Tam trigonometrik değerler sayfasının kaynağını görüntüle

Matematikte, [[trigonometrik fonksiyonlar]]ın değerleri <math>\cos (\pi/4)\approx 0.707</math> gibi yaklaşık olarak veya <math>\cos (\pi/ 4)= \sqrt 2 /2</math> gibi tam olarak ifade edilebilir. [[Trigonometrik tablolar]] birçok yaklaşık değer içerirken, belirli açılar için kesin değerler [[aritmetik]] işlemler ve [[karekök]] kombinasyonu ile ifade edilebilir. Bu şekilde ifade edilebilen trigonometrik değerlere sahip açılar tam olarak [[Pergel ve çizgilik çizimleri|pergel ve düzeç]] ile inşa edilebilen açılardır ve bu değerlere [[Çizilebilir sayı|inşa edilebilir sayı]]lar denir.

== Yaygın açılar ==
15°, 18° veya 22,5°'nin katları olan açıların trigonometrik fonksiyonları basit cebirsel değerlere sahiptir. Bu değerler 0° ile 45° arasındaki açılar için aşağıdaki tabloda listelenmiştir.<ref name="Abramowitz 1972 loc=p. 74, 4.3.46">{{harvnb|Abramowitz|Stegun|1972|loc=p. 74, 4.3.46}}</ref> Aşağıdaki tabloda “Tanımsız” etiketi <math>1:0</math> oranını temsil etmektedir. Trigonometrik fonksiyonların kod alanı [[reel sayılar]] olarak alınırsa, bu girdiler [[tanımsız (matematik)|tanımsız]] olurken, kod alanı [[İzdüşümlü olarak genişletilmiş gerçek çizgi|izdüşümsel olarak genişletilmiş reel sayılar]] olarak alınırsa, bu girdiler <math>\infty</math> değerini alır (bkz. [[sıfıra bölme]]).

{|class="wikitable" style="text-align: center;"
!Radyan !!Derece
!{{math|sin}} !!{{math|cos}} !!{{math|tan}}
!{{math|cot}} !!{{math|sec}} !!{{math|csc}}
|-
!<math>0</math> !!<math>0^\circ</math>
|<math>0</math>
|<math>1</math>
|<math>0</math>
|{{n/a|Tanımsız}}
|<math>1</math>
|{{n/a|Tanımsız}}
|-
!<math>\frac{\pi}{12}</math> !!<math>15^\circ</math>
|<math>\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}} {4}</math>
|<math>\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {4}</math>
|<math>2 - \sqrt3</math>
|<math>2 + \sqrt3</math>
|<math>\sqrt2(\sqrt3 - 1)</math>
|<math>\sqrt2(\sqrt3 + 1)</math>
|-
!<math>\frac{\pi}{10}</math> !!<math>18^\circ</math>
|<math>\frac{\sqrt5 - 1} {4}</math>
|<math>\frac{\sqrt2 \sqrt{5 + \sqrt5}} {4}</math>
|<math>\frac{\sqrt5 \sqrt{5 - 2\sqrt5}} {5}</math>
|<math>\sqrt{5 + 2\sqrt5}</math>
|<math>\frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt5}} {5}</math>
|<math>\sqrt5 + 1</math>
|-
!<math>\frac{\pi}{8}</math> !!<math>22.5^\circ</math>
|<math>\frac{\sqrt{2 - \sqrt2}} {2}</math>
|<math>\frac{\sqrt{2 + \sqrt2}} {2}</math>
|<math>\sqrt2 - 1</math>
|<math>\sqrt2 + 1</math>
|<math>\sqrt2 \sqrt{2 - \sqrt2}</math>
|<math>\sqrt2 \sqrt{2 + \sqrt2}</math>
|-
!<math>\frac{\pi}{6}</math> !!<math>30^\circ</math>
|<math>\frac{1}{2}</math>
|<math>\frac{\sqrt3}{2}</math>
|<math>\frac{\sqrt3}{3}</math>
|<math>\sqrt3</math>
|<math>\frac{2\sqrt3}{3}</math>
|<math>2</math>
|-
!<math>\frac{\pi}{5}</math> !!<math>36^\circ</math>
|<math>\frac{\sqrt2 \sqrt{5 - \sqrt5}} {4}</math>
|<math>\frac{\sqrt5 + 1} {4}</math>
|<math>\sqrt{5 - 2\sqrt5}</math>
|<math>\frac{\sqrt5 \sqrt{5 + 2\sqrt5}} {5}</math>
|<math>\sqrt5 - 1</math>
|<math>\frac{\sqrt{10} \sqrt{5 + \sqrt5}} {5}</math>
|-
!<math>\frac{\pi}{4}</math> !!<math>45^\circ</math>
|colspan=2|<math>\frac{\sqrt2}{2}</math>
|colspan=2|<math>1</math>
|colspan=2|<math>\sqrt2</math>
|}

