Reuleaux üçgeni sayfasının kaynağını görüntüle

[[Dosya:ReuleauxTriangle.svg|küçükresim|{{Ortala|Bir Reuleaux üçgenin sınırı, eşkenar üçgene dayanan sabit genişlikli bir eğridir. Bir taraftaki tüm noktalar karşı köşeden eşit uzaklıktadır.}}]]

Bir '''Reuleaux üçgeni'''&nbsp;({{IPA|fr|ʁœlo}}), merkezi diğer ikisinin sınırında bulunan üç [[çember]]sel diskin kesişmesinden oluşan bir şekildir. Sınırı, dairenin kendisinden başka en basit ve en iyi bilinen bu eğri, bir [[Sabit genişlikli eğriler|sabit genişlikli eğri]]dir.<ref>{{Harvard kaynak metni|Gardner|2014}} buna en basit, {{Harvard kaynak metni|Gruber|198|p=59}} ise "en kötü şöhretli" diyor.</ref> Sabit genişlik, her iki paralel [[destek doğrusu]]nun aralığının yönlerinden bağımsız olarak aynı olduğu anlamına gelir. Tüm çapları aynı olduğu için Reuleaux üçgeni, "Daire dışında, delikten düşmemesi için bir [[rögar kapağı]] hangi şekillerde yapılabilir?" sorusunun cevabıdır.<ref>{{Kaynak
 | soyadı = Klee 
 | ad = Victor 
 | yazarbağı = Victor Klee
 |doi= 10.2307/3026963
 | sayı = 2
 | dergi = The Two-Year College Mathematics Journal
 | sayfalar =14-27| başlık = Shapes of the future
 | cilt = 2
 | yıl = 1971
 | jstor = 3026963}}.</ref>

== Açıklama ==
Reuleaux üçgenlerine '''küresel üçgenler''' de denir, ancak bu terim daha doğru bir şekilde bir [[küre]]nin eğimli yüzeyine çizilen [[Küresel üçgen|üçgen]]leri ifade eder. Adlarını, bir hareket türünü diğerine çevirmek için makinelerin incelenmesine öncülük eden ve tasarımlarında Reuleaux üçgenleri kullanan 19. yüzyıl Alman mühendisi<ref name="icons">{{Kaynak|başlık=Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images|cilt=45|seri=Dolciani Mathematical Expositions|ad1=Claudi|soyadı1=Alsina|ad2=Roger B.|soyadı2=Nelsen|yayıncı=Mathematical Association of America|yıl=2011|isbn=978-0-88385-352-8|url=https://books.google.com/books?id=4DavMl7-aFgC&pg=PA155|sayfa=155|başlıkbağı=Icons of Mathematics|erişimtarihi=30 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20160410172021/https://books.google.com/books?id=4DavMl7-aFgC&pg=PA155|arşivtarihi=10 Nisan 2016|ölüurl=hayır}}.</ref> [[Franz Reuleaux]]'dan almıştır.<ref>{{Kaynak|başlık=The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux: Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century|cilt=2|seri=History of Mechanism and Machine Science|ad=F. C.|soyadı=Moon|yayıncı=Springer|yıl=2007|isbn=978-1-4020-5598-0}}.</ref> Bununla birlikte, bu şekiller onun zamanından önce, örneğin [[Gotik mimari|Gotik]] kilise pencerelerinin tasarımcıları, onu bir [[harita projeksiyonu]] için kullanan [[Leonardo da Vinci]] ve sabit genişlikteki şekiller üzerine yaptığı çalışmada [[Leonhard Euler]] tarafından biliniyordu. Reuleaux üçgeninin diğer uygulamaları arasında; gitar [[pena]]ları, [[yangın musluğu]] somunları, [[kurşun kalem]]ler ve kare delikler açmak için [[Burgu|matkap uçlarına]] şekil vermenin yanı sıra bazı işaretler ve kurumsal logoların şekillerinde grafik tasarımda kullanımı da yer alır.

Belirli bir genişliğe sahip sabit genişlikte şekiller arasında, Reuleaux üçgeni köşelerinde minimum alana ve mümkün olan en keskin (en küçük) açıya (120°) sahiptir. Birkaç sayısal ölçü ile [[merkezi simetri]]k olmaktan en uzak olanıdır. Bir [[tam sayı kafesi]]nin noktalarından kaçınarak en büyük sabit genişlikte şekli sağlar ve çevre-çap oranını maksimize eden dörtgen şekliyle yakından ilgilidir. Her zaman karenin dört kenarına dokunarak bir kare içinde tam bir dönüş yapabilir ve bu özelliği ile mümkün olan en küçük şekil alanına sahiptir. Ancak, bu döndürme sürecinde karenin çoğunu kaplasa da, karenin köşelerine yakın alanının küçük bir bölümünü kaplayamamaktadır. Bir kare içinde dönme özelliğinden dolayı, Reuleaux üçgeni bazen '''Reuleaux rotoru''' olarak da bilinir.<ref name="howround"/>

Reuleaux üçgeni, sınırları tek sayıda kenarlı [[düzgün çokgen]]lerden oluşan sabit genişlikte eğriler olan [[Reuleaux çokgeni|Reuleaux çokgenleri]]nin bir dizisinin ilk elemanıdır. Bu eğrilerin bir kısmı [[Madeni para şekilleri|madeni para şekli]] olarak kullanılmıştır. Reuleaux üçgeni, birden çok şekilde üç boyuta da genelleştirilebilir: [[Reuleaux dört yüzlüsü]] (merkezleri normal bir [[dört yüzlü]] (tetrahedron) üzerinde uzanan dört [[Top (matematik)|top]]un kesişimi) sabit genişliğe sahip değildir, ancak sabit genişliğe sahip [[Meissner cismi|Meissner dört yüzlüsü]] oluşturmak için kenarları yuvarlatılarak değiştirilebilir. Alternatif olarak, Reuleaux üçgeninin [[dönel yüzeyi]] de sabit genişliğe sahiptir.

== Oluşturulması ==
[[Dosya:Construction_triangle_Reuleaux.svg|sol|küçükresim|{{Ortala|Bir Reuleaux üçgeninin oluşturulması}}]]
Reuleaux üçgeni doğrudan üç [[çember]]in kesiştirilmesiyle veya bir [[eşkenar üçgen]]in kenarlarını yuvarlayarak oluşturulabilir.<ref name="hann">{{Kaynak|başlık=Structure and Form in Design: Critical Ideas for Creative Practice|ad=Michael|soyadı=Hann|yayıncı=A&C Black|yıl=2014|isbn=978-1-4725-8431-1|sayfa=34|url=https://books.google.com/books?id=-CX-AgAAQBAJ&pg=PA34|erişimtarihi=30 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20160316052641/https://books.google.com/books?id=-CX-AgAAQBAJ&pg=PA34|arşivtarihi=16 Mart 2016|ölüurl=hayır}}.</ref>

Üç çemberli inşa, bir [[cetvel]]e bile ihtiyaç duymadan, yalnızca bir [[pergel]] ile gerçekleştirilebilir. [[Mohr-Mascheroni teoremi]]ne göre, aynı şey daha genel olarak herhangi bir [[Pergel ve çizgilik çizimleri|pergel ve düz kenarlı cetvel çizimleri]] için doğrudur<ref>{{Kaynak
 | soyadı = Hungerbühler
 | ad = Norbert
 |doi= 10.2307/2974536
 | sayı = 8
 | dergi = [[American Mathematical Monthly]]
 | mr = 1299166
 | sayfalar =784-787| başlık = A short elementary proof of the Mohr-Mascheroni theorem
 | cilt = 101
 | yıl = 1994
 | jstor = 2974536
 | citeseerx = 10.1.1.45.9902
 }}.</ref> ancak Reuleaux üçgeninin oluşturulması özellikle basittir. İlk adım, düzlemin (sonunda üçgenin köşeleri haline gelecek olan) rastgele iki noktasını işaretlemek ve pusulayı, işaretli noktalardan birinde ortalanmış bir çember çizmek için diğer işaretli noktadan geçmektir. Daha sonra, işaretli diğer noktada ortalanmış ve ilk işaretli noktadan geçen, aynı yarıçapta ikinci bir çember çizilir. Son olarak, yine aynı yarıçapta, merkezi önceki iki çemberin iki kesişme noktasından birinde işaretlenmiş her iki noktadan geçen üçüncü bir çember çizilir.<ref>Bu inşa yöntemi, {{Harvard kaynak metni|Maor|Jost|2014}} tarafından kısaca açıklanmıştır ve örneğin Alex Franke tarafından, 21 Ağustos 2011 tarihli {{YouTube|kim=OdY9Y-6DsgU|başlık=Fun with Reuleaux triangles}} videosunda görülebilir.</ref> Ortaya çıkan üç çemberin düzenlenmiş merkez bölgesi bir Reuleaux üçgeni olacaktır.<ref name="hann"/>

Alternatif olarak, bir Reuleaux üçgeni eşkenar üçgen ''T''’den, her biri ''T''’nin bir köşesinde ortalanmış ve diğer iki köşeyi birleştiren üç çember yayı çizilerek oluşturulabilir.<ref name="gardner"/> Veya eşdeğer olarak, yarıçapı ''T''’nin kenar uzunluğuna eşit olan, ''T''’nin köşelerinde ortalanmış üç diskin kesişimi olarak da inşa edilebilir.<ref name="onup"/>

== Matematiksel özellikler ==
[[Dosya:Reuleaux_supporting_lines.svg|küçükresim|{{Ortala|Bir Reuleaux üçgeninin paralel [[Destek doğrusu|destek doğruları]]}}]]

Reuleaux üçgeninin en temel özelliği, sabit genişliğe sahip olmasıdır, yani her bir paralel [[destek doğrusu]] çifti için (her ikisi de şekle, içinden geçmeden şekle dokunan aynı eğimdeki iki doğru), iki doğrunun bu doğruların yönüne bakılmaksızın birbirlerinden aynı [[Öklid uzaklığı]]na sahiptir.<ref name="gardner"/> Herhangi bir paralel destek doğrusu çiftinde, iki doğrudan biri zorunlu olarak üçgene köşelerinden birinde dokunacaktır. Diğer destek doğrusu, üçgene karşı yay üzerindeki herhangi bir noktada dokunabilir ([[teğet]] olabilir) ve mesafeleri (Reuleaux üçgeninin genişliği) bu yayın yarıçapına eşittir.<ref name="mj14">{{Kaynak|başlık=Beautiful Geometry|ad1=Eli|soyadı1=Maor|ad2=Eugen|soyadı2=Jost|yayıncı=Princeton University Press|yıl=2014|isbn=978-1-4008-4833-1|katkı=46 The Reuleaux Triangle|sayfalar=154-156|url=https://books.google.com/books?id=0fOKAQAAQBAJ&pg=PA154|erişimtarihi=30 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20160412185705/https://books.google.com/books?id=0fOKAQAAQBAJ&pg=PA154|arşivtarihi=12 Nisan 2016|ölüurl=hayır}}.</ref>

