Tam sayı sayfasının kaynağını görüntüle

{{İçin|Bilgisayar bilimi kavramı|Tam sayı (bilgisayar bilimi)}}
[[Dosya:Latex integers.svg|küçükresim|Karatahta yazı tipindeki kalın '''Z''' harfi, sıklıkla tüm tam sayılar kümesini temsil etmek amacıyla tercih edilir.]]
'''Tam sayılar''',{{r|Sozluk_2023}} [[sayı]]lar kümesinde yer alan sıfır ([[0]]), pozitif yönde yer alan [[doğal sayılar]] ([[1]], 2, 3, …) ve bunların [[Negatif sayı|negatif]] değerlerinden oluşan negatif sayılardan ([[−1]], −2, −3, …) oluşan sayı [[küme]]sidir.{{r|Chicago_Press_2000}}

Tüm tam sayıların oluşturduğu [[küme (matematik)|küme]], çoğunlukla [[vurgu|kalın harf]] biçimindeki '''Z''' veya [[karatahta vurgusu]] kullanılarak <math>\mathbb{Z}</math> şeklinde ifade edilir.{{r|earliest}}{{r|Cameron1998}} Z harfi [[Almanca]] ''Zahlen'' (sayılar) sözcüğünden gelir.

Doğal sayılar kümesi <math>\mathbb{N}</math>, <math>\mathbb{Z}</math> tam sayılar kümesinin bir [[alt küme]]si olarak tanımlanır. Bu tam sayılar kümesi, ardından tüm [[rasyonel sayı]]lar kümesi <math>\mathbb{Q}</math>’nun ve bu küme de [[reel sayı]]lar kümesi <math>\mathbb{R}</math>’nin bir alt kümesi olarak sıralanır.{{efn|Her bir sayı sistemi, bir sonraki sayı sistemine izomorfik bir şekilde eşlenerek ve bu sistem içerisinde gömülü bir alt küme oluşturarak daha kesin bir yapılandırma sunar.}} Doğal sayılar kümesine benzer biçimde, <math>\mathbb{Z}</math> tam sayılar kümesi de [[sayılabilir sonsuzluk]] özelliği gösterir. Tam sayı kavramı, [[kesir]]li bir kısmı bulunmayan ve böylelikle doğrudan reel sayı olarak ifade edilebilen sayılar için kullanılır.{{efn|Kesirsiz ve ondalıksız sayıların tamamı tam sayılardır.}} Mesela, 21, 4, 0 ve -2048 tam sayılardır; buna karşın 9.75, {{sfrac|5|1|2}} ve {{math|{{sqrt|2}}}} tam sayı olarak değerlendirilmez.{{r|Prep_2019}}

Doğal sayı kümelerini kapsayan yapılar içerisinde, tam sayılar hem en minimal [[Grup (matematik)|grup]] hem de en minimal [[halka (matematik)|halka]] yapısını teşkil ederler. [[Cebirsel sayı teorisi]] alanında, tam sayılar zaman zaman, onları daha geniş bir kapsamda ele alınan [[cebirsel tam sayılar]] ile karıştırmamak adına '''rasyonel tam sayılar''' olarak özel bir şekilde tanımlanır. Gerçekte, rasyonel olarak ifade edilen tam sayılar, hem cebirsel tam sayı özelliklerini taşır hem de [[rasyonel sayı]]lar kategorisinde değerlendirilirler.

==Tarihçe==

İlk Türkçe ''tam sayı'' teriminin kullanımlarından biri 1955'e dayanır.{{r|Ulucay_1955}}

Tarih boyunca tam sayı terimi, 1'in katları olan sayılar için{{r|Smedley_1845}}<ref>{{harvnb|Encyclopaedia Britannica|1771|p=[https://books.google.com/books?id=d50qAQAAMAAJ&pg=PA367 367]}}</ref> veya [[Kesir#Tam sayılı kesirler|tam sayılı kesirlerin]] tam kısımlarını ifade etmek için kullanılmıştır.{{r|Pisano_1202}}<ref>{{harvnb|Encyclopaedia Britannica|1771|p=[https://books.google.com/books?id=d50qAQAAMAAJ&pg=PA83 83]}}</ref> Başlangıçta yalnızca pozitif tam sayılar ele alınmış ve bu durum, terimin doğal sayılarla eşanlamlı hale gelmesine yol açmıştır. Tam sayı kavramının tanımı, negatif sayıların faydasının zamanla kabul edilmesiyle genişletilmiş ve bu sayılar da tanımın içine dahil edilmiştir.{{r|negmath}} Örneğin, [[Leonhard Euler]], 1765 tarihli ''Cebirin Unsurları'' adlı çalışmasında tam sayıları, hem pozitif hem de negatif sayıları içerecek biçimde tanımlamıştır.{{r|Euler_1771}} Bununla birlikte, Avrupalı matematikçilerin büyük bir kısmı 19. yüzyılın ortalarına kadar negatif sayılar konseptine karşı direnç göstermiştir.{{r|negmath}}

Tam sayılar kümesini temsil etmek üzere 'Z' harfinin tercih edilmesi, [[Almanca]]da "sayılar" anlamına gelen ''[[wikt:Zahlen|Zahlen]]'' kelimesinden kaynaklanmaktadır{{r|earliest}}{{r|Cameron1998}} ve bu bağlamda [[David Hilbert]] ile ilişkilendirilir.{{r|Leeds_1989}} Bu notasyonun ders kitaplarında ilk defa kullanıldığı bilinen örnek, 1947 yılında [[Nicolas Bourbaki]] grubu tarafından kaleme alınan [[Éléments de mathématique|Algébre]] isimli eserde yer almaktadır.{{r|earliest}}{{r|Bourbaki_1951}} Notasyonun benimsenmesi hemen gerçekleşmemiştir; mesela, bir başka ders kitabında 'J' harfi kullanılmış{{r|Birkhoff_1948}} ve 1960 yılında yayımlanan bir makalede 'Z', yalnızca sıfır ve pozitif tam sayıları ifade etmek amacıyla tercih edilmiştir.{{r|Society_1960}} Ancak 1961 itibarıyla, modern cebir metinleri genel olarak 'Z' harfini, hem pozitif hem de negatif tam sayıları kapsayacak şekilde kullanmaya başlamışlardır.{{r|Bezuszka_1961}}

<math>\mathbb{Z}</math> sembolü, çeşitli kümeleri tanımlamak amacıyla farklı yazarların tercihlerine göre değişken notasyonlar ile sıklıkla sembolize edilir: Pozitif tam sayılar için <math>\mathbb{Z}^+</math>, <math>\mathbb{Z}+</math> veya <math>\mathbb{Z}^{>}</math> kullanılırken, sıfır ve pozitif tam sayılar için <math>\mathbb{Z}^{0+}</math> veya <math>\mathbb{Z}^{\geq}</math> ve sıfır olmayan tam sayılar için <math>\mathbb{Z}^{\neq}</math> tercih edilir. Bazı yazarlar, sıfır olmayan tam sayılar için <math>\mathbb{Z}^{*}</math> kullanırken diğerleri bu notasyonu sıfır ve pozitif tam sayılar için veya <math>\mathbb{Z}</math>'nin birimler grubunu (İng. ''unit (ring theory)'') ifade eden {{math|{–1, 1}{{void}}}} için kullanmaktadır. Ek olarak, <math>\mathbb{Z}_{p}</math> notasyonu, ya modüler {{math|''p''}} tam sayılarını (yani, tam sayıların denklik sınıflarını) ya da {{math|''p''}}-adik tam sayılarını tanımlamak için kullanılır.<ref name=edexcelc1>Keith Pledger and Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Core Mathematics 1" Pearson 2008</ref><ref>LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Book 2, Longman 1975.</ref>

