Sayısal analiz sayfasının kaynağını görüntüle

[[Dosya:Ybc7289-bw.jpg|küçükresim|upright=1.14|sağ|[[Babil]]'lerden kalma bir [[kil tablet]] (YBC 7289, c. [[Milattan önce|MÖ]] 1800–1600). Tablette ikinin [[Kök (matematik)|kökü]] altmışar tabanda yaklaşık olarak hesaplanmıştır; bu hesap [[Onlu sayı sistemi|onluk sistemde]] yaklaşık olarak altı hanelik bir doğruluk payına denk gelir. 1 + 24/60 + 51/60<sup>2</sup> + 10/60<sup>3</sup> = 1.41421296...<ref>{{Web kaynağı |url=http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html |başlık=Photograph, illustration, and description of the ''root(2)'' tablet from the Yale Babylonian Collection (İngilizce) |erişimtarihi=7 Temmuz 2020 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20120813054036/http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html |arşivtarihi=13 Ağustos 2012 |ölüurl=evet}}</ref>]]
'''Sayısal analiz''', diğer adıyla '''nümerik analiz''' veya '''sayısal çözümleme''', [[matematiksel analiz]] problemlerinin yaklaşık çözümlerinde kullanılan [[algoritma]]ları inceler. Bu nedenle birçok [[mühendislik]] dalı ve [[doğa bilimleri]]nde önem arz eden sayısal analiz, bilimsel hesaplama bilimi olarak da kabul edilebilir. Bilgisayarın işlem kapasitesinin artması ile gündelik hayatta ortaya çıkan birçok sistemin [[matematiksel model]]lenmesi mümkün olmuş ve sayısal analiz algoritmaları burada ön plana çıkmıştır. 21. yüzyıldan itibaren bilimsel hesaplama yöntemleri mühendislik ve doğa bilimleri ile sınırlı kalmamış ve [[sosyal bilimler]] ile [[işletme]] gibi alanları da etkilemiştir. Sayısal analizin alt başlıklarına [[adi diferansiyel denklemler]]in yaklaşık çözümleri ve özellikle [[veri bilimi]]nde önem taşıyan sayısal [[lineer cebir]] ile [[optimizasyon]] örnek gösterilebilir.<ref>Demmel, J. W. (1997). Applied numerical linear algebra. ''Society for Industrial and Applied Mathematics''.</ref><ref>Ciarlet, P. G., Miara, B., & Thomas, J. M. (1989). Introduction to numerical linear algebra and optimization. Cambridge University Press.</ref><ref>Trefethen, Lloyd; Bau III, David (1997). Numerical Linear Algebra (1st ed.). Philadelphia: ''Society for Industrial and Applied Mathematics''.</ref>

Modern bilgisayarların icadından önce sayısal yöntemler kağıt üstünde uygulanıyordu. Her ne kadar 20. yüzyıl itibari ile ilgili hesaplamalar bilgisayarlar aracılığı ile yapılsa da, bu [[yazılım]]ları oluşturan matematiksel algoritmaların temeli eski formüllere dayanmaktadır.<ref name="20c">Brezinski, C., & Wuytack, L. (2012). Numerical analysis: Historical developments in the 20th century. Elsevier.</ref>

==Temeller==
===Direkt ve yinelemeli yöntemler===
Direkt yöntemler sonucu tek bir adımda verirken, yinelemeli yöntemler sonuca birden fazla adım veya iterasyonda ulaşır. Özellikle doğrusal olmayan problemlerin hesaplanmasında yinelemeli yöntemlerin kullanılması gerekebilir;<ref name="first-course"/> buna karşın, matris faktörizasyonu ve [[lineer programlama]] gibi direkt sayısal yöntemler de mevcuttur.

Basit bir problemin direkt olarak [[cebir]] ve sayısal yineleme yöntemi ile çözümü şu şekilde karşılaştırılabilir:

''x'' bilinmeyeninin olduğu

:3''x''<sup>3</sup> + 4 = 28

denklemini çözersek:

{| style="margin:auto; text-align:right"
 |+ '''Direkt çözüm'''
 |-
 | || 3''x''<sup>3</sup> + 4 = 28.
 |-
 | ''4 çıkar'' || 3''x''<sup>3</sup> = 24.
 |-
 | ''3'e böl'' || ''x''<sup>3</sup> = &nbsp;8.
 |-
 | ''Küp kökünü al'' || ''x'' = &nbsp;2.
 |}

Yineleme yöntemi olarak [[ikiye bölme metodu]] kullanılabilir; bu yöntemde fonksiyonun işaret değiştirdiği nokta tespit edilmeye çalışılır. Denklemi buna uygun olarak ''f''(''x'') = 3''x''<sup>3</sup> &minus; 24 şeklinde yeniden yazabilir ve başlangıç değerleri olarak  ''a'' = 0, ''b'' = 3, ''f''(''a'') = &minus;24 ve ''f''(''b'') = 57 verebiliriz.

{| style="margin:auto;" class="wikitable"
 |+ Yinelemeli yöntem
 |-
 ! ''a'' !! ''b'' !! mid !! ''f''(mid)
 |-
 | 0 || 3 || 1.5 || &minus;13.875
 |-
 | 1.5 || 3 || 2.25 || 10.17...
 |-
 | 1.5 || 2.25 || 1.875 || &minus;4.22...
 |-
 | 1.875 || 2.25 || 2.0625 || 2.32...
 |}

Tabloya göre sonuç 1.875 ile 2.0625 arasındadır. Algoritma bu aralık 0.2'den daha az bir hata ile herhangi bir sonucu verebilir.

===Ayrıklaştırma===
Ayrıklaştırma, bir fonksiyonun ya da operatörün ayrık değerlerle yaklaşık olarak hesaplanmasıdır. Örnek olarak, bir arabanın hızının yarım saatte bir ölçülmesiyle oluşturulan bir tablo ayrıklaştırılmış verileri gösterir; her ne kadar araba sürekli hareket etmiş olsa da veri tablosu ile zamana bağlı hızı gösteren ayrık bir fonksiyon elde edilebilir:

{| style="margin:auto;" class="wikitable"
! Zaman
| 0:20 || 0:40 || 1:00 || 1:20 || 1:40
|-
! Hız (km/s)
| 140 || 1:45 || 150 || 165 || 180
|}

Fonksiyonların ayrıştırılmasına örnek olarak bir fonksiyonun türevi [[limit]] kullanarak şu şekilde yazılabilir:

:<math> \frac{d}{dx} f(x) = \lim_{\Delta h \to 0} \frac{f(x+\Delta h)-f(x)}{\Delta h}</math>

Türevin yaklaşık olarak kullanılması gereken durumlarda limit yerine <math>\Delta h</math> küçük ama sonlu bir değer alabilir ve bir ''x'' noktasındaki yaklaşık değer bu şekilde hesaplanabilir. Bu [[sayısal türev]] olarak ifade edilir. Aynı fonksiyonun ''x'' noktası için türevi [[Taylor serisi]] kullanılarak daha yakınsak bir şekilde de ifade edilebilir:<ref name="first-course"/>

:<math> \frac{d}{dx} f(x) \approx \frac{f(x + \frac{\Delta h}{2})-f(x- \frac{\Delta h}{2})}{\Delta h}</math>

Ayrıklaştırma, diferansiyel denklemlerin çözümünde ve sayısal integrallerde de sıklıkla kullanılmaktadır.

===Yuvarlama, kesme ve ayrıklaştırma hataları===
{{Ana|Kesme hatası|kırpma}}
Yuvarlama hataları, sayısal hesaplamaların yapıldığı bilgisayarların sınırlı hafızalarının olmasından kaynaklanmaktadır: [[reel sayı]]ların tüm hanelerini [[dijital veri]] şeklinde saklayabilmek mümkün değildir. [[Kesme hatası]] yinelemeli bir yöntemin sonlandırılması, ayrıklaştırma hataları ise sürekli bir sistem veya fonksiyonun ayrık bir şekilde yakınsanması ile ortaya çıkar. Sayısal yöntemleri yakınsama temelli olduğu için birçok durumda sonucun az da olsa kesin çözümden farklı olması beklenir; buna karşılık elde edilen sonucun hatası tolerans sınırları içinde olmalıdır. Özellikle [[Matris (matematik)|matris]] problemleri için hata üst sınırı koşul sayısı (''condition number'') ile belirtilebilir.<ref name="first-course">{{Kitap kaynağı |soyadı=Ascher |ad=Uri M. |soyadı2=Greif |ad2=Chen |yazarbağı= |tarih=2011 |basım=5|başlık=A First Course on Numerical Methods |url= |yer= |yayıncı= Society for Industrial and Applied Mathematics |sayfa= |isbn= 9780898719970}}</ref>

===Nümerik stabilite===
Bir algoritmanın nümerik açıdan stabil ya da kararlı olması, hatanın hesaplama sırasında çok büyümediğini ifade eder. Bu problemin "iyi koşullandırılmış" (''well-conditioned'') olmasını gerektirir. İyi koşullandırılma, verideki küçük bir değişikliğin sonuçta da küçük bir değişiklik yaratması olarak tanımlanabilir; bunun tersi "kötü koşullandırılmış" olarak tanımlanabilir.<ref name="stab">Higham, N. J. (2002). Accuracy and stability of numerical algorithms (Vol. 80). SIAM.</ref>

==Alt dalları==
===Fonksiyonların değerlerinin sayısal olarak hesabı===
[[Dosya:Metodo de Newton anime.gif|küçükresim|upright=0.86|Bir fonksiyonun kökünün Newton yöntemi ile bulunması]]
[[Fonksiyon]]ların bir nokta için kesin hesabının etkili ya da mümkün olmadığı durumlarda Horner yöntemi gibi sayısal yöntemler kullanılabilir. [[Kök bulma algoritmaları]] için ise [[ikiye bölme metodu]], Newton metodu, kiriş yöntemi ve Müller metodu örnek verilebilir.<ref>R. L. Burden, J. D. Faires, ''Numerical Analysis'', 8th edition, Thomson Brooks/Cole, 2005. {{ISBN|0-534-39200-8}}
</ref>

===Doğrusal denklem sistemlerinin çözümleri===
{{Ana|Doğrusal denklem}}
Özellikle [[doğrusal denklem]] sistemlerinin [[matris]] çözümlerinde sayısal yöntemler sıklıkla kullanılır; bunlardan bazılarına Gauss eleme yöntemi ve LU ile QR ayrışımları örnek gösterilebilir. Büyük boyutlu sistemlerde ise [[Jacobi metodu]], Gauss-Seidel yöntemi veya konjuge [[gradyan]] metodu gibi yinelemeli çözümlemeler kullanılır. Doğrusal olmayan sistemler doğrusala yakınsabilir ve bu sistemler için Newton'un doğrusal olmayan sistem yöntemi kullanılabilir.<ref name="first-course"/>

===Optimizasyon problemleri===
{{Ana|Optimizasyon}}

Optimizasyon, bir fonksiyonun bazı sınırlamalar altındaki maksimum ya da minimum koşullarını sağlayan değerinin tespiti ile ilgilenir. Alt alanları arasında [[doğrusal programlama]] ve konveks optimizasyon örnek gösterilebilir.

===İnterpolasyon, ekstrapolasyon ve regresyon===
[[Dosya:Linear regression.svg|küçükresim|Bir veri kümesinin doğrusal regresyonu]]
{{Ana|İnterpolasyon|ekstrapolasyon|regresyon analizi}}
İnterpolasyon, bazı değerleri bilinen bir fonksiyonun ara değerlerinin tahmin edilerek doldurulması olarak tanımlanabilir. İnterpolasyon yöntemleri arasında noktaların doğrusal çizgiler ile birleştirilmesi ([[lineer interpolasyon]]) ve noktalara bir [[polinom]] fonksiyonun uyarlanması (polinom interpolasyonu) bulunmaktadır. Veri [[küme]]si sınırları dışında bulunan bir noktadaki değerin tahmini ise ekstrapolasyondur.<ref name="first-course"/>

[[İstatistik]]te önem arz eden ve sayısal analiz sınırlarına da giren regresyon yöntemleri ise iki ya da daha çok değişken arasındaki ilişkiyi tahmin etmeye çalışır.<ref>{{Kitap kaynağı|başlık = Applied Regression Analysis|basım= 3|soyadı1= Draper |ad1=N.R.|soyadı2=Smith |ad2=H.|yayıncı = John Wiley|yıl = 1998|isbn = 978-0-471-17082-2}}</ref> En basit regresyon tiplerinden biri olan doğrusal regresyonda veriye uyan bir doğrusal çizgi (''fit'') çekilir; bu [[en küçük kareler yöntemi]] ile yapılabilir.<ref name="first-course"/>

===Özdeğer problemleri===
{{Ana|Özdeğer, özvektör, özuzay}}

Özellikle fizik ve mühendislik gibi alanlarda birçok problem [[Özdeğer, özvektör, özuzay|özdeğer]] problemi olarak modellenebilir; bu durum sistemlerin özdeğerlerine ya da tekil değerlerine ayrıştırılmasını gerektirebilir. İstatistikte kullanılan [[temel bileşen analizi]] buna örnek gösterilebilir.<ref>{{Akademik dergi kaynağı|url=https://www.nature.com/articles/nmeth.4346|başlık=Principal component analysis|dergi=[[Nature (dergi)|Nature]] Methods|ad=Jake|soyadı=Lever|ad2=Martin|soyadı2=Krzywinski|ad3=Naomi|soyadı3=Altman|yıl=2017|doi=10.1038/nmeth.4346|sayfalar=641-642|sayı=14|erişimtarihi=7 Temmuz 2020|arşivurl=https://web.archive.org/web/20200406092852/https://www.nature.com/articles/nmeth.4346|arşivtarihi=6 Nisan 2020|ölüurl=hayır}}</ref>

===Diferansiyel denklemlerin sayısal çözümü===
[[Dosya:DiaphragmPump.gif|küçükresim|Bir [[hesaplamalı akışkanlar dinamiği]] simülasyonu ([[diyaframlı pompa]])]]
{{Ana|Adi diferansiyel denklem|kısmi diferansiyel denklem}}
Diferansiyel denklemlerin sayısal yöntemler ile çözümü bilimsel hesaplama için önem teşkil eden bir alt daldır. Özellikle birçok [[kısmi diferansiyel denklem]]lerin karmaşık geometrileri ve [[Sınır değer problemi|sınır koşulları]] için tam çözümü bulunamaz; bu nedenle denklemlerin ayrıklaştırılarak sınırlı bir alt uzayda çözülmesi gerekir.<ref>Ames, W. F. (2014). Numerical methods for partial differential equations. Academic Press.</ref> [[Sonlu elemanlar yöntemi|Sonlu elemanlar]],<ref>Johnson, C. (2012). Numerical solution of partial differential equations by the finite element method. Courier Corporation.</ref><ref>Brenner, S., & Scott, R. (2007). The mathematical theory of finite element methods. Springer Science & Business Media.</ref><ref>Strang, G., & Fix, G. J. (1973). An analysis of the finite element method. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-hall.</ref> [[sonlu farklar yöntemi|sonlu farklar]]<ref>Strikwerda, J. C. (2004). Finite difference schemes and partial differential equations. SIAM.</ref> ve [[Sonlu hacim yöntemi|sonlu hacim yöntemleri]]<ref>LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press.</ref> [[ısı]] ve [[dalga denklemi]]&nbsp;gibi birçok denklemin karmaşık sistemlerde çözülmesinde ve [[simülasyon]]unda kullanılır. [[Adi diferansiyel denklem]]lerin çözümlerinde ise [[Runge-Kutta yöntemleri]] kullanılabilir.<ref name="first-course"/>

===Sayısal integral hesabı===
{{Ana|İntegral}}
[[Belirli integral]]lerin yaklaşık olarak hesaplanması için kullanılan yöntemler arasında Yamuk kuralı formülü, Simpson (1/3) kuralı, Gauss dördünü ve Romberg yöntemi bulunmaktadır.<ref name="first-course"/>

==Ayrıca bakınız==
* [[Hesaplamalı fizik]]
* [[Makine öğrenimi]]
* [[Veri bilimi]]

==Kaynakça==
{{Kaynakça}}

== Dış bağlantılar ==
* [http://ninova.itu.edu.tr/tr/dersler/fen-edebiyat-fakultesi/619/mat-202e/ekkaynaklar/ İTÜ Ninova Açık Ders Malzemeleri]{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20130925043108/http://ninova.itu.edu.tr/tr/dersler/fen-edebiyat-fakultesi/619/mat-202e/ekkaynaklar/ |tarih=25 Eylül 2013 }}, Sayısal yöntemler
* [https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-335j-introduction-to-numerical-methods-spring-2019 Massachusetts Teknoloji Enstitüsü ders notları]{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20200711120955/https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-335j-introduction-to-numerical-methods-spring-2019/ |tarih=11 Temmuz 2020 }}, Sayısal yöntemlere giriş (İngilizce)

{{bilgisayar-taslak}}
{{matematik-altdal}}
{{bilgisayar bilimi}}
{{Otorite kontrolü}}

[[Kategori:Sayısal analiz| ]]
[[Kategori:Hesaplamalı bilim]]