Sabit genişlikte eğrilerin varlığını keşfeden ve Reuleaux üçgeninin sabit genişliğe sahip olduğunu gözlemleyen ilk matematikçi [[Leonhard Euler]] olabilir.<ref name="howround">{{Kaynak|başlık=How Round Is Your Circle?: Where Engineering and Mathematics Meet|başlıkbağı=How Round Is Your Circle|ad1=John|soyadı1=Bryant|ad2=Chris|soyadı2=Sangwin|yayıncı=Princeton University Press|yıl=2011|isbn=978-0-691-14992-9|url=https://books.google.com/books?id=2lXgO3xKcxAC&pg=PA190|sayfa=190]|erişimtarihi=30 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20160517140939/https://books.google.com/books?id=2lXgO3xKcxAC&pg=PA190|arşivtarihi=17 Mayıs 2016|ölüurl=hayır}}.</ref> Euler, 1771'de sunduğu ve 1781'de yayınlanan ''De curvis triangularibus'' adlı bir ''makalede'', [[eğri]]sel üçgenlerin yanı sıra ''orbiform'' olarak adlandırdığı sabit genişlikte eğrileri de inceledi.<ref name="reich">{{Kaynak|başlıknotu=Euler's contribution to differential geometry and its reception|ad=Karin|soyadı=Reich|yazarbağı=Karin Reich|başlık=Leonhard Euler: Life, Work and Legacy|seri=Studies in the History and Philosophy of Mathematics|cilt=5|yıl=2007|sayfalar=479-502|doi=10.1016/S0928-2017(07)80026-0|editör1-ad=Robert E.|editör1-soyadı=Bradley|editör2-ad=Ed|editör2-soyadı=Sandifer|yayıncı=Elsevier|isbn=9780444527288|url=https://books.google.com/books?id=75vJL_Y-PvsC&pg=PA484|bölüm=Section 1.4: "Orbiforms, 1781"|erişimtarihi=30 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20160623164024/https://books.google.com/books?id=75vJL_Y-PvsC&pg=PA484|arşivtarihi=23 Haziran 2016|ölüurl=hayır}}.</ref><ref>{{Kaynak|ad=Leonhard|soyadı=Euler|yazarbağı=Leonhard Euler|başlık=De curvis triangularibus|url=http://eulerarchive.maa.org/pages/E513.html|dergi=Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae|cilt=1778|yıl=1781|sayfalar=3-30|dil=Latince|erişimtarihi=30 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20200117031152/http://eulerarchive.maa.org/pages/E513.html|arşivtarihi=17 Ocak 2020|ölüurl=hayır}}. ''Orbiform''ların tanımları için özellikle sayfa 7'ye bakın.</ref>

=== Uç ölçüler ===
Reuleaux üçgeni, birçok farklı ölçüte göre, sabit genişliğin en uç eğrilerinden biridir.

[[Blaschke–Lebesgue teoremi]]ne göre, Reuleaux üçgeni verilen sabit genişlikte herhangi bir eğrinin mümkün olan en küçük alanına sahiptir. Bu alan aşağıdaki şekilde hesaplanır:

: <math>\frac{1}{2}(\pi - \sqrt3)s^2 \approx 0.70477s^2,</math>

burada ''s'' sabit genişliktir. Bu alan formülünü türetmenin bir yöntemi, Reuleaux üçgenini bir iç eşkenar üçgene ve bu iç üçgen ile Reuleaux üçgenini oluşturan yaylar arasında üç eğrisel bölgeye bölmek ve ardından bu dört kümenin alanlarını eklemektir. Diğer uçta, mümkün olan maksimum alana sahip sabit genişliğin eğrisi, <math>\pi s^2 / 4\approx 0.78540s^2</math> alana sahip olan bir [[daire]]sel disktir.<ref name="gruber">{{Kaynak|başlık=Convexity and its Applications|ad=Peter M.|soyadı=Gruber|yayıncı=Birkhäuser|yıl=1983|isbn=978-3-7643-1384-5|url=https://archive.org/details/convexityitsappl0000unse/page/67|sayfa= 67]}}</ref>

Bir Reuleaux üçgeninin köşelerinde her yay çifti tarafından oluşturulan açıların tümü 120°'ye eşittir. Bu, sabit genişliğe sahip herhangi bir eğrinin herhangi bir [[Köşenokta|tepe noktası]]ndaki olası en keskin açıdır.<ref name="gardner"/> Ek olarak, sabit genişliğe sahip eğriler arasında, Reuleaux üçgeni hem en büyük hem de en küçük kirişler eşkenar üçgenlerine sahip olandır.<ref>{{Harvard kaynak metni|Gruber|1983|p=76}}</ref> Bir Reuleaux üçgeninde en büyük kirişler eşkenar üçgeni, üç köşesini birleştiren ve en küçük olanı, kenarlarının üç [[orta nokta]]sını birbirine bağlayandır. Üç veya daha fazla çapa ait noktalardan oluşan Reuleaux üçgeninin alt kümesi, bu iki üçgenden daha büyük olanının iç kısmıdır; sabit genişlikteki diğer herhangi bir eğrinin üç çaplı noktalarından daha büyük bir alana sahiptir.<ref>{{Kaynak
 | soyadı = Makeev
 | ad = V. V.
 |doi= 10.1023/A:1021287302603
 | sayı = Geom. i Topol. 5
 | dergi = Zap. Nauchn. Sem. S.-Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (POMI)
 | mr = 1809823
 | sayfalar =152-155, 329| başlık = An extremal property of the Reuleaux triangle
 | cilt = 267
 | yıl = 2000
 | s2cid = 116027099
 }}</ref>

[[Dosya:Symmetry_measure_of_Reuleaux_triangle.svg|küçükresim|{{Ortala|Asimetrisini ölçmek için kullanılan Reuleaux üçgeni içindeki ve dışındaki merkezi simetrik şekiller}}]]
Reuleaux üçgeni, bir [[eşkenar üçgen]]le aynı olan altı katlı [[İki düzlemli simetri|iki düzlemli (dihedral) simetri]]ye sahip olmasına rağmen, [[merkezi simetri]]ye sahip değildir. Reuleaux üçgeni, iki farklı merkezi asimetri ölçüsüne göre sabit genişliğin en az simetrik eğrisidir; [[Kovner-Besicovitch ölçüsü]] (alanın, eğri tarafından çevrelenen en büyük [[merkezi simetri]]k şekle oranı) ve [[Estermann ölçüsü]] (alanın, eğriyi çevreleyen en küçük merkezi simetrik şekle oranı). Reuleaux üçgeni için, asimetri ölçülerini belirleyen iki merkezi simetrik şeklin ikisi de [[altıgen]]dir, ancak içteki kıvrımlı kenarlara sahiptir.<ref name="finch">{{kaynak|bölümurl=http://www.people.fas.harvard.edu/~sfinch/csolve/rx.pdf|katkı=8.10 Reuleaux Triangle Constants|ad=Steven R.|soyadı=Finch|sayfalar=[https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc/page/513 513-514]|başlık=Mathematical Constants|seri=Encyclopedia of Mathematics and its Applications|yayıncı=Cambridge University Press|yıl=2003|isbn=978-0-521-81805-6|url=https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc/page/513}}.</ref> Reuleaux üçgeni, alanını sabit genişliğe sahip diğer herhangi bir eğriden daha eşit olmayan şekilde bölen çaplara sahiptir. Yani, başka bir asimetri ölçüsü olan bir çapın her iki tarafındaki maksimum alanlara oranı, Reuleaux üçgeni için sabit genişliğe sahip diğer eğrilere göre daha büyüktür.<ref>{{Kaynak
 | soyadı1 = Groemer
 | ad1 = H.
 | soyadı2 = Wallen
 | ad2 = L. J.
 | sayı = 2
 | dergi = Beiträge zur Algebra und Geometrie
 | mr = 1865537
 | sayfalar =517-521| başlık = A measure of asymmetry for domains of constant width
 | cilt = 42
 | yıl = 2001}}</ref>

Bir [[tam sayı kafesi]]nin tüm noktalarından kaçınan sabit genişlikteki tüm şekiller arasında, en büyük genişliğe sahip olan bir Reuleaux üçgenidir. Yarım tam sayı doğrusu üzerinde koordinat eksenlerine paralel [[simetri]] eksenlerinden birine sahiptir. Yaklaşık 1.545 olan genişliği, tam sayı katsayıları olan bir 6. derece polinomun köküdür.<ref name="finch"/><ref>{{Harvard kaynak metni|Gruber|1983|p=78}}</ref><ref>{{Kaynak
 | soyadı = Sallee
 | ad = G. T.
 | dergi = [[Pacific Journal of Mathematics]]
 | mr = 0240724
 | sayfalar =669-674| başlık = The maximal set of constant width in a lattice
 | url = http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102983320
 | cilt = 28
 | sayı = 3
 | yıl = 1969
 |doi= 10.2140/pjm.1969.28.669
 | arşivengelli = hayır
 |erişimtarihi= 30 Aralık 2020
 |arşivurl= https://web.archive.org/web/20200626125626/https://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102983320
 |arşivtarihi= 26 Haziran 2020
 | ölüurl = hayır
 }}</ref>

Bir çemberin kendisine dokunan altı eş çember ile çevrelenmesi mümkün olduğu gibi, aynı boyuttaki merkezi bir Reuleaux üçgeni ile temas edecek şekilde yedi uyumlu Reuleaux üçgeni inşa etmek de mümkündür. Bu, sabit genişliğe sahip herhangi bir eğri için mümkün olan maksimum sayıdır.<ref>{{Kaynak
 | soyadı = Fejes Tóth
 | ad = L.
 | yazarbağı = László Fejes Tóth
 | dergi = Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica
 | mr = 0221388
 | sayfalar =363-367| başlık = On the number of equal discs that can touch another of the same kind
 | cilt = 2
 | yıl = 1967}}; {{Kaynak
 | soyadı = Schopp
 | ad = J.
 | dergi = Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica
 | dil = Almanca
 | mr = 0285983
 | sayfalar =475-478| başlık = Über die Newtonsche Zahl einer Scheibe konstanter Breite
 | cilt = 5
 | yıl = 1970}}</ref>

[[Dosya:Reuleaux_kite.svg|küçükresim|sol|{{Ortala|Bir Reuleaux üçgeni içine çizilmiş, çevre/çap oranını en üst düzeye çıkaran bir [[Eş köşegenel dörtgen|eş köşegenel]] [[Deltoid (geometri)|uçurtma]]}}]]

Tüm [[dörtgen]]ler arasında, en büyük çevre [[çap]] oranına sahip olan şekil  bir [[Eş köşegenel dörtgen|eş köşegenel]] [[Deltoid (geometri)|uçurtma]]dır ve bir Reuleaux üçgeni içine çizilebilir.<ref name="kite">{{Kaynak |ad=D.G. |soyadı=Ball |başlık=A generalisation of π |dergi=[[The Mathematical Gazette]] |cilt=57 |sayı=402 |yıl=1973 |sayfalar=298-303|doi=10.2307/3616052|jstor=3616052 }}; {{Kaynak |ad1=David |soyadı1= Griffiths |ad2=David |soyadı2=Culpin |başlık=Pi-optimal polygons |dergi=[[The Mathematical Gazette]] |cilt=59 |sayı=409 |yıl=1975 |sayfalar=165-175|doi=10.2307/3617699|jstor= 3617699 }}.</ref>