Bu aralığın dışındaki açılar için trigonometrik değerler [[Trigonometrik özdeşlikler listesi#Yansımalar, kaymalar ve periyodiklik|yansıma ve kaydırma özdeşlikleri]] uygulanarak bulunabilir, örneğin

:<math>\begin{alignat}{3}
&&\sin(\tfrac{\pi}{2} - \theta)  &{}= \cos(\theta), \\[5mu]
&&\sin(2\pi + \theta)  &{}= \sin(\pi - \theta) &&{}=  \sin(\theta), \quad
&&\sin(\pi + \theta)  &&{}= \sin(-\theta)      &&{}= -\sin(\theta), \\[5mu]
&&\cos(2\pi + \theta)  &{}= \cos(-\theta)      &&{}=  \cos(\theta), \quad
&&\cos(\pi + \theta)  &&{}= \cos(\pi - \theta) &&{}= -\cos(\theta).
\end{alignat}</math>

== Trigonometrik sayılar ==
Bir '''trigonometrik sayı''', {{pi}}'nin bir [[Rasyonel sayı|rasyonel]] [[radyan]] katının [[sinüs ve kosinüs|sinüs veya kosinüs]]ü olarak ifade edilebilen bir sayıdır.<ref name="Niven">Niven, Ivan. ''Numbers: Rational and Irrational'', 1961. Random House. [[New Mathematical Library]], Vol. 1. {{ISSN|0548-5932}}. Ch. 5</ref> <math>\sin(x)=\cos(x-\pi/2)</math> olduğundan, sinüs durumu bu tanımdan çıkarılabilir. Bu nedenle herhangi bir trigonometrik sayı <math>\cos(2\pi k/n)</math> şeklinde yazılabilir, burada ''k'' ve ''n'' tam sayılardır. Bu sayı, [[karmaşık sayı]]nın gerçek kısmı olarak düşünülebilir. <math>\cos(2\pi k/n) + i \sin(2\pi k/n)</math>. [[De Moivre formülü]], bu formdaki sayıların [[birimin kökü|birimin kökleri]] olduğunu gösterir:

:<math>\left(\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right)\right)^n = \cos(2\pi k) + i \sin(2\pi k) = 1</math>

Birimin kökü ''x''<sup>''n''</sup>&nbsp;-&nbsp;1 polinomunun bir [[Kök (matematik)#polinom kökleri|kökü]] olduğundan, [[cebirsel sayı|cebirsel]]dir. Trigonometrik sayı, birimin kökünün ve [[karmaşık eşlenik|karmaşık eşleniğinin]] ortalaması olduğundan ve cebirsel sayılar aritmetik işlemler altında kapalı olduğundan, her trigonometrik sayı cebirseldir.<ref name="Niven"/> Trigonometrik sayıların minimal polinomları [[2cos(2pi/n)'nin minimal polinomu|açık olarak sayılabilir]].<ref>{{dergi kaynağı |soyadı1=Lehmer |ad1=D. H. |başlık=A Note on Trigonometric Algebraic Numbers |dergi=The American Mathematical Monthly |tarih=1933 |cilt=40 |sayı=3 |sayfalar=165-166|doi=10.2307/2301023|jstor=2301023 }}</ref> Buna karşılık, [[Lindemann-Weierstrass teoremi]]ne göre, sıfır olmayan herhangi bir cebirsel sayının sinüs veya kosinüsü her zaman aşkındır.<ref>{{kitap kaynağı |soyadı1=Burger |ad1=Edward B. |soyadı2=Tubbs |ad2=Robert |başlık=Making Transcendence Transparent: An intuitive approach to classical transcendental number theory |tarih=17 Nisan 2013 |yayıncı=Springer Science & Business Media |isbn=978-1-4757-4114-8 |sayfa=44 |url=https://books.google.com/books?id=s63TBwAAQBAJ&pg=PA44 |dil=İngilizce}}</ref>

