir, yani [[Lebesgue ölçümü]] anlamında neredeyse tüm reel sayılar irrasyoneldir.

==Reel sayılar ve topolojik özellikler==
Rasyonel sayılar, [[reel sayılar]]ın [[yoğun küme|yoğun bir alt kümesi]]dir; her reel sayının yanında keyfi olarak yakın rasyonel sayılar vardır.{{r|:1}} İlgili bir özellik, rasyonel sayıların, [[sürekli kesir]] olarak [[sonlu küme|sonlu]] genişlemelere sahip tek sayılar olmasıdır.{{r|Vazzana_2015}}

Reel sayıların alışılageldik [[topoloji]]si içinde, rasyonel sayılar ne bir [[açık küme]] ne de bir [[kapalı küme]]dir.

Sıralarının bir sonucu olarak, rasyonel sayılar bir [[sıra topolojisi]] taşır. Rasyonel sayılar, reel sayıların bir alt uzayı olarak, ayrıca bir [[altuzay topolojisi]] taşır. Rasyonel sayılar, [[mutlak fark]] metriği <math>d(x,y)=|x-y|,</math> kullanılarak bir [[metrik uzay]] oluşturur ve bu, {{tmath|\Q}} üzerinde üçüncü bir topoloji sağlar. Bu üç topoloji çakışır ve rasyonelleri bir [[Cisim (cebir)|topolojik alan]]a dönüştürür. Rasyonel sayılar, [[yerel kompakt uzay]] olmayan bir uzayın önemli bir örneğidir. Rasyoneller, topolojik olarak, [[izole nokta]]sı olmayan benzersiz [[sayılabilir]] [[Topolojik özellik|ölçülebilir uzay]] olarak nitelendirilir. Uzay ayrıca [[tamamen bağlantısız uzay|tamamen bağlantısızdır]]. Rasyonel sayılar, [[tam metrik uzay]] oluşturmaz ve reel sayılar, yukarıda verilen metrik <math>d(x,y)=|x-y|</math> altında {{tmath|\Q}}'nun tamamlanmasıdır.

==''p''-sel sayılar==
{{Ana|p-sel sayılar}}
Yukarıda bahsedilen mutlak değer metriğine ek olarak, {{tmath|\Q}}'yu bir topolojik alan haline getiren diğer metrikler de vardır:

{{mvar|p}} bir [[asal sayı]] olsun ve sıfırdan farklı herhangi bir tam sayı {{mvar|a}} için, <math>|a|_p = p^{-n},</math> burada {{mvar|p{{sup|n}}}} {{mvar|a}}'yı [[bölen]] {{mvar|p}}'nin en yüksek kuvvetidir.

Ayrıca <math>|0|_p = 0</math> olarak belirleyelim. Herhangi bir rasyonel sayı {{tmath|\frac a b}} için,
:<math>\left|\frac{a}{b}\right|_p = \frac{|a|_p}{|b|_p}.</math> olarak belirleyelim.

O zaman
:<math>d_p(x,y) =|x-y|_p</math>
{{tmath|\Q}} üzerinde bir [[metrik uzay|metrik]] tanımlar.{{r|Weisstein_2021}}

Metrik uzay {{tmath|(\Q, d_p)}} tam değildir ve tamamlanmış hali [[p-sel sayılar|{{mvar|p}}-adik sayı alanı]] {{tmath|\Q_p}}'dir. [[Ostrowski teoremi]], rasyonel sayılar {{tmath|\Q}} üzerindeki herhangi bir önemli [[mutlak değer]]in, ya alışılagelmiş reel mutlak değere ya da bir [[p-sel sayılar|{{mvar|p}}-adik]] mutlak değere eşdeğer olduğunu belirtir.