=== Diğer ölçüler ===
[[Barbier teoremi]]ne göre, Reuleaux üçgeni dahil aynı sabit genişliğe sahip tüm eğriler eşit [[çevre]] uzunluğuna sahiptir. Özellikle bu çevre, aynı genişliğe sahip dairenin çevresine eşit olup <math>\pi s</math> ile hesaplanır.<ref>{{Kaynak
 | soyadı = Lay
 | ad = Steven R.
 | bölüm = Theorem 11.11
 | sayfalar=81-82| isbn = 978-0-486-45803-8
 | yayıncı = Dover
 | başlık = Convex Sets and Their Applications
 | url = https://books.google.com/books?id=U9eOPjmaH90C&pg=PA81
 | yıl = 2007}}</ref><ref>{{Kaynak
 | soyadı = Barbier
 | ad = E.
 | dergi = [[Journal de Mathématiques Pures et Appliquées]]
 | seri = 2<sup>e</sup> série
 | dil = Fransızca
 | sayfalar =273-286| başlık = Note sur le problème de l'aiguille et le jeu du joint couvert
 | url = http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1860_2_5_A18_0.pdf
 | cilt = 5
 | yıl = 1860
 |erişimtarihi= 30 Aralık 2020
 |arşivurl= https://web.archive.org/web/20170911030010/http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1860_2_5_A18_0.pdf
 |arşivtarihi= 11 Eylül 2017
 | ölüurl = hayır
 }}. Özellikle 283–285. sayfalara bakın.</ref><ref name="gardner">{{Kaynak|başlık=Knots and Borromean Rings, Rep-Tiles, and Eight Queens|cilt=4|seri=The New Martin Gardner Mathematical Library|ad=Martin|soyadı=Gardner|yazarbağı=Martin Gardner|yayıncı=Cambridge University Press|yıl=2014|isbn=978-0-521-75613-6|katkı=Chapter 18: Curves of Constant Width|sayfalar=223-245}}.</ref>

[[Dosya:Reuleaux triangle, incircle and circumcircle.svg|küçükresim|{{Ortala|Reuleaux üçgeni, iç teğet çember ve çevrel çember}}]]

Genişliği ''s'' olan bir Reuleaux üçgenin en büyük [[iç teğet çember]]inin ve aynı üçgenin [[çevrel çember]]inin yarıçapları sırasıyla;

: <math>\displaystyle\left(1-\frac{1}{\sqrt 3}\right)s\approx 0.42265s \quad \text{and} \quad \displaystyle\frac{s}{\sqrt 3}\approx 0.57735s</math>

Bu yarıçapların toplamı Reuleaux üçgeninin genişliğine eşittir. Daha genel olarak, sabit genişliğe sahip her eğri için, en büyük iç teğet çember ve en küçük çevrel çember eş merkezlidir ve yarıçaplarının toplamı eğrinin sabit genişliğine eşittir.<ref>{{Harvard kaynak metni|Lay|2007}}, Teorem 11.8, [https://books.google.com/books?id=U9eOPjmaH90C&pg=PA80 ss. 80–81] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20160528200744/https://books.google.com/books?id=U9eOPjmaH90C&pg=PA80 |tarih=28 Mayıs 2016 }}.</ref>

{{Çözülememiş|matematik|{{Ortala|Reuleaux üçgenleri düzlemde ne kadar yoğun olarak sıkıştırılabilir?}}}}

Reuleaux üçgeninin düzlemdeki en ideal [[sıkıştırma yoğunluğu]] kanıtlanmamıştır, ancak aşağıdaki gibi olduğu tahmin edilmektedir:

: <math>\frac{2(\pi-\sqrt 3)}{\sqrt{15}+\sqrt{7}-\sqrt{12}} \approx 0.922888, </math>

bu da, şekiller için olası bir [[çift kafes]] sıkıştırmanın yoğunluğudur. Sıkıştırma yoğunluğunun kanıtlanmış en iyi üst sınırı yaklaşık 0,947275'tir.<ref>{{Kaynak
 | soyadı1 = Blind
 | ad1 = G.
 | soyadı2 = Blind
 | ad2 = R.
 | sayı = 2–4
 | dergi = Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica
 | dil = Almanca
 | mr = 787951
 | sayfalar =465-469| başlık = Eine Abschätzung für die Dichte der dichtesten Packung mit Reuleaux-Dreiecken
 | cilt = 18
 | yıl = 1983}}. Ayrıca bkz. {{Kaynak
 | soyadı1 = Blind
 | ad1 = G.
 | soyadı2 = Blind
 | ad2 = R.
 |doi= 10.1007/BF03323256
 | sayı = 1–2
 | dergi = [[Results in Mathematics]]
 | dil = Almanca
 | mr = 880190
 | sayfalar =1-7| başlık = Reguläre Packungen mit Reuleaux-Dreiecken
 | cilt = 11
 | yıl = 1987
 | s2cid = 121633860}}</ref> Reuleaux üçgenlerinin sabit genişliğe sahip herhangi bir eğri içinde en yüksek sıkıştırma yoğunluğuna sahip olduğu varsayılmış ancak kanıtlanmamıştır.<ref>{{Kaynak|arxiv=1504.06733|başlık=On Curves and Surfaces of Constant Width|yıl=2015|yazarbağı1=Howard L. Resnikoff|ad=Howard L.|soyadı=Resnikoff|bibcode=2015arXiv150406733R}}.</ref>

=== Kare içinde dönme ===
[[Dosya:Rotation_of_Reuleaux_triangle.gif|küçükresim|{{Ortala|Bir Reuleaux üçgenin bir kare içindeki dönüşü, üçgenin merkezi tarafından izlenen eğriyi de gösterir}}]]

Sabit genişlikte herhangi bir eğri, [[kare]] içinde bir rotor oluşturabilir; [[kare]] içinde kalırken ve her zaman karenin dört kenarına dokunarak tam bir dönüş gerçekleştirebilen bir şekildir. Bununla birlikte, Reuleaux üçgeni, mümkün olan minimum alana sahip rotordur.<ref name="gardner"/> Dönerken ekseni tek bir noktada sabit kalmaz, bunun yerine dört [[elips]] parçasının oluşturduğu bir eğri izler.<ref>{{Kaynak
 | soyadı1 = Gleiftner
 | ad1 = Winfried
 | soyadı2 = Zeitler
 | ad2 = Herbert
 | ay = Mayıs
 | yıl= 2000
 |doi= 10.1007/bf03322004
 | sayı = 3–4
 | dergi = [[Results in Mathematics]]
 | sayfalar =335-344| başlık = The Reuleaux triangle and its center of mass
 | cilt = 37
 | s2cid = 119600507}}</ref> 120° açıları nedeniyle dönen Reuleaux üçgeni, karenin köşelerinde daha keskin açıların yakınında bazı noktalara ulaşamaz, bunun yerine yine eliptik yaylardan oluşan hafif yuvarlatılmış köşeli bir şekli kaplar.

{{Çoklu resim
| align=center
| image1=Reuleaux triangle rotation center.svg
| alt1=Üçgenin merkezinin hareket yolunu yöneten elips ile bir kare içinde Reuleaux üçgeni
| caption1={{Ortala|Dört elipsten biri ve takip eden bir kare içinde dönen Reuleaux üçgeninin merkezi}}
| image2=Reuleaux triangle rotation corners.svg
| alt2=Üçgenin taradığı bölgeyi sınırlayan elips ile bir kare içinde Reuleaux üçgeni
| caption2={{Ortala|Bir karenin köşelerinden birini (sol altta) dönen bir Reuleaux üçgeni tarafından süpürülen bölgeden ayıran elips}}
}}

Bu dönüş sırasında herhangi bir noktada, Reuleaux üçgeninin iki köşesi karenin iki bitişik kenarına temas ederken, üçgenin üçüncü köşesi karenin zıt tepe noktasına yakın bir eğri çizer. Dönen Reuleaux üçgeninin izlediği şekil, karenin yaklaşık% 98,77'sini kaplar.<ref>{{Kaynak|yazarbağı=Clifford A. Pickover|soyadı=Pickover|ad=Clifford A.|başlık=The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics|yayıncı=Sterling Publishing Company|yıl=2009|isbn=978-1-4027-5796-9|sayfa=266|katkı=Reuleaux Triangle|url=https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC&pg=PA266|erişimtarihi=30 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20160517115134/https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC&pg=PA266|arşivtarihi=17 Mayıs 2016|ölüurl=hayır}}.</ref>

=== Bir karşı örnek olarak ===
Reuleaux'nun Reuleaux üçgenini incelemeye yönelik orijinal motivasyonu, bir karşı örnek olarak, üç tek noktalı bağlantının düzlemsel bir nesneyi tek bir konuma sabitlemek için yeterli olmayabileceğini gösteriyordu.<ref>{{Harvard kaynak metni|Moon|2007}}, [https://books.google.com/books?id=lw7lN8JibZsC&pg=PA239 s. 239] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20160506045612/https://books.google.com/books?id=lw7lN8JibZsC&pg=PA239 |tarih=6 Mayıs 2016 }}.</ref> Reuleaux üçgenlerinin ve sabit genişliğe sahip diğer eğrilerin varlığı, çap ölçümlerinin tek başına bir nesnenin çembersel bir kesite sahip olduğunu doğrulayamayacağını göstermektedir.<ref>{{Kaynak
 | soyadı1 = Granovsky
 | ad1 = V. A.
 | soyadı2 = Siraya
 | ad2 = T. N.
 | editör1-soyadı = Pavese
 | editör1-ad = F.
 | editör2-soyadı = Bär
 | editör2-ad = M.
 | editör3-soyadı = Filtz
 | editör3-ad = J.-R.
 | editör4-soyadı = Forbes
 | editör4-ad = A. B.
 | editör5-soyadı = Pendrill
 | editör5-ad = L.
 | editör6-soyadı = Shirono
 | editör6-ad = K.
 | katkı = Metrological traceability and quality of industrial tests measurements
 | sayfalar =194-201| yayıncı = World Scientific
 | başlık = Advanced Mathematical and Computational Tools in Metrology and Testing IX}}. Özellikle bkz. [https://books.google.com/books?id=2dwn4M7IEWUC&pg=PA200 s. 200] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20160610134322/https://books.google.com/books?id=2dwn4M7IEWUC&pg=PA200 |tarih=10 Haziran 2016 }}.</ref>

[[Kirişler karesi problemi]] ile bağlantılı olarak {{Harvard kaynak metni|Eggleston|1958}}, Reuleaux üçgeninin, düzgün altıgen dışında, dört kenardan daha fazla düzgün çokgenin kirişler çokgeni olamayacağı sabit genişlikte bir şekil örneği sağladığını gözlemledi ve bu şekle, sabit genişliğini koruyan ancak aynı zamanda düzgün altıgenlerin kirişler çokgeni olmasını engelleyen küçük bir değişiklik yaptı. [[Kesit]]i ile aynı şekle sahip bir silindiri kullanarak bu sonucu üç boyuta genelleştirdi.<ref>{{kaynak
 | soyadı = Eggleston
 | ad = H. G.
 |doi= 10.2307/2308878
 | dergi = [[American Mathematical Monthly]]
 | mr = 0097768
 | sayfalar =76-80| başlık = Figures inscribed in convex sets
 | cilt = 65
 | sayı = 2
 | yıl = 1958
 | jstor = 2308878}}.</ref>

== Uygulamalar ==

=== Köşelere ulaşmak ===
Bir kare içinde dönebilme özelliğine bağlı olarak, çeşitli makine türleri Reuleaux üçgeni şeklini alır.