Birliğin herhangi bir kökünün reel kısmı bir trigonometrik sayıdır. [[Niven teoremi]]ne göre, tek rasyonel trigonometrik sayılar 0, 1, -1, 1/2 ve -1/2'dir.<ref>{{dergi kaynağı |soyadı=Schaumberger |ad=Norman |yıl=1974 |başlık=A Classroom Theorem on Trigonometric Irrationalities |dergi=[[Two-Year College Mathematics Journal]] |jstor=3026991 |cilt=5 |sayı=1 |sayfalar=73-76|doi=10.2307/3026991 }}</ref>

== İnşa edilebilirlik ==
Bir [[açı]], [[ancak ve ancak]] sinüsü (veya eşdeğer olarak kosinüsü) tam sayılara uygulanan aritmetik işlemler ve kareköklerin bir kombinasyonu ile ifade edilebiliyorsa pergel ve [[Çizgilik|çizgeç]] ile oluşturulabilir.<ref name=Martin>{{kaynak|soyadı=Martin|ad=George E.|doi=10.1007/978-1-4612-0629-3|isbn=0-387-98276-0|mr=1483895|yayıncı=Springer-Verlag, New York|seri=Undergraduate Texts in Mathematics|başlık=Geometric Constructions|başlıkbağı=Geometric Constructions|yıl=1998}}</ref> İlave olarak, <math>\pi</math> radyanın rasyonel katı olan bir açı, ancak ve ancak <math>a\pi/b</math> radyan olarak ifade edildiğinde inşa edilebilir, burada ''a'' ve ''b'' [[aralarında asal]] tam sayılardır, paydanın [[Asal çarpanlara ayırma|asal çarpanlara ayrılması]], ''b'', bazı [[ikinin kuvveti]] ile herhangi bir sayıda farklı [[Fermat sayıları#Asallık|Fermat asalı]]nın çarpımıdır (bir Fermat asalı, ikinin kuvvetinden bir büyük asal sayıdır).<ref>{{kaynak|soyadı=Martin|ad=George E.|doi=10.1007/978-1-4612-0629-3|isbn=0-387-98276-0|mr=1483895|yayıncı=Springer-Verlag, New York|seri=Undergraduate Texts in Mathematics|başlık=Geometric Constructions|başlıkbağı=Geometric Constructions|yıl=1998|sayfa=46}}</ref>

Böylece, örneğin, <math>2\pi/15 = 24^\circ</math> inşa edilebilir bir açıdır çünkü 15, 3 ve 5 Fermat asallarının çarpımıdır. Benzer şekilde <math>\pi/12 = 15^\circ</math> inşa edilebilir bir açıdır çünkü 12, bir Fermat asalının (3) iki (4) katıdır. Ancak <math>\pi/9 = 20^\circ</math> oluşturulabilir bir açı değildir, çünkü <math>9 = 3 \cdot 3</math> iki kez çarpan olarak 3 içerdiğinden “farklı” Fermat asallarının çarpımı değildir ve <math>\pi/7 \approx 25.714^\circ</math> de değildir, çünkü 7 bir Fermat asalı değildir.<ref name=Fraleigh>{{kaynak|ad=John B.|soyadı=Fraleigh|başlık=A First Course in Abstract Algebra|seri=5th|yıl=1994|yayıncı=Addison Wesley|isbn=978-0-201-53467-2|mr=0225619}}</ref>

Yukarıdaki tanımlamadan, [[tam sayı]] derecelik bir açının ancak ve ancak bu derece {{math|3}}'ün bir katı ise inşa edilebilir olduğu sonucu çıkar.

