Taylor teoremi sayfasının kaynağını görüntüle

[[Dosya:Taylorspolynomialexbig.svg|küçükresim|sağ|upright=1.36|Orijin çevresinde <math>y=e^x</math> üstel işlevi (sürekli kırmızı çizgi) ve karşılık gelen dördüncü dereceden Taylor polinomu (kesikli yeşil çizgi)]]
[[Kalkülüs]]te '''Taylor teoremi''', [[Türev|türevi tanımlı]] bir [[işlev]]e bir nokta çevresinde, [[katsayı]]ları yalnızca işlevin o noktadaki türevine bağlı olan [[polinom]]lar cinsinden bir yaklaştırma dizisi üreten bir sonuçtur. Teorem, yaklaştırma hesaplamalarındaki hata payına ilişkin kesin sonuçlar da verebilmektedir. [[Brook Taylor]] adlı matematikçinin 1712 yılında yaptığı çalışmalarından<ref>{{Kitap kaynağı|dil=la|soyadı=Taylor |ad=Brook |başlık=Methodus Incrementorum Directa et Inversa |url=https://archive.org/details/UFIE003454_TO0324_PNI-2529_000000|çeviribaşlık=Direct and Reverse Methods of Incrementation |yer=Londra|tarih=1715 |yer=p. 21–23 (Prop. VII, Thm. 3, Cor. 2)}} İngilizce çevirisi: {{Kitap kaynağı|ad=D. J. |soyadı=Struik|başlık=A Source Book in Mathematics 1200–1800 |url=https://archive.org/details/sourcebookinmath0000stru |yer=Cambridge, Massachusetts |yayıncı=Harvard University Press |tarih=1969 |sayfalar=[https://archive.org/details/sourcebookinmath0000stru/page/329 329]-332}}</ref> ötürü ismi bu şekilde anılan teoremin aslında bundan 41 yıl önce (1671 yılında) [[James Gregory]] tarafından bulunduğu bilinmektedir.

Taylor teoremine göre ''k'' defa türevlenebilir bir fonksiyona, verilen bir noktada yakınsayan ''k'' derece polinoma '''Taylor polinomu''' denir. Birinci derece Taylor polinomu '''doğrusal yaklaşım''' ({{dil|en|linear approximation}}) olarak, ikinci derece Taylor polinomuysa '''karesel yaklaşım''' ({{dil|en|quadratic approximation}}) olarak da bilinir.<ref>{{Web kaynağı | başlık = Linear and quadratic approximation | url = https://personal.math.ubc.ca/~sujatha/2013/103/week10-12/Linearapp.pdf | erişimtarihi = 18 Ekim 2021 | tarih = 11 Kasım 2013 | arşivurl = https://web.archive.org/web/20211018104547/https://personal.math.ubc.ca/~sujatha/2013/103/week10-12/Linearapp.pdf | arşivtarihi = 18 Ekim 2021}}</ref>

== Giriş ==
[[Dosya:E^x with linear approximation.png|küçükresim|right|{{kayma|1=''f''(''x'') = ''e<sup>x</sup>''}} (mavi) ve onun ''x=0'' noktasındaki [[doğrusal yaklaşım]]ı {{kayma|1=''P''<sub>1</sub>(''x'') = 1 + ''x''}} (kırmızı).]]

Eğer ''f(x)'' [[gerçel fonksiyon]]u ''x = a'' noktasında [[Türevlenebilirlik|türevlenebilir]] ise, bu noktada ''doğrusal yaklaşımı'' var demektir. Dolayısıyla, aşağıdaki gibi bir ''h<sub>1</sub>(x)'' fonksiyonu vardır:

:<math> f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + h_1(x)(x - a), \quad \lim_{x \to a} h_1(x) = 0.</math>

Burada

:<math>P_1(x) = f(a) + f'(a)(x - a)</math>

terimi, ''f(x)''<nowiki/>'in ''x = a'' noktasındaki doğrusal yaklaşımıdır ve grafiği ''f(x)''<nowiki/>'e teğettir. Yaklaşım hatası aşağıdaki gibi hesaplanır:

:<math>R_1(x) = f(x) - P_1(x) = h_1(x)(x - a).</math>

''x'' değişkeni ''a'' değerine yaklaştıkça, bu hata <math>f'(a)(x{-}a)</math>'ten daha hızlı şekilde sıfıra yaklaşır, dolayısıyla <math>f(x)\approx P_1(x)</math> yaklaşımı kullanışlıdır.

[[Dosya:E^x with quadratic approximation corrected.png|küçükresim|right|{{kayma|1=''f''(''x'') = ''e<sup>x</sup>''}} (mavi) e onun ''x=0'' noktasındaki karesel yaklaşımı {{kayma|1=''P''<sub>2</sub>(''x'') = 1 + ''x'' + ''x''<sup>2</sup>/2}} (kırmızı). Hata payındaki düşüşe dikkat ediniz.]]
Daha iyi bir tahmin bulmak için ''f''(''x'')'e bir [[karesel polinom]] yaklaştırabiliriz:

:<math>P_2(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2}(x - a)^2.</math>

''f''(''x'')'in ''x'' = ''a''<nowiki/>'da yalnız bir türevini eşleştirmek yerine, hem birinci hem de ikinci türevlerini bu polinomla temsil edebiliriz.

Taylor teoremine göre, ''karesel yaklaşım'' ''x''=''a''<nowiki/>'nın yeterince küçük bir mahalinde ''doğrusal yaklaşım''dan daha isabetli bir tahmin sunar. Aşağıdaki yaklaşıma göre

:<math>f(x) = P_2(x) + h_2(x)(x - a)^2, \quad \lim_{x \to a} h_2(x) = 0.</math>

Hata değeri

:<math>R_2(x) = f(x) - P_2(x) = h_2(x)(x - a)^2,</math>

''x'' değişkeni ''a'' değerine yaklaştıkça, <math>(x - a)^2</math>'den daha hızlı şekilde sıfıra yaklaşır.