== Ayrıca bakınız ==
* [[İrrasyonel sayılar]]

{{Sayıların sınıflandırması}}

== Not listesi ==
{{not listesi}}

== Kaynakça ==
{{kaynakça|2|refs=

<ref name="Rosen_2007">{{Kitap kaynağı 
|soyadı= Rosen 
|ad=Kenneth 
|başlık=Discrete Mathematics and its Applications
|yıl=2007
|basım=6
|yayıncı=McGraw-Hill 
|yer=New York, NY
|isbn=978-0-07-288008-3 
|sayfalar=105, 158-160}}</ref>

<ref name="Britannica_2020">{{Web kaynağı
|başlık=Rational number
|url=https://www.britannica.com/science/rational-number
|erişimtarihi=11 Ağustos 2020
|website=Encyclopedia Britannica
|dil=İngilizce
|arşivurl=https://web.archive.org/web/20211211202737/https://www.britannica.com/science/rational-number
|arşivtarihi=11 Aralık 2021
|ölüurl=hayır
}}</ref>

<ref name=":0">{{Web kaynağı
|soyadı=Weisstein
|ad=Eric W.
|başlık=Rational Number
|url=https://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html
|erişimtarihi=11 Ağustos 2020
|website=Wolfram MathWorld
|dil=İngilizce
|arşivurl=https://web.archive.org/web/20230714125727/https://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html
|arşivtarihi=14 Temmuz 2023
|ölüurl=hayır
}}</ref>

<ref name="Rosen">{{Kitap kaynağı
|soyadı= Rosen
|ad=Kenneth
|başlık=Discrete Mathematics and its Applications 
|yıl=2007 
|basım=6 
|yayıncı=McGraw-Hill 
|yer=New York, NY
|isbn=978-0-07-288008-3 
|sayfalar=105, 158-160}}</ref>

<ref name=":1">{{Kitap kaynağı
|soyadı=Biggs
|ad=Norman L.
|başlık=Discrete Mathematics
|yayıncı=Oxford University Press
|yıl=2002
|isbn=978-0-19-871369-2
|yer=India
|sayfalar=75-78}}</ref>

<ref name="Gilbert">{{Kitap kaynağı 
|soyadı1=Gilbert 
|ad1=Jimmie 
|soyadı2=Linda 
|ad2=Gilbert
|yazarbağı2=Linda Gilbert Saucier 
|yıl=2005 
|başlık=Elements of Modern Algebra 
|url=https://archive.org/details/elementsofmodern0000gilb_w7v6
|basım=6.6yayıncı=Thomson Brooks/Cole 
|yer=Belmont, CA 
|isbn=0-534-40264-X 
|sayfalar=[https://archive.org/details/elementsofmodern0000gilb_w7v6/page/243 243]-244}}</ref>

<ref name="Robinson_1996">{{Kitap kaynağı
|url=https://books.google.com/books?id=_33D84OENIAC
|başlık=The Collected Works of Julia Robinson
|tarih=1996
|dil=İngilizce
|yayıncı=American Mathematical Soc.
|ad=Julia
|soyadı=Robinson
|isbn=978-0-8218-0575-6}}</ref>

<ref name="Lass_2009">{{Kitap kaynağı
|url=https://books.google.com/books?id=WAY_AwAAQBAJ
|başlık=Elements of Pure and Applied Mathematics
|tarih=18 Kasım 2009
|dil=İngilizce
|yayıncı=Courier Corporation
|ad=Harry
|soyadı=Lass
|isbn=978-0-486-47186-0}}</ref>

<ref name="Oxford_1989">{{Kitap kaynağı
|başlık=Oxford English Dictionary
|tarih=10 Ocak 2002
|url=https://archive.org/details/oxfordenglishdic0000unse_d3a7
|basım=2.2tarih=1989
|yayıncı=Oxford University Press}}</ref>

<ref name="Shor_2017">{{Web kaynağı
|tarih=9 Mayıs 2017
|ad=Peter
|soyadı=Shor
|authorlink=Peter Shor
|başlık=Does rational come from ratio or ratio come from rational
|url=https://english.stackexchange.com/questions/217956/does-rational-come-from-ratio-or-ratio-come-from-rational/218079#218079
|erişimtarihi=19 Mart 2021
|website=Stack Exchange
|dil=en-US
|arşivurl=https://web.archive.org/web/20210417212143/https://english.stackexchange.com/questions/217956/does-rational-come-from-ratio-or-ratio-come-from-rational/218079#218079
|arşivtarihi=17 Nisan 2021
|ölüurl=hayır
}}</ref>

