Stres-enerji tensörü sayfasının kaynağını görüntüle

{{kaynaksız|tarih=Ağustos 2016}}
[[Dosya:StressEnergyTensor contravariant.svg|sağ|upright=1.07|küçükresim|Stres-enerji tensörünün karşıdeğişkin bileşenleri.]]

'''Stres-enerji tensörü''', [[fizik]]te [[uzayzaman]] içerisinde [[enerji]] ve [[momentum]]un [[özkütle]] ve [[akı]]sını açıklayan, Newton fiziğindeki stres tensörünü genelleyen bir [[tensör]]dür. Bu, [[madde]]dinin, [[radyasyon]]un ve kütleçekimsel olmayan kuvvet alanının bir özelliğidir. Stres-enerji tensörü, genel göreliliğin [[Einstein alan denklemleri]]ndeki yerçekimi alanının kaynağıdır, tıpkı kütle özkütlesinin Newton yerçekiminde bu tip bir alanın kaynağı olması gibi.

==Tanım==
Stres-enerji tensörü üstsimge değişkenlerin kullanımını kapsamaktadır. Eğer [[Uluslararası Birimler Sistemi]]nde [[Kartezyen koordinat]]lar kullanılıyorsa, konum dört vektörünün bileşenleri şu şekilde verilir: ''x''<sup>0</sup>&nbsp;=&nbsp;''t'', ''x''<sup>1</sup>&nbsp;=&nbsp;''x'', ''x''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;''y'' ve ''x''<sup>3</sup>&nbsp;=&nbsp;''z'', burada ''t'' [[saniye]] cinsinden zaman ve ''x'','' y'', ''z'' [[metre]] cinsinden uzaklığı belirtmektedir.

Stres-enerji tensörü, ikinci dereceden tensör ''T''<sup>αβ</sup> olarak tanımlanmıştır ve bir yüzeydeki sabit ''x''<sup>β</sup> [[koordinat]]ının [[momentum]] [[vektör]]ünün ''α’’’ncı elemanının akısını verir. [[Görelilik teorisi]]nde, bu momentum vektörü dört-momentum olarak geçer. Genel görelilikte stres-enerji tensörü simetriktir.
:<math>T^{\alpha \beta} = T^{\beta \alpha}.</math>

[[Einstein-Cartan teorisi]] gibi diğer alternatif teorilerde, stres-enerji tensörü kusursuzca simetrik olmayabilir çünkü fırıl tensörü sıfırdan farklı olabilir, geometrik olarak bu durum sıfırdan farklı burulma tensörü olarak açıklanmıştır.

==Tensörün bileşenlerini tanımlamak==
Stres enerji tensörü ikinci dereceden olduğundan dolayı, bileşenleri 4&thinsp;×&thinsp;4 [[matris]] olarak gösterilebilir:
:<math>T^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} T^{00} & T^{01} & T^{02} & T^{03} \\ T^{10} & T^{11} & T^{12} & T^{13} \\ T^{20} & T^{21} & T^{22} & T^{23} \\ T^{30} & T^{31} & T^{32} & T^{33} \end{pmatrix}.</math>

Aşağıdaki denklemlerde ''i'' ve ''k’’ 1’den 3’e kadar değer kümesidir.

Zaman-zaman bileşeni burada göreceli kütle yoğunluğudur ve kütle yoğunluğunun [[ışık hızı]]nın karesine bölümünden elde edilmektedir. Basit fiziksel yorumlamalar içerdiğinden dolayı bu konu özel bir ilgiye sahiptir. Mükemmel sıvılar için bu bileşen;
:<math>T^{00} = \rho,</math>'dir

ve boş [[uzay]] dışında [[elektromanyetik alan]]larda bu bileşen;
:<math>T^{00} = {\epsilon_0 \over 2}\left({E^2 \over c^2} + B^2\right),</math>'dir.

Burada E [[elektriksel alan]], B ise [[manyetik alan]]dır.

Göreceli kütlede x<sup>i</sup> yüzeyi boyunca akı [[çizgisel momentum|lineer momentum]]da i'nci bileşenin yoğunluğuna denk gelir.

:<math>T^{0i} = T^{i0}.</math>

Bileşenler
:<math> T^{ik}</math>

x<sup>k</sup> yüzeyindeki lineer momentumun i‘nci bileşenin akısını gösterir. Özellikle,

:<math> T^{ii}</math>
(toplanmadan) normal stresi gösterir ve yönden bağımsız olduğu zaman [[basınç]] olarak adlandırılır. Geri kalan bileşenler
:<math> T^{ik} \quad i \ne k </math>
kırkım stresini gösterir (stres tensörü ile karşılaştırıldığında).

[[Katı hal fiziği]] ve [[akışkanlar mekaniği]]nde, stres tensörü doğru referans çerçevesinde stres enerji tensörünün uzaysal bileşeni olarak tanımlanmıştır. Diğer bir deyişle, mühendislikte stres enerji tensörü buradaki stres enerji tensöründen farklılık gösterir.

===Eşdeğişkin ve karışık biçimler===

Bu yazının çoğunda stres enerji tensörünün karşıdeğişkin formu ''T''<sup>μν</sup> ile ilgileneceğiz. Buna karşın, eşdeğişkin formuyla çalışmak da bazen gerekli olmaktadır.
:<math>T_{\mu \nu} = T^{\alpha \beta} g_{\alpha \mu} g_{\beta \nu},</math>

ya da karışık biçimi,
:<math>T^\mu{}_\nu = T^{\mu \alpha} g_{\alpha \nu},</math>

ya da karışık tensör yoğunluğu olarak
:<math>\mathfrak{T}^\mu{}_\nu = T^\mu{}_\nu \sqrt{-g} \,.</math>

==Korunum Yasası==

===Özel görelilikte===

Stres enerji tensörü uzay zamanı ötelemesiyle ilişkili korunmuş [[Noether akımı]]dır.

Yerçekimsel olmayan stres enerjisinin ıraksaması sıfırdır. Diğer bir deyişle, yerçekimsel olmayan enerji ve momentum korunur,
:<math>0 = T^{\mu \nu}{}_{;\nu} = \nabla_\nu T^{\mu \nu}{}. \!</math>
Yerçekimi ihmal edilebilir olduğunda ve uzay zamanı için kartezyen [[koordinat sistemi]] kullanıldığında, bu denklem kısmi türev cinsinden şu şekilde gösterilebilir;
:<math>0 = T^{\mu \nu}{}_{,\nu} = \partial_{\nu} T^{\mu \nu}. \!</math>

Bunun [[integral]] formu şu şekildedir;
:<math>0 = \int_{\partial N} T^{\mu \nu} \mathrm{d}^3 s_{\nu} \!</math>

Burada ''N’’, uzay zamanın sıkılaştırılmış dört boyutlu herhangi bir bölgesi, <math>\partial N</math> ise üç boyutlu aşırıyüzey sınırı ve <math>\mathrm{d}^3 s_{\nu}</math> dışa doğru gösteren normalinden farklı olan sınır elementidir.

Düz uzay zamanında ve kartezyen koordinatlar kullanılarak, eğer biri stres enerji tensörünün simetrisini bununla birleştirirse, açısal momentumun da korunduğunu görebilir:
:<math>0 = (x^{\alpha} T^{\mu \nu} - x^{\mu} T^{\alpha \nu})_{,\nu} . \!</math>

===Genel görelilikte===
Yerçekimi ihmal edilemez olduğunda ya da herhangi bir koordinat sistemi kullanıldığında, stres enerjisinin ıraksaması yine kaybolur. Fakat bu durumda eşdeğişkin türevi içeren ıraksamanın koordinatsız tanımı kullanılır.
:<math>0 = \operatorname{div} T = T^{\mu \nu}{}_{;\nu} = \nabla_{\nu} T^{\mu \nu} = T^{\mu \nu}{}_{,\nu} +  \Gamma^{\mu}{}_{\sigma \nu}T^{\sigma \nu} + \Gamma^{\nu}{}_{\sigma \nu} T^{\mu \sigma}</math>

Burada kullanılan <math>\Gamma^{\mu}{}_{\sigma \nu} </math> Christoffel sembolüdür ve yerçekimsel güç alanını temsil eder.

Bu nedenle, eğer <math>\xi^{\mu}</math> herhangi bir yıpratıcı vektör alanı ise, bu vektör alanı ile üretilmiş simetrinin korunum yasası şu şekilde gösterilebilir;
:<math>0 = \nabla_\nu (\xi^{\mu} T_{\mu}^{\nu}) = \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\nu( \sqrt{-g} \ \xi^{\mu} T_{\mu}^{\nu}) </math>

Bu denklemin integral formu şu şekildedir;
:<math>0 = \int_{\partial N} \sqrt{-g} \ \xi^{\mu} T_{\mu}^{\nu} \ \mathrm{d}^3 s_{\nu} = \int_{\partial N}  \xi^{\mu} \mathfrak{T}_{\mu}^{\nu} \ \mathrm{d}^3 s_{\nu}</math>

==Genel görelilikte==
Genel görelilikte, simetrik stres tensörü uzay zamanı eğriliğinin kaynağı gibi davranır ve genel eğrileştirilmiş [[koordinat]] dönüşümü olan yerçekiminin yerelleştirilmiş bakışım dönüşümüyle ilgili mevcut özkütlesidir. (Eğer burulma varsa, tensör simetrik değildir. Bu [[Einstein-Cartan yerçekim teorisi]]ndeki sıfırdan farklı spin tensörü durumuna denk gelmektedir.)

Genel görelilikte, özel görelilikteki [[kısmi türev]]ler eşdeğişkin türevlerle yer değiştirir. Bu devamlılık denkleminin bundan böyle tensör tarafından açıklanan yerçekimsel olmayan enerji ve momentumun tamamen korunmasını açıklamadığı anlamına gelir. Başka bir ifadeyle yerçekimsel alan cisim üzerinde iş yapabilir ve tam tersi de mümkündür. Bu durum Newton yerçekiminin klasik sınırlamasında basit bir yorumlamaya sahiptir: enerji tensörün dahil edilmediği yerçekimi potansiyel enerjisi ile değişmektedir ve momentum alandan diğer cisimlere transfer edilmektedir. Genel görelilikte Landau-Lifshitz pseudotensörü yerçekimsel alan enerjisini ve momentum yoğunluklarını açıklamak için eşsiz bir yöntemdir. Bu tür bir stres enerjisi pseudotensörü koordinat dönüşümü ile lokal olarak yok olmak için yapılabilir.

Kavisli uzay zamanında, uzaysal integral genel olarak uzaysal dilime bağlıdır. Genel kavisli uzay zamanında küresel enerji-momentum vektörünü tanımlamanın hiçbir yolu yoktur.

=== Einstein alan denklemleri===

Genel görelilikte, stres tensörü Einstein alan denklemleri konusu içinde işlenir ve şu şekilde yazılır;

:<math>R_{\mu \nu} - {1 \over 2}R\,g_{\mu \nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu},</math>

Burada <math>R_{\mu \nu}</math>  Ricci tensörü, <math>R</math> Ricci skaleri (Ricci tensörünün tensör kasılması), <math>g_{\mu \nu}\,</math> metrik tensör ve <math>G</math> evrensel kütleçekim sabitidir.

==Özel durumlarda stres enerjisi==

===Yalıtılmış parçacık===
Özel görelilikte, ''m'' kütlesine sahip ve etkileşimsiz parçacığın stres enerjisi ve yörüngesi <math> \mathbf{x}_\text{p}(t) </math> şu şekildedir;
:<math>T^{\alpha \beta}(\mathbf{x},t) = \frac{m \, v^{\alpha}(t) v^{\beta}(t)}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}\;\, \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}_\text{p}(t)) = E \frac{v^{\alpha}(t) v^{\beta}(t)}{c^2}\;\, \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}_\text{p}(t)) </math>

Burada <math>v^{\alpha} \!</math> hız vektörüdür (dört-hızı ile karıştırılmamalıdır)
:<math> v^{\alpha} = \left(1, \frac{d \mathbf{x}_\text{p}}{dt}(t) \right) \,,</math>
Burada δ [[Dirac delta fonksiyonu]]dur ve <math> E = \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4} </math> parçacığın enerjisidir.

===Dengedeki bir sıvının stres enerjisi===
[[Termodinamik]] dengedeki bir sıvı için stres tensör enerjisi aşağıdaki basit formu alır;
:<math>T^{\alpha \beta} \, = \left(\rho + {p \over c^2}\right)u^{\alpha}u^{\beta} + p g^{\alpha \beta}</math>

Burada <math>\rho</math> kütle energy yoğunluğu (metre küp başına kilogram), <math>p</math> [[hidrostatik]] basınç (paskal), <math>u^{\alpha}</math> sıvının dört hızı ve <math>g^{\alpha \beta}</math> metrik tensörün tersidir.