== İnşa edilebilir değerler ==

=== 45° ===
Bir [[Trigonometrik özdeşlikler listesi#Yansımalar|yansıma özdeşliği]]nden, <math>\cos(45^\circ) = \sin(90^\circ-45^\circ)=\sin(45^\circ)</math>. Pisagor trigonometrik özdeşliğinde]] yerine konulması <math>\sin(45^\circ)^2 + \cos(45^\circ)^2=1</math>, [[Minimal polinom (alan teorisi)|minimal polinom]] elde edilir. <math>2 \sin(45^\circ)^2 - 1 = 0</math>. Pozitif kök alındığında, <math>\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2</math> bulunur.

=== 30° ve 60° ===
Sinüs ve kosinüsün 30 ve 60 derecelik değerleri [[eşkenar üçgen]] analizi ile elde edilir. Eşkenar üçgende 3 açı eşittir ve toplamı 180°'dir, dolayısıyla her bir köşe açısı 60°'dir. Bir köşe ikiye bölündüğünde, 30-60-90 açılarına sahip [[özel dik üçgen]] elde edilir. [[Simetri]] gereği, ikiye bölünen kenar eşkenar üçgenin kenarının yarısıdır, bu nedenle <math>\sin(30^\circ)=1/2</math> sonucuna varılır. Pisagor ve yansıma özdeşlikleri <math>\sin(60^\circ)=\cos(30^\circ)=\sqrt{1-(1/2)^2}=\sqrt{3}/2</math> sonucunu verir.

=== 18°, 36°, 54° ve 72° ===
<math>\sin(18^\circ)</math> değeri, sinüs ve kosinüs için [[Trigonometrik özdeşlikler listesi#Çoklu açı formülleri|çoklu açı formülleri]] kullanılarak türetilebilir.<ref>{{web kaynağı|başlık=Exact Value of sin 18°|url=https://www.math-only-math.com/exact-value-of-sin-18-degree.html|website=math-only-math|erişimtarihi=26 Eylül 2024|arşivurl=https://web.archive.org/web/20240519072409/https://www.math-only-math.com/exact-value-of-sin-18-degree.html|arşivtarihi=19 Mayıs 2024|ölüurl=hayır}}</ref> Sinüs için çift açı formülü ile:
:<math>\sin(36^\circ) = 2\sin(18^\circ)\cos(18^\circ)</math>
Kosinüs için üç kat açı formülü ile:
:<math>\cos(54^\circ) = \cos^3(18^\circ) - 3\sin^2(18^\circ)\cos(18^\circ) = \cos(18^\circ)(1 - 4\sin^2(18^\circ))</math>
sin(36°) = cos(54°) olduğundan, bu iki ifadeyi eşitler ve cos(18°)'nin bir katsayısını sadeleştiririz:
:<math>2\sin(18^\circ) = 1 - 4\sin^2(18^\circ)</math>
Bu [[İkinci dereceden denklemler|ikinci dereceden denklem]]in yalnızca bir pozitif kökü vardır:
:<math>\sin(18^\circ) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}</math>

Pisagor özdeşliği <math>\cos(18^\circ)</math> değerini verir ve ikili ve üçlü açı formülleri 36°, 54° ve 72° sinüs ve kosinüs değerlerini verir.

