Stein manifoldu sayfasının kaynağını görüntüle

{{Karıştırma|Stein uzayı}}
[[Matematik|Matematiğin]] bir alt dalı olan [[çok değişkenli karmaşık analiz]]de ve [[karmaşık manifold]]lar teorisinde '''Stein manifoldu''' [[karmaşık koordinat uzayı]]ndaki [[holomorfluk bölgesi]] kavramını [[manifold (topoloji)|manifold]]lara genelleştiren bir kavramdır. Stein manifoldları, bu tür manifoldları ilk defa tanımlayan<ref>{{Kaynak|başlık=Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem|erişimtarihi=11 Kasım 2024|yazar=[[Karl Stein]]|dergi=Math. Ann. |yıl=1951|cilt=123|sayfalar=201-222|dil=de|doi=10.1007/BF02054949}}</ref> [[Karl Stein]]'ın adını taşımaktadır.

Diğer taraftan, [[Stein uzayı]] Stein manifolduna benzer ancak bu uzayların tekilliklere sahip olmasına izin verilir. Stein manifoldları bir başka bakış açısıyla [[Riemann yüzeyi|Riemann yüzeylerini]] yüksek boyutlara genelleştirirken, Stein uzayları, cebirsel geometrideki [[afin varyete]] veya [[afin şemalara]] karşılık gelmektedir.

== Tanım ==
<math>X</math> karmaşık boyutu <math>n</math> olan bir [[karmaşık manifold]] olsun. <math>\mathcal O(X)</math> ise <math>X</math> üzerinde tanımlı holomorf fonksiyonların halkası olsun. Aşağıdaki koşullar sağlandığında <math>X</math>'e Stein manifoldu denir.
* <math>X</math> holomorf dışbükeydir. Bir başka deyişle, <math>X</math>in altkümesi olan her tıkız <math>K</math> için, <math>K</math>nin [[holomorf dışbükey kaplam]]ı
::<math>\bar K = \left \{z \in X \,\left|\, |f(z)| \leq \sup_{w \in K} |f(w)| \ \forall f \in \mathcal O(X) \right. \right \}</math>
:<math>X</math>in yine tıkız bir altkümesidir.
* <math>X</math> holomorf ayrılabilirliğe sahiptir. Yâni, <math>X</math>in birbirindenn farklı herhangi iki noktası <math>x</math> ve <math>y</math> için <math>f(x) \neq f(y)</math> özelliğini sağlayacak bir <math>f \in \mathcal O(X)</math> vardır.

=== Tıkız olmayan Riemann yüzeyleri ===
<math>X</math>  bağlantılı ve tıkız olmayan bir [[Riemann yüzeyi]] olsun. [[Heinrich Behnke|Behnke]] ve [[Karl Stein|Stein]] tarafından bir teorem vesilesiyle X Stein manifoldudur.<ref>{{Kaynak|başlık=Entwicklung analytischer Funktionen auf Riemannschen Flächen|erişimtarihi=11 Kasım 2024|yazarlar=[[Heinrich Behnke]], [[Karl Stein]]|dergi=Math. Ann. |yıl=1947|cilt=120|sayfalar=430-461|dil=de|doi=10.1007/BF01447838}}</ref>

[[Hans Grauert]] ve [[Helmut Röhrl]]'e ve 1956 yılına atfedilen<ref>{{kitap kaynağı |soyadı1=Maurin|ad1=Krzysztof |başlık=The Riemann Legacy: Riemannian Ideas in Mathematics and Physics|tarih=2013 |yayıncı=Springer |yer=Netherlands|isbn=9789401589390|url=https://books.google.co.uk/books?id=LqTqCAAAQBAJ|erişim-tarihi=11 Kasım 2024 |sayfa=572|}}</ref> başka bir sonuç ise <math>X</math> üzerindeki her holomorf vektör demetinin aşikar olduğunu belirtir. Özellikle, her doğru demeti aşikârdır ve böylece <math>H^1(X, \mathcal O_X^*) =0 </math> olur. Üstel demet dizisi de aşağıdaki tam diziyi verir:
: <math>H^1(X, \mathcal O_X) \longrightarrow H^1(X, \mathcal O_X^*) \longrightarrow H^2(X, \Z) \longrightarrow H^2(X, \mathcal O_X) </math>

O zaman, [[Cartan B teoremi]] ile <math>H^1(X,\mathcal{O}_X)= H^2(X,\mathcal{O}_X)=0 </math> elde edilir. Böylelikle, <math>H^2(X,\Z) =0</math> olur ki bu gösterilenler de [[Cousin problemleri|İkinci Cousin problemi]]nin çözümüyle alâkalıdır.

== Örnekler ==
* [[Karmaşık koordinat uzayı]] <math>\mathbb C^n</math> Stein manifoldudur.
* Stein manifoldlarının tanımı holomorfluk bölgesi tanımını daha da karmaşık manifoldlara doğru genellediği için doğal olarak  [[karmaşık koordinat uzayı]]ndaki her bir [[holomorfluk bölgesi]] Stein manifoldu olacaktır. 
* Tıkız karmaşık manifoldlar Stein olamaz çünkü bu tür karmaşık manifoldlar üzerinde holomorf fonksiyonlar yoktur. Ancak, diğer taraftan, her tıkız karmaşık manifold holomorf dışbükeyliğe sahiptir. Bu yüzden, bağlantılı bir Riemann yüzeyinin Stein manifoldu olabilmesi için açık olması gerekli ve yeterlidir.
* Her Stein manifoldunun kapalı karmaşık bir altmanifoldu yine Stein manifoldudur.
* [[Hans Grauert]]'in ispatladığı derin bir teorem sayesinde kesin [[çoklualtharmonik fonksiyon|çoklualtharmonik]] tüketme fonksiyonlarına sahip olan karmaşık manifoldlar Stein manifoldudur.<ref>{{Kaynak|başlık=On Levi’s Problem and the Imbedding of Real-Analytic Manifolds.|erişimtarihi=11 Kasım 2024|yazar=[[Hans Grauert]]|dergi=Annals of Mathematics|yıl=1958|cilt=68|sayı=2|sayfalar=460-472|dil=İngilizce|doi=10.2307/1970257}}</ref>

== Özellikler ==
* Stein manifoldunun tanımı gereği tıkız olmaması gereklidir.
* [[Reinhold Remmert]], [[Errett Bishop]] ve [[Raghavan Narasimhan]] tarafından ayrı ayrı ispatlanan sonuçlar sayesinde karmaşık boyutu <math>n</math> olan bir <math>M</math> karmaşık manifoldunun Stein manifoldu olabilmesi için [[uygun gönderim|uygun]], regüler ve birebir olan holomorf bir <math>f:M \to \mathbb C^{2n+1} </math> gömme fonksiyonu bulunması gerekli ve yeterlidir.<ref>{{kitap kaynağı |soyadı1=Range |ad1=R. Michael |başlık=Holomorphic Functions and Integral Representations in Several Complex Variables |tarih=2013 |yayıncı=Springer |yer=New York |isbn=9781475719185 |url=https://books.google.co.uk/books?id=mv_pBwAAQBAJ |erişim-tarihi=11 Kasım 2024 |sayfa=130}}</ref><ref name="Krantz">Steven G. Krantz. ''Function Theory of Several Complex Variables'', AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.</ref><ref>{{Kaynak|başlık=Mappings of Partially Analytic Spaces.|erişimtarihi=11 Kasım 2024|yazar=[[Errett Bishop]]|dergi=American Journal of Mathematics |yıl=1961|cilt=83|sayı=2|sayfalar=209-242|dil=İngilizce|doi=10.2307/2372953}}</ref><ref>{{Kaynak|başlık=The Levi problem for complex spaces|erişimtarihi=11 Kasım 2024|yazar=[[Raghavan Narasimhan]]|dergi=Math. Ann. |yıl=1961|cilt=142|sayfalar=355-365|dil=İngilizce|doi=10.1007/BF01451029}}</ref>

== Sonsuz türevli manifoldlarla ilişkisi ==
Boyutu <math>2n</math> olan ve kulp indislerinin boyutunun <math>n</math>'den küçük olduğu tıkız ve sonsuz türevli manifoldların <math>n>2</math> olduğu sürece Stein yapısı vardır. <math>n=2</math> olduğunda ise yine aynı sonuç 2-kulplar belli çerçevelemelerle tutturulmuşsa geçerlidir.<ref>[[Yakov Eliashberg]], Topological characterization of Stein manifolds of dimension >&nbsp;2, [[International Journal of Mathematics]] vol. 1, no 1 (1990) 29–46.</ref><ref>[[Robert Gompf]], Handlebody construction of Stein surfaces, [[Annals of Mathematics]] 148, (1998) 619–693.</ref> Kapalı ve sonsuz türevli her 4-manifold, birbirlerine sınırlarından yapıştırılmış iki tane Stein 4-manifoldun birleşimidir.<ref>[[Selman Akbulut]] and Rostislav Matveyev, A convex decomposition for four-manifolds, [[International Mathematics Research Notices]]   (1998), no.7, 371–381. {{MR|1623402}}</ref>

== Kaynakça ==
{{Kaynakça}}

[[Kategori:Çok değişkenli karmaşık analiz]]
[[Kategori:Karmaşık manifoldlar]]