[[Watts Brothers Tool Works]] kare [[Burgu|matkap ucu]], kesme yüzeylerini oluşturmak için içbükeyliklerle değişikliğe uğramış bir Reuleaux üçgeni şekline sahiptir. Ucun sabit bir dönme merkezine sahip olmamasına izin veren özel bir aynaya monte edildiğinde, neredeyse kareye yakın bir delik açabilir.<ref name="watts">{{Kaynak
|yayıncı=[[Watts Brothers Tool Works]]
|başlık=How to drill square hexagon octagon pentagon holes
|yer=Wilmerding, Pennsylvania
|yıl=1950–1951}} (27 sayfa broşür).</ref> 1914'te Henry Watts tarafından patenti alınmış olmasına rağmen, başkaları tarafından icat edilen benzer matkaplar daha önce kullanıldı.<ref name="gardner"/> Diğer Reuleaux çokgenleri [[beşgen]], altıgen ve sekizgen delikler açmak için kullanılır.<ref name="gardner" /><ref name="watts" />

[[Panasonic]]'in RULO [[Robotik elektrik süpürgesi|robot elektrik süpürgesi]], odaların köşelerindeki tozu temizlemeyi kolaylaştırmak için Reuleaux üçgenine dayanan bir şekle sahiptir.<ref>{{Kaynak|soyadı1=Mochizuki|ad1=Takashi|başlık=Panasonic Rolls Out Triangular Robot Vacuum|url=https://blogs.wsj.com/japanrealtime/2015/01/22/panasonic-rolls-out-triangular-robot-vacuum/|başlıknotu=Japan Real Time|gazete=[[Wall Street Journal]]|tarih=22 Ocak 2015|erişimtarihi=30 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20160310122638/http://blogs.wsj.com/japanrealtime/2015/01/22/panasonic-rolls-out-triangular-robot-vacuum/|arşivtarihi=10 Mart 2016|ölüurl=hayır}}.</ref><ref>{{Kaynak|url=http://www.gizmag.com/panasonic-rulo/36378/|başlık=Panasonic enters the robo-vac game, with the triangular Rulo|ad=Ben|soyadı=Coxworth|tarih=3 Mart 2015|dergi=Gizmag|erişimtarihi=30 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20160523214939/http://www.gizmag.com/panasonic-rulo/36378/|arşivtarihi=23 Mayıs 2016|ölüurl=hayır}}.</ref>

=== Yuvarlanan silindirler ===
[[Dosya:Reuleaux_triangle_54.JPG|küçükresim|{{Ortala|Silindirik ve Reuleaux üçgen ruloların karşılaştırılması}}]]
[[Dosya:Reuleaux triangle roll.gif|küçükresim]]

Reuleaux üçgeninin başka bir uygulama sınıfı, Reuleaux üçgen kesitine sahip silindirik nesneleri içerir. Daha geleneksel yuvarlak veya altıgen variller yerine bu şekilde birkaç kurşun kalem üretilmiştir.<ref name="pencil">{{Kaynak|url=http://www.pencilrevolution.com/2006/04/review-of-staedtler-noris-ergosoft-hb/|başlık=Review of Staedtler Noris Ergosoft HB|çalışma=Pencil Revolution|tarih=26 Nisan 2006|erişimtarihi=22 Mayıs 2015|ad=Johnny|soyadı=Gamber|arşivurl=https://web.archive.org/web/20200113052951/http://www.pencilrevolution.com/2006/04/review-of-staedtler-noris-ergosoft-hb/|arşivtarihi=13 Ocak 2020|ölüurl=hayır}}.</ref> Genellikle daha rahat oldukları veya doğru tutuşu teşvik ettikleri ve masalardan yuvarlanma olasılıkları daha düşük olduğu (ağırlık merkezi dönen bir altıgenden daha fazla yukarı ve aşağı hareket ettiği için) şeklinde tanıtılırlar.

Bir Reuleaux üçgeni (diğer tüm [[sabit genişlikli eğriler]]le birlikte) [[Yuvarlanma|yuvarlanabilir]], ancak sabit bir dönme merkezi etrafında dönmediği için zayıf bir [[tekerlek]] oluşturur. Reuleaux üçgen kesitine sahip silindirlerin üstündeki bir nesne düzgün ve düz bir şekilde yuvarlanır, ancak Reuleaux üçgen tekerleklerine takılan bir aks, devir başına üç kez yukarı ve aşağı seker.<ref name="gardner"/><ref>{{Kaynak
 | soyadı1 = Masferrer León
 | ad1 = Claudia
 | soyadı2 = von Wuthenau Mayer
 | ad2 = Sebastián
 | ay = Aralık
 | yıl = 2005
 |doi= 10.1007/bf02985852
 | sayı = 4
 | dergi = [[The Mathematical Intelligencer]]
 | sayfalar =7-13| başlık = Reinventing the wheel: Non-circular wheels
 | cilt = 27}}</ref> Bu kavram, [[Poul Anderson]] tarafından "Üç Köşeli Tekerlek (The Three-Cornered Wheel)" adlı kısa bir bilimkurgu öyküsünde kullanıldı.<ref name="mj14"/><ref>{{Kaynak|soyadı=Anderson|ad=Poul|başlık=The Three-Cornered Wheel|dergi=[[Analog Science Fiction and Fact|Analog]]|ay=Ekim|yıl=1963|sayfalar=50-69|url=http://www.unz.org/Pub/AnalogSF-1963oct-00050|arşivengelli=evet|erişimtarihi=30 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20180109063650/http://www.unz.org/Pub/AnalogSF-1963oct-00050|arşivtarihi=9 Ocak 2018|ölüurl=hayır}}</ref> Yüzer akslara sahip bir bisiklet ve Reuleaux üçgeni şeklindeki tekerleğinin kenarıyla desteklenen bir çerçeve, 2009 yılında aynı şekle sahip kalemlerden ilham alan Çinli mucit Guan Baihua tarafından yapıldı ve gösterildi.<ref>{{Kaynak|ad=Tyra|soyadı=Dempster|url=https://www.reuters.com/article/us-china-bicycle-idUSTRE55G1GB20090617|yayıncı=Reuters|başlık=Chinese man reinvents the wheel|tarih=17 Haziran 2009|erişimtarihi=30 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20210415213829/https://www.reuters.com/article/us-china-bicycle-idUSTRE55G1GB20090617|arşivtarihi=15 Nisan 2021|ölüurl=hayır}}</ref>

=== Mekanizma tasarımı ===
[[Dosya:Luch2_greifer.gif|sol|küçükresim|{{Ortala|Sovyet Luch-2 8mm film projektöründe Reuleaux üçgen tabanlı film ilerleme mekanizması}}]]

Reuleaux üçgeninin başka bir uygulama sınıfı, onun [[Sabit bir eksen etrafında dönme|sabit bir eksen etrafında dönüşü]]nü [[ileri geri hareket]]e (öteleme hareketine) dönüştürebilen [[Bağlantı (mekanik)|mekanik bağlantı]]nın bir parçası olarak kullanmayı içerir.<ref name="onup">{{Kaynak|başlık=Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory|cilt=11|seri=Dolciani mathematical expositions|ad1=Victor|soyadı1=Klee|yazarbağı1=Victor Klee|ad2=S.|soyadı2=Wagon|yazarbağı2=Stan Wagon|yayıncı=Cambridge University Press|yıl=1991|isbn=978-0-88385-315-3|sayfa=21|url=https://books.google.com/books?id=tRdoIhHh3moC&pg=PA21|erişimtarihi=30 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20160507195857/https://books.google.com/books?id=tRdoIhHh3moC&pg=PA21|arşivtarihi=7 Mayıs 2016|ölüurl=hayır}}.</ref> Bu mekanizmalar Franz Reuleaux tarafından incelenmiştir. Gustav Voigt şirketinin yardımıyla Reuleaux, birçoğu Reuleaux üçgenini içeren yaklaşık 800 model mekanizma inşa etti.<ref name="cornell"/> Reuleaux bu modelleri, hareketlerinin öncü bilimsel araştırmalarında kullandı.<ref>{{Kaynak|başlık=Mathematics and the Aesthetic: New Approaches to an Ancient Affinity|seri=CMS Books in Mathematics|editör1-ad=Nathalie|editör1-soyadı=Sinclair|editör1-bağ=Nathalie Sinclair|editör2-ad=David|editör2-soyadı=Pimm|editör3-ad=William|editör3-soyadı=Higginson|yayıncı=Springer|yıl=2007|isbn=978-0-387-38145-9|katkı=Experiencing meanings in geometry|ad1=David W.|soyadı1=Henderson|ad2=Daina|soyadı2=Taimina|yazarbağı2=Daina Taimina|sayfalar=58-83|doi=10.1007/978-0-387-38145-9_4|hdl=1813/2714|arşivengelli=hayır}}. Özellikle bkz. [https://books.google.com/books?id=GJBKLnkYyi0C&pg=PA81 s. 81] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20160513045109/https://books.google.com/books?id=GJBKLnkYyi0C&pg=PA81 |tarih=13 Mayıs 2016 }}.</ref> Reuleaux–Voigt modellerinin çoğu kaybolmuş olsa da, 9'u Reuleaux üçgenine dayalı olmak üzere 219'u [[Cornell Üniversitesi]]'nde toplandı.<ref name="cornell">{{Kaynak|başlık=The Reuleaux Collection of Kinematic Mechanisms at Cornell University|ad=Francis C.|soyadı=Moon|ay=Temmuz|yıl= 1999|yayıncı=Cornell University Library|url=https://www.asme.org/wwwasmeorg/media/resourcefiles/aboutasme/who%20we%20are/engineering%20history/landmarks/232-reuleaux-collection-of-kinematic-mechanisms-at-cornell-university.pdf|arşivurl=https://web.archive.org/web/20200614022856/https://www.asme.org/wwwasmeorg/media/resourcefiles/aboutasme/who%20we%20are/engineering%20history/landmarks/232-reuleaux-collection-of-kinematic-mechanisms-at-cornell-university.pdf|arşivtarihi=14 Haziran 2020}}.</ref><ref name="moon241"/> Bununla birlikte, mekanizma tasarımında Reuleaux üçgenlerinin kullanılması Reuleaux'nun çalışmasından önce gelir; Örneğin, bazı [[Buhar makinesi|buhar motorları]] [[Kam (mekanizma)|kam]] bir Reuleaux üçgeni şeklinde 1830 gibi erken bir zamanda vardı.<ref>{{Harvard kaynak metni|Moon|2007|p=240}}</ref><ref name="mathtrek">{{Kaynak|ad=Ivars|soyadı=Peterson|yazarbağı=Ivars Peterson|başlık=Rolling with Reuleaux|tarih=19 Ekim 1996|çalışma=MathTrek|url=https://www.sciencenews.org/article/rolling-reuleaux|yayıncı=[[ScienceNews]]|erişimtarihi=30 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20160304035540/https://www.sciencenews.org/article/rolling-reuleaux|arşivtarihi=4 Mart 2016|ölüurl=hayır}}. {{Kaynak|başlık=Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles|seri=MAA spectrum|ad=Ivars|soyadı=Peterson|yazarbağı=Ivars Peterson|yayıncı=[[Mathematical Association of America]]|yıl=2002|isbn=978-0-88385-537-9|sayfalar=141-144|url=https://books.google.com/books?id=4gWSAraVhtAC&pg=PA141|erişimtarihi=30 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20160413032827/https://books.google.com/books?id=4gWSAraVhtAC&pg=PA141|arşivtarihi=13 Nisan 2016|ölüurl=hayır}}'de tekrar basılmıştır.</ref>