=== 3°'nin kalan katları ===
:

0-90° arasındaki 3°'nin katları olan diğer tüm açıların sinüs ve kosinüsleri yukarıda açıklanan açılardan ve [[Trigonometrik özdeşlikler listesi#Açı toplam ve fark özdeşlikleri|toplam ve fark formülleri]]nden türetilebilir. Özellikle,<ref name="Weiß">{{kitap kaynağı |soyadı1=Weiß |ad1=Adam |başlık=Handbuch Der Trigonometrie |tarih=1851 |yayıncı=J. L. Schmid |sayfalar=72-74|url=https://books.google.com/books?id=L3QoAAAAcAAJ&dq=%22sin%2039%22%20%22sin%2042%22&pg=PA72 |dil=de}}</ref>

:<math>\begin{align}
3^\circ &= 18^\circ-15^\circ, &
24^\circ &= 54^\circ - 30^\circ, &
51^\circ &= 60^\circ - 9^\circ, &
78^\circ &= 60^\circ + 18^\circ, &
\\
6^\circ &= 36^\circ - 30^\circ, &
27^\circ &= 45^\circ - 18^\circ, &
57^\circ &= 30^\circ + 27^\circ, &
81^\circ &= 45^\circ + 36^\circ, &
\\
9^\circ &= 45^\circ - 36^\circ, &
33^\circ &= 60^\circ - 27^\circ, &
63^\circ &= 45^\circ + 18^\circ, &
84^\circ &= 54^\circ + 30^\circ, &
\\
12^\circ &= 30^\circ - 18^\circ, &
39^\circ &= 30^\circ + 9^\circ, &
66^\circ &= 36^\circ + 30^\circ, &
87^\circ &= 60^\circ + 27^\circ. &
\\
15^\circ &= 45^\circ - 30^\circ, &
42^\circ &= 60^\circ - 18^\circ, &
69^\circ &= 60^\circ + 9^\circ, &
\\
21^\circ &= 30^\circ - 9^\circ, &
48^\circ &= 30^\circ + 18^\circ, &
75^\circ &= 45^\circ + 30^\circ, &

\end{align}</math>

Örneğin, <math>24^\circ = 60^\circ - 36^\circ</math> olduğundan, kosinüsü, kosinüs farkı formülü ile türetilebilir:

:<math>\begin{align}\cos(24^\circ) &= \cos(60^\circ)\cos(36^\circ) + \sin(60^\circ)\sin(36^\circ) \\
&= \frac{1}{2}\frac{\sqrt{5}+1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\
&= \frac{1 + \sqrt{5} + \sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8}\end{align}</math>

=== Yarım açılar ===

Eğer payda, “b”, 2'nin ek faktörleriyle çarpılırsa, sinüs ve kosinüs [[Trigonometrik özdeşlikler listesi#Yarım açı formülleri|yarım açı formülleri]] ile türetilebilir. Örneğin, 22,5° ({{pi}}/8 rad) 45°'nin yarısıdır, dolayısıyla sinüs ve kosinüsü şöyledir:<ref>{{dergi kaynağı |başlık=A Geometric Method of Finding the Trigonometric Ratios of 22&hairsp;½° and 75° |soyadı=Durbha |ad=Subramanyam |dergi=Mathematics in School |cilt=41 |sayı=3 |yıl=2012 |sayfalar=22-23|jstor=23269221}}</ref>

:<math>
\sin(22.5^\circ) = \sqrt{\frac{1 - \cos(45^\circ)}{2}}
= \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}
= \frac12\sqrt{2-\sqrt{2}}
</math>
:<math>
\cos(22.5^\circ)
= \sqrt{\frac{1 + \cos(45^\circ)}{2}}
= \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}
= \frac12\sqrt{2+\sqrt{2}}
</math>

Yarım açı formüllerinin tekrar tekrar uygulanması [[İç içe kökler|iç içe radikal]]lere, özellikle de <math>\sqrt{2 \pm \cdots}</math> biçimindeki iç içe [[Karekök 2|2'nin karekökleri]]ne yol açar. Genel olarak, <math>\beta / 2^n</math> biçimindeki çoğu açının sinüs ve kosinüsü, <math>\beta</math> cinsinden 2'nin iç içe geçmiş karekökleri kullanılarak ifade edilebilir. Özellikle, eğer bir açı aşağıdaki gibi yazılabiliyorsa;
<!-- the indices are reversed with b_k in the paper being b_1 here, because IMO it makes more sense to number from left to right -->
<math display=block>\alpha = \pi \left(\frac{1}{2}-\sum_{i=1}^k \frac{\prod_{j=1}^i b_j}{2^{i+1}}\right) = \pi \left (\frac{1}{2} - \frac{b_1}{4} - \frac{b_1 b_2}{8} - \frac{b_1 b_2 b_3}{16} - \ldots - \frac{b_1 b_2 \ldots b_k}{2^{k+1}}\right)</math>