Dört hızı aşağıdakini karşılar;
:<math>u^{\alpha} u^{\beta} g_{\alpha \beta} = - c^2 \,.</math>

Sıvının uygun referans çerçevesinde, dört hızı;
:<math>u^{\alpha} = (1, 0, 0, 0) \,,</math>'dır.

metrik tensörün tersi;
:<math>
g^{\alpha \beta} \, = \left( \begin{matrix}
                   - c^{-2} & 0 & 0 & 0 \\
                   0 & 1 & 0 & 0 \\
                   0 & 0 & 1 & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & 1    
      \end{matrix} \right)
\,,</math>

ve stress enerji tensörü [[köşegen matris]] olarak;
:<math>

      T^{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix}
                   \rho & 0 & 0 & 0 \\
                   0 & p & 0 & 0 \\
                   0 & 0 & p & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & p    
      \end{matrix} \right).
</math>

===Elektromanyetik stres enerji tensörü===
Kaynaksız bir elektrik alanın Hilbert stres enerji tensörü şu şekildedir;
:<math> T^{\mu \nu} = \frac{1}{\mu_0} \left( F^{\mu \alpha} g_{\alpha \beta} F^{\nu \beta} - \frac{1}{4} g^{\mu \nu} F_{\delta \gamma} F^{\delta \gamma} \right) </math>

Burada <math> F_{\mu \nu} </math> elektromanyetik alan tensörüdür.

===Skalar alan===
Skalar alan <math>\phi </math> için Klein-Gordon denklemini sağlayan stres enerji tensörü şu şekildedir;
:<math>T^{\mu\nu} = \frac{\hbar^2}{m} (g^{\mu \alpha} g^{\nu \beta} + g^{\mu \beta} g^{\nu \alpha} - g^{\mu\nu} g^{\alpha \beta}) \partial_{\alpha}\bar\phi \partial_{\beta}\phi - g^{\mu\nu} m c^2 \bar\phi \phi .</math>

==Stres enerjisinin değişken tanımları==
Yerçekimsel olmayan stres enerjisinin eş olmayan birçok tanımı vardır:

===Hilbert stress enerjisi tensörü===
İşlevsel türev olarak tanımlanmıştır;
:<math>T^{\mu\nu} = \frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\mathcal{L}_{\mathrm{matter}} \sqrt{-g}) }{\delta g_{\mu\nu}} = 2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{matter}}{\delta g_{\mu\nu}} + g^{\mu\nu} \mathcal{L}_\mathrm{matter}.</math>

Burada <math>\mathcal{L}_{\mathrm{matter}}</math> eylemin Lagrangian yoğunluğunun yerçekimsel olmayan kısmıdır. Simetrik ve değişmez ölçektedir.

===Standart stres enerjisi tensörü===
[[Noethern teoremi]]ne göre uzay ve zaman içinde [[öteleme]] ile ilişkili korunmuş bir akım vardır. Buna standart stres enerjisi tensörü denir. Genel olarak, simetrik değildir ve eğer elimizde bir ölçü teoremi varsa, bu ölçü sabiti olmayabilir çünkü uzaya bağlı ölçü dönüşümleri mekansal ötelemelerle değişmeyebilir.

Genel görelilikte, ötelemeler koordinat sistemine göredir ve bu yüzden eşdeğişkin olarak dönüşmez.

===Belinfante-Rosenfeld stres enerjisi tensörü===
Esas [[açısal momentum]]da ya da fırılın varlığında, standart Noether stres enerji tensörü simetrik değildir. Belifante-Rosenfeld stres enerji tensörü standar stres enerji tensörü ve fırıl akımı tarafından oluşturulmuştur ve bu durumda hem simetrik hem de korunmuştur. Genel görelilikte, bu modifiye edilmiş tensör [[Hilbert stres enerji tensörü]] ile uyuşmaktadır.

==Yerçekimsel stres enerjisi==
Yerçekimsel stres enerjisinin eşdeğerlik prensibine göre seçilmiş bir çerçevede seçilmiş bir nokta her zaman lokal olarak kaybolacaktır. Bu nedenle, yerçekimsel stres enerjisi sıfırdan farklı bir tensör olarak tanımlanamaz, bunun yerine pseudotensör kullanmak zorundayız.

Genel görelilikte, yerçekimsel stres enerji-momentum pseudotensörünün birçok olası farklı tanımı mevcuttur. Buna Einstein pseudotensörü ve Landau-Lifshıtz pseudotensörü de dahildir. Landau-Liftshitz pseudotensörü düzgün bir koordinat sistemi seçildiği takdirde uzay zamandaki herhangi bir olayda sıfıra indirgenebilir.

=Kaynakça=

[[Kategori:Tensörler]]
[[Kategori:Yoğunluk]]