Bu ilkenin bir uygulaması, bir [[film projektörü]]nde ortaya çıkar. Bu uygulamada, filmi sarsıntılı, kademeli bir hareketle ilerletmek gerekir, burada her film karesi projektör merceğinin önünde saniyenin bir kısmı için durur ve ardından çok daha hızlı bir şekilde bir sonraki çerçeveye geçer. Bu, bir Reuleaux üçgeninin bir kare içindeki dönüşünün, filmi hızla her yeni kareye çeken ve ardından çerçeve yansıtılırken filmin hareketini duraklatan bir aktüatör için bir hareket modeli oluşturmak amacıyla kullanıldığı bir mekanizma ile yapılabilir.<ref>{{Harvard kaynak metni|Lay|2007}}, [https://books.google.com/books?id=U9eOPjmaH90C&pg=PA83 s. 83] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20160521215037/https://books.google.com/books?id=U9eOPjmaH90C&pg=PA83 |tarih=21 Mayıs 2016 }}.</ref>

[[Wankel motoru]]nun rotoru, genellikle bir Reuleaux üçgeni örneği olarak gösterilen eğrisel bir üçgen şeklindedir.<ref name="icons"/><ref name="howround"/><ref name="gardner"/><ref name="mathtrek"/> Bununla birlikte, kıvrımlı kenarları bir Reuleaux üçgeninden biraz daha düzdür ve bu nedenle sabit genişliğe sahip değildir.<ref>{{Harvard kaynak metni|Gruber|1983|sayfa=80}}; {{Kaynak|başlık=Rotary engine geometry|tarih=March 1977|sayı=2|postalistesi=Mathematics Magazine|sayfalar=87-89|cilt=50|doi=10.1080/0025570x.1977.11976621}}; {{Kaynak
 | soyadı = Nash
 | ad = David H.
 | ay = Mart
 | yıl = 1977
 |doi= 10.1080/0025570x.1977.11976621
 | sayı = 2
 | dergi = Mathematics Magazine
 | sayfalar =87-89| başlık = Rotary engine geometry
 | cilt = 50}}; {{Kaynak
 | soyadı1 = Badr
 | ad1 = O.
 | soyadı2 = Naik
 | ad2 = S.
 | soyadı3 = O'Callaghan
 | ad3 = P. W.
 | soyadı4 = Probert
 | ad4 = S. D.
 |doi= 10.1016/0306-2619(91)90063-4
 | sayı = 1
 | dergi = Applied Energy
 | sayfalar =59-76| başlık = Rotary Wankel engines as expansion devices in steam Rankine-cycle engines
 | cilt = 39
 | yıl = 1991}}.</ref>

=== Mimari ===
[[Dosya:Reuleaux_triangle_shaped_window_of_Onze-Lieve-Vrouwekerk,_Bruges.jpg|küçükresim|{{Ortala|Belçika'daki [[The Church of Our Lady|Bruges Meryem Ana Kilisesi]]'nin Reuleaux üçgeni şekilli penceresi}}]]

[[Gotik mimari]]de, 13. yüzyılın sonlarından veya 14. yüzyılın başlarından<ref name="mcwte">{{Kaynak|url=https://books.google.com/books?id=SY7aHx8KwK0C&pg=PA63|sayfalar=63-64|başlık=Medieval Church Window Tracery in England|ad=Stephen|soyadı=Hart|yayıncı=Boydell & Brewer Ltd|yıl=2010|isbn=978-1-84383-533-2|erişimtarihi=30 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20160412192834/https://books.google.com/books?id=SY7aHx8KwK0C&pg=PA63|arşivtarihi=12 Nisan 2016|ölüurl=hayır}}.</ref> başlayarak, Reuleaux üçgeni pencereler, pencere [[Gotik pencere oyma süsü|oyma]] ve diğer mimari süslemelerde sıklıkla kullanılan eğrisel biçimlerden biri haline geldi.<ref name="icons"/> Örneğin, [[İngiliz Gotik mimarisi]]nde bu şekil, hem 1250–1290 geometrik üslubu hem de 1290–1350 eğrisel üslupla devam eden süslü dönemle ilişkilendirilmiştir. [[Duomo di Milano|Milano Katedrali]]'nin bazı pencerelerinde de görülür.<ref>{{Kaynak|soyadı1=Marchetti|ad1=Elena|soyadı2=Costa|ad2=Luisa Rossi|editör1-soyadı=Williams|editör1-ad=Kim|editör2-bağ=Kim Williams (mimar)|editör2-soyadı=Ostwald|editör2-ad=Michael J.|katkı=What geometries in Milan Cathedral?|doi=10.1007/978-3-319-00137-1_35|sayfalar=509-534|yayıncı=Birkhäuser|başlık=Architecture and Mathematics from Antiquity to the Future, Volume I: Antiquity to the 1500s|yıl=2014}}</ref> Bu bağlamda, şekil daha çok küresel üçgendir,<ref>{{Kaynak|başlık=A glossary of terms used in Grecian, Roman, Italian, and Gothic architecture|cilt=1|ad=John Henry|soyadı=Parker|basım=5.|yıl=1850|sayfa=202|url=https://books.google.com/books?id=uXtZAAAAYAAJ&pg=PA202|yer=Londra|yayıncı=David Rogue|erişimtarihi=30 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20160428000357/https://books.google.com/books?id=uXtZAAAAYAAJ&pg=PA202|arşivtarihi=28 Nisan 2016|ölüurl=hayır}}.</ref><ref>{{Kaynak|başlık=Practical plane geometry|ad=E. S.|soyadı=Burchett|yıl=1876|katkı=Caption to Plate LV, Fig. 6|url=https://books.google.com/books?id=oDcDAAAAQAAJ&pg=RA1-PA94|yer=Londra ve Glasgow|yayıncı=William Collins, Sons, and Co.|erişimtarihi=30 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20160520085842/https://books.google.com/books?id=oDcDAAAAQAAJ&pg=RA1-PA94|arşivtarihi=20 Mayıs 2016|ölüurl=hayır}}.</ref> ancak [[küresel üçgen]]in daha genel matematiksel anlamı bir [[küre]]nin yüzeyindeki bir üçgendir (aynı zamanda mimaride yaygın olarak kullanılan [[Pandantif (mimarlık)|pandantif]] bir şekil). Gotik kilise mimarisinde kullanımda, Reuleaux üçgenin üç köşeli şekli, hem [[teslis]]in bir sembolü,<ref>{{Kaynak|başlık=The Symbolism of Churches and Church Ornaments: A Translation of the First Book of the Rationale Divinorum Officiorum|ad=Guillaume|soyadı=Durand|basım=3.|yayıncı=Gibbings|yıl=1906|url=https://books.google.com/books?id=vRknpENyAlQC&pg=PR88|sayfa=lxxxviii|erişimtarihi=30 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20160603124336/https://books.google.com/books?id=vRknpENyAlQC&pg=PR88|arşivtarihi=3 Haziran 2016|ölüurl=hayır}}.</ref> ve hem de "çember şeklinde karşı bir hareket" olarak görülebilir.<ref>{{Kaynak|başlık=Gothic Architecture|cilt=19|seri=Pelican history of art|ad1=Paul|soyadı1=Frankl|ad2=Paul|soyadı2=Crossley|yayıncı=Yale University Press|yıl=2000|isbn=978-0-300-08799-4|sayfa=146|url=https://books.google.com/books?id=LBZ6781vvOwC&pg=PA146|erişimtarihi=30 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20160511072218/https://books.google.com/books?id=LBZ6781vvOwC&pg=PA146|arşivtarihi=11 Mayıs 2016|ölüurl=hayır}}.</ref>

Reuleaux üçgeni diğer mimari tarzlarda da kullanılmıştır. Örneğin [[Leonardo da Vinci]], bu şekli bir sur planı olarak çizmiştir.<ref name="moon241">{{Harvard kaynak metni|Moon|2007|p=241}}.</ref> Reuleaux üçgeni şeklindeki bir kat planı kullandığı iddia edilen modern binalar arasında [[Kresge Oditoryumu|MIT Kresge Oditoryumu]], [[Kölntriangle]], [[Donauturm]], [[Torre de Collserola]] ve [[Mercedes-Benz Müzesi]] bulunmaktadır.<ref name="conti"/> Ancak çoğu durumda bunlar, Reuleaux üçgeninden farklı geometriye sahip, yalnızca yuvarlak üçgenlerdir.