burada <math>b_k \in [-2,2]</math> ve <math>b_i</math> <math>i<k</math> için -1, 0 veya 1 ise, o halde<ref name="Servi2003">{{dergi kaynağı |soyadı1=Servi |ad1=L. D. |başlık=Nested Square Roots of 2 |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2003-04_110_4/page/326 |dergi=The American Mathematical Monthly |tarih=April 2003 |cilt=110 |sayı=4 |sayfalar=326-330|doi=10.1080/00029890.2003.11919968}}</ref>

<math display=block>
\cos(\alpha) = \frac{b_1}{2}\sqrt{2+b_2 \sqrt{2+b_3 \sqrt{2+\ldots+b_{k-1} \sqrt{2+2 \sin\left(\frac{\pi b_k}{4}\right)}}}}
</math>

ve eğer <math>b_1 \neq 0</math> ise o zaman<ref name="Servi2003"/>
<math display=block>
\sin(\alpha) = \frac{1}{2}\sqrt{2 - b_2 \sqrt{2+b_3 \sqrt{2+b_4 \sqrt{2+\ldots+b_{k-1} \sqrt{2+2 \sin\left(\frac{\pi b_k}{4}\right)}}}}}
</math>

Örneğin, <math>\frac{13 \pi}{32} = \pi\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}-\frac{1}{32}\right)</math>, yani <math>(b_1,b_2,b_3,b_4)=(1,-1,1,-1)</math> ise aşağıdaki sonuç elde edilir:
<math display=block>\cos\left(\frac{13 \pi}{32}\right) = \frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+2 \sin\left(\frac{-\pi}{4}\right)}}} = \frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}}</math>
<math display=block>\sin\left(\frac{13 \pi}{32}\right) = \frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt 2}}}</math>

=== 17'nin paydası ===
{{Ana|Onyedigen}}

17 bir Fermat asalı olduğundan, düzenli bir [[onyedigen|17-gen]] inşa edilebilir, bu da <math>2\pi/17</math> radyan gibi açıların sinüs ve kosinüslerinin karekökler cinsinden ifade edilebileceği anlamına gelir. Özellikle, 1796'da [[Carl Friedrich Gauss]] şunu göstermiştir:<ref name="Jones">Arthur Jones, Sidney A. Morris, Kenneth R. Pearson, ''Abstract Algebra and Famous Impossibilities'', Springer, 1991, {{ISBN|0387976612}}, [https://books.google.com/books?id=6dSIBBW87b8C&pg=PA178 p. 178.]</ref><ref name=Callagy>Callagy, James J. "The central angle of the regular 17-gon", ''Mathematical Gazette'' 67, December 1983, 290–292.</ref>
:<math>\cos\left(\frac{2\pi}{17}\right) = \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}} + 2\sqrt{17+3\sqrt{17} - \sqrt{170+38\sqrt{17}}}}{16}</math>

<math>\frac{k 2^n \pi}{17}</math> (<math>k,n</math> tam sayıları için) biçimindeki diğer inşa edilebilir açıların sinüs ve kosinüsleri bundan türetilebilir.