1950'lerin başlarına dek, bütün sayılar ile tam sayılar arasında bir eşanlamlılık söz konusuydu.{{r|Mathews_1892}}{{r|Betz_1934}}{{r|Peck_1950}} 1950'lerin sonlarına doğru, ''[[New Math]]'' hareketinin bir unsuru olarak,{{r|Hayden_1981}} Amerikan ilkokul öğretmenleri "bütün sayılar" (İng. ''whole numbers'') teriminin, negatif sayıları dışlayarak yalnızca [[doğal sayılar]]ı kapsadığını, "tam sayı" teriminin ise negatif sayıları da içerecek şekilde genişletildiğini derslerinde işlemeye başladılar.{{r|NCTM_1959}}{{r|Deans_1963}} "Bütün sayı" kavramı (İng. ''whole numbers''), günümüzde hala belirsizliğini sürdürmektedir.{{r|HarperCollins}}

== Cebirsel özellikler==

[[Dosya:Number-line.svg|right|küçükresim|upright=1.36|Tam sayılar, teorik olarak sonsuz bir uzunluğa sahip olan [[sayı doğrusu]] üzerinde, birbirinden eşit mesafelerle ayrılmış, ayrık noktalar şeklinde tasavvur edilebilirler. İlgili gösterimde, negatif olmayan tam sayı kümeleri mavi renkle temsil edilmiş olup, negatif değerli tam sayılar ise kırmızı renk ile ifade edilmiştir.]]

Doğal sayılar kümesi gibi, <math>\mathbb{Z}</math> kümesi de toplama ve [[çarpma]] gibi [[ikili işlem]]ler bakımından [[kapalılık (matematik)|kapalı]] bir yapıya sahiptir; bu, herhangi iki tam sayının toplamının ve çarpımının yine bir tam sayı olacağı anlamına gelir. Bununla birlikte, negatif doğal sayıların ve özellikle {{num|0}}'ın dahil edilmesi ile <math>\mathbb{Z}</math>, doğal sayılar kümesinden farklı olarak, [[çıkarma]] işlemine yönelik de kapalı bir karakter gösterir.{{r|Brittanica_2020}}

Tam sayılar kümesi, her bir birimli halka yapısı için, bu yapılara doğru tam sayılardan tekil bir [[halka homomorfizması]]nın (İng. ''ring homomorphism'') tesis edilebildiği, temel bir [[birimli halka]] olarak işlev görür. Bu [[evrensel özellik]] (İng. ''universal property''), özgül olarak [[halkaların kategorisi]] içerisinde bir [[başlangıç objesi]] (İng. ''initial object'') olarak tanımlanabilirlik, <math>\mathbb{Z}</math> halkasının ayırt edici niteliğini belirler.

<math>\mathbb{Z}</math> kümesi, iki tam sayının birbirine bölünmesi işlemi (örnek olarak, 1 sayısının 2 sayısına bölünmesi durumu gösterilebilir) neticesinde her defasında tam sayı elde edilmeyebileceğinden, [[bölme]] işlemi açısından kapalı bir yapı sergilemez. Doğal sayılar kümesi, [[üs alma]] işlemine göre kapalılık özelliğine sahipken, tam sayılar kümesi bu özelliği taşımamaktadır; zira üssün negatif değer alması halinde, sonuç kesirli bir sayıya dönüşebilir.

Aşağıdaki tablo, herhangi bir {{math|''a''}}, {{math|''b''}} ve {{math|''c''}} tam sayısı için toplama ve çarpma işlemlerinin bazı temel özelliklerini listelemektedir:
{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|+Tam sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinin özellikleri
!
!scope="col" |Toplama
!scope="col" |Çarpma
|-
!scope="row" |[[Kapalılık (matematik)|Kapalılık]]:
|{{math|''a'' + ''b''}}{{pad|1em}}bir tam sayıdır
|{{math|''a'' × ''b''}}{{pad|1em}}bir tam sayıdır
|-
!scope="row"|[[Birleşme özelliği (ikili işlemler)|Birleşme]]:
|{{math|''a'' + (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' + ''b'') + ''c''}}
|{{math|''a'' × (''b'' × ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') × ''c''}}
|-
!scope="row" |[[Değişme özelliği|Değişme]]:
|{{math|''a'' + ''b'' {{=}} ''b'' + ''a''}}
|{{math|''a'' × ''b'' {{=}} ''b'' × ''a''}}
|-
!scope="row" |[[Birim öge|Etkisiz eleman]]ın varlığı:
|{{math|''a'' + 0 {{=}} ''a''}}
|{{math|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}
|-
!scope="row" |[[Ters eleman]]ların varlığı:
|{{math|''a'' + (−''a'') {{=}} 0}}
|Tersinir tam sayılar ({{math|−1}} ve {{math|1}} olarak adlandırılan [[Birim (halka teorisi)|birimler]]) dışında tersi olan tam sayı yoktur.
|-
!scope="row" |[[Dağılma özelliği|Dağılma]]:
|colspan=2 align=center |{{math|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}{{pad|1em}}ve{{pad|1em}}{{math|(''a'' + ''b'') × ''c'' {{=}} (''a'' × ''c'') + (''b'' × ''c'')}}
|-
!scope="row" |Sıfır [[Sıfır böleni|bölensiz]]:
| || | Eğer {{math|''a'' × ''b'' {{=}} 0}}, o zaman {{math|''a'' {{=}} 0}} veya {{math|''b'' {{=}} 0}} (veya her ikisi)
|}

Toplama işlemi çerçevesinde, <math>\mathbb{Z}</math> kümesine ilişkin olarak sıralanan başlıca beş özelliğin tanımladığı yapı, bu kümenin bir [[abelyen grup]] olduğunu ifade eder. Bu küme, her biri sıfırdan farklı olan tam sayıların, sonlu bir {{kayma|1 + 1 + ... + 1}} veya {{kayma|(−1) + (−1) + ... + (−1)}} şeklindeki toplamları ile ifade edilebilirliği dolayısıyla, aynı zamanda bir [[devirli grup]] özelliği taşır (İng. ''cyclic group''). Gerçekte, toplama işlemi altında <math>\mathbb{Z}</math>, herhangi bir sonsuz devirli grubun, <math>\mathbb{Z}</math> ile [[grup izomorfizması|eşyapı grubu]] olduğu bağlamda, ''tek'' sonsuz devirli gruptur.