Bu şekilde daha üst dereceden polinomlar kullanarak daha doğru bir yaklaşım elde edilebilir. Bunun sebebi, yaklaşım polinomunun verilen noktada ''f''<nowiki/>'nin daha üst dereceden türevleriyle eşleşmesidir.

Genel olarak, ''x'' ''a''<nowiki/>'ya yaklaşırken, ''k'' dereceden bir yaklaşım polinomunun hatasının sıfıra yaklaşma hızı, <math>(x-a)^k</math>'nin yaklaşma hızından daha fazladır. Ancak, sonsuz derecede [[Türevlenebilirlik|türevlenebilir]] olsa dahi isabetli bir yaklaşımı bulunmayan fonksiyonlar da vardır. Bu fonksiyonların ''x = a''<nowiki/>'da [[Analitik fonksiyon|analitik]] olmadığı söylenir. Yani fonksiyon bu nokta ve çevresinde türevleriyle belirlenemez.

== Tek değişkenli Taylor teoremi ==

Taylor teoreminin en basit halinin açık ifadesi şöyledir:<ref>{{ kaynak|ad1=Angelo|soyadı1=Genocchi|ad2= Giuseppe|soyadı2=Peano|başlık=Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale|yer=(N. 67, pp.&nbsp;XVII–XIX)|yayıncı=Fratelli Bocca ed.|yıl=1884}}</ref><ref>{{Kaynak | soyadı1=Spivak | ad1=Michael | yazarbağı1=Michael Spivak | başlık=Calculus  | yayıncı=Publish or Perish | yer=Houston, TX | seri=3rd | isbn=978-0-914098-89-8 | yıl=1994| sayfa=383}}</ref><ref>{{springer|title=Taylor formula|id=p/t092300}}</ref>

:''k''&nbsp;≥&nbsp;1 bir [[tam sayı]] ve {{kayma|''f'' : '''R''' → '''R'''}} {{kayma|''a'' ∈ '''R'''}} noktasında ''k'' defa türevlenebilir bir fonksiyon olsun. Öyleyse aşağıdaki tanıma sahip bir {{kayma|''h<sub>k</sub>'' : '''R''' → '''R'''}} fonksiyonu vardır:

::<math> f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + h_k(x)(x-a)^k,</math>
::ve
::<math>\lim_{x\to a} h_k(x) = 0.</math>
:Buna ''kalanın [[Peano]] biçimi'' denir.

Taylor teoremindeki polinom ''f'' fonksiyonunun ''a'' noktasındaki ''k dereceden Taylor polinomudur'':

:<math>P_k(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k </math>

Taylor polinomu [[biricik]] "asimtotik en uygun" polinomdur. Yani, aşağıdaki gibi {{kayma|''h<sub>k</sub>'' : '''R''' → '''R'''}} fonksiyonu ve ''k'' dereceden polinom ''p'' varsa

:<math> f(x) = p(x) + h_k(x)(x-a)^k, \quad \lim_{x\to a} h_k(x) = 0 ,</math>

o halde ''p''&nbsp;=&nbsp;''P<sub>k</sub>''<nowiki/>'dir. Taylor teoremi ''kalan terim''<nowiki/>'in asimptotik davranışını ifade eder:

:<math> R_k(x) = f(x) - P_k(x),</math>

Bu terim, ''f'' bir Taylor polinomuyla tahminlendiğindeki [[yaklaşım hatası]]dır.

{{hesap}}

== Ayrıca bakınız ==
* [[Taylor dizisi]]
* [[Doğrusal yaklaştırma]]
* [[Üs dizisi]]
* [[Laurent dizisi]] – Taylor dizisinin tekil noktalara sahip işlevlere uyarlanmış biçimi

== Kaynakça ==
{{kaynakça}}
{{Kaynak başı}}
* 
* {{Kitap kaynağı|başlık = Calculus|url = https://archive.org/details/calculus01apos|ilk = Tom|son = Apostol|yayımcı = Jon Wiley & Sons, Inc.|yıl = 1967|isbn = 0-471-00005-1}}
* {{Kitap kaynağı|başlık = Calculus: An Intuitive and Physical Approach|url = https://archive.org/details/calculusintuitiv0000klin_o9z9|ilk = Morris | son = Klein| yayımcı = Dover | yıl = 1998 | isbn = 0-486-40453-6}}
{{Kaynak sonu}}

== Dış bağlantılar ==
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/TaylorSeries.shtml Taylor Dizisinin Kosinüs Yaklaştırması] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20100104180448/http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/TaylorSeries.shtml |tarih=4 Ocak 2010 }}
* [http://cinderella.de/files/HTMLDemos/2C02_Taylor.html Trigonometrik Taylor Açılımı]{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20071110055856/http://cinderella.de/files/HTMLDemos/2C02_Taylor.html |tarih=10 Kasım 2007 }} etkileşimli görsel sunum
* [http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/taylor_series.html Taylor Dizisi, Yeniden]{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20090605193943/http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/taylor_series.html |tarih=5 Haziran 2009 }}, [http://numericalmethods.eng.usf.edu Bütüncül Sayısal Yöntemler Enstitüsü]{{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20060906070428/http://numericalmethods.eng.usf.edu/ |tarih=6 Eylül 2006 }}

{{matematik-taslak}}

{{Otorite kontrolü}}

[[Kategori:Türev]]
[[Kategori:Matematik teoremleri]]
[[Kategori:Diziler ve seriler]]