== 1°'nin inşa edilemezliği ==
[[#İnşa edilebilirlik|İnşa edilebilirlik]]te tartışıldığı gibi, yalnızca <math>\pi</math> radyanın rasyonel katları olan belirli açılar kareköklerle ifade edilebilen trigonometrik değerlere sahiptir. <math>\pi/180 = \pi/(2^2 \cdot 3^2 \cdot 5)</math> radyan olan 1° açısı, paydada tekrarlanan 3 faktörüne sahiptir ve bu nedenle <math>\sin(1^\circ)</math> sadece karekökler kullanılarak ifade edilemez. İlgili bir soru da küp kökler kullanılarak ifade edilip edilemeyeceğidir. Aşağıdaki iki yaklaşım kullanılabilir, ancak her ikisi de [[Üs alma#Karmaşık bir sayının ninci kökleri|karmaşık bir sayının küp kökü]] içeren bir ifade ile sonuçlanır.

Üçlü açı özdeşliğini kullanarak, <math>\sin(1^\circ)</math>'i bir kübik polinomun kökü olarak tanımlayabiliriz: <math>\sin(3^\circ) = -4x^3 + 3x</math>. Bu polinomun üç kökü <math>\sin(1^\circ)</math>, <math>\sin(59^\circ)</math> ve <math>-\sin(61^\circ)</math>'dir. <math>\sin(3^\circ)</math> inşa edilebilir olduğundan, bunun için bir ifade [[Üçüncü dereceden denklemler#Cardano formülü|Cardano formülü]] içine yerleştirilerek <math>\sin(1^\circ)</math> için bir ifade elde edilebilir. Ancak, kübiğin üç kökü de reel olduğundan, bu bir [[casus irreducibilis]] örneğidir ve ifade karmaşık bir sayının küp kökünü almayı gerektirecektir.<ref>{{web kaynağı |soyadı1=Parent |ad1=James T. |başlık=Exact values for the sin of all integers |url=https://www.intmath.com/blog/wp-content/images/2011/06/exact-values-sin-degrees.pdf |website=Interactive Mathematics |erişimtarihi=5 Şubat 2024 |tarih=June 2011 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20240416084047/https://www.intmath.com/blog/wp-content/images/2011/06/exact-values-sin-degrees.pdf |arşivtarihi=16 Nisan 2024 |ölüurl=hayır }}</ref><ref name="Kowalski">{{dergi kaynağı |soyadı1=Kowalski |ad1=Travis |başlık=The Sine of a Single Degree |dergi=The College Mathematics Journal |tarih=November 2016 |cilt=47 |sayı=5 |sayfalar=322-332|doi=10.4169/college.math.j.47.5.322 |s2cid=125810699 |url=https://maa.org/sites/default/files/pdf/awards/college.math.j.47.5.322.pdf |erişim-tarihi=26 Eylül 2024 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20240212203356/https://maa.org/sites/default/files/pdf/awards/college.math.j.47.5.322.pdf |arşivtarihi=12 Şubat 2024 |ölüurl=hayır }}</ref>

Alternatif olarak, [[De Moivre formülü]] ile:
:<math>\begin{align}
(\cos(1^\circ) + i \sin(1^\circ))^3 &= \cos(3^\circ) + i \sin(3^\circ), \\[4mu]
(\cos(1^\circ) - i \sin(1^\circ))^3 &= \cos(3^\circ) - i \sin(3^\circ).
\end{align}</math>

Küp kökleri alarak ve denklemleri toplayarak veya çıkararak aşağıdakileri elde ederiz:<ref name="Kowalski"/>
:<math>\begin{align}
\cos(1^\circ) &= \;\frac{1}{2} \left(
     \sqrt[3]{\cos(3^\circ) + i \sin(3^\circ)}
   + \sqrt[3]{\cos(3^\circ) - i \sin(3^\circ)} \right),
\\[5mu]
\sin(1^\circ) &= \frac{1}{2i}\left(
     \sqrt[3]{\cos(3^\circ) + i \sin(3^\circ)}
   - \sqrt[3]{\cos(3^\circ) - i \sin(3^\circ)} \right).
\end{align}</math>

== Ayrıca bakınız ==
*[[Ailles dikdörtgeni]], 15°'nin katları için kesin değerleri bulmak için kullanılır
*[[Trigonometrik özdeşlikler listesi]]