=== Harita yapımı ===
Reuleaux üçgeninin bir başka erken uygulaması, yaklaşık 1514 tarihli olan [[da Vinci'nin dünya haritası]]dır, dünyanın küresel yüzeyinin her biri bir Reuleaux üçgeni şeklinde düzleştirilmiş sekiz oktana bölündüğü bir [[dünya haritası]]ydı.<ref name="snyder">{{Kaynak|başlık=Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections|ad=John P.|soyadı=Snyder|yayıncı=University of Chicago Press|yıl=1997|isbn=978-0-226-76747-5|sayfa=40|url=https://books.google.com/books?id=0UzjTJ4w9yEC&pg=PA40|erişimtarihi=30 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20200626101231/https://books.google.com/books?id=0UzjTJ4w9yEC&pg=PA40|arşivtarihi=26 Haziran 2020|ölüurl=hayır}}.</ref><ref>{{Kaynak
 | soyadı = Keuning
 | ad = Johannes
 | ay = Ocak
 | yıl = 1955
 |doi= 10.1080/03085695508592085
 | sayı = 1
 | dergi = [[Imago Mundi]]
 | jstor = 1150090
 | sayfalar =1-24| başlık = The history of geographical map projections until 1600
 | cilt = 12}}.</ref><ref name="dee">{{Kaynak
 | soyadı = Bower
 | ad = David I.
 | ay = Şubat
 | yıl = 2012
 |doi= 10.1179/1743277411y.0000000015
 | sayı = 1
 | dergi = [[The Cartographic Journal]]
 | sayfalar =55-61| başlık = The unusual projection for one of John Dee's maps of 1580
 | url = http://dibower.co.uk/data/documents/Dee-projn-paper.pdf
 | cilt = 49
 | s2cid = 129873912
 |erişimtarihi= 30 Aralık 2020
 |arşivurl= https://web.archive.org/web/20161221210916/http://dibower.co.uk/data/documents/Dee-projn-paper.pdf
 |arşivtarihi= 21 Aralık 2016
 | ölüurl = hayır
 }}.</ref>

[[Dosya:Leonardo_da_Vinci’s_Mappamundi.jpg|orta|küçükresim|{{Ortala|Sekiz Reuleaux üçgeni içindeki Leonardo [[da Vinci'nin dünya haritası]]}}]]

Reuleaux üçgenine dayanan benzer haritalar 1551'de [[Oronce Finé]] ve 1580'de [[John Dee]] tarafından yayınlanmıştır.<ref name="dee"/>

=== Diğer nesneler ===
[[Dosya:V-Pick_Psychos.JPG|küçükresim|sol|{{Ortala|Reuleaux üçgen şekilli gitar [[pena]]ları}}]]
Birçok gitar [[pena]]sı Reuleaux üçgenini kullanır, çünkü şekli güçlü bir artikülasyon sağlamak ve sıcak bir tını üretmek için, keskin bir nokta ile geniş bir ucu birleştirir. Şeklin üç noktası da kullanılabilir olduğundan, tek uçlu bir mızraba göre yönlendirilmesi daha kolaydır, daha az ve yavaş aşınır.<ref name="picks">{{Kaynak|soyadı=Hoover|ad=Will|ay=Kasım|yıl=1995|başlık= Picks!: The Colorful Saga of Vintage Celluloid Guitar Plectrums|sayfalar=32-33|yayıncı=Backbeat Books|isbn=978-0-87930-377-8}}.</ref>

{{çoklu resim
|total_width=420
|image1=Philadelphia fire hydrant.jpg
|image2=Tux Hydrant.jpg
|footer={{Ortala|Bir yangın musluğunun yasadışı kullanımı, Philadelphia, 1996 ve böyle bir kullanımı önlemek için Reuleaux üçgen şekilli somunu olan daha yeni bir Philadelphia yangın musluğu.}}
}}

Reuleaux üçgeni, bir [[yangın musluğu]] vanası somununun enine kesiti için şekil olarak kullanılmıştır. Bu şeklin sabit genişliği, standart paralel çeneli anahtarlar kullanılarak yangın musluğunun açılmasını zorlaştırır; bunun yerine özel şekilli bir anahtar gereklidir. Bu özellik, yangın musluklarının (özel anahtarı olan) itfaiyeciler tarafından açılmasına izin verir, ancak musluğu diğer faaliyetler için su kaynağı olarak kullanmaya çalışan diğer kişiler tarafından açılamaz.<ref>{{Kaynak
 | soyadı1 = Martini
 | ad1 = Horst
 | soyadı2 = Montejano
 | ad2 = Luis
 | soyadı3 = Oliveros
 | ad3 = Déborah
 |doi= 10.1007/978-3-030-03868-7
 | isbn = 978-3-030-03866-3
 | mr = 3930585
 | sayfa = 3
 | yayıncı = Birkhäuser
 | başlık = Bodies of Constant Width: An Introduction to Convex Geometry with Applications
 | yıl = 2019}}</ref>

[[Dosya:Smithsonian_Submillimeter_Array.jpg|küçükresim|{{Ortala|Yaklaşık bir Reuleaux üçgeni üzerine yerleştirilmiş sekiz anteninden yedisi ile [[Mauna Kea Gözlemevleri|Submilimeter Dizisi]]}}]]

{{Harvard kaynak metni|Keto|1997}} bir önerisini takiben,<ref name="keto">{{kaynak
 | soyadı = Keto
 | ad = Eric
 |bibcode= 1997ApJ...475..843K
 |doi= 10.1086/303545
 | sayı = 2
 | dergi= [[The Astrophysical Journal]]
 | sayfalar =843-852| başlık = The shapes of cross-correlation interferometers
 | cilt = 475
 | yıl = 1997
 | arşivengelli = hayır
 }}</ref> [[Hawaii]]'deki [[Mauna Kea]]'da bir radyo dalgası astronomik gözlemevi olan [[Mauna Kea Gözlemevleri|Submilimeter Dizisinin]] antenleri, iç içe geçmiş dört Reuleaux üçgeni üzerinde düzenlenmiştir.<ref name="blundell">{{kaynak
 | soyadı = Blundell
 | ad = Raymond
 | katkı = The submillimeter array
 | bölümurl= https://www.cfa.harvard.edu/sma/general/IEEE.pdf
 |doi= 10.1109/mwsym.2007.380132
 | başlık = Proc. 2007 IEEE/MTT-S International Microwave Symposium
 | sayfalar =1857-1860| yıl = 2007
 | isbn = 978-1-4244-0687-6
 | s2cid = 41312640
 }}</ref><ref name="hml04">{{kaynak
 | soyadı1 = Ho
 | ad1 = Paul T. P.
 | soyadı2 = Moran
 | ad2 = James M.
 | soyadı3 = Lo
 | ad3 = Kwok Yung
 |bibcode= 2004ApJ...616L...1H
 |doi= 10.1086/423245
 | sayı = 1
 | dergi= [[The Astrophysical Journal]]
 | sayfalar =L1-L6| başlık = The submillimeter array
 | cilt = 616
 | yıl = 2004
 | arxiv = astro-ph/0406352
 | s2cid = 115133614}}</ref> Anteni sabit genişlikte bir eğri üzerine yerleştirmek, gözlemevinin tüm yönlerde aynı uzaysal çözünürlüğe sahip olmasına neden olur ve dairesel bir gözlem ışını sağlar. Sabit genişliğe sahip en asimetrik eğri olan Reuleaux üçgeni, diziden gelen sinyalin [[Fourier dönüşümü]] için düzlemin en düzgün kapsamına götürür. Antenler, her bir gözlemin istenen açısal çözünürlüğüne göre farklı gözlemler için bir Reuleaux üçgeninden diğerine hareket ettirilebilir. Antenlerin bu Reuleaux üçgenleri üzerindeki hassas yerleşimi bir [[Yapay sinir ağları|sinir ağı]] kullanılarak en ideal hale getirildi. Bazı yerlerde, inşa edilen gözlemevi, tercih edilen Reuleaux üçgen şeklinden ayrılıyor çünkü bu şekil verilen alan içinde mümkün değildi.

=== İşaretler ve logolar ===
{{çoklu resim
|align=left
|total_width=250
|image1 = Volhynian Coat of Arms 1313.jpg
|image2 = Lithuania national ice hockey team Logo.png
|image3 = 93-66-CU Plaque, Command 3rd Dental Company (13761912363).jpg}}

Birçok işaret ve kurumsal logo için kullanılan kalkan şekillerinde yuvarlak üçgenler bulunur. Ancak, bunlardan sadece bazıları Reuleaux üçgenleridir.

Avrupa, [[Kuzey Amerika]] ve Afrika'da büyük operasyonları yapan [[Belçikalılar|Belçikalı]] bir petrol şirketi olan [[Petrofina]]'nın (Fina) kurumsal logosu, 1950'den Petrofina'nın 2000'de [[Total SA]] ile birleşmesine kadar Fina adıyla bir Reuleaux üçgeni kullandı.<ref>{{kaynak|başlık=Interesting Stuff: Curves of Constant Width|ad=Sam|soyadı=Gwillian|url=http://newportcityradio.org/culture/interesting-stuff-curves-of-constant-width/all-pages|arşivurl=https://archive.today/20160616012426/http://newportcityradio.org/culture/interesting-stuff-curves-of-constant-width/all-pages|ölüurl=evet|arşivtarihi=16 Haziran 2016|yayıncı=Newport City Radio|tarih=16 Mayıs 2015}}</ref><ref>{{kaynak|başlık=Fina Logo History: from Petrofina to Fina|url=http://www.total.com/en/about-total/group-presentation/group-history/fina-logo-history-922651.html|çalışma=Total: Group Presentation|yayıncı=Total S.A.|erişimtarihi=31 Ekim 2015|arşivurl=https://web.archive.org/web/20121226182719/http://www.total.com/en/about-total/group-presentation/group-history/fina-logo-history-922651.html|arşivtarihi=26 Aralık 2012}}.</ref> [[Bavaria Brewery (Hollanda)|Bavyera Brewery]]'nin güneyi gösteren [[pusula]]sı olan Reuleaux üçgeninde çerçevelenen bir diğer kurumsal logo, ''SAN 2010 Yılın Reklamvereni ödülü''nü kazanan tasarım şirketi Total Identity tarafından yapılan bir makyajın parçasıydı.<ref>{{kaynak|url=https://totalidentity.com/global-Bavaria|başlık=Global: Bavaria, Fundamental Rebranding Operation at Bavaria|website=Total Identity|erişimtarihi=27 Haziran 2015|ölüurl=evet|arşivurl=https://web.archive.org/web/20150630071933/https://totalidentity.com/global-Bavaria|arşivtarihi=30 Haziran 2015}}</ref> Reuleaux üçgeni, [[Colorado Maden Okulu]]'nun logosunda da kullanılmıştır.<ref>{{kaynak|başlık=M-blems: Explaining the logo|url=http://magazine.mines.edu/BackIssues/PDF_Archives/vol_92_num_2.pdf|sayfa=29|ad=Roland B.|soyadı=Fisher|cilt=92|sayı=2|tarih=Bahar 2002|dergi=Mines: The Magazine of Colorado School of Mines|arşivurl=https://web.archive.org/web/20100710165916/http://magazine.mines.edu/BackIssues/PDF_Archives/vol_92_num_2.pdf|arşivtarihi=10 Temmuz 2010|ölüurl=usurped}}</ref>

Amerika Birleşik Devletleri'nde, [[Ulusal Yollar Sistemi]] (National Trails System) ve [[Amerika Birleşik Devletleri Bisiklet Güzergâh Sistemi]] (United States Bicycle Route System) yolları tabelada Reuleaux üçgenleriyle işaretler.<ref>{{kaynak|başlık=Information: MUTCD — Interim Approval for the Optional Use of an Alternative Design for the U.S. Bicycle Route (M1-9) Sign (IA-15)|çalışma=Manual on Uniform Traffic Control Devices for Streets and Highways: Resources|ad=Jeffrey A.|soyadı=Lindley|tarih=1 Haziran 2012|erişimtarihi=20 Ağustos 2018|url=https://mutcd.fhwa.dot.gov/resources/interim_approval/ia15/|yayıncı=US Department of Transportation, Federal Highway Administration|arşivurl=https://web.archive.org/web/20200305140408/https://mutcd.fhwa.dot.gov/resources/interim_approval/ia15/|arşivtarihi=5 Mart 2020|ölüurl=hayır}}</ref>