Çarpma işlemine ilişkin olarak sıralanan ilk dört özelliğin tanımı, <math>\mathbb{Z}</math> kümesinin çarpma altında bir [[Birlik|değişmeli monoid]] yapısına sahip olduğunu gösterir. Ancak, 2 sayısının örneğinde olduğu gibi, her tam sayının çarpmaya ilişkin bir çarpımsal tersi bulunmamaktadır, bu durum <math>\mathbb{Z}</math> kümesinin çarpma işlemi bağlamında bir grup oluşturmadığını ifade eder.

Yukarıda sunulan özellikler cetvelinden (en sonuncu dışında) elde edilen kuralların tümü, toplama ve çarpma işlemleriyle bir arada <math>\mathbb{Z}</math> kümesinin, [[Birim öge|birimli]] [[değişmeli halka]] olarak tanımlandığını ortaya koyar. Bu yapı, benzer [[cebirsel yapı]]lara ait nesnelerin ilk örneğidir. <math>\mathbb{Z}</math> içerisinde, değişkenlerin her bir değeri için gerçek olan, yalnızca herhangi bir birimli değişmeli halkada doğru kabul edilen [[Eşleşik|eşitlikler]] ve [[cebirsel ifade|ifadeler]] geçerlidir. Bazı sıfır olmayan tam sayılar, çeşitli halkalarda [[toplamsal etkisiz eleman|sıfır]] değerine karşılık gelir.

Tam sayılar kümesinde [[sıfır böleni|sıfır bölensiz]]lerin bulunmaması (özellikler tablosundaki son özellik), değişmeli halka <math>\mathbb{Z}</math>'nin, bir [[tamlık bölgesi]] olarak nitelendirilebileceğini gösterir.

Çarpmaya ilişkin ters elemanların eksikliği, bu durumun <math>\mathbb{Z}</math> kümesinin bölme işlemine kapalı olmadığı gerçeği ile eşdeğer olduğundan, <math>\mathbb{Z}</math>'nin bir [[alan (matematik)|alan]] olarak tanımlanamayacağı anlamına gelir. Tam sayıları bir [[althalka]] olarak barındıran en küçük alan yapı, [[rasyonel sayılar]] alanıdır. Tam sayılar kümesinden rasyonel sayılar kümesinin türetilmesi süreci, herhangi bir tamlık bölgesi için [[kesirler cismi]]nin (İng. ''field of fractions'') oluşturulması amacıyla modellenebilir. Ayrıca, bir [[cebirsel sayı cismi]]nden (rasyonel sayılara bir uzantı olarak) başlanarak, içerisinde <math>\mathbb{Z}</math> kümesini de barındıran [[tam sayılar halkası]] (İng. ''ring of integers'') elde edilebilir.

Her ne kadar <math>\mathbb{Z}</math> üzerinde geleneksel bölme işlemi tanımlanmamış olsa da, "kalan ile bölme" işlemi bu küme üzerinde tanımlanabilir. Bu işleme, [[Kalanlı bölme|Öklid bölmesi]] adı verilir ve şu kritik özelliği taşır: {{math|''b'' ≠ 0}} koşulunu sağlayan herhangi {{math|''a''}} ve {{math|''b''}} tam sayı çifti için, {{math|''a'' {{=}} ''q'' × ''b'' + ''r''}} ve {{math|0 ≤ ''r'' < {{!}}''b''{{!}}}} ilişkilerini sağlayan benzersiz {{math|''q''}} ve {{math|''r''}} tams ayıları mevcuttur; burada {{math|{{!}}''b''{{!}}}}, {{math|''b''}} sayısının [[mutlak değer]]ini ifade eder. Bu bağlamda, {{math|''q''}} tam sayısı ''bölüm'', {{math|''r''}} ise {{math|''a''}} ile {{math|''b''}}'nin bölünmesi sonucu elde edilen ''[[kalan]]'' olarak isimlendirilir. [[En büyük ortak bölen]]lerin belirlenmesi sürecinde kullanılan [[Öklid algoritması]], ardışık Öklid bölme işlemlerine dayanır.

İlgili metin, <math>\mathbb{Z}</math> kümesinin bir [[Öklid bölgesi]] (İng. ''Euclidean domain'') olarak tanımlandığını belirtmektedir. Bu durum, aynı zamanda <math>\mathbb{Z}</math>'nin bir [[esas ideal bölgesi]] (İng. ''principal ideal domain'') olduğunu gösterir ve her pozitif tam sayının, [[asal sayılar]]ın çarpımı şeklinde [[özünde benzersiz]] (İng. ''essentially unique'') bir biçimde ifade edilebileceğini ima eder.{{r|Lang_1993}} Bu durum, [[aritmetiğin temel teoremi]] olarak bilinir.

==Sıralama teorisine ilişkin özellikler==
<math>\mathbb{Z}</math>, herhangi bir [[tam sıralama]] özelliği gösteren, fakat ne [[Üst ve alt sınır|üst ne de alt sınır]] içeren bir kümedir. <math>\mathbb{Z}</math> kümesinin sıralama ilişkisi aşağıdaki gibi ifade edilir:
{{math|:... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ...}}
Bir tam sayının [[0|sıfır]] değerinden büyük olması durumunda ''pozitif'', sıfırdan küçük olması durumunda ise ''negatif'' olarak nitelendirilir. Sıfır değeri, ne negatif ne de pozitif olarak nitelendirilebilir.

Tam sayılar arasındaki sıralama ilişkisi, cebirsel işlemlerle aşağıdaki biçimde uyum içindedir:

{{math|''a'' < ''b''}} ve {{math|''c'' < ''d''}} olduğunda, {{math|''a'' + ''c'' < ''b'' + ''d''}} sonucu elde edilir.
{{math|''a'' < ''b''}} ve {{math|0 < ''c''}} olduğunda, {{math|''ac'' < ''bc''}} eşitsizliği geçerlidir.

Bunun sonucu olarak, <math>\mathbb{Z}</math> üzerinde tanımlanan bu sıralama ile birlikte, bir [[sıralı halka]] yapısını oluşturur.

Tam sayılar, pozitif elemanları [[iyi sıralı]] olan tek ciddi [[tam sıralı]] [[Abel grubu]]dur.{{r|Warner_2012}} 
Bu, herhangi bir [[Noetherian halka]] [[değerleme halkası]]na (İng. ''valuation ring'') ya bir [[Cisim (cebir)|cisim]]-ya da [[ayrık değerleme halkası]] (İng. ''discrete valuation ring'') olduğu ifadesine eşdeğerdir.