<ref name="Kramer_1983">{{Kitap kaynağı
|soyadı1=Kramer
|ad1=Edna
|başlık=The Nature and Growth of Modern Mathematics
|tarih=1983
|yayıncı=Princeton University Press
|sayfa=28}}</ref>

<ref name="Coolman_2016">{{Web kaynağı
|soyadı1=Coolman
|ad1=Robert
|tarih=29 Ocak 2016
|başlık=How a Mathematical Superstition Stultified Algebra for Over a Thousand Years
|url=https://nautil.us/blog/how-a-mathematical-superstition-stultified-algebra-for-over-a-thousand-years
|erişimtarihi=20 Mart 2021
|dil=en-US
|arşivurl=https://web.archive.org/web/20211221183035/https://nautil.us/blog/how-a-mathematical-superstition-stultified-algebra-for-over-a-thousand-years
|arşivtarihi=21 Aralık 2021
|ölüurl=hayır
}}</ref>

<ref name=":2">{{Web kaynağı
|başlık=Fraction - Encyclopedia of Mathematics
|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Fraction
|erişimtarihi=17 Ağustos 2021
|website=encyclopediaofmath.org
|arşivurl=https://web.archive.org/web/20210927022534/https://encyclopediaofmath.org/wiki/Fraction
|arşivtarihi=27 Eylül 2021
|ölüurl=hayır
}}</ref>

<ref name="Sugakkai_1993">{{Kitap kaynağı 
|url=https://books.google.com/books?id=WHjO9K6xEm4C&pg=PA578
|başlık=Encyclopedic Dictionary of Mathematics, Volume 1 
|sayfa=578 
|yer=London, England 
|yayıncı=MIT Press 
|isbn=0-2625-9020-4 
|ad=Nihon 
|soyadı=Sūgakkai 
|yıl=1993}}</ref>

<ref name="Giese_1995">{{Cite tech report
|first1=Martin
|last1=Giese
|first2=Arno
|last2=Schönegge
|title=Any two countable densely ordered sets without endpoints are isomorphic - a formal proof with KIV
|date=December 1995
|url=https://www.uio.no/studier/emner/matnat/ifi/nedlagte-emner/INF5170/v14/undervisningsmateriale/countable-densely-ordered-sets.pdf
|access-date=17 Ağustos 2021
|arşivurl=https://web.archive.org/web/20211125082211/https://www.uio.no/studier/emner/matnat/ifi/nedlagte-emner/INF5170/v14/undervisningsmateriale/countable-densely-ordered-sets.pdf
|arşivtarihi=25 Kasım 2021
|ölüurl=hayır
}}</ref>

<ref name="Vazzana_2015">{{Kitap kaynağı
|başlık=Introduction to Number Theory
|yazar1=Anthony Vazzana 
|yazar2=David Garth 
|basım=2nd, revised 
|yayıncı=CRC Press 
|yıl=2015 
|isbn=978-1-4987-1752-6 
|sayfa=1
|url=https://books.google.com/books?id=iJWwDwAAQBAJ}} [https://books.google.com/books?id=iJWwDwAAQBAJ&pg=RA1 Extract of page 1]</ref>

<ref name="Weisstein_2021">{{Web kaynağı
|soyadı=Weisstein
|ad=Eric W.
|başlık=p-adic Number
|url=https://mathworld.wolfram.com/p-adicNumber.html
|erişimtarihi=17 Ağustos 2021
|website=Wolfram MathWorld
|dil=İngilizce
|arşivurl=https://web.archive.org/web/20210502041539/https://mathworld.wolfram.com/p-adicNumber.html
|arşivtarihi=2 Mayıs 2021
|ölüurl=hayır
}}</ref>

}}

==Dış bağlantılar==
{{Commons kategori|Rational numbers}}
{{Vikiversite|Rational numbers}}
*{{springer|title=Rational number|id=p/r077620}} 
*[http://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html "Rational Number" From MathWorld – A Wolfram Web Resource]

{{sayılar}}
{{Sayılar teorisi}}
{{Otorite kontrolü}}

[[Kategori:Rasyonel sayılar| ]]
[[Kategori:Temel matematik]]
[[Kategori:Sayılar]]
[[Kategori:Matematik terimleri]]