=== Doğada ===
[[Dosya:Reuleaux_foam.svg|küçükresim|sol|{{Ortala|Dört balonlu düzlemsel sabun köpüğü kümesinin matematiksel modelinde merkezi balon olarak Reuleaux üçgeni}}]]

[[Plateau yasası|Plateau yasaları]]na göre, iki boyutlu [[sabun köpüğü]] kümelerindeki dairesel yaylar, bir Reuleaux üçgeninin köşelerinde bulunan aynı [[açı]] ile 120°'lik açılarda buluşur. Bu gerçeğe dayanarak, baloncukların bir kısmının bir Reuleaux üçgeni şeklini aldığı kümeler oluşturmak mümkündür.<ref name="foam">{{kaynak
 | soyadı1 = Modes
 | ad1 = Carl D.
 | soyadı2 = Kamien
 | ad2 = Randall D.
 | arxiv = 0810.5724
 |doi= 10.1039/c3sm51585k
 | sayı = 46
 | dergi= [[Soft Matter (gazeteci)|Soft Matter]]
 | sayfalar =11078-11084| başlık = Spherical foams in flat space
 | cilt = 9
 | yıl = 2013
 |bibcode= 2013SMat....911078M
 | s2cid = 96591302
 }}.</ref>

Şekil ilk olarak 2014 yılında Reuleaux üçgen diskleri olarak [[kristal]] formda izole edildi.<ref>{{kaynak |ad1=C. H. B. |soyadı1= Ng |ad2=W. Y. |soyadı2=Fan |başlık=Reuleaux triangle disks: New shape on the block |dergi=[[Journal of the American Chemical Society]] |cilt=136 |sayı=37 |yıl=2014 |sayfalar=12840-12843|doi=10.1021/ja506625y|pmid= 25072943 }}.</ref> Reuleaux üçgen şeklindeki temel [[bizmut nitrat]] diskleri, 2,3-bis (2-piridil) pirazin varlığında bir etanol-su sisteminde bizmut nitratın [[hidroliz]]i ve [[çökelme]]sinden oluşturulmuştur.

== Genellemeler ==
Reuleaux üçgeninden sabit bir mesafede noktaların konumu olarak, keskin köşelerden daha düzgün, sabit genişlikte üçgen eğriler elde edilebilir.<ref>{{kaynak
 | soyadı1 = Banchoff
 | ad1 = Thomas
 | soyadı2 = Giblin
 | ad2 = Peter
 |doi= 10.2307/2974900
 | sayı = 5
 | dergi= [[American Mathematical Monthly]]
 | mr = 1272938
 | sayfalar =403-416| başlık = On the geometry of piecewise circular curves
 | cilt = 101
 | yıl = 1994
 | jstor = 2974900
 }}</ref> Reuleaux üçgeninin diğer genellemeleri arasında üç boyutlu yüzeyler, üçten fazla kenarı olan sabit genişliğe sahip eğriler ve genişlik, çap ve [[yarıçap]] arasındaki eşitsizliğin en uç örneklerini sunan [[Reuleaux üçgeni#Yanmouti kümeleri|Yanmouti kümeleri]] bulunur.

=== Üç boyutlu versiyon ===
[[Dosya:Reuleaux-tetrahedron-intersection.png|küçükresim|sol|{{Ortala|Bir Reuleaux dört yüzlüsü oluşturmak için dört top kesişir.}}]]
Yan uzunluğu ''s'' olan düzgün bir [[dört yüzlü]]nün köşelerinde ortalanmış ''s'' yarıçaplı dört topun kesişme noktasına [[Reuleaux dört yüzlüsü]] denir, ancak yüzeyi, bir [[sabit genişlikli yüzey]] değildir.<ref name=weber>{{kaynak
  | soyadı = Weber
  | ad = Christof
  | yıl = 2009
  | url = http://www.swisseduc.ch/mathematik/geometrie/gleichdick/docs/meissner_en.pdf
  | başlık = What does this solid have to do with a ball?
  | erişimtarihi = 30 Aralık 2020
  | arşivurl = https://web.archive.org/web/20201101120320/https://www.swisseduc.ch/mathematik/geometrie/gleichdick/docs/meissner_en.pdf
  | arşivtarihi = 1 Kasım 2020
  | ölüurl = hayır
  }} Weber also has [http://www.swisseduc.ch/mathematik/geometrie/gleichdick/index-en.html films of both types of Meissner body rotating] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20130430211639/http://swisseduc.ch/mathematik/geometrie/gleichdick/index-en.html |tarih=30 Nisan 2013 }} as well as [http://www.swisseduc.ch/mathematik/geometrie/gleichdick/meissner-en.html interactive images] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20130607090442/http://www.swisseduc.ch/mathematik/geometrie/gleichdick/meissner-en.html |tarih=7 Haziran 2013 }}.</ref> Bununla birlikte, kenar yaylarının üçünü dairesel bir yayın dönüş yüzeyleri olan kavisli yüzeylerle değiştirerek [[Meissner cisimleri|Meissner dört yüzlüsü]] denilen sabit genişlikte bir yüzey haline getirilebilir. Alternatif olarak, bir Reuleaux üçgeninin simetri eksenlerinden biri boyunca [[dönel yüzey]]i, verilen sabit genişliğe sahip bilinen tüm dönel yüzeyler arasında minimum hacimle sabit genişlikte bir yüzey oluşturur.<ref name="ccg">{{kaynak
  | soyadı1 = Campi
  | ad1 = Stefano
  | soyadı2 = Colesanti
  | ad2 = Andrea
  | soyadı3 = Gronchi
  | ad3 = Paolo
  | katkı = Minimum problems for volumes of convex bodies
  | başlık = Partial Differential Equations and Applications: Collected Papers in Honor of Carlo Pucci
  | yayıncı = Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, no. 177, Marcel Dekker
  | yıl = 1996
  | sayfalar =43-55}}.</ref>

=== Reuleaux çokgenleri ===
{{çoklu resim
|total_width=360
|image1=Reuleaux polygons.svg
|caption1={{Ortala|Reuleaux poligonları}}
}}

Reuleaux üçgeni, sabit yarıçaplı dairesel yaylardan oluşan sabit genişlikte bir eğri olan bir [[Reuleaux çokgeni]] oluşturan tek sayıda kenara sahip düzgün veya düzgün olmayan çokgenlere genelleştirilebilir. Bu şekillerin sabit genişliği, bozuk parayla çalışan makinelerde kullanılabilecek madeni para olarak kullanılmalarına izin verir.<ref name="gardner"/> Genel dolaşımda bu tür madeni paraların genellikle üçten fazla kenarı olmasına rağmen, bir Reuleaux üçgeni [[Bermuda]]'da bir hatıra parası için kullanılmıştır.<ref name=conti>{{kaynak|soyadı1=Conti|ad1=Giuseppe|soyadı2=Paoletti|ad2=Raffaella|editör1-soyadı=Magnaghi-Delfino|editör1-ad=Paola|editör2-soyadı=Mele|editör2-ad=Giampiero|editör3-soyadı=Norando|editör3-ad=Tullia|katkı=Reuleaux triangle in architecture and applications|tarih=October 2019|doi=10.1007/978-3-030-29796-1_7|sayfalar=79-89|yayıncı=Springer|seri=Lecture Notes in Networks and Systems|başlık=Faces of Geometry: From Agnesi to Mirzakhani}}</ref>

Benzer yöntemler, genişliği belirli bir çokgenin çapına eşit olan sabit genişlikte bir eğri içine rastgele bir [[basit çokgen]]i dahil etmek için kullanılabilir. Elde edilen şekil dairesel yaylardan oluşur (en fazla çokgenin kenarları kadar), [[zaman karmaşıklığı|doğrusal zamanda]] algoritmik olarak oluşturulabilir, pergel ve cetvel ile çizilebilir.<ref>{{kaynak
 | soyadı1 = Chandru
 | ad1 = V.
 | soyadı2 = Venkataraman
 | ad2 = R.
 | katkı = Circular hulls and orbiforms of simple polygons
 | bölümurl= http://dl.acm.org/citation.cfm?id=127787.127863
 | isbn = 978-0-89791-376-8
 | yer = Philadelphia, PA, USA
 | sayfalar =433-440| yayıncı = Society for Industrial and Applied Mathematics
 | başlık = Proceedings of the Second Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA '91)
 | yıl = 1991}}</ref> Reuleaux çokgenlerinin hepsinde tek sayıda dairesel yay kenarı olmasına rağmen, değişen yarıçaplara sahip çift sayıda dairesel yay kenarı olan sabit genişlikte şekiller oluşturmak da mümkündür.<ref>{{kaynak
 | soyadı = Peterson
 | ad = Bruce B.
 | dergi = Illinois Journal of Mathematics
 | mr = 0320885
 | sayfalar =411-420| başlık = Intersection properties of curves of constant width
 | url = http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1256051608
 | cilt = 17
 | sayı = 3
 | yıl = 1973
 |doi= 10.1215/ijm/1256051608
 | arşivengelli = hayır
 |erişimtarihi= 30 Aralık 2020
 |arşivurl= https://web.archive.org/web/20201209170752/https://projecteuclid.org/euclid.ijm/1256051608
 |arşivtarihi= 9 Aralık 2020
 | ölüurl = hayır
 }}</ref>
=== Yanmouti kümeleri ===
Yanmouti kümeleri, bir eşkenar üçgenin üç dairesel yay ile birlikte [[dışbükey örtü]] (zarf) olarak tanımlanır, üçgenin köşelerinde ortalanır ve üçgenin kenar uzunluğuna en fazla eşit olan eş yarıçaplarla üçgenle aynı açıyı kapsar. Böylece, yarıçap yeterince küçük olduğunda, bu kümeler, eşkenar üçgenin kendisine dejenere olur, ancak yarıçap mümkün olduğunca büyük olduğunda karşılık gelen Reuleaux üçgenine eşittirler. Genişliği ''w'', çapı ''d'' ve yarıçapı ''r'' (şeklin içerdiği olası en büyük dairenin yarıçapı) olan her şekil aşağıdaki eşitsizliği sağlar:

: <math>w - r \le \frac{d}{\sqrt 3},</math>

ve bu eşitsizlik, artık iyileştirilemeyeceğini gösteren Yanmouti kümeleri için bir eşitlik haline gelir.<ref>{{kaynak
 | soyadı = Hernández Cifre
 | ad = M. A.
 |doi= 10.2307/2695582
 | sayı = 10
 |dergi= [[American Mathematical Monthly]]
 | mr = 1806918
 | sayfalar =893-900| başlık = Is there a planar convex set with given width, diameter, and inradius?
 | cilt = 107
 | yıl = 2000| jstor = 2695582
 }}.</ref>