==Tanımlama==

===Geleneksel tanımlama===

Temel eğitim süreçlerinde, tam sayı kavramı, genellikle pozitif doğal sayılar kümesi, [[sıfır]] ve doğal sayıların negatif karşılıklarının birleşimi olarak sezgisel bir yaklaşımla tanımlanmaktadır. Bu tanım, formal bir yapıya kavuşturulabilir:{{r|Mendelson_1985}} başlangıçta, [[Peano aksiyomları]] temel alınarak <math>N</math> doğal sayılar kümesi inşa edilir. Ardından, <math>N</math> kümesi ile her elemanı arasında birebir eşleme bulunan ve <math>N</math> kümesinden [[Ayrık küme|ayrık]] bir <math>N^-</math> kümesi tanımlanır. Bu bağlamda, <math>N^-</math> kümesi için, örneğin, <math>\psi</math> eşlemesi <math>n \mapsto (1,n)</math> olacak şekilde <math>(1,n)</math> formundaki sıralı çiftler seçilebilir. Son adımda, 0 elemanı, ne <math>N</math> kümesinde ne de <math>N^-</math> kümesinde yer almayacak şekilde, örneğin <math>(0,0)</math> sıralı çifti olarak belirlenir. Böylelikle, tam sayılar kümesi, <math>N \cup N^- \cup {0}</math> birleşimi ile tanımlanmış olur.

Geleneksel aritmetik işlemleri, tam sayılar kümesi üzerinde, pozitif sayılar, negatif sayılar ve sıfır olmak üzere, [[parçalı fonksiyon]]lar yardımıyla tanımlanabilir. Mesela, [[Tümleme (mantık)|negasyon]] işlemi şu şekilde ifade edilir:
<math display="block">
-x = \begin{cases}
  \psi(x), & \text{eğer } x \in P \\
  \psi^{-1}(x), & \text{eğer } x \in P^- \\
  0, & \text{eğer } x = 0
\end{cases}
</math>

Geleneksel tanımlama yöntemi, çeşitlilik arz eden durumların ortaya çıkmasına neden olur (her aritmetik işlemin, tam sayı türlerinin her birinin kombinasyonları üzerine tanımlanması gereklidir) ve tam sayıların aritmetik yasalarına olan uyumunun ispatı sürecini oldukça yorucu bir hale getirir.{{r|Mendelson_2008}}

=== Sıralı ikili dizilerin eşdeğerlilik sınıfları ===
[[Dosya:Relative numbers representation.svg|küçükresim|alt=Sıralı ikili dizilerin eşdeğerlilik sınıflarının görselleştirilmesi |Kırmızı işaretler, [[doğal sayılar]] kümesine ait sıralı ikili dizileri ifade etmektedir. Birbirine bağlı olan kırmızı işaretler, çizginin uç kısmındaki mavi tam sayı değerlerini temsil eden eşdeğerlilik sınıflarını gösterir.|upright=1.5]]

Çağdaş küme teorisine dayalı matematikte, aritmetik işlemilerin herhangi bir özgül durum ayrımına gerek kalmadan tanımlanabilmesine imkan veren daha soyut bir yapı tercih edilmektedir.<ref>Ivorra Castillo: ''Álgebra''</ref>{{r|Kramer_2017}}{{r|Len_1999}} Bu bağlamda, tam sayılar, [[doğal sayı]]lardan oluşturulan [[sıralı ikili]] çiftlerin denklik sınıfları olarak formel bir biçimde kurulabilir {{math|(''a'',''b'')}}.{{r|Campbell-1970-p83}}

Sezgisel olarak, {{math|(''a'',''b'')}} ifadesi, {{math|''b''}}'nin {{math|''a''}}'dan çıkarılması sonucunu temsil eder.{{r|Campbell-1970-p83}} {{kayma|1 − 2}} ile {{kayma|4 − 5}} gösterimlerinin aynı sayısal değeri temsil ettiği öngörümüzü teyit etmek amacıyla, bu ikili diziler üzerinde belirli bir kural çerçevesinde bir [[denklik bağıntısı|denklik ilişkisi]] {{math|~}} tanımlamaktayız:
:<math>(a,b) \sim (c,d) </math>
yalnızca ve yalnızca
:<math>a + d = b + c. </math>

Tam sayılar üzerinde gerçekleştirilen toplama ve çarpım işlemleri, doğal sayılara uygulanan benzer işlemler temel alınarak tanımlanabilir;{{r|Campbell-1970-p83}} {{math|[(''a'',''b'')]}} gösterimi, içerisinde {{math|(''a'',''b'')}} ögesini barındıran denklik sınıfını ifade etmek için kullanılır ve bu durumda işlemler şu şekilde ifade edilir:
:<math>[(a,b)] + [(c,d)] := [(a+c,b+d)].</math>
:<math>[(a,b)]\cdot[(c,d)] := [(ac+bd,ad+bc)].</math>

Bir tam sayının negatif değeri (veya toplamsal ters öge), ilgili ikilinin elemanlarının yer değiştirilmesiyle elde edilir:
:<math>-[(a,b)] := [(b,a)].</math>

Dolayısıyla, çıkartma işlemi, toplamsal ters ögenin eklenmesi şeklinde tanımlanabilir:
:<math>[(a,b)] - [(c,d)] := [(a+d,b+c)].</math>

Tam sayılara ilişkin standart sıralama kuralı aşağıdaki gibi ifade edilir:
:<math>[(a,b)] < [(c,d)]</math> [[ancak ve ancak]] <math>a+d < b+c.</math>

Bu tanımlamaların, denklik sınıflarının temsilcilerinin seçimiyle ilgisiz olduğu kolaylıkla ispatlanabilir.

Her bir denklik sınıfı, {{math|(''n'',0)}} veya {{math|(0,''n'')}} (veya her iki durum için de) formunda özgün bir elemana sahiptir. Doğal sayı {{math|''n''}}, {{math|[(''n'',0)]}} sınıfıyla özdeşleştirilmekte (yani doğal sayılar, {{math|''n''}}'yi {{math|[(''n'',0)]}}'ye eşleyen bir fonksiyon aracılığıyla tam sayılara [[gömme|gömülmüştür]]) ve {{math|[(0,''n'')]}} sınıfı {{math|−''n''}} olarak ifade edilir (bu durum, kalan tüm sınıfları kapsar ve {{math|[(0,0)]}} sınıfını {{math|−0 {{=}} 0}} olduğundan yeniden tanımlar).

Dolayısıyla, {{math|[(''a'',''b'')]}} gösterimi aşağıdaki gibi ifade edilir:
:<math>\begin{cases} a - b, & \mbox{eğer }  a \ge b  \\ -(b - a),  & \mbox{eğer } a < b. \end{cases}</math>

Doğal sayıların, karşılık gelen tam sayılarla özdeşleştirilmesi durumunda (önceden bahsi geçen gömme metodu kullanılarak), bu gösterim yöntemi herhangi bir karmaşıklığa yol açmaz.

Bu gösterim yöntemi, tam sayıların {{math|{..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} }} şeklindeki alışılagelmiş [[grup temsili|temsiline]] geri dönüş sağlar.

