Schwarzschild metriği sayfasının kaynağını görüntüle

{{Kaynaksız|tarih=Mayıs 2017}}
{{Türkçe değil}}
Einstein'ın genel görelelik teorisine göre '''Schwarzschild metriği''' ('''Schwarzschild vakumu ''' veya '''Schwarzschild çözümü''' olarak da bilinir) Einstein'ın alan denklemlerinin çözümüyle ortaya çıkmıştır. Küresel bir kütlenin dışındaki elektik yükü, angular momentumu ve evrensel kozmolojik sabiti sıfır varsayılan yerçekimsel alanı tarif eder. Bu çözüm yıldızlar veya gezegenler gibi düşük hızlarda dönen cisimler için oldukça yararlıdır. Dünya ve Güneş de bu cisimlere örnek olarak verilebilir. Bu çözüm ismini çözümünü 1916 yılında yayınlayan [[Karl Schwarzschild]]'den almıştır.

[[Birkhoff's theorem (relativity)|Birkhoff's theorem]]'ine göre, Schwarzschild metriği genellikle Eistein'ın alan denklemlerinin küresel simetrik, vakum çözümüdür. '''Schwarzschild kara deliği '''or '''statik kara delik''' yükü veya açısal momentumu yoktur. Schwarzschild kara deliği, Schwarzschild metriği tarafından tarif edilir ve diğer Schwarzschild kara deliğinden ayrılamaz kütlesi dışında.

Schwarzschild kara deliği küresel bir yüzey olarak şekillendirilebilir. Bir çevredeki küresel yüzey, genellikle, Schwarzschild yarıçapı yer almaktadır ve olay ufku denen bir kara deliğin yarıçapı olarak adlandırılır. Dönmeyen ve yüklü olmayan kütle tarafından oluşturulmuş kara delik için Schwarzschild yarıçapı daha küçüktür. Einstein alan denklemlerinin çözümü prensipte böylece koşullarının oluşumuna izin verecek kadar olumlu hale gelerek M kütleli obje için bu halde anca Schwarzschild kara deliği olabileceğini söyler (genel görelilik kuramına göre).

== Schwarzschild metriği ==
{{Ayrıca bakınız|Deriving the Schwarzschild solution}}

Schwarzschild koordinatlarında, Schwarzschild metriği için [[line element|çizgi elementi]] şu forma sahiptir:
:<math>
c^2 {d \tau}^{2} =
\left(1 - \frac{r_s}{r} \right) c^2 dt^2 - \left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1} dr^2 - r^2 \left(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\varphi^2\right),
</math>
Bu denklemde
* <math>\tau</math>, [[proper time|uygun zaman]] ([[Test particle|test paçacığıyla]] beraber aynı dünya çizgisinde ilerleyen saat tarafından ölçülen)
* ''c,'' [[ışık hızı]],
* ''t,'' zaman koordinatı (çok ağır bir cisimden uzakta sonsuzdaki sabit bir saat tarafından ölçülmüş),
* <math>r</math>, radyal koordinat (ağır bir cismin küresel merkezi çevresindeki çemberin çevresinin 2π'ye bölünmesi olarak ölçülen)
* ''θ, ''[[colatitude|enlemin tamamlayan açısı]] (radyan cinsinden, kuzeyle arasındaki açı)
* ''φ, boylam'' (radyan cinsinden)
* <math>r_s</math>, çok ağır bir cismin [[Schwarzschild yarıçapı]], ''r<sub>s</sub>''&nbsp;=&nbsp;2''GM''/''c''<sup>2 </sup>denkleminden kütlesi M ile alakalı olan [[scale factor|ölçek faktörü]], G'nin [[Kütle çekimi|yerçekimi sabiti]]olduğu durumda.<ref name="landau_1975">{{Harvard alıntı|Landau|Liftshitz|1975}}.</ref>

