Student'in t testi sayfasının kaynağını görüntüle

{{Çift madde|Tek anakütle ortalaması için parametrik hipotez sınaması}}
'''Student'ın t-testi''' [[istatistik]] bilimi içinde incelenen, eğer [[sıfır hipotez]] desteklenmekte ise test istatistiğinin bir Student's t-dağılımı gösterdiği hallerde uygulanan [[çıkartımsal istatistik]]sel hipotez sınamasıdır. Verilen iki değişik grup sayısal verinin birbirinden [[anlamlılık seviyesi|anlamlı]] olarak farklılık gösterip göstermemesini sınamak için kullanılabilir. En sıkça uygulanma örnekleri eğer test istatistiği içinde bulunan ölçek [[parametre]] faktörünün değerinin bir normal dağılım gösterdiği bilinmekte olduğu hallerde tatbik edilmektedir. Eğer test istatistiği içinde bulunan ölçek parametresi faktörünün değeri bilinmiyorsa ve bu faktör veriye dayayan bir kestirim ile ifade edilmekte ise  (gayet iyice tanımlanmış özel belirli hallerde) test istatistiği bir Student'ın t-dağılımı gösterebilir.

==Tarihçe==

t-test ve t-istatistiği kullanma ilk defa 1908'de [[Dublin]], [[İrlanda]]'da önemli bir biracılık şirketi olan Guinness birasının kalitesini sınmak amacıyla bu bira fabrikasına özel olarak tutulmuş bir akademik kimyager olan  (ve "Student" rumuzu ile akademik makalelerini imzalayan)  William Sealy Gosset tarafından ortaya çıkartılmıştır ve kullanılmaya başlanmıştır. Guiness Şirketi'nin sahibi Claude Guinness imal ettiği bira ürününün tek bir yüksek standartta üretilmesini sağlamak [[Oxford Üniversitesi]] ve [[Cambridge Üniversitesi]] fen bilimleri mezunlarından en iyilerinden biyokimya ve istatistik bilimlerini pratikte sanayi imalat süreclerinde kullanmaya koyabilecek  mezunlar istihdam etmeye önem vermekte idi. Gosset t-testini Dublin'de Guinness bira fabrikasının özel imalatı olan siyah ve yoğun "stout" adı verilen bira tipinin standart olarak üretilip üretilmediğini sınamak için ortaya çıkardı. Bu istatistiksel üretim kalitesi kontrol aracının geniş bir alanda da uygulanabileceği  gayet açık olarak anlaşılmıştı. 1908'de Gosset ortaya çıkardığı "t-test" yöneteminin matematiksel olarak açıklanmasını bir bilimsel makale haline getirdi ve gayet itibarlı  akademik [[bilimsel dergi]] olan "Biometrica" dergisine sundu. Bu dergi bu makaleyi yayınlamayı kabul etti. Fakat prensip olarak Guinness Şirketi bu sirkette çalışanlarin kendi isimleri ile makaleler yazıp bastırmalarına iyi bakmamakta idi. Bunun için Gosset Biometrika'da yayınlacak makalesi için kendi ismini kullanamadı ve makalesi "Student" rumuzu ile bastırıldı. Guinness ileri teknoloji kullanan çalışanlarına üniversiteler de ileri bilimsel çalışmalar yapmaları için akademik izin de vermekte idi. Gosset 1906-1907'de [[Londra]] Üniversitesi'ne bağlı olan University College'de Profesör Karl Pearson'un başı olduğu Biyometri Laboratuvarı'ndan çalışmaya başladı. O zaman Gossen'in ismi ve bilimsel ünü istatistikçiler ve biyometriciler tarafından bilinmekteydi ve bu akademik çalışmalar t-testinin geliştirilip kullanılıp yaygınlaştırılmasında önemli rol oynadılar. Fakat günümüze kadar  çözümü bilinmeyen bir bilimsel sorun, istatistiksel  t-testinin geliştirilmesinde Guinness firmasının pratik alanda yaptığı katkınin ne kadar olduğu ve Gosset'in Londra University College'de yaptığı akademik çalışmaların katkılarının ne olduğudur.

==Kullanim==

Değişik ''t''-testlerinin en sık olarak kullanılanları arasında şunlar bulunmaktadır:

* Tek-örneklem konum testi:[[Tek anakütle ortalaması için parametrik hipotez sınaması]] veya &mu; için sınama. Anakütlenin ortalamasının [[sıfır hipotezi]] tarafından verilmiş olan değere eşit olup olmadığının sınanması.
* İki-örneklem konum testi: [[İki anakütle ortalaması farkı için hipotez sınaması]] veya iki anakitlenin [[Beklenen değer]]leri veya iki ana kütle ortalaması farkının (yani ''&mu;<sub>1</sub>-&mu;<sub>2</sub>)  değerinin problemde verilen değere (çok kere 0 değere) eşit olup olmadığı için sınaması.

Pratik istatistiksel kullanımlarda "iki-örneklem konum testi" pratikte gayet genel olarak kullanılmaktadır. Fakat teorik bakımdan daha doğru ve sıkı düşünülürse "iki örneklem konum testi" ancak gayet belirli iki örneklem verileri için uygulanmması gerekmektedir. Bu belirli varsayımlara göre iki örneklemin kaynak olarak geldiği iki anakütlenin varyanslarının bilinmesi ve birbirine eşit olması gerekmektedir. Fakat pratik istatistik uygulamaların çoğunda bu eşit varyanslar varsayımı iki anakütle varyansının hiç ölçülmeden, sadece bir düşünce mahsulü olarak, eşit oldukları kabul edilmektedir. Bu tip düşünce mahsulü varyans eşitliği kabul edilmesinden sonra t-testinin uygulanmasını [[Welch'in t-testi]] olarak anıp bildirmek teorik olarak daha uygundur. Bu türlü elde edilen örneklem verilerine "eşlileştirme yapılmadan örneklem"  veya "iki bağımsız örneklem" adı da verilmektedir. Bu "eşlileştirme yapılmadan örnekleme"'de iki değişik verilerin kaynağı olan iki "veri çerçevesi" bulunmaktadır ve bu iki veri çerçevesi içindeki veriler arasında bağımlılık bulunmamaktadır. "Eşlileştirme yapılmadan örnekleme" alınması halinde anakitle içinde bulunan her bir eleman, ancak tek bir örneklem içine girebilmekte ve eğer bir eleman bir çerçeve içine girmişse ikinci örneklem çerçevesi içinde bulunması imkânı olmaması gerekmektedir yani iki örneklem çerçevesinin birbiri üstüne binişmeleri ("överlepping" olmaları) imkânsızdır.<ref name=fadem>{{kitap kaynağı |yazar=Fadem, Barbara |başlık=High-Yield Behavioral Science (High-Yield Series) |yayımcı=Lippincott Williams and Wilkins |yer=Hagerstwon, MD |tarih=2008 |isbn=0-7817-8258-9 |dil = İngilizce }}</ref>

* Aynı anakütle elemanın yanı istatistiksel birimin üzerinde yapılan iki değişik ölçülme ile  ortaya çıkan "eşlileştirilmiş örneklem" verileri ile yapılan ölçülme farklarının ortalaması için "t-testi". Bu testte sıfır hipotez anakitle için ölçüm  farklarının ortalamasının 0 değere eşit olduğu sınanmaktadır. Örneğin, bir kanser hastasının tümörünün büyüklüğü ilk defa kanser ilacı vermeden önce ölçülmekte ikinci defa kanser ilacı verildikten sonra ölçüm alınmaktadır. Bu önce-ve-sonra seklindeki iki ölçüm arasındaki fark analiz için veridir yani kullanılan veri tek tek ölçüm değil birbirine bağımlı olarak tek elemanda (tek bir hastada) iki (tedaviden önce ve tedaviden sonra) ölçüm arasındaki farktır. Bu ölçümler sayica büyükçe bir örneklem hastalardan alınması gerekmektedir. Eğer tedavi efektif ise, birçok hasta için tümör büyüklüğünün ölçüm farklarının çoğunun negatif olması ve farklar ortalamasının sıfır altında olması beklenmektedir. Bu tip örneklem verileri için t-testine "eşlileştirilmiş örneklem t-testi" veya "tekrarlanmış ölçmeler için  t-testi" adı verilmektedir.<ref name=fadem/><ref>{{Web kaynağı | son = Zimmerman | ilk = Donald W. | dergi = Journal of Educational and Behavioral Statistics | tarih = 1997 | cilt = 22 | sayfalar =349-360| başlık = A Note on İnterpretation of the Paired-Samples ''t'' Test | jstor = 1165289 | sayı = 3 |doi= 10.3102/10769986022003349 | arşivengelli = evet}}</ref>
*[[Regresyon analizi|Doğrusal regresyon doğrusu]]'nun eğiliminin 0 değere eşit olup veya 0 değerden anlamlı olarak değişik olduğu.
 
==Varsayımlar==
<!--
Most ''t''-test statistics have the form ''t'' = ''Z''/''s'', where ''Z'' and ''s'' are functions of the data.  Typically, ''Z'' is designed to be sensitive to the alternative hypothesis (i.e., its magnitude tends to be larger when the alternative hypothesis is true), whereas ''s'' is a [[Scale parameter|scaling parameter]] that allows the distribution of ''t'' to be determined.

As an example, in the one-sample ''t''-test ''t'' = <math> = \frac{Z} {(s/\sqrt{n})} = \frac{(\bar{X} - \mu)/ (\sigma/\sqrt{n})} {(s/\sqrt{n})}</math>, where <math>\bar{X}</math> is the [[average|sample mean]] from a sample <math>X_1, X_2,...,X_n</math>, of size <math>n</math>, and <math>s</math> is the sample standard deviation. <math>\sigma</math> is the [[population variance|population standard deviation]] of the data.

The assumptions underlying a ''t''-test are that

* <math>X </math> follows a normal distribution with mean <math> \mu </math> and variance <math> \sigma^2 </math>
* ''S''<sup>2</sup> follows a [[chi-squared distribution|χ<sup>2</sup> distribution]] with ''p'' [[Degrees of freedom (statistics)|degrees of freedom]] under the null hypothesis, where ''p'' is a positive constant
* ''Z'' and ''s'' are [[statistical independence|independent]].

In a specific type of ''t''-test, these conditions are consequences of the [[statistical population|population]] being studied, and of the way in which the data are [[sampling (statistics)|sampled]].

For example, in the ''t''-test comparing the means of two independent samples, the following assumptions should be met:

* Each of the two populations being compared should follow a [[normal distribution]]. This can be tested using a [[normality test]], such as the [[Shapiro–Wilk test|Shapiro–Wilk]] or [[Kolmogorov–Smirnov]] test, or it can be assessed graphically using a [[Q–Q plot|normal quantile plot]].
* If using Student's original definition of the ''t''-test, the two populations being compared should have the same variance (testable using [[F-test of equality of variances|''F''-test]], [[Levene's test]], [[Bartlett's test]], or the [[Brown–Forsythe test]]; or assessable graphically using a [[Q–Q plot]]).  If the sample sizes in the two groups being compared are equal, Student's original ''t''-test is highly robust to the presence of unequal variances.<ref>{{Akademik dergi kaynağı |last1=Markowski |first1=Carol A. |last2=Markowski |first2=Edward P. |year=1990 |title=Conditions for the Effectiveness of a Preliminary Test of Variance |journal=The American Statistician |pages=322–326 |volume=44 |jstor=2684360 |doi=10.2307/2684360 |issue=4}}</ref> [[Welch's t-test|Welch's ''t''-test]] is insensitive to equality of the variances regardless of whether the sample sizes are similar.
* The data used to carry out the test should be sampled independently from the two populations being compared.  This is in general not testable from the data, but if the data are known to be dependently sampled (i.e., if they were sampled in clusters), then the classical ''t''-tests discussed here may give misleading results.

-->

== Eşlileştirilmiş  olmayan ve eşlileştirilmiş olan iki-örneklemli t-testleri==

<!--
Two-sample ''t''-tests for a difference in mean involve independent samples or unpaired samples.  Paired ''t''-tests are a form of [[blocking (statistics)|blocking]], and have greater [[statistical power|power]] than unpaired tests when the paired units are similar with respect to "noise factors" that are independent of membership in the two groups being compared.<ref>John A. Rice (2006), ''Mathematical Statistics and Data Analysis'',3.Ed., Duxbury Advanced.</ref>  In a different context, paired ''t''-tests can be used to reduce the effects of [[confounders|confounding factors]] in an [[observational study]].

-->

===  Bağımsız (eşlileştimiş olmayan) örneklemler===

<!--
The independent samples ''t''-test is used when two separate sets of [[Independent and identically-distributed random variables|independent and identically distributed]] samples are obtained, one from each of the two populations being compared. For example, suppose we are evaluating the effect of a medical treatment, and we enroll 100&nbsp;subjects into our study, then randomly assign 50&nbsp;subjects to the treatment group and 50&nbsp;subjects to the control group. In this case, we have two independent samples and would use the unpaired form of the ''t''-test. The randomization is not essential here – if we contacted 100&nbsp;people by phone and obtained each person's age and gender, and then used a two-sample ''t''-test to see whether the mean ages differ by gender, this would also be an independent samples ''t''-test, even though the data are observational.

-->

===  Eşlileştirilmiş örneklemler===
<!--

Paired samples ''t''-tests typically consist of a sample of matched pairs of similar [[unit (statistics)|units]], or one group of units that has been tested twice (a "repeated measures" ''t''-test).

A typical example of the repeated measures ''t''-test would be where subjects are tested prior to a treatment, say for high blood pressure, and the same subjects are tested again after treatment with a blood-pressure lowering medication. By comparing the same patient's numbers before and after treatment, we are effectively using each patient as their own control. That way the correct rejection of the null hypothesis (here: of no difference made by the treatment) can become much more likely, with statistical power increasing simply because the random between-patient variation has now been eliminated. Note however that an increase of statistical power comes at a price: more tests are required, each subject having to be tested twice. Because half of the sample now depends on the other half, the paired version of Student's ''t''-test has only "n/2–1" degrees of freedom (with ''n'' being the total number of observations). Pairs become individual test units, and the sample has to be doubled to achieve the same number of degrees of freedom.

A paired samples ''t''-test based on a "matched-pairs sample" results from an unpaired sample that is subsequently used to form a paired sample, by using additional variables that were measured along with the variable of interest.<ref>{{Akademik dergi kaynağı |last1=David |first1=H.&nbsp;A. |last2=Gunnink |first2=Jason L. |year=1997 |title=The Paired ''t'' Test Under Artificial Pairing |journal=The American Statistician |volume=51 |pages=9–12 |jstor=2684684 |doi=10.2307/2684684 |issue=1}}</ref> The matching is carried out by identifying pairs of values consisting of one observation from each of the two samples, where the pair is similar in terms of other measured variables. This approach is sometimes used in observational studies to reduce or eliminate the effects of confounding factors.

Paired samples ''t''-tests are often referred to as "dependent samples ''t''-tests".

-->

==Hesaplamalar==

=== Bir örneklem için t-testi===

{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=5
|İsim
|Formül
|Varsayımlar
|-

|-
|}

===Bağımsız iki-örneklemli t-testi===

=== İki-örneklem ve iki anakütle parametresi farkı için hipotez sınamaları ===

====Eşit örneklem büyüklükleri, eşit varyans====

====Eşit veya eşit olmayan örneklem büyüklükleri, eşit varyans====

{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=5
|İsim
|Formül
|Varsayımlar
|-
|İki-örneklem pool edilmiş t-testi
|<math>t=\frac{(\overline{x}_1 - \overline{x}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}},</math><br />
<math>s_p^2=\frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2},</math><br />
<math>df=n_1 + n_2 - 2 \ </math>
|(Normal anakütle '''veya''' ''n1''+''n2''&nbsp;>&nbsp;40) '''ve''' bağımsız gözlemler '''ve''' σ<sub>1</sub> = σ<sub>2</sub> '''ve''' (bilinmeyen σ<sub>1</sub> ve σ<sub>2</sub> değerleri)
|-
|}

{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=5
|İsim
|Formül
|Varsayımlar
|-
|İki-örneklem z-testi
|<math>z=\frac{(\overline{x}_1 - \overline{x}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}</math>
|Normal dağılım '''ve''' bağımsız gözlemler '''ve''' (bilinen σ<sub>1</sub> ve σ<sub>1</sub> değerleri)
|}

====Eşit veya eşit olmayan örneklem büyüklükleri, eşit olmayan varyanslar====

{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=5
|İsim
|Formül
|Varsayımlar
|-
|İki-örneklem pool edilmemiş t-testi
|<math>t=\frac{(\overline{x}_1 - \overline{x}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}},</math><br />
<math>df=\frac{(n_1 - 1)(n_2 - 1)}{(n_2 - 1)c^2 + (n_1 - 1)(1 - c)^2},</math><br />
<math>c=\frac{\frac{s_1^2}{n_1}}{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}</math><br />
'''veya''' <math>sd=\min\{n_1,n_2\} - 1\ </math>
|(Normal anakütleler '''veya''' ''n<sub>1</sub>''+''n<sub>2</sub>''&nbsp;>&nbsp;40) '''ve''' bağımsız gözlemler '''ve''' σ<sub>1</sub> ≠ σ<sub>2</sub> '''ve''' (bilinmeyen σ<sub>1</sub> '''ve''' σ<sub>2</sub> değerleri)
|-
|}

=== Eşlileştirilmiş  örneklemler için bağımlı t-testi===

{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=5
|İsim
|Formül
|Varsayımlar
|-
|Eşlileştirilmiş t-testi
|<math>t=\frac{\overline{d}-d_0}{s_d},</math><br />
<math>sd=n-1 \ </math>
|(Normal farklar anakütlesi '''veya''' ''n'' < 30) '''ve''' bilinmeyen σ değeri
|-
|}

=== Regresyon doğrusunun eğilimi===

<!--
Suppose one is fitting the model

: <math> Y = \alpha + \beta x + \varepsilon, </math>

where ''x'' is known, ''α'' and ''β'' are unknown, and ''ε'' is a normally distributed random variable with mean 0 and unknown variance ''σ''<sup>2</sup>, and ''Y'' is the outcome of interest. We want to test the null hypothesis that the slope ''β'' is equal to some specified value ''β''<sub>0</sub> (often taken to be 0, in which case the hypothesis is that ''x'' and ''y'' are independent).

Let

: <math>
\begin{align}
\widehat\alpha, \widehat\beta & = \text{least-squares estimators}, \\
SE_{\widehat\alpha}, SE_{\widehat\beta} & = \text{the standard errors of least-squares estimators}.
\end{align}
</math>

Then

: <math>
t_\text{score} = \frac{\widehat\beta - \beta_0}{ SE_{\widehat\beta} }\sim\mathcal{T}_{n-2}
</math>

has a ''t''-distribution with ''n''&nbsp;−&nbsp;2 degrees of freedom if the null hypothesis is true.  The
[[Simple linear regression#Normality assumption|standard error of the slope coefficient]]:

: <math>
SE_{\widehat\beta} = \frac{\sqrt{\frac{1}{n - 2}\sum_{i=1}^n (y_i - \widehat y_i)^2}}{\sqrt{ \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 }}
</math>

can be written in terms of the residuals. Let

: <math>
\begin{align}
\widehat\varepsilon_i & = y_i - \widehat y_i = y_i - (\widehat\alpha + \widehat\beta x_i) = \text{residuals} = \text{estimated errors}, \\
\text{SSR} & = \sum_{i=1}^n \widehat\varepsilon_i^{\;2} = \text{sum of squares of residuals}.
\end{align}
</math>

Then <math> t_\text{score} </math> is given by:

: <math> t_\text{score} = \frac{(\widehat\beta - \beta_0)\sqrt{n-2}}{ \sqrt{\text{SSR}/\sum_{i=1}^n \left(x_i - \overline{x}\right)^2} }. </math>

-->

== Çözülmüş problem örnekleri==

=== Eşit olmayan varyanslar===

===Eşit olan varyanslar===
<!--

|-
|İki-oran için z-testi, eşit varyanslar
|<math>z=\frac{{p}_1 - {p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1 - \hat{p})(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}}</math>
<math>\hat{p}=\frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2}</math>
|''n<sub>1</sub>''<sup>.</sup>''p<sub>1</sub>'' >&nbsp; 5&nbsp; '''ve''' ''n<sub>1</sub>''(1&nbsp;−&nbsp;''p<sub>1</sub>'') >&nbsp; 5&nbsp; '''ve''' ''n<sub>2</sub>''<sup>.</sup>''p<sub>2</sub>''&nbsp;>&nbsp;5&nbsp; '''ve''' ''n<sub>2</sub>''(1&nbsp;−&nbsp;''p<sub>2</sub>'') > &nbsp;5&nbsp; '''ve''' bağımsız gözlemler
|-
|İki-oran için z-testi, eşit olmayan varyanslar
|<math>z=\frac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) - (p_1 - p_2)}{\sqrt{\frac{\hat{p}_1(1 - \hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1 - \hat{p}_2)}{n_2}}}</math>
|''n<sub>1</sub>''<sup>.</sup>''p<sub>1</sub>'' >&nbsp; 5&nbsp; '''ve''' ''n<sub>1</sub>''(1&nbsp;−&nbsp;''p<sub>1</sub>'') >&nbsp; 5&nbsp; '''ve''' ''n<sub>2</sub>''<sup>.</sup>''p<sub>2</sub>''&nbsp;>&nbsp;5&nbsp; '''ve''' ''n<sub>2</sub>''(1&nbsp;−&nbsp;''p<sub>2</sub>'') > &nbsp;5&nbsp; '''ve''' bağımsız gözlemler
-->

== Anakitle konum problemleri için t-testlerine alternatifler==
<!--
The ''t''-test provides an exact test for the equality of the means of two normal populations with unknown, but equal, variances.  (The [[Welch's t-test|Welch's ''t''-test]] is a nearly exact test for the case where the data are normal but the variances may differ.)  For moderately large samples and a one tailed test, the ''t'' is relatively robust to moderate violations of the normality assumption.<ref name="Sawilowsky-Blair">{{Akademik dergi kaynağı |last1=Sawilowsky |first1=Shlomo S. |last2=Blair |first2=R. Clifford |year=1992 |title=A More Realistic Look at the Robustness and Type II Error Properties of the ''t'' Test to Departures From Population Normality |journal=Psychological Bulletin |volume=111 |issue=2 |pages=352–360 |doi=10.1037/0033-2909.111.2.352}}</ref>

For exactness, the ''t''-test and ''Z''-test require normality of the sample means, and the ''t''-test additionally requires that the sample variance follows a scaled [[Chi-squared distribution|χ<sup>2</sup> distribution]], and that the sample mean and sample variance be [[independence (probability theory)|statistically independent]].  Normality of the individual data values is not required if these conditions are met.  By the [[central limit theorem]], sample means of moderately large samples are often well-approximated by a normal distribution even if the data are not normally distributed.  For non-normal data, the distribution of the sample variance may deviate substantially from a χ<sup>2</sup> distribution.  However, if the sample size is large, [[Slutsky's theorem]] implies that the distribution of the sample variance has little effect on the distribution of the test statistic. If the data are substantially non-normal and the sample size is small, the ''t''-test can give misleading results. See [[location testing for Gaussian scale mixture distributions|Location test for Gaussian scale mixture distributions]] for some theory related to one particular family of non-normal distributions.

When the normality assumption does not hold, a [[non-parametric]] alternative to the ''t''-test can often have better [[statistical power]]. For example, for two independent samples when the data distributions are asymmetric  (that is, the distributions are [[skewness|skewed]]) or the distributions have large tails, then the Wilcoxon rank-sum test (also known as the [[Mann–Whitney U test|Mann–Whitney ''U'' test]]) can have three to four times higher power than the ''t''-test.<ref name="Sawilowsky-Blair"/><ref>{{Akademik dergi kaynağı |last1=Blair |first1=R. Clifford |last2=Higgins |first2=James J. |journal=Journal of Educational Statistics |year=1980 |pages=309–335 | volume=5 |issue=4 |title=A Comparison of the Power of Wilcoxon's Rank-Sum Statistic to That of Student's ''t'' Statistic Under Various Nonnormal Distributions |doi=10.2307/1164905 |jstor=1164905}}</ref><ref>{{Akademik dergi kaynağı |last1=Fay |first1=Michael P. |last2=Proschan |first2=Michael A. |journal=Statistics Surveys |year=2010 |pages=1–39 |volume=4 |url=http://www.i-journals.org/ss/viewarticle.php?id=51 |title=Wilcoxon–Mann–Whitney or ''t''-test? On assumptions for hypothesis tests and multiple interpretations of decision rules |doi=10.1214/09-SS051 |pmid=20414472 |pmc=2857732}}</ref> The nonparametric counterpart to the paired samples ''t''-test is the [[Wilcoxon signed-rank test]] for paired samples. For a discussion on choosing between the ''t''-test and nonparametric alternatives, see Sawilowsky (2005).<ref>{{Akademik dergi kaynağı |last=Sawilowsky |first=Shlomo S. |year=2005 |title=Misconceptions Leading to Choosing the ''t'' Test Over The Wilcoxon Mann–Whitney Test for Shift in Location Parameter |url=http://digitalcommons.wayne.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1011&context=coe_tbf |journal=Journal of Modern Applied Statistical Methods |volume=4 |issue=2 |pages=598–600 |accessdate=18 Haziran 2014}}</ref>

One-way [[analysis of variance]] generalizes the two-sample ''t''-test when the data belong to more than two groups.

-->
== Çoklu-değişirli ististiksel sınama==

{{Ana|Hotelling'in T-kare dağılımı}}

<!--
A generalization of Student's t statistic, called Hotelling's T-square statistic, allows for the testing of hypotheses on multiple (often correlated) measures within the same sample. For instance, a researcher might submit a number of subjects to a personality test consisting of multiple personality scales (e.g. the Minnesota Multiphasic Personality Inventory). Because measures of this type are usually positively correlated, it is not advisable to conduct separate univariate t-tests to test hypotheses, as these would neglect the covariance among measures and inflate the chance of falsely rejecting at least one hypothesis (Type I error). In this case a single multivariate test is preferable for hypothesis testing. Fisher's Method for combining multiple tests with alpha reduced for positive correlation among tests is one. Another is Hotelling's T 2 statistic follows a T 2 distribution. However, in practice the distribution is rarely used, since tabulated values for T 2 are hard to find. Usually, T 2 is converted instead to an F statistic.

-->

===Tek-örneklem için T<sup>2</sup> testi===

<!--
For a one-sample multivariate test, the hypothesis is that the mean vector (<math>{\mathbf\mu}</math>) is equal to a given vector (<math>{\mathbf\mu_0}</math>). The test statistic is [[Hotelling's_T-squared_distribution#Sum_of_p_squared_t.27s|Hotelling's ''T''<sup>&nbsp;2</sup>]]:

:<math>
T^2=n(\overline{\mathbf x}-{\mathbf\mu_0})'{\mathbf S}^{-1}(\overline{\mathbf x}-{\mathbf\mu_0})
</math>

where ''n'' is the sample size, <math>\overline{\mathbf x}</math> is the vector of column means and <math>{\mathbf S}</math> is a <math>m\times m</math> [[sample covariance matrix]].

-->
=== İki-örneklem için T<sup>2</sup> testi===
<!--
Iki-orneklemli bir coklu-degisirli test icin hipotez iki orneklem ortalama vektorler birbirine esittir seklindedir; yani <br/>
(<math>{\mathbf\mu}_1</math>, <math>{\mathbf\mu}_2</math>)
Bu test icin test istatistigi Hotelling's 2-sample''T''<sup>&nbsp;2</sup>:
:<math>T^2 = \frac{n_1 n_2}{n_1+n_2}(\overline{\mathbf x}_1-\overline{\mathbf x}_2)'{\mathbf S_\text{pooled}}^{-1}(\overline{\mathbf x}_1-\overline{\mathbf x}_2).</math>

-->

== Yazılım uygulamaları==

<!--

Many [[spreadsheet]] programs and statistics packages, such as [[QtiPlot]], [[LibreOffice Calc]], [[Microsoft Excel]], [[SAS (software)|SAS]], [[SPSS]], [[Stata]], [[DAP (software)|DAP]], [[gretl]], [[R (programming language)|R]], [[Python (programming language)|Python]], [[PSPP]], [[Matlab]] and [[Minitab]], include implementations of Student's ''t''-test.

{| class="wikitable sortable"
|-
! Komputer dili/Program !! Fonksiyon !! Notlar
|-
| [[Microsoft Excel]] 2010 oncesi || <code>TTEST(''array1'', ''array2'', ''tails'', ''type'')</code> ||  Bknz. [http://office.microsoft.com/en-us/excel-help/ttest-HP005209325.aspx]

|-
| [[Microsoft Excel]] 2010 ve sonrasi || <code>T.TEST(''array1'', ''array2'', ''tails'', ''type'')</code> || Bknz. [http://office.microsoft.com/en-us/excel-help/t-test-function-HA102753135.aspx]
|-
| [[LibreOffice]] || <code>TTEST(''Data1; Data2; Mode; Type'')</code> ||  Bknz.[https://help.libreoffice.org/Calc/Statistical_Functions_Part_Five#TTEST]
|-
| [[Google Sheets]] || <code>TTEST(range1, range2, tails, type)</code> ||  Bknz. [https://support.google.com/docs/answer/6055837]
|-
| [[Python (programming language)|Python]] || <code>scipy.stats.ttest_ind(''a'', ''b'', ''axis=0'', ''equal_var=True'')</code> ||  Bknz.[http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.ttest_ind.html]
|-
| [[Matlab]] || <code>ttest(data1, data2)</code> ||  Bknz. [http://www.mathworks.com/help/stats/ttest.html]
|-
| [[Mathematica]] || <code>TTest[{data1,data2}]</code> ||  Bknz. [http://reference.wolfram.com/language/ref/TTest.html]
|-
| [[R (programming language)|R]] || <code>t.test(data1, data2, var.equal=TRUE)</code>  ||  Bknz. [http://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/t.test.html]
|-
| [[SAS (software)|SAS]] || <code>PROC TTEST</code>  || Bknz.[http://www.sas.com/offices/europe/belux/pdf/academic/ttest.pdf]
|-
| [[Java (programming language)|Java]] || <code>tTest(sample1, sample2)</code> ||  Bknz.[http://commons.apache.org/proper/commons-math/apidocs/org/apache/commons/math3/stat/inference/TTest.html]
|}

-->
==Ayrıca bakınız==

* [[Standart normal dağılım]]
* [[Student'in t dağılımı]]
* [[Anlamlılık seviyesi]]
* [[Hipotez testi]]
* [[Sıfır hipotez]]
* [[İ.Tur ve II.Tur hatalar]]
* [[Tek anakütle ortalaması için parametrik hipotez sınaması|p-değeri]]
* [[İki anakütle ortalaması farkı için hipotez sınaması]]
* [[Tek anakütle orantısı için parametrik hipotez sınaması]]
* [[İki anakütle orantısı farkı için parametrik hipotez sınaması]]

== Notlar==
{{Kaynakça}}

==Kaynakça==

* Boneau, C. Alan (1960). "The effects of violations of assumptions underlying the t test". ''Psychological Bulletin c.57 no.:(1)'' say. 49–64. doi:10.1037/h0041412.
* Edgell, Stephen E., & Noon, Sheila M (1984). "Effect of violation of normality on the t test of the correlation coefficient". ''Psychological Bulletin c.95 no.(3)'' s. 576–583. doi:10.1037/0033-2909.95.3.576.

== Ek bibliyografya==

* O'Mahony, Michael (1986). ''Sensory Evaluation of Food: Statistical Methods and Procedures''. CRC Press. s. 487. ISBN 0-82477337-3. {{ing}}
* Press, William H.; Saul A. Teukolsky; William T. Vetterling; Brian P. Flannery (1992).''Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing''. [http://www.nrbook.com/a/bookcpdf/c14–2.pdf p. 616]{{Ölü bağlantı|tarih=Nisan 2020 }} Cambridge University Press. s 616. ISBN 0-521-43108-5. {{ing}}

== Dış bağlantılar==
* [http://www.socialresearchmethods.net/kb/stat_t.php Student'in ''t''-testi hakkinda bir kavramsal makale]{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20150228072157/http://www.socialresearchmethods.net/kb/stat_t.php |tarih=28 Şubat 2015 }}  {{ing}}
* {{YouTube|kim=sajXLvfolmg&list=PLD15D38DC7AA3B737&index=2#t=13m31s|başlık=Econometri dersi konferansa  (konu:hipotez sinamasi)}} sunucu: [[Mark Thoma]]  {{ing}}

{{İstatistik}}

{{DEFAULTSORT:Student'in T-Testi}}
[[Kategori:İstatistiksel sınamalar]]
[[Kategori:Parametrik çıkartımsal istatistik]]