== İlgili şekiller ==
[[Dosya:Triquetra-Vesica.svg|küçükresim|{{Ortala|[[Triquetra]] bir [[üç yapraklı düğüm]] oluşturmak için birbirine geçmiştir.}}]]
Üç kümeli bir [[Venn şeması|Venn diyagramı]]nın üst üste binen üç çember olarak klasik sunumunda, merkezi bölge (üç kümenin tümüne ait öğeleri temsil eder) bir Reuleaux üçgeni şeklini alır.<ref name="icons"/> Aynı üç çember, [[Borromean halkaları]]nın standart çizimlerinden birini, ancak geometrik çemberler olarak gerçekleştirilemeyen karşılıklı bağlantılı üç halkayı oluşturur.<ref>{{kaynak
 | soyadı1 = Lindström
 | ad1 = Bernt
 | soyadı2 = Zetterström
 | ad2 = Hans-Olov
 |doi= 10.2307/2323803
 | sayı = 4
 |dergi= [[American Mathematical Monthly]]
 | jstor = 2323803
 | sayfalar =340-341| başlık = Borromean circles are impossible
 | cilt = 98
 | yıl = 1991}}.</ref> Aynı çemberlerin bu parçaları, ortasında yine bir Reuleaux üçgeni bulunan, üst üste binen üç [[yarım daire]] şeklindeki (her ikisi bir [[vesica piscis]] sembolü oluşturur) [[Triquetra]]'yı oluşturmak için kullanılır;<ref>{{mathworld|id=Triquetra|title=Triquetra|mod=cs2}}</ref> Venn şemasının üç çemberi Borromean halkalarını oluşturmak için iç içe geçirilebildiği gibi, triquetranın üç dairesel yayı da bir [[Üç yapraklı düğüm|yonca düğümü]] oluşturmak için iç içe geçirilebilir.<ref>{{kaynak
 | soyadı1 = Hoy
 | ad1 = Jessica
 | soyadı2 = Millett
 | ad2 = Kenneth C.
 | dergi = Journal of Mathematics and the Arts
 | başlık = A mathematical analysis of knotting and linking in Leonardo da Vinci's cartelle of the Accademia Vinciana
 | url = http://www.math.ucsb.edu/~millett/Papers/Millett2014Leonardov5.pdf
 | yıl = 2014
 |erişimtarihi= 30 Aralık 2020
 |arşivurl= https://web.archive.org/web/20160304084222/http://www.math.ucsb.edu/~millett/Papers/Millett2014Leonardov5.pdf
 |arşivtarihi= 4 Mart 2016
 | ölüurl = hayır
 }}.</ref>

Reuleaux üçgeninin yakınları, sabit bir alanı çevreleyen ve düzlemde belirtilen üç noktayı içeren minimum çevre şeklini bulma probleminde ortaya çıkar. Alan parametresinin çok çeşitli seçenekleri için, bu probleme en uygun çözüm, üç kenarı eşit yarıçaplı dairesel yaylar olan eğri bir üçgen olacaktır. Özellikle, üç nokta birbirinden eşit uzaklıkta olduğunda ve alan Reuleaux üçgeni olduğunda, Reuleaux üçgeni en uygun kapamadır.<ref>{{kaynak|başlık=What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods|ad1=Richard|soyadı1=Courant|yazarbağı1=Richard Courant|ad2=Herbert|soyadı2=Robbins|yazarbağı2=Herbert Robbins|seri=2nd|yayıncı=Oxford University Press|yıl=1996|isbn=978-0-19-975487-8|sayfalar=378-379|url=https://books.google.com/books?id=UfdossHPlkgC&pg=PA378|erişimtarihi=30 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20160403191942/https://books.google.com/books?id=UfdossHPlkgC&pg=PA378|arşivtarihi=3 Nisan 2016|ölüurl=hayır}}.</ref>

[[Dairesel üçgen]]ler, Reuleaux üçgeni ve diğer şekiller de dahil olmak üzere dairesel yay kenarlı üçgenlerdir. [[Deltoid eğrisi]], eğrisel üçgenin başka bir türüdür, ancak eşkenar üçgenin her iki tarafını değiştiren eğrilerin dışbükey değil içbükey olduğu bir eğridir. Dairesel yaylardan oluşmaz, ancak bir çemberin diğerinin üç katı yarıçap içinde yuvarlanmasıyla oluşturulabilir.<ref>{{kaynak | ad=E. H.|soyadı=Lockwood| başlık=A Book of Curves | yayıncı=Cambridge University Press | yıl=1961|bölüm=Chapter 8: The Deltoid }}</ref> Üç eğimli kenarı olan diğer düzlemsel şekiller arasında, eş doğrusal uç noktalara sahip üç [[yarım daire]]den oluşan [[arbelos]]<ref>{{kaynak
 | soyadı = Mackay | ad = J. S.
 | tarih = February 1884
 |doi= 10.1017/s0013091500037196
 |dergi= Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society
 | sayfa = 2
 | başlık = The shoemaker's knife
 | cilt = 3
 | arşivengelli = hayır
 }}.</ref> ve [[Bézier üçgeni]] bulunur.<ref>{{kaynak
 | soyadı = Bruijns | ad = J.
 | katkı = Quadratic Bezier triangles as drawing primitives
 |doi= 10.1145/285305.285307
 | isbn = 978-1-58113-097-3
 | yer = New York, NY, USA
 | sayfalar =15-24| yayıncı = ACM
 | başlık = Proceedings of the ACM SIGGRAPH/EUROGRAPHICS Workshop on Graphics Hardware (HWWS '98)
 | yıl = 1998| s2cid = 28967106
 }}.</ref>

Reuleaux üçgeni, 120° açılı bir [[küresel üçgen]]in [[Açıkorur gönderim|uyumlu görüntüsü]] olarak da yorumlanabilir.<ref name="foam"/> Bu küresel üçgen, (3/2, 3/2, 3/2 parametreli) [[Schwarz üçgeni|Schwarz üçgenleri]]nden biridir, bir kürenin yüzeyinde yansıma yoluyla kaplayabilen büyük çember yaylarıyla sınırlanmış üçgenlerdir.<ref>{{kaynak|başlık=Spherical Models|ad=Magnus J.|soyadı=Wenninger|authorlink=Magnus Wenninger|yıl=2014|yayıncı=Dover|isbn=978-0-486-14365-1|sayfa=134|url=https://books.google.com/books?id=0cfAAwAAQBAJ&pg=PA134|erişimtarihi=30 Aralık 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20160417074902/https://books.google.com/books?id=0cfAAwAAQBAJ&pg=PA134|arşivtarihi=17 Nisan 2016|ölüurl=hayır}}.</ref>

== Kaynakça ==
{{Kaynakça}}

== Dış bağlantılar ==
{{Commons kategori|Reuleaux triangles}}
* {{mathworld|id=ReuleauxTriangle|title=Reuleaux Triangle|mod=cs2}}
* {{Web kaynağı | url = http://whistleralley.com/reuleaux/reuleaux.htm | başlık = Reuleaux Triangle | arşivurl = https://web.archive.org/web/20030922232451/http://whistleralley.com/reuleaux/reuleaux.htm | arşivtarihi = 22 Eylül 2003}}
* {{Web kaynağı | yazar = Paul Bourke | ay = Nisan | yıl = 2009 | url = http://paulbourke.net/geometry/reuleaux/ | başlık = Reuleaux Triangle | arşivurl = https://web.archive.org/web/20110817165653/http://paulbourke.net/geometry/reuleaux/ | arşivtarihi = 17 Ağustos 2011}}
* {{Web kaynağı | url = https://www.atractor.pt/mat/largura_constante/larguraConstante-_en.html | başlık = Around the Wheel - Reuleaux Triangle | arşivurl = https://web.archive.org/web/20180113084451/https://www.atractor.pt/mat/largura_constante/larguraConstante-_en.html | arşivtarihi = 13 Ocak 2018}}
* {{Web kaynağı | url = https://varun.ca/reuleaux-polygons/ | başlık = Reuleaux Polygons | arşivurl = https://web.archive.org/web/20180812160127/https://varun.ca/reuleaux-polygons/ | arşivtarihi = 12 Ağustos 2018}}
* {{Web kaynağı | url = https://www.geogebra.org/m/aZa7Dknw | başlık = Reuleaux Triangle | yayıncı = Geogebra | arşivengelli = evet | erişimtarihi = 30 Aralık 2020 |arşivurl= https://web.archive.org/web/20210331175804/https://www.geogebra.org/m/aZa7Dknw |arşivtarihi= 31 Mart 2021 | ölüurl = hayır }}

== Konuyla ilgili yayınlar ==
* {{Web kaynağı | url = https://mae.ufl.edu/~uhk/REULEAUX.pdf | başlık = Reuleaux Triangle and the Drilling of Square Holes | arşivurl = https://web.archive.org/web/20190713184106/https://mae.ufl.edu/~uhk/REULEAUX.pdf | arşivtarihi = 13 Temmuz 2019}}
* Siders, William, & Mark Rue. "Reuleaux triangle somatocharts." Computers in biology and medicine 22.5 (1992): 363-368.
* Smart, James R. "Problem Solving in Geometry—a Sequence of Reuleaux Triangles." The Mathematics Teacher 79.1 (1986): 11-14.
* Ng, Choon Hwee Bernard, & Wai Yip Fan. "Reuleaux triangle disks: new shape on the block." Journal of the American Chemical Society 136.37 (2014): 12840-12843.
* Barrallo, Javier, Francisco González-Quintial, and Santiago Sánchez-Beitia. "An Introduction to the Vesica Piscis, the Reuleaux Triangle and Related Geometric Constructions in Modern Architecture." Nexus Network Journal 17.2 (2015): 671-684.
* Gleiftner, Winfried, & Herbert Zeitler. "The reuleaux triangle and its center of mass." Results in Mathematics 37.3-4 (2000): 335-344.
* Martini, Horst, & Zokhrab Mustafaev. "On Reuleaux triangles in Minkowski planes." Beiträge zur Algebra und Geometrie 48.1 (2007): 225-235.
* Hu, Xiao, Na Li, & BaiYu Liu. "Simulation and Application of Reuleaux Triangle In Geometric Measurement." IOP Conference Series: Earth and Environmental Science. Vol. 310. No. 2. IOP Publishing, 2019.
* Conti, Giuseppe, & Raffaella Paoletti. "Reuleaux Triangle in Architecture and Applications." Faces of Geometry. From Agnesi to Mirzakhani. Springer, Cham, 2020. 79-89.

== Ayrıca bakınız ==
* [[Barbier teoremi]]
* [[Blaschke–Lebesgue teoremi]]

[[Kategori:Üçgen]]
[[Kategori:Eğriler]]
[[Kategori:Öklid geometrisi]]