== Kaynakça ==
{{Kaynakça}}

== Bibliyografya ==
{{Kaynak başı}}
* {{dergi kaynağı |ad1=D. H. |soyadı1=Lehmer |başlık=A note on trigonometric algebraic numbers |dergi=American Mathematical Monthly |yıl=1933 |sayfalar=165-166|cilt=40 |sayı=3 |doi=10.2307/2301023 |jstor=2301023}}
* {{Kitap kaynağı |editör1-soyadı=Abramowitz |editör1-ad=Milton |editör1-bağ=Milton Abramowitz |editör2-soyadı=Stegun |editör2-ad=Irene A. |editör2-bağ=Irene Stegun |başlık=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables |yayıncı=[[Dover Publications]] |yer=New York |isbn=978-0-486-61272-0 |yıl=1972 |url=https://archive.org/details/handbookofmathe000abra}}
* {{dergi kaynağı |ad1=William |soyadı1=Watkins |ad2=Joel |soyadı2=Zeitlin |başlık=The minimal polynomial of cos(2*&pi;/n) |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1993-05_100_5/page/471 |yıl=1993 |sayfalar=471-474|dergi=American Mathematical Monthly |doi=10.2307/2324301 |jstor=2324301 |cilt=100 |sayı=5}}
*{{dergi kaynağı |ad1=Kurt |soyadı1=Girstmair |başlık=Some linear relations between values of trigonometric functions at k*&pi;/n |dergi=Acta Arithmetica |cilt=81 |yıl=1997 |sayı=4 |sayfalar=387-498|doi=10.4064/aa-81-4-387-398 |mr=1472818 |url=https://bibliotekanauki.pl/articles/1390870.pdf}}
*{{dergi kaynağı |ad1=John H. |soyadı1=Conway |ad2=Charles |soyadı2=Radin |ad3=Lorenzo |soyadı3=Sadun |başlık=On angles whose squared trigonometric functions are rational |dergi=Discrete & Computational Geometry |yıl=1999 |sayfalar=321-332|cilt=22 |sayı=3 |mr=1706614 |arxiv=math-ph/9812019 |doi=10.1007/PL00009463 |s2cid=563915 }}
* {{dergi kaynağı |ad1=Paul |soyadı1=Bracken |ad2=Jiri |soyadı2=Cizek |başlık=evaluation of quanum mechanical perturbative sums in terms of quadratic surds and their use in the approximation of &zeta;(3)/&pi;<sup>3</sup> |yıl=2002 |dergi=International Journal of Quantum Chemistry |cilt=90 |doi=10.1002/qua.1803 |sayfalar=42-53}}
* {{dergi kaynağı |ad1=L. D. |soyadı1=Servi |başlık=Nested square roots of 2 |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2003-04_110_4/page/326 |dergi=American Mathematical Monthly |yıl=2003 |cilt=110 |sayı=4 |sayfalar=326-330|doi=10.2307/3647881 |jstor=3647881 }}
* {{dergi kaynağı |ad1=Scott |soyadı1=Beslin |ad2=Valerio |soyadı2=de Angelis |başlık=The minimal polynomials of sin(2*&pi;/p) and cos(2*&pi;/p) |url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_2004-04_77_2/page/146 |dergi=Mathematics Magazine |cilt=77 |sayı=2 |yıl=2004 |jstor=3219105 |sayfalar=146-149|doi=10.1080/0025570X.2004.11953242 |s2cid=118497912 }}
* {{dergi kaynağı |ad1=Pinthira |soyadı1=Tangsupphathawat |ad2=Vichian |soyadı2=Laohakosol |başlık=Minimal polynomials of algebraic cosine values at rational multiples of &pi; |yıl=2016 |dergi=Journal of Integer Sequences |cilt=19 |sayfa=16.2.8 |url=https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL19/Laohakosol/lao2.html}}
{{Kaynak sonu}}

{{Trigonometri}}
{{İrrasyonel sayılar}}

[[Kategori:Oransız sayılar]]
[[Kategori:Trigonometri]]