Klasik Newton teorisinde bu çözümün eş benzeri, noktasal cismin çevresindeki yerçekimi alanına denk gelmektedir.<ref>{{Dergi kaynağı |soyadı=Ehlers |ad=J.
 |yıl=1997
 |başlık=Examples of Newtonian limits of relativistic spacetimes
 |dergi=[[Classical and Quantum Gravity]]
 |cilt=14 |sayı= |sayfalar=A119-A126|bibcode=1997CQGra..14A.119E
 |doi=10.1088/0264-9381/14/1A/010
}}</ref>

Pratikte, ''r''<sub>''s''</sub>/''r'' oranı neredeyse her zaman çok küçüktür. Mesela, Dünya'nın Schwarzschild yarıçapı ''r''<sub>''s''</sub> kabaca {{Dönüştürme|8,7|mm|in|2|sp=us}} iken Güneş 3.3×10<sup>5</sup> kat büyük<ref>{{Kitap kaynağı
 |editör-soyadı=Tennent |editör-ad=R.M.
 |yıl=1971
 |başlık=Science Data Book
 |url=https://archive.org/details/sciencedatabook0000tenn |yayıncı=[[Oliver & Boyd]]
 |sayfa=
 |isbn=0-05-002487-6
}}</ref> Schwarzschild yarıçapına sahiptir (yaklaşık olarak {{Dönüştürme|3.|km|mi|abbr=on}}). Dünya'nın yüzeyinde bile, Newton yerçekimine ait düzeltmeler milyarda birdir. Bu oran sadece [[kara delik]]lerin ve [[Nötron yıldızı|nötron yıldızları]] gibi diğer çok ağır objelerin yanında kayda değer bir büyüklüğe erişir.{{Kaynak belirt|tarih=September 2012}}

Schwarzschild metriği [[Einstein's field equation#Vacuum field equations|Einstein alan denklemlerinin]]boş uzaydaki çözümüdür. Bunun anlamı sadece yerçekimi oluşturan bir objenin dışında geçerlidir. Bu R yarıçaplı küresel cismin ''r''&nbsp;>&nbsp;''R ''için geçerli çözümüdür. Yerçekimi oluşturan objenin hem içindeki hem dışındaki yerçekimi alanını tarif etmek için Schwarzschild çözümü ''r''&nbsp;=&nbsp;''R deki çözümlerle eşleştirilmelidir''.{{Kaynak belirt|tarih=September 2012}}

== Tarihçe ==
Schwarzschild çözümü adını tam çözümü 1915 yılında bulan ve 1916 yılında yayımlayan [[Karl Schwarzschild]]'dan almıştır.<ref name="Schwarzschild1916">{{Dergi kaynağı |soyadı=Schwarzschild |ad=K.
 |yıl=1916
 |başlık=Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie
 |url=http://www.archive.org/stream/sitzungsberichte1916deutsch#page/188/mode/2up
 |dergi=[[Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften]]
 |cilt=7 |sayı= |sayfalar=189-196|bibcode=1916AbhKP......189S
 | kaynak = harv
}} For a translation, see {{Kaynak
 |soyadı1=Antoci |ad1=S.
 |soyadı2=Loinger |ad2=A.
 |yıl=1999
 |başlık=On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory
 |eprint=physics/9905030
 |seri=physics
}}</ref> Bu süre Einstein'ın genel görelelik teorisini yayımladıktan bir aydan bir süre sonrasına denk gelmektedir. Bu Einstein alan denklemlerinin ilk kesin sonucuydu diğer önemsiz [[Minkowski spacetime|düz uzay çözümlerinden]] farklıydı. Schwarzschild makalesi yayımlandıktan kısa bir süre sonra Birinci Dünya Savaşında, Almanya ordusunda görev alırken kaptığı hastalık sonucunda öldü.<ref name="MacTutorBio">{{MacTutor Biography|id=Schwarzschild|title=Karl Schwarzschild}}</ref>

Johannes Droste, 1916 yılında<ref>{{Dergi kaynağı
 |soyadı=Droste
 |ad=J.
 |yıl=1917
 |başlık=The field of a single centre in Einstein's theory of gravitation, and the motion of a particle in that field
 |dergi=[[Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Science]]
 |cilt=19
 |sayı=1
 |sayfalar=197-215|url=http://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00012325.pdf
 |bibcode=1917KNAB...19..197D
 |kaynak=harv
 |erişimtarihi=15 Ocak 2015
 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20130518034708/http://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00012325.pdf
 |arşivtarihi=18 Mayıs 2013
 |ölüurl=evet}}</ref> yılında bağımsız olarak Schwarzschild çözümüyle aynı çözümü daha basit ve daha doğrudan bir yolla üretti.<ref>{{Kitap kaynağı
 |soyadı=Kox |ad=A. J.
 |yıl=1992
 |kısım=General Relativity in the Netherlands:1915-1920
 |bölümurl=http://books.google.nl/books?id=vDHCF_3vIhUC&lpg=PA39
 |sayfa=41
 |editör1-soyadı=Eisenstaedt |editör1-ad=J.
 |editör2-soyadı=Kox |editör2-ad=A. J.
 |başlık=Studies in the History of General Relativity
 |yayıncı=[[Birkhäuser]]
 |isbn=978-0-8176-3479-7
}}</ref>

Genel rölativitenin ilk yıllarında Schwarzschild'da ve Einstein alan denklemlerinde bulunan tekillik hakkında birçok karışıklık vardı. Schwarzschild orijinal makalesinde, koordinat sisteminin merkezine bizim şu an olay ufku dediğimiz şeyi koydu.<ref>{{Kitap kaynağı
 |soyadı=Brown
 |ad=K.
 |yıl=2011
 |başlık=Reflections On Relativity
 |yer=Chapter 8.7
 |url=http://mathpages.com/rr/s8-07/8-07.htm
 |yayıncı=[[Lulu.com]]
 |isbn=978-1-257-03302-7
 |erişimtarihi=15 Ocak 2015
 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20191213180956/http://mathpages.com/rr/s8-07/8-07.htm
 |arşivtarihi=13 Aralık 2019
 |ölüurl=evet}}</ref>  Bu makalede ayrıca yardımcı değişken olarak şu an Schwarzschild radyal koordinatı olarak bildiğimiz şeyi tanıttı (üsteki denklemde r ). Schwarzschild denklemlerinde farklı radyal koordinatlar kullandı, Schwarzschild radyusunda sıfır olan.

Tekillik yapısının daha fazla tamamlanmış analizi [[David Hilbert]]<ref>{{Dergi kaynağı
|yıl=1924<!-- This paper is a reprint combining notes first published in 1915 and 1917 -->
|dergi=Mathematische Annalen
|cilt=92
|sayı=1-2
|doi=10.1007/BF01448427
|başlık=Die Grundlagen der Physik
|yayıncı=Springer-Verlag
|soyadı=Hilbert |ad=David
|sayfalar=1-32}}</ref> tarafından sonraki yıllarda ifade edildi. Bu hem r =&nbsp;0 ve ''r''&nbsp;=&nbsp;''r''<sub>s</sub> için tekilliği içeriyordu. Yine de r = 0 da teikliiğin 'gerçek' fiziksel tekillik olduğuna dair kabul vardı. ''r''&nbsp;=&nbsp;''r''<sub>s</sub> daki tekillik ucu açık kaldı.<ref name="earman2"/>

1921'de  [[Paul Painlevé]] ve 1922'de [[Allvar Gullstrand]] birbirlerinden bağımsız 
olarak bir ölçüm, Einstein'ın denklemlerinin bizim şu an Schwarzschild 
metrik koordinat dönüşümü olarak bildiğimiz küresel simetrik çözüm, R = rs de bir tekillik olmadığı Gullstrand–Painlevé koordinatları ürettiler. Fakat onlar, çözümleri yalnızca koordinat dönüşümleri ve aslında Einstein'ın teorisi yanlış olduğunu iddia etmek için kullanılan çözümlerini kabul etmediler. 1924'te, [[Arthur Eddington]]  koordinat işlem hatası olan r = rs de tekillik gösteren fakat "he also seems to have 
been unaware of the significance of this discovery" ilk koordinat dönüşümünü (Eddington–Finkelstein koordinatları) üretti. Daha sonra 1932'de, [[Georges Lemaître]] aynı etkiye sahip farklı bir koordinat 
dönüşümü düzenledi (Lemaître koordinatları) ve r = rs de tekilliğin fiziksel olmadığını ilk tanıyan oldu. 1939 yılında [[Howard Percy Robertson|Howard Robertson]] azalan Schwarzschild metriğinde serbest düşme gözlemcisi r = rs tekilliği ile  uygun zamanın sınırlı bir miktarında  t çaprazlandığını gösterdi.<ref name="earman2">{{Kitap kaynağı
 |soyadı=Earman |ad=J.
 |yıl=1999
 |kısım=The Penrose–Hawking singularity theorems: History and Implications
 |bölümurl=http://books.google.com/books?id=5mGZno8CvnQC&pg=PA236
 |sayfa=236-
 |editör-ad=H. |editör-soyadı=Goenner
 |başlık=The expanding worlds of general relativity
 |isbn=978-0-8176-4060-6
 |yayıncı=[[Birkhäuser]]
}}</ref>

1950<nowiki> </nowiki>yılında, [[John Lighton Synge|John Synge]] Schwarzschild metriğin maksimal analitik uzantısını gösteren, yeniden r = rs de tekilliğin bir koordinat işlem hatası olduğunu ve iki horizonla gösterildiğni gösteren bir makale yayınladı.<ref>{{Dergi kaynağı |soyadı=Synge |ad=J. L.
 |yıl=1950
 |başlık=The gravitational field of a particle
 |dergi=[[Proceedings of the Royal Irish Academy]]
 |cilt=53 |sayı=6 |sayfalar=83-114|bibcode=
 |doi=
}}</ref> Benzer bir sonuç, daha sonra Martin Kruskal<ref>{{Dergi kaynağı |soyadı=Kruskal |ad=M. D.
 |yıl=1960
 |başlık=Maximal extension of Schwarzschild metric
 |url=https://archive.org/details/sim_physical-review_1960-09-01_119_5/page/n301 |dergi=[[Physical Review]]
 |cilt=119 |sayı= 5|sayfalar=1743-1745|bibcode=1960PhRv..119.1743K
 |doi=10.1103/PhysRev.119.1743
}}</ref> tarafından yeniden keşfedildi. Onun koordinatları Synge'ninkilerden daha basitti fakat ikisi de  tüm uzayzamanı kaplıyan koordinatların tek bir setini sağladılar. Ancak, belki de Lemaître ve Synge ve makaleleri kendi sonuçlarını yayınladı hangi dergilerin bilinmezlik fiziksel olarak Einstein Schwarzschild yarıçapı o tekillik inanarak dahil alanının önemli oyuncularından çoğu ile, fark edilmeden gitti<ref name="earman2"/>

Diferansiyel geometrinin daha kesin araçları tekil olmak üzere bir Lorentz manifoldu için ne anlama geldiğini daha kesin tanımları sağlayan, genel görelilik alanına girdiğinde İlerleme sadece 1960 yılında yapılmıştır. Bu olay ufkunun (sadece bir yönde geçilebilir uzay bir hiperyüzeyin) olarak Schwarzschild metrik r = rs tekillik kesin tanımlanmasına yol açtı<ref name="earman2"/>

== Tekillikler ve kara delikler ==
Schwarzschild çözümü ''r''=&nbsp;0 and ''r''&nbsp;=&nbsp;''r''<sub>''s''</sub> da bazı [[Kara delik|tekillikleri]] varmış gibi gözüküyordu; bazı metrik bileşenler bu uzaklıkta kayboluyordu. Schwarzschild metriğin sadece yerçekimi oluşturan obje için sadece R'den çok daha büyük değerlerde geçerli olmasından dolayı, ''R''&nbsp;>&nbsp;''r''<sub>''s''</sub> olduğu sürece bir problem yoktu. Sıradan yıldızlar ve gezegenler için bu her zaman böyle olurdu. Mesela [[Sun|Güneş]]'in yarıçapı yaklaşık olarak 700,000&nbsp;km uzunluğundadır, Schwarzschild yarıçapı sadece 3&nbsp;km iken.

''r''&nbsp;=&nbsp;''r''<sub>''s''</sub> deki tekillik Schwarzschild koordinatlarını iki [[connectedness|bağımsız plakaya]] böler. ''r''&nbsp;>&nbsp;''r''<sub>''s''</sub> uzunluğundaki dıştaki plaka yıldızların ve gezegenlerin yerçekimi alanıyla alakalıdır. <&nbsp;''r''&nbsp;<&nbsp;''r''<sub>''s ''</sub> daki iç plaka ise ''r''&nbsp;=&nbsp;0 da tekillik içerir ve ''r''&nbsp;=&nbsp;''r''<sub>''s ''</sub> de dıştaki plakadan tekillik ile ayrılır. Schwarzschild koprdinatları dolayısıyla iki plaka arasında fiziksel ilişki vermez. Bu yüzden belki de iki ayrı çözüm olarak incelenebilir. ''r''&nbsp;=&nbsp;''r''<sub>''s''</sub> deki tekillik aslında bir illüzyondur. ''koordinat tekilliğinin'' bir anıdır. İsmin ifade ettiği şekilde, tekillik kötü seçilmiş koordinatlardan veya koordinat koşullarından dolayı artar. Koordinat sistemini değiştirdiğimizde (mesela Lemaitre koordinatları, Eddington–Finkelstein koordinatları, Kruskal–Szekeres koordinatları, Novikov koordinatları veya Gullstrand–Painlevé koordinatları) metric ''r''&nbsp;=&nbsp;''r''<sub>''s''</sub> de düzenli olur ve ''r''<sub>''s''</sub> nin r'den küçük değerlerine genişler. Farklı koordinat değişikliği kullanmak içteki ve dıştaki plakayı birbiri ile bağlayabilir.<ref>{{Kitap kaynağı
 |soyadı1=Hughston
 |ad1=L.P.
 |soyadı2=Tod
 |ad2=K.P.
 |yıl=1990
 |url=http://books.google.com/books?id=2q5Rdjn0qfgC&lpg=PA126
 |başlık=An introduction to general relativity
 |yer=Chapter 19
 |yayıncı=[[Cambridge University Press]]
 |isbn=978-0-521-33943-8
 |erişimtarihi=15 Ocak 2015
 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20190502041845/https://books.google.com/books?id=2q5Rdjn0qfgC&lpg=PA126
 |arşivtarihi=2 Mayıs 2019
 |ölüurl=hayır}}</ref>

''r''&nbsp;=&nbsp;0 durumu farklıdır. Bir çözüm tüm r geçerli olmasını isterse bir kökeni, gerçek bir fiziksel tekillik ya da yerçekimi tekillik geçmektedir. gerçek bir tekillik olduğunu görmek için bu koordinatların seçimi bağımsız miktarlarda bakmak gerekir. Böyle önemli miktarda tarafından verilen Kretschmann değişmez olduğunu gösterir.
:<math>R^{\alpha\beta\gamma\delta} R_{\alpha\beta\gamma\delta} = \frac{12 {r_s}^2}{r^6} = \frac{48 G^2 M^2}{c^4 r^6} \,.</math>

''r''&nbsp;=&nbsp;0 da eğrilik sonsuza gider, Bir tekillik varlığını gösteren. Bu noktada ölçüm ve uzay-zaman kendisi artık iyi tanımlanmıştır. Uzun bir süre için, bu tür bir çözelti, fiziksel olmayan olduğu düşünüldü. Ancak, genel görelilik daha büyük bir anlayışla bu tür tekillik teorisinin genel bir özelliği olmasına ve sadece egzotik özel durum olduğunda gerçekleşmesine yol açtı. Bu tür çözümler artık mevcut olduğuna inanılmaktadır ve ''[[kara delik]]ler denir.''

Alınan Schwarzschild çözümü, tüm r > 0 için geçerli olmak üzere, bir Schwarzschild kara delik denir. Bazı oldukça tuhaf özelliklere sahip olsa da, Einstein alan denklemlerinin mükemmel geçerli bir çözümdür. R < Schwarzschild radyal koordinat rs r zamansal olur ve süresi t spacelike olur koordinat. Sabit r A eğri artık bir parçacığın veya gözlemci olası dünyaçizgisinin değil, bir kuvvet vardır tutmak için denemek için sarf bile; uzay-zaman neden ve etkisi (parçacığın gelecekteki ışık konisi ) yönü tekillik [ kaynak belirtilmeli ] içine işaret o kadar kavisli olduğu için bu oluşur. Yüzey r = rs kara deliğin olay ufku denir demarcates. Bu ışık artık yerçekimi alanı kaçabilir noktası geçmiş temsil eder. Kimin yarıçapı R Herhangi bir fiziksel nesne bir kara delik yerçekimi çöküşü geçmesi ve olacak Schwarzschild yarıçapı daha az veya eşit olur<ref>{{Dergi kaynağı
 |soyadı=Brill
 |ad=D.
 |yıl=2012
 |başlık=Black Hole Horizons and How They Begin
 |url=http://astroreview.com/issue/2012/article/black-hole-horizons-and-how-they-begin
 |dergi=[[Astronomical Review]]
 |cilt=
 |sayı=
 |sayfalar=|bibcode=
 |doi=
 |erişimtarihi=15 Ocak 2015
 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20140916114805/http://astroreview.com/issue/2012/article/black-hole-horizons-and-how-they-begin
 |arşivtarihi=16 Eylül 2014
 |ölüurl=evet}}</ref>

== Alternatif koordinatlar ==
Schwarzschild çözümü yukarıda kullanılan Schwarzschild koordinatları dışında birçok koordinat seçimiyle ifade edilebilir. Farklı seçimler çözümün farklı yönlerini vurgulamaktadır. Aşağıdaki tablo bazı popüler seçimleri göstermektedir.
{|class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto;"
|+Alternative coordinates
!Koordinatlar
!Çizgi elementi
!Notlar
!Özellikler
|-
|[[Eddington-Finkelstein koordinatları]] (içeri doğru)
|<math>\Big(1-\frac{r_s}{r} \Big) dv^2 - 2 dv dr - r^2 d\Omega^2</math>
|
|ufukta düzenli<br />gelecek ufuklara genişliyor
|-
|[[Eddington-Finkelstein koordinatları]] (dışarı doğru)
|<math>\Big(1-\frac{r_s}{r} \Big) du^2 + 2 du dr - r^2 d\Omega^2</math>
|
|ufukta düzenli<br />gelecek ufuklara genişliyor
|-
|[[Gullstrand–Painlevé koordinatları]]
|<math>\Big(1-\frac{r_s}{r} \Big)dT^2- 2\sqrt{\frac{r_s}{r}} dT dr - dr^2-r^2d\Omega^2</math>
|
|ufukta düzenli
|-
|[[Isotropic koordinatlar]]
|<math>\frac{(1-\frac{r_s}{4R})^{2}}{(1+\frac{r_s}{4R})^{2}}{d t}^2 - \Big(1+\frac{r_s}{4R}\Big)^{4}(dx^2+dy^2+dz^2)</math>
|<math>R = \sqrt{ x^2 + y^2 + z^2 }</math><ref name=eddntn1923>{{Kitap kaynağı
 |soyadı=Eddington |ad=A. S.
 |yıl=1924
 |başlık=The Mathematical Theory of Relativity
 |sürüm=2nd
 |yayıncı=[[Cambridge University Press]]
 |sayfa=93
 |lccn=
 |isbn=
}}</ref>
|sürekli zaman skalaları üzerine ışık konileri genişliyor
|-
|[[Kruskal-Szekeres koordinatları]]
|<math>\frac{4r_s^3}{r}e^{-r/r_s}(dT^2 - dR^2)- r^2 d\Omega^2,</math>
|<math>T^2 - R^2 = \Big(1-\frac{r}{r_s}\Big)e^{r/r_s}</math>
|ufukta düzenli<br />uzay zamana sonsuz olarak genişliyor
|-
|[[Lemaitre koordinatları]]
|<math> dT^{2} - \frac{r_{s}}{r} dR^{2}- r^{2}d\Omega^{2}</math>
|<math>r=\Big[\frac{3}{2}(R-T)\Big]^{2/3}r_{s}^{1/3}</math>
|ufukta düzenli
|}
Yukarıdaki tabloda bazı kısa sonuçlar gösterilmiştir. Işık hızı c bire yerleştirilmiştir. <math> d\Omega^2= d\theta^2+\sin(\theta)^2 d\phi^2</math> formülü iki boyutlu yuvarlağın metriğinde kullanılırc. Dahası, her girdide ''R'' ve ''T, alternatif radyal ve zaman koordinatlarını''  delalet eder. Burada R ve/veya T'nin girdiden girdiğe değişiklik gösterdiği fark edilmelidir.

== Flamm'ın paraboloidi ==
[[Dosya:Flamm.svg|küçükresim|sol|upright=1.14|QuoteA Flamm en paraboloid arsa. Bu konudan bağımsız olan gravity well ile karıştırılmamalıdır.]]

<math>r>r_s</math> için uzaysal eğrilik grafikte örüldüğü gibi canlandırılabilir. Sabit zaman da Schwarschild çözümü olan ekvatoral bir kesik olsun (teta açısı π/2, zaman sabit), parçacığın hareketli pozisyonu yine Schwarzschild koordinatları (r ve φ) olsun.Şimdi ek olarak Öklidsel 
boyut olsun buna w diyelim ki bu boyuttun aslında fiziksel bir 
gerçekliği yok (yani uzay zamanının bir parçası  değil) . 
:<math>
w = 2 \sqrt{r_{s} \left( r - r_{s} \right)}.
</math>

Sonra Flamm ın paraboloid ine göre düzlemi, çukurlu yüzeyle w yönünde  (r, φ) ya bağlı olarak değiştirin
:<math>dw^2 + dr^2 + r^2 d\varphi^2 = -c^2 d\tau^2 = \frac{dr^2}{1 - \frac{r_s}{r}} + r^2 d\varphi^2</math>

Bunun sonucunda da, Flamm en paraboloit Schwarzschild metrik mekansal eğriliği görselleştirmek için yararlıdır. Bununla birlikte, iyi bir yerçekimi ile karıştırılmamalıdır. Bunun üzerine tüm mesafeleri (bu süre bir anda bir kesitidir, bu yüzden hareket herhangi bir parçacık sonsuz hızı olurdu) spacelike olduğundan sıradan (masif veya kütlesiz) parçacık, paraboloidin yatan bir dünyaçizgisinin olabilir. Hatta bir Takyon bir safça bir "lastik levha" benzetme beklediğiniz yol boyunca hareket olmaz: Özellikle, gamze merkezi kitle doğru yukarı yerine aşağı, Takyon yolunun hala eğrileri, değil uzakta işaret çizilmiş ise.

Flamm's paraboloidi aşağıdaki şekilde türetilebilir. [[Silindirik koordinat sistemi|silindirik koordinatlardaki]] (''r'', ''φ'', ''w'') Euclidean metriği şu şekilde yazılır:
:<math>
\mathrm{d}s^2 = \mathrm{d}w^2 + \mathrm{d}r^2 + r^2 \mathrm{d}\phi^2.\,
</math>

Yüzeyi <math>w= w(r)</math> fonsiyonu ile tarif edersek, Euclidean metriği şu şekilde yazılabilir
:<math>
\mathrm{d}s^2 = \left[ 1 + \left(\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}r}\right)^2 \right] \mathrm{d}r^2 + r^2\mathrm{d}\phi^2,
</math>

Bunu ekvatoral düzlemde (''θ'' = π/2) belirli bir zamanda (''t'' = sabit, ''dt'' = 0) Schwarzschild metriği ile karşılaştırırsak
:<math>
\mathrm{d}s^2 = \left(1-\frac{r_{s}}{r} \right)^{-1} \mathrm{d}r^2 + r^2\mathrm{d}\phi^2,
</math>

''w''(''r'') için alan integralleri şu şekilde ifade edilir:
:<math>
w(r) = \int \frac{\mathrm{d}r}{\sqrt{\frac{r}{r_{s}}-1}} = 2 r_{s} \sqrt{\frac{r}{r_{s}}- 1} + \mbox{constant}
</math>

Bu da Flamm's paraboloidine karşılık gelmektedir.

== Yörünge hareketi ==
{{Detaylar|Schwarzschild geodesics}}

Schwarzschild metriğinde bir yörüngede hareket eden parçacık <math>r > 3r_s</math> için sabit bir yörüngeye sahip olabilir. <math>3r_s/2</math> ve <math>3r_s</math> değerleri arasındaki dairesel yörüngeler  kararsızdır. <math>r<3r_s/2</math> değeri içinse bir yörünge söz konusu değildir. minimum yarıçapı <math>3r_s/2</math> denk gelen yörüngeler için yörünge hızı ışık hızına yaklaşır. <math>r</math> nin  <math>r_s</math> ve <math>3r_s/2</math> değerleri arasında sabit bir değer alması mümkündür ama bu sadece bir kuvvetin sürekli etki etmesiyle gerçekleşebilir.

Böyle Mercury'nin gibi dairesel olmayan yörüngeler, klasik beklenenden daha küçük yarıçapı daha uzun yaşamak. Bu daha dramatik bir durumda daha az aşırı versiyonu olan bir parçacık olay ufkunun içinden geçerken görülen ve sonsuza kadar onun içinde yaşıyor olabilir. Merkür'ün durumda ve olay ufkunun geçmiş düşen bir nesnenin durumunda arasındaki ara, uydu neredeyse dairesel yörüngelerde bir keyfi sayıda çalıştırmak için yapılabilir hangi "bıçak sırtı" yörüngeler, sonra gibi egzotik olasılıklar vardır hangi dışa geri uçar.

== Simetriler ==
Schwarzschild metriğin izometri grupları kendisine zaman eksenini alan (yıldızın yörüngesi) on boyutlu [[Poincaré group|Poincaré grubun]] alt kümesidir. Bu mekansal çeviriler (üç boyut) ve artırır (üç boyut) atlar. Zaman çeviriler (tek boyut) ve dönmeler (üç boyut) korur. Böylece dört boyutu vardır. Poincare grubu gibi, bu dört bağlı bileşeni vardır: kimlik bileşeni; Zaman bileşeni ters; uzaysal ters bileşen; ve zaman ters ve mekansal ters hem de bileşen.

== Alıntılar ==
<blockquote>''"{{Dil|de|Es ist immer angenehm, über strenge Lösungen einfacher Form zu verfügen.}}" (Uğraşlarınız sonucunda kesin sonuçlarınızın basit bir halde olması her zaman daha iyidir)'' – Karl Schwarzschild, 1916.</blockquote>

== Kaynakça ==
{{Kaynakça}}
{{Görelilik}}

[[Kategori:Metrik geometri]]