Örneklerden bazıları şu şekildedir:
:<math>\begin{align}
 0 &= [(0,0)] &= [(1,1)] &= \cdots & &= [(k,k)] \\
 1 &= [(1,0)] &= [(2,1)] &= \cdots & &= [(k+1,k)] \\
-1 &= [(0,1)] &= [(1,2)] &= \cdots & &= [(k,k+1)] \\
 2 &= [(2,0)] &= [(3,1)] &= \cdots & &= [(k+2,k)] \\
-2 &= [(0,2)] &= [(1,3)] &= \cdots & &= [(k,k+2)].
\end{align}</math>

===Diğer yaklaşımlar===

Teorik bilgisayar biliminde, tam sayıların inşası için [[otomatik teorem kanıtlama]] ve [[Terimi yeniden yazma|terim yeniden yazım motorları]] tarafından kullanılan diğer yaklaşımlar mevcuttur.
Tam sayılar, birkaç temel işlem (örneğin, '''sıfır''', '''bir sonraki''', '''bir önceki''') kullanılarak ve muhtemelen, zaten inşa edilmiş olduğu varsayılan [[doğal sayı]]lar kullanılarak oluşturulan [[Terim cebiri|cebirsel terimler]] (İng. ''term algebra'') olarak temsil edilir (örneğin, [[Peano aksiyomları|Peano yaklaşımı]] kullanılarak).

İşaretli tam sayıların oluşturulması amacıyla, en azından on farklı yöntem mevcuttur.{{r|Garavel_2017}} Bu yapılar, çeşitli parametrelere göre ayrışır: Yapıyı gerçekleştirmek amacıyla başvurulan temel işlemlerin adedi, bu işlemlerin kabul ettiği argümanların sayısı ve nitelikleri (çoğunlukla 0 ile 2 arasında değişir); belirli işlemler için doğal sayıların argüman olarak kullanılıp kullanılmadığı ve işlemlerin serbest yapılandırıcı olup olmadığı, yani bir tam sayının tek veya birden çok cebirsel ifadeyle ifade edilebilirliği.

Bir önceki bölümde tanıtılan tam sayıların inşası yöntemi, iki doğal sayıyı argüman olarak alan ve sonucunda bir tam sayı (bu durumda x-y'ye eşit) veren tekil bir temel işlem olan '''çift'''<math>(x,y)</math> işlemine dayanır. Bu işlem serbest nitelikte değildir; zira sıfır tam sayısı, '''çift'''(0,0), '''çift'''(1,1), '''çift'''(2,2) gibi çeşitli şekillerde ifade edilebilir. Bu inşa metodolojisi, [[ispat yardımcısı]] [[Isabelle (yazılım)|Isabelle]] yazılımı tarafından benimsenmiş olup; ancak, serbest yapılandırıcıları temel alan ve bilgisayar ortamlarında daha etkin bir şekilde implemente edilebilecek daha sade alternatif inşa teknikleri de mevcuttur.

==Bilgisayar bilimi==
{{Ana|Tam sayı (bilgisayar bilimi)}}
Tam sayı, sıkça [[bilgisayar dili]]lerindeki primitif bir [[veri tipi]]dir. Ancak, tam sayı veri tipleri, pratik bilgisayarların sonlu kapasitesi nedeniyle tüm tam sayıların bir [[alt küme]]sini temsil edebilirler. Ayrıca, yaygın [[ikinin tümleyeni]] gösteriminde, [[işaret (matematik)|işaretin]] içsel tanımı "negatif" ve "negatif olmayan" arasında ayrım yapar, "negatif, pozitif ve 0" değil. (Bununla birlikte, bir bilgisayarın bir tam sayı değerinin gerçekten pozitif olup olmadığını belirlemesi kesinlikle mümkündür.) Sabit uzunluklu tam sayı yaklaşım veri tipleri (veya alt kümeleri), birkaç programlama dilinde ''int'' veya ''Integer'' olarak adlandırılır ([[ALGOL 68]], [[C (programlama dili)|C]], [[Java (programlama dili)|Java]], [[Object Pascal|Delphi]], vb.).

Tam sayıların değişken uzunluklu temsilleri, bilgisayarın belleğine sığan herhangi bir tam sayıyı depolayabilir. Diğer tam sayı veri tipleri ise genellikle 2'nin bir kuvveti olan bir bit sayısı (4, 8, 16, vb.) veya akılda kalıcı bir ondalık basamak sayısı (örneğin, 9 veya 10) ile sabit bir boyutta uygulanır.

==Sayallık (Kardinalite)==
Tam sayılar kümesi [[sayılabilir küme|sayılabilir sonsuz]]dur, bu da her tam sayının benzersiz bir doğal sayı ile eşleştirilebileceği anlamına gelir. Böyle bir eşleştirmenin bir örneği şöyledir:

:{{math|(0,&thinsp;1), (1,&thinsp;2), (−1,&thinsp;3), (2,&thinsp;4), (−2,&thinsp;5), (3,&thinsp;6), .&hairsp;.&hairsp;.&hairsp;, (1&hairsp;−&thinsp;''k'',&thinsp;2''k''&thinsp;−&hairsp;1), (''k'',&thinsp;2''k''&hairsp;), .&hairsp;.&hairsp;.}}

Daha teknik bir ifadeyle, <math>\mathbb{Z}</math> kardinalitesinin {{math|ℵ{{sub|0}}}} ([[Alef sayısı|alef-sıfır]]) ile eşit olduğu söylenir. <math>\mathbb{Z}</math> ve <math>\mathbb{N}</math> elemanları arasındaki bu eşleştirme, bir [[Birebir örten fonksiyon|bijection]] olarak adlandırılır.

== Notlar ==
{{not listesi}}

==Ayrıca bakınız==
{{Sayıların sınıflandırması}}

== Kaynakça ==
{{kaynakça|2|refs=

<ref name="Sozluk_2023">{{Web kaynağı 
| url = http://www.dildernegi.org.tr/TR,274/turkce-sozluk-ara-bul.html 
| başlık = Türkçe Sözlük Ara-Bul 
| erişimtarihi =22 Ekim 2023
| çalışma = www.dildernegi.org.tr 
| arşivurl = https://web.archive.org/web/20140426111055/http://www.dildernegi.org.tr/TR,274/turkce-sozluk-ara-bul.html 
| arşivtarihi = 26 Nisan 2014
}}</ref>

<ref name="Chicago_Press_2000">{{Kitap kaynağı 
|başlık=Science and Technology Encyclopedia 
|tarih=September 2000 
|yayıncı=University of Chicago Press 
|isbn=978-0-226-74267-0 
|sayfa=280 
|url=https://books.google.com/books?id=PZIdcYCCf2kC&dq=integer&pg=PA280 
|dil=İngilizce 
|erişim-tarihi=22 Şubat 2024 
|arşivurl=https://web.archive.org/web/20230730182711/https://books.google.com/books?id=PZIdcYCCf2kC&dq=integer&pg=PA280 
|arşivtarihi=30 Temmuz 2023 
|ölüurl=hayır 
}}</ref>

<ref name="earliest">{{web kaynağı 
|url=http://jeff560.tripod.com/nth.html 
|başlık=Earliest Uses of Symbols of Number Theory
|erişimtarihi=20 Eylül 2010 
|tarih=29 Ağustos 2010
|ad=Jeff 
|soyadı=Miller
|arşivurl=https://web.archive.org/web/20100131022510/http://jeff560.tripod.com/nth.html 
|arşivtarihi=31 Ocak 2010 
|ölüurl=evet}}</ref>

<ref name="Cameron1998">{{kitap kaynağı 
|author=Peter Jephson Cameron 
|başlık=Introduction to Algebra 
|url=https://books.google.com/books?id=syYYl-NVM5IC&pg=PA4 
|yıl=1998 
|yayıncı=Oxford University Press 
|isbn=978-0-19-850195-4 
|sayfa=4 
|erişim-tarihi=15 Şubat 2016 
|arşiv-url=https://web.archive.org/web/20161208142220/https://books.google.com/books?id=syYYl-NVM5IC&pg=PA4 
|arşiv-tarihi=8 Aralık 2016 
|ölüurl=hayır}}</ref>

<ref name="Prep_2019">{{kitap kaynağı 
|soyadı1=Prep 
|ad1=Kaplan Test 
|başlık=GMAT Complete 2020: The Ultimate in Comprehensive Self-Study for GMAT 
|tarih=4 Haziran 2019 
|yayıncı=Simon and Schuster 
|isbn=978-1-5062-4844-8 
|url=https://books.google.com/books?id=6l_sDwAAQBAJ&pg=PA708 
|dil=İngilizce 
|erişim-tarihi=24 Şubat 2024 
|arşivurl=https://web.archive.org/web/20230730182707/https://books.google.com/books?id=6l_sDwAAQBAJ&pg=PA708 
|arşivtarihi=30 Temmuz 2023 
|ölüurl=hayır 
}}</ref>

<ref name="Smedley_1845">{{kitap kaynağı 
|soyadı1=Smedley 
|ad1=Edward 
|soyadı2=Rose 
|ad2=Hugh James 
|soyadı3=Rose 
|ad3=Henry John 
|başlık=Encyclopædia Metropolitana 
|tarih=1845 
|yayıncı=B. Fellowes 
|sayfa=537 
|url=https://books.google.com/books?id=ZVI_AQAAMAAJ&pg=PA537 
|dil=İngilizce 
|alıntı=An integer is a multiple of unity 
|erişim-tarihi=24 Şubat 2024 
|arşivurl=https://web.archive.org/web/20230508233937/https://books.google.com/books?id=ZVI_AQAAMAAJ&pg=PA537 
|arşivtarihi=8 Mayıs 2023 
|ölüurl=hayır 
}}</ref>

<ref name="Pisano_1202">{{kitap kaynağı
 |başlık           = Incipit liber Abbaci compositus to Lionardo filio Bonaccii Pisano in year Mccij
 |başlıktürü       = Manuscript
 |çeviribaşlık     = The Book of Calculation
 |soyadı1          = Pisano
 |ad1              = Leonardo
 |yazarbağı1       = Fibonacci
 |yayıncı          = Museo Galileo
 |tarih            = 1202
 |url              = https://bibdig.museogalileo.it/tecanew/opera?bid=1072400&seq=30
 |dil              = la
 |soyadı2          = Boncompagni
 |ad2              = Baldassarre (transliteration)
 |translator-last  = Sigler
 |translator-first = Laurence E.
 |sayfa            = 30
 |alıntı           = Nam rupti uel fracti semper ponendi sunt post integra, quamuis prius integra quam rupti pronuntiari debeant.
 |trans-quote      = And the fractions are always put after the whole, thus first the integer is written, and then the fraction
 |erişim-tarihi    = 24 Şubat 2024
 |arşivurl         = https://web.archive.org/web/20231208195942/https://bibdig.museogalileo.it/tecanew/opera?bid=1072400&seq=30
 |arşivtarihi      = 8 Aralık 2023
 |ölüurl           = hayır
}}</ref>

<ref name="negmath">{{kitap kaynağı
|soyadı=Martinez
|ad=Alberto
|başlık=Negative Math
|sayfalar=80-109|tarih=2014
|yayıncı=Princeton University Press
}}</ref>

<ref name="Euler_1771">{{kitap kaynağı 
|soyadı1=Euler 
|ad1=Leonhard 
|başlık=Vollstandige Anleitung Zur Algebra
|dil=de
|çeviribaşlık=Complete Introduction to Algebra
|cilt=1
|tarih=1771 
|url=https://archive.org/details/1770LEULERVollstandigeAnleitungZurAlgebraVol1/page/n31/mode/2up
|sayfa=10
|alıntı=Alle diese Zahlen, so wohl positive als negative, führen den bekannten Nahmen der gantzen Zahlen, welche also entweder größer oder kleiner sind als nichts. Man nennt dieselbe gantze Zahlen, um sie von den gebrochenen, und noch vielerley andern Zahlen, wovon unten gehandelt werden wird, zu unterscheiden.
|trans-quote=Hem pozitif hem de negatif değerlere sahip bu sayılar, tam sayılar olarak tanımlanır; bunlar, hiçlikten ya daha büyük ya da daha küçüktür. Bu sayıları, kesirler ve ilerleyen bölümlerde üzerinde duracağımız diğer çeşitli sayı türlerinden ayırt edebilmek adına, tam sayılar olarak adlandırıyoruz.
}}</ref>

<ref name="Leeds_1989">{{kitap kaynağı 
|başlık=The University of Leeds Review 
|tarih=1989 
|yayıncı=University of Leeds. 
|sayfa=46 
|url=https://books.google.com/books?id=Z-7kAAAAMAAJ 
|dil=İngilizce 
|cilt=31-32 
|alıntı=Incidentally, Z comes from "Zahl": the notation was created by Hilbert. 
|trans-quote=Tesadüfi bir şekilde, 'Z' harfi "Zahl" sözcüğünden türemiştir: Bu gösterim Hilbert tarafından geliştirilmiştir. 
|erişim-tarihi=24 Şubat 2024 
|arşivurl=https://web.archive.org/web/20230413210144/https://books.google.com/books?id=Z-7kAAAAMAAJ 
|arşivtarihi=13 Nisan 2023 
|ölüurl=hayır 
}}</ref>

<ref name="Bourbaki_1951">{{kitap kaynağı
|soyadı1=Bourbaki 
|ad1=Nicolas 
|başlık=Algèbre, Chapter 1 
|tarih=1951
|seri=2nd 
|yayıncı=Hermann
|yer=Paris 
|sayfa=27
|dil=fr
|url=https://archive.org/details/algebrebour00bour/page/26/mode/2up
|alıntı=Le symétrisé de '''N''' se note '''Z'''; ses éléments sont appelés entiers rationnels.
|trans-quote='''N''' sayısının farklarının oluşturduğu grup, '''Z''' harfi ile ifade edilir; bu grubun içinde yer alan elemanlara rasyonel tam sayılar denir.
}}</ref>

<ref name="Birkhoff_1948">{{kitap kaynağı
|soyadı1=Birkhoff 
|ad1=Garrett 
|başlık=Lattice Theory 
|tarih=1948 
|yayıncı=American Mathematical Society 
|sayfa=63
|seri=Revised
|url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.166886/page/n63/mode/2up
|alıntı=the set ''J'' of all integers
|trans-quote=tüm tam sayıların kümesi ''J''
}}</ref>

<ref name="Society_1960">{{kitap kaynağı 
|soyadı1=Society 
|ad1=Canadian Mathematical 
|başlık=Canadian Journal of Mathematics 
|tarih=1960 
|yayıncı=Canadian Mathematical Society 
|sayfa=374 
|url=https://books.google.com/books?id=uMAXOmLTCGsC&dq=integer%20set%20Z&pg=PA374
|dil=İngilizce|alıntı=Consider the set ''Z'' of non-negative integers
|trans-quote=Sıfır ve pozitif tam sayıları içeren ''Z'' kümesini göz önünde bulundurun.
}}</ref>

<ref name="Bezuszka_1961">{{kitap kaynağı 
|soyadı1=Bezuszka 
|ad1=Stanley 
|başlık=Contemporary Progress in Mathematics: Teacher Supplement [to] Part 1 and Part 2 
|tarih=1961 
|yayıncı=Boston College 
|sayfa=69 
|url=https://books.google.com/books?id=dhJPAQAAMAAJ&q=integer+set+Z 
|dil=İngilizce 
|alıntı=Modern Algebra texts generally designate the set of integers by the capital letter Z. 
|trans-quote=Günümüz Cebir literatüründe, tam sayılar kümesi genel olarak büyük 'Z' harfi ile gösterilir. 
|erişim-tarihi=24 Şubat 2024 
|arşivurl=https://web.archive.org/web/20230503100012/https://books.google.com/books?id=dhJPAQAAMAAJ&q=integer+set+Z 
|arşivtarihi=3 Mayıs 2023 
|ölüurl=hayır 
}}</ref>

<ref name="Ulucay_1955">{{Dergi kaynağı 
|başlık=On The Bloch-Landau Constants. 
|url=https://dergipark.org.tr/en/download/article-file/1626583 
|dergi=Communications Faculty of Sciences University of Ankara Series A1 Mathematics and Statistics 
|yayıncı=[[Ankara Üniversitesi]]
|erişim-tarihi=24 Şubat 2024
|arşiv-url=https://web.archive.org/web/20240224093925/https://dergipark.org.tr/en/download/article-file/1626583
|arşiv-tarihi=24 Şubat 2024
|alıntı=pozitif tam sayı, ile gösterilen
iç açıları
}}</ref>

<ref name="Mathews_1892">{{kitap kaynağı 
|soyadı1=Mathews 
|ad1=George Ballard 
|başlık=Theory of Numbers 
|tarih=1892 
|yayıncı=Deighton, Bell and Company 
|sayfa=2 
|url=https://books.google.com/books?id=iQ_vAAAAMAAJ&pg=PA2 
|dil=İngilizce 
|erişim-tarihi=24 Şubat 2024 
|arşivurl=https://web.archive.org/web/20230626194524/https://books.google.com/books?id=iQ_vAAAAMAAJ&pg=PA2 
|arşivtarihi=26 Haziran 2023 
|ölüurl=hayır 
}}</ref>

<ref name="Betz_1934">{{kitap kaynağı 
|soyadı1=Betz 
|ad1=William 
|başlık=Junior Mathematics for Today 
|tarih=1934 
|yayıncı=Ginn 
|url=https://books.google.com/books?id=RzNCAAAAIAAJ 
|dil=İngilizce 
|alıntı=The whole numbers, or integers, when arranged in their natural order, such as 1, 2, 3, are called consecutive integers. 
|trans-quote=Bütün sayılar ya da tam sayılar, doğal dizilimlerine uygun olarak, mesela 1, 2, 3 gibi sıralandıklarında, ardışık tam sayılar olarak tanımlanırlar. 
|erişim-tarihi=24 Şubat 2024 
|arşivurl=https://web.archive.org/web/20230627112420/https://books.google.com/books?id=RzNCAAAAIAAJ 
|arşivtarihi=27 Haziran 2023 
|ölüurl=hayır 
}}</ref>

<ref name="Peck_1950">{{kitap kaynağı 
|soyadı1=Peck 
|ad1=Lyman C. 
|başlık=Elements of Algebra 
|tarih=1950 
|yayıncı=McGraw-Hill 
|sayfa=3 
|url=https://books.google.com/books?id=tclXAAAAYAAJ&q=integers+whole+numbers 
|dil=İngilizce 
|alıntı=The numbers which so arise are called positive whole numbers, or positive integers. 
|trans-quote=Bu şekilde meydana gelen sayılara, pozitif bütün sayılar ya da pozitif tam sayılar denir. 
|erişim-tarihi=24 Şubat 2024 
|arşivurl=https://web.archive.org/web/20230413212817/https://books.google.com/books?id=tclXAAAAYAAJ&q=integers+whole+numbers 
|arşivtarihi=13 Nisan 2023 
|ölüurl=hayır 
}}</ref>

<ref name="Hayden_1981">{{cite thesis
|type=PhD
|url=https://dr.lib.iastate.edu/handle/20.500.12876/80303
|title=A history of the "new math" movement in the United States
|date=1981
|last=Hayden
|first=Robert
|publisher=Iowa State University
|doi=10.31274/rtd-180813-5631
|page=145
|quote=A much more influential force in bringing news of the "new math" to high school teachers and administrators was the National Council of Teachers of Mathematics (NCTM).
|trans-quote="Lise öğretmenleri ve idarecilere 'yeni matematik' konusundaki gelişmeleri aktarmada önemli bir etkiye sahip olan kurum, National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) olmuştur."
|erişim-tarihi=24 Şubat 2024
|arşivurl=https://web.archive.org/web/20231208222216/https://dr.lib.iastate.edu/handle/20.500.12876/80303
|arşivtarihi=8 Aralık 2023
|ölüurl=hayır
}}</ref>

<ref name="NCTM_1959">{{kitap kaynağı 
|başlık=The Growth of Mathematical Ideas, Grades K-12: 24th Yearbook 
|tarih=1959 
|yayıncı=National Council of Teachers of Mathematics 
|sayfa=14 
|isbn=9780608166186 
|url=https://books.google.com/books?id=OO9RAQAAIAAJ&pg=PA14 
|dil=İngilizce 
|erişim-tarihi=24 Şubat 2024 
|arşivurl=https://web.archive.org/web/20230413212827/https://books.google.com/books?id=OO9RAQAAIAAJ&pg=PA14 
|arşivtarihi=13 Nisan 2023 
|ölüurl=hayır 
}}</ref>

<ref name="Deans_1963">{{kitap kaynağı 
|soyadı1=Deans 
|ad1=Edwina 
|başlık=Elementary School Mathematics: New Directions 
|tarih=1963 
|yayıncı=U.S. Department of Health, Education, and Welfare, Office of Education 
|sayfa=42 
|url=https://books.google.com/books?id=bAUJAQAAMAAJ&pg=PA42 
|dil=İngilizce 
|erişim-tarihi=24 Şubat 2024 
|arşivurl=https://web.archive.org/web/20230508141044/https://books.google.com/books?id=bAUJAQAAMAAJ&pg=PA42 
|arşivtarihi=8 Mayıs 2023 
|ölüurl=hayır 
}}</ref>

<ref name="HarperCollins">{{web kaynağı
|başlık=entry: whole number
|url=https://www.ahdictionary.com/word/search.html?q=whole+number
|website=The American Heritage Dictionary
|yayıncı=HarperCollins
|erişimtarihi=24 Şubat 2024
|arşivurl=https://web.archive.org/web/20230730182708/https://www.ahdictionary.com/word/search.html?q=whole+number
|arşivtarihi=30 Temmuz 2023
|ölüurl=hayır
}}</ref>

<ref name="Brittanica_2020">{{Web kaynağı
|başlık=Integer mathematics
|url=https://www.britannica.com/science/integer
|erişimtarihi=11 Ağustos 2020
|website=Encyclopedia Britannica
|dil=İngilizce|arşivurl=https://web.archive.org/web/20180131092843/https://www.britannica.com/topic/integer
|arşivtarihi=31 Ocak 2018
|ölüurl=hayır
}}</ref>

<ref name="Lang_1993">{{Kitap kaynağı 
|ad=Serge 
|soyadı=Lang 
|yazarbağı=Serge Lang 
|başlık=Algebra 
|basım=3.3yayıncı=Addison-Wesley
|yıl=1993 
|isbn=978-0-201-55540-0 
|sayfalar=86-87}}</ref>

<ref name="Warner_2012">{{Kitap kaynağı
|başlık=Modern Algebra 
|seri=Dover Books on Mathematics 
|ad=Seth 
|soyadı=Warner 
|yayıncı=Courier Corporation 
|yıl=2012 
|isbn=978-0-486-13709-4 
|yer=Theorem 20.14, p.&nbsp;185
|url=https://books.google.com/books?id=TqHDAgAAQBAJ&pg=PA185 
|erişimtarihi=29 Nisan 2015 
|arşivurl=https://web.archive.org/web/20150906083836/https://books.google.com/books?id=TqHDAgAAQBAJ&pg=PA185
|arşivtarihi=6 Eylül 2015 
|ölüurl=hayır}}</ref>

<ref name="Mendelson_1985">{{Kitap kaynağı 
|soyadı1=Mendelson 
|ad1=Elliott 
|başlık=Number systems and the foundations of analysis 
|tarih=1985 
|yayıncı=Malabar, Fla. : R.E. Krieger Pub. Co. 
|isbn=978-0-89874-818-5 
|sayfa=153 
|url=https://archive.org/details/numbersystemsfou0000mend/page/152/mode/2up
}}</ref>

<ref name="Mendelson_2008">{{Kitap kaynağı 
|başlık=Number Systems and the Foundations of Analysis 
|seri=Dover Books on Mathematics 
|ad=Elliott 
|soyadı=Mendelson 
|yayıncı=Courier Dover Publications 
|yıl=2008
|isbn=978-0-486-45792-5 
|sayfa=86 
|url=https://books.google.com/books?id=3domViIV7HMC&pg=PA86 
|erişimtarihi=15 Şubat 2016 
|arşivurl=https://web.archive.org/web/20161208233040/https://books.google.com/books?id=3domViIV7HMC&pg=PA86 
|arşivtarihi=8 Aralık 2016
|ölüurl=hayır}}</ref>

<ref name="Kramer_2017">{{Kitap kaynağı 
|soyadı1=Kramer 
|ad1=Jürg 
|başlık=From Natural Numbers to Quaternions
|soyadı2=von Pippich 
|ad2=Anna-Maria 
|yayıncı=Springer Cham 
|yıl=2017
|isbn=978-3-319-69427-6 
|basım=1.1yer=Switzerland
|sayfalar=78-81|dil=İngilizce|doi=10.1007/978-3-319-69429-0
|issn=1615-2085}}</ref>

<ref name="Len_1999">{{Kitap kaynağı 
|başlık=Learning to Teach Number: A Handbook for Students and Teachers in the Primary School 
|seri=The Stanley Thornes Teaching Primary Maths Series 
|ad=Len 
|soyadı=Frobisher 
|yayıncı=Nelson Thornes 
|yıl=1999
|isbn=978-0-7487-3515-0 
|sayfa=126 
|url=https://books.google.com/books?id=KwJQIt4jQHUC&pg=PA126 
|erişimtarihi=15 Şubat 2016 
|arşivurl=https://web.archive.org/web/20161208121843/https://books.google.com/books?id=KwJQIt4jQHUC&pg=PA126 
|arşivtarihi=8 Aralık 2016 
|ölüurl=hayır}}</ref>

<ref name="Campbell-1970-p83">{{Kitap kaynağı 
|author=Campbell, Howard E. 
|başlık=The structure of arithmetic
|yayıncı=Appleton-Century-Crofts 
|yıl=1970 
|isbn=978-0-390-16895-5
|sayfa=[https://archive.org/details/structureofarith00camp/page/83 83] 
|url=https://archive.org/details/structureofarith00camp/page/83 
}}</ref>

<ref name="Garavel_2017">{{konferans kaynağı 
|soyadı=Garavel 
|ad=Hubert 
|başlık=On the Most Suitable Axiomatization of Signed Integers
|konferans=Post-proceedings of the 23rd International Workshop on Algebraic Development Techniques (WADT'2016) 
|yıl=2017 
|yayıncı=Springer 
|seri=Lecture Notes in Computer Science 
|cilt=10644 
|sayfalar=120-134|doi=10.1007/978-3-319-72044-9_9 
|isbn=978-3-319-72043-2 
|url=https://hal.inria.fr/hal-01667321
|erişimtarihi=25 Ocak 2018 
|arşivurl=https://web.archive.org/web/20180126125528/https://hal.inria.fr/hal-01667321 
|arşivtarihi=26 Ocak 2018 
|ölüurl=hayır}}</ref>

}}

== Bibliografya ==
{{kaynak başı}}
* {{Kitap kaynağı |yazarbağı=Eric Temple Bell |soyadı=Bell |ad=E.T. |başlık=[[Men of Mathematics]] |yer=New York |yayıncı=Simon & Schuster |tarih=1986 |isbn=0-671-46400-0}})
* {{Kitap kaynağı |soyadı=Herstein |ad=I.N. |başlık=Topics in Algebra |yayıncı=Wiley |basım=2.2tarih=1975 |isbn=0-471-01090-1}}
* {{Kitap kaynağı |yazarbağı1=Saunders Mac Lane |soyadı1=Mac Lane |ad1=Saunders |yazarbağı2=Garrett Birkhoff |soyadı2=Birkhoff |ad2=Garrett |başlık=Algebra |yayıncı=American Mathematical Society |basım=3.3tarih=1999 |isbn=0-8218-1646-2}}
* {{Kitap kaynağı |yazar1=A Society of Gentlemen in Scotland |başlık=Encyclopaedia Britannica |tarih=1771 |yer=Edinburgh |url=https://books.google.com/books?id=d50qAQAAMAAJ |dil=İngilizce|kaynak= {{harvid|Encyclopaedia Britannica|1771}}}}
{{kaynak sonu}}

{{sayılar}}

{{Otorite kontrolü}}

{{DEFAULTSORT:Tam Sayilar}}
[[Kategori:Tam sayılar|*]]
[[Kategori